课件3：1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定

题的否定与原命题真假性相反.
二、存在量词命题的否定
[知识梳理]
1.存在量词命题的否定
一般地,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在
一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“ 不存在一个 ”“ 没有一个 ”
等短语即可.
2.符号语言
存在量词命题:∃x∈M, p(x), ∀x∈M,﹁p(x)
【思考】
对存在量词命题的否定是否只否定结论?
提示:不是,不但要否定结论,还要将存在量词改为全称量词.
探索点一 全称量词命题和存在量词命题的否定
【例 1】下列含有一个量词的命题的否定正确的是 (
)
A.∀x∈R,x2≠x 的否定是∃x∈R,x2=x
B.∀x∈R,x2≠x 的否定是∀x∉R,x2≠x
C.∃x∈R,x2+x+1<0 的否定是∀x∈R,x2+x+1≥0
成的角相等的直线不平行”,是真命题.
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”,因此,命题的否定是“所有实数
的绝对值都不是正数”,是假命题.
探索点二
含有量词的命题的应用
【例 2】已知命题 p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0 为真命题,求实数 a 的取值范围.
解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,
(1)改变量词:把全称量词改变为恰当的存在量词;把存在量词改变为恰
当的全称量词.
(2)否定性质:原命题中的“是”“成立”等改变为“不是”“不成立”.
易错提醒:对全称量词命题和存在量词命题进行否定时,要改变量词和元素
具有的性质.
【跟踪训练】
1.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)每一个无限不循环小数都是无理数;
3.已知命题 p:∀x∈R,ax2+2x+3≠0.如果命题 p 的否定是真命题,那么 a 的范围是
(
)
1
A. | < 3
1
B. |0 < ≤ 3
1
C. | ≤ 3
1
D. | ≥ 3
1
2
解析:p的否定为:∃x∈R,使ax +2x+3=0.因此当a≠0时,Δ=4-12a≥0,解得a≤ .
解析:这一命题可以表述为“对所有的实数m,关于x的方程x2+x+m=0都有实
数根”,其否定为“存在实数m,使得关于x的方程x2+x+m=0没有实数根”,为真
1
命题,所以由Δ=1-4m<0,得m> ,此时一元二次方程没有实数根,故m的取值范
4
1
4
围为m> .
课堂建构

1.2.2
全称量词命题与存在量词命题的否定
[学习目标]
1.通过探究数学中的实例,归纳总结出全称量词命题与存在量词
命题和它们的否定在形式上的变化规律,提高归纳概括能力.
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在
量词命题进行否定.
一、全称量词命题的否定
[知识梳理]
1.全称量词命题的否定
所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即实数a的取值范围为a≥1.
方法规律
若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题(其
为真命题)来解决.同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式
——全称量词命题(其为真命题)来解决.
【跟踪训练】
2.若本例中的“真命题”改为“假命题”,则实数 a 的取值范围是 a<1 .
3
当a=0时,ax2+2x+3=2x+3=0,此时方程有解.
综上所述,a的取值范围是 | ≤
1
3
. 答案:C
3.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 (
)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数 x,使 x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
1

D.存在一个负数 x,使 >2
解析:A项中,命题是全称量词命题,且是一个假命题;B项中,
一般地,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需
把“所有的”“任意一个”等全称量词,变成“
并非所有的
“并非任意一个”等短语即可.
2.符号语言
全称量词命题:∀x∈M,p(x), ∃x∈M, ﹁p(x)
”
【思考】
对命题进行否定的含义是什么?原命题与原命题的否定的真
假性有什么关系?
提示:原命题的否定就是对原命题的结论进行否定.原命
D.∃x∈R,x2+x+1<0 的否定是∀x∉R,x2+x+1≥0
解析:全称量词命题的否定为存在量词命题, 所以∀x∈R,x2≠x的否定
是∃x∈R,x2=x;存在量词命题的否定为全称量词命题,
所以∃x∈R,x2+x+1<0的否定是∀x∈R,x2+x+1≥0.
答案:AC
方法规律
对全称量词命题和存在量词命题否定的两个步骤
当x=0时,x2=0,所以命题既是存在量词命题又是真命题;C项中,
因为 3+(- 3)=0,所以C项是假命题;D项中,对于任意一个负数x,
1

都有 <0,所以D项是假命题. 答案:B
4.若命题“对任意实数 m,关于 x 的方程 x2+x+m=0 必有实数根”为假命题,则实
1
数 m 的取值范围是 m>4 .
(2)与同一直线所成的角相等的两条直线平行;
(3)有些实数的绝对值正数.
解: (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”,因此,命题的否定是
“存在一个无限不循环小数不是无理数”,是假命题.
(2)原命题是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意两条与同一
直线所成的角相等的直线平行”,命题的否定是“存在两条与同一直线所