苏教版数学必修二：1.2.4 第2课时 两平面垂直 应用案巩固提升

[A基础达标]
1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）
A.0个
B.1个
C.无数个
D.1个或无数个
解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.
2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是（）
A.60°
B.120°
C.60°或120°
D.不确定
解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
3.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（）
A.平行
B.共面
C.垂直
D.不垂直
解析：选C.
如图所示，在四边形ABCD中，
因为AB＝BC，AD＝CD.
所以BD⊥AC.
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面AA1C1C.
又CC1⊂平面AA1C1C，
所以BD⊥CC1，故选C.
4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是（）
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析：选D.由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面
ABD ，从而CD ⊥AB ，故AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC .
5.将锐角A 为60°，边长为a 的菱形沿BD 折成60°的二面角，则折叠后A 与C 之间的距离为（ ）
A.a
B.12a
C.32
a D.3a
解析：选C.设折叠后点A 到A 1的位置，取BD 的中点E ，连结A 1E ，CE .则BD ⊥CE ，BD ⊥A 1E .
于是∠A 1EC 为二面角A 1­BD ­C 的平面角.故∠A 1EC ＝60°. 因为A 1E ＝CE ，
所以△A 1EC 是等边三角形. 所以A 1E ＝CE ＝A 1C ＝
32
a . 6.若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β； ②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③l ∥α，l ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的序号为 . ★★答案★★：②③
7.平面四边形ABCD ，其中AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，AB ⊥AD ，沿BD 将△ABD 折起，使得AC ＝1，则二面角A BD
C 的平面角的
正弦值为 .
解析：取BD 中点E ，连结AE ，CE .
因为AB ＝AD ，BC ＝CD ，所以AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，所以∠AEC 为二面角A
BD
C 的平面角.
△DAB 中，AB ＝AD ＝1，AB ⊥AD ，所以AE ＝
22
. △BCD 中，BC ＝CD ＝2，BD ＝2，所以CE ＝6
2.又AC ＝1， 所以△AEC 中，AE 2＋AC 2＝CE 2，∠EAC ＝90°. 所以sin ∠AEC ＝AC EC ＝26＝6
3.
★★答案★★：
63
8.在三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正
三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为.
解析：如图，连结CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时
CM有最小值，此时有CM＝4×
3
2＝23，所以PM的最小值为27.
★★答案★★：27
9.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，
E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：连结AC交BD于点F，连结EF，
所以EF是△SAC的中位线，所以EF∥SC.
因为SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.
又EF⊂平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.
[B能力提升]
1.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平
面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（）
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆，但要去掉两个点
解析：选D.因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.
所以∠ACB＝90°.
所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
2.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB
与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是.
解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，
连结CD、BD.
由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，
∠ABD即为AB与平面β所成的角.
设AC＝a，则AB＝2a，AD＝
3
2a ，
所以sin∠ABD＝
3
2a
2a＝
3
4.
★★答案★★：
3 4
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE
将△ADE折起.
（1）如果二面角A DE C是直二面角，求证：AB＝AC；
（2）如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.
证明：（1）过点A作AM⊥DE于点M，
则AM⊥平面BCDE，所以AM⊥BC.又AD＝AE，所以M是
DE的中点，取BC中点N，连结MN，AN，则MN⊥BC.
又AM⊥BC，AM∩MN＝M，
所以BC⊥平面AMN，所以AN⊥BC.
又因为N是BC的中点，所以AB＝AC.
（2）取BC的中点N，连结AN，
因为AB＝AC，所以AN⊥BC.
取DE的中点M，连结MN，AM，
所以MN⊥BC.
又AN∩MN＝N，
所以BC⊥平面AMN，所以AM⊥BC.
又M是DE的中点，AD＝AE，所以AM⊥DE.
又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线，
所以AM⊥平面BCDE.
因为AM⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCDE.
4.（选做题）如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长
为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于
底面ABCD.
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
解：（1）证明：如图所示，设G为AD的中点，连结PG，BG，因
为△P AD为正三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，因为∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.
（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
设F为PC的中点，则在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE.
因为FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由（1）得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.。