湖南省攸县一中高中数学必修二 高中数学学业水平测试

V
R 3
4
3
必 修 二
柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征
√
简单空间图形的三视图的画法及三视图的识别
√ 斜二测法画空间图形的直观图
√
应用平行投影与中心投影画空间图形的视图与直观图
√
球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式
√
空间点、线、面的位置关系的四个公理和一个定理
√
直线与平面、平面与平面的平行或垂直的判定和性质
√ 空间角的概念和简单计算
√
运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题
√ 直线的倾斜角及斜率的概念 √ 过两点的直线的斜率的计算公式 √ 利用斜率判断直线的平行与垂直
√
直线方程的三种形式：点斜式、两点式和一般式
√ 关注探究过程
两直线交点坐标的求法
√
两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离 √
圆的标准方程和一般方程
√
直线与圆以及圆与圆的位置关系 √ 关注学科内综合 直线和圆的方程的简单应用 √ 关注实践应用
坐标法
√ 空间直角坐标系的概念
√ 用空间直角坐标系刻画点的位置 √ 空间两点间的距离公式 √
二、《必修二》必背知识点 （一）、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长2
222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=
2、球的体积公式：
球的表面积公式：2
4　R
S π=
3、柱体h s V ⋅=，锥体 4.点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
V
s h 1
3
（1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（3）空间线线，线面，面面的位置关系： 空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线。

直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a
A α=，//a α。

线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

推理模式：//,,//a a b a b αβα
β⊂=⇒．
两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a
b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒
（2）两个平面平行的性质A.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；B.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2）垂直： 1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

2．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

（二）、直线和圆的方程
1、斜 率：αtan =k ，),(+∞-∞∈k ；直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，则斜率为
2、直线方程：（1）、点斜式：)(11x x k y y -=-；（2）、斜截式：b kx y +=； （3）、一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0） 斜率y 轴截
距
3、两直线的位置关系
（1）、平行：212121//b b k k l l ≠=⇔且 ； 时 ，21//l l ；
垂直： ； （2）夹角范围：()π,0 夹角公式 ： ；21k k 、都存在，
夹角范围： 夹角公式： 21k k 、都存在， （3）、点到直线的距离公式（直线方程必须化为一般式） 4、圆的方程：
（1）圆的标准方程 2
2
2
)(
)(r b y a x =-+-，圆心为),(b a C ，半径为r
2121
y y k x x -=
-A
k B
=-C B
-
2
1
21tan 1k k k k θ-=+2121
tan 1k k k k α-=+(0,]
2
πd =
1212
1k k l l ⋅=-⇔⊥121212
0A A B B l l +=⇒⊥111
222A B C
A B C =≠1210k k +≠1210k k +≠
（2）圆的一般方程02
2=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D 表示圆。

三、学业水平考试模块复习卷（必修②）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的.
A. 2倍
B.
C. 倍
D. 12
倍 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.
Ａ. ｙ＝－ｘ＋２ Ｂ. ｙ＝－ｘ－２ Ｃ. ｙ＝ｘ＋２ Ｄ. ｙ＝ｘ－２
3．设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是.
A ．（－3，－3，0）
B ．（0，0，－3）
C ．（0，－3，－3）
D ．（0，0，3） 4．将直线:210l x y +-=向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线l '，则直线l l '与之间的距离为.
A
B
C ．15
D ．75
5．已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2，则它的体积是
A ． 5
B ．6
C ．5
D ．6
6．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方
形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
A ．3
π
2
B ．2π
C ．3π
D ．4π
7．已知圆4)1(22=+-y x 内一点P （2，1），则过P 点最短弦所在的直线方程是 （ ） A ．01=+-y x B ．03=-+y x C ．03=++y x D ．2=x 8．两圆（x ―2）2+(y+1)2 = 4与(x+2)2+(y ―2)2 =16的公切线有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．4条
D ．3条 9．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是（ ） A.若//l m ，//m n ，则//l n . B.若l α⊥，//n α，则l n ⊥.
C.若//l α，//n α，则//l n .
D.若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.
10．设P 是△ABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则P 在平面α内的射影
是△ABC 的（ ） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．c b a ,,是三直线，α是平面，若,,,c a c b a b αα⊥⊥⊂⊂，且 ，则有α⊥c .
（填上一个条件即可）
12．在圆 224x y +=上，与直线4x +3y －12=0的距离最小的点的坐标 . 13．在空间直角坐标系下，点),,(z y x P 满足1222=++z y x ，则动点P 表示的空间几何体的
表面积是 。

14．已知曲线02)2(222
2=+-+-+y a ax y x ，（其中R a ∈），当1=a 时，曲线表示
的轨迹是 。

当R a ∈，且1≠a 时，上述曲线系恒过定点 。

15．经过圆2
2
20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．求过直线17810l x y --=：和221790l x y ++=：的交点，且垂直于直线270x y -+=的直
线方程.
17．直线l 经过点(5,5)P ，且和圆C ：2225x y +=相交，截得弦长为45，求l 的方程.
18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，
E 是P C 的中点，作E
F ⊥PB 交PB 于点F ．
（1）证明 PA //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；
（3）求二面角C-PB-D 的大小．
19．已知线段AB 的端点B 的坐标为 (1，3)，端点A 在圆C:4)1(2
2=++y x 上运动。

（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；
（2）过B 点的直线L 与圆C 有两个交点A ，B 。

当OA ⊥OB 时，求L 的斜率。

20．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．
A B C D
P
E
F
四、(必修2)参考答案 一、选择题：BABBB,ABBCD 二、填空题：
11. A b a = ; 12. 86
55
（，）;13．4π ; 14．一个点；()1,1;15. 10x y -+= 三、解答题：
16．解：由方程组217907810x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1127
13
27x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以交点坐标为11132727--（，）
. 又因为直线斜率为1
2
k =-， 所以求得直线方程为27x +54y +37=0.
17．解：如图易知直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为5(5)y k x -=-.
圆C ：2225x y +=的圆心为（0，0）, 半径r =5，圆心到直线l
的距离d =.
在Rt AOC ∆中，222d AC OA +=，
22
2
(55)251k k -+=+.
2
2520k k ⇒-+=， ∴ 2k =或1
2
k =.
l 的方程为250x y --=或250x y -+=
18．解：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ．
∵ 底面ABCD 是正方形，∴ 点O 是AC 的中点． 在△PAC 中，EO 是中位线，∴ PA //EO ． 而EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，所以，PA //平面EDB ． （2）证明：∵ PD ⊥底面ABCD ，且DC ⊂底面ABCD ，∴ PD ⊥DC . ∵ 底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC , ∴ BC ⊥平面PDC ． 而DE ⊂平面PDC ，∴ BC ⊥DE .
又∵PD =DC ，E 是P C 的中点，∴ DE ⊥PC .∴ DE ⊥平面PBC ．
而PB ⊂平面PBC ，∴ DE ⊥PB ．
又EF ⊥PB ，且DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD ．
（3）解：由（2）)知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角 由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB .
设正方形ABCD 的边长为a
，则,,PD DC a BD ==
1,,.22
PB PC DE PC ===
= 在Rt PDB ∆
中，.PD BD DF PB =
==． 在Rt EFD ∆
中，sin 60DE EFD EFD DF ===∴∠=︒.
所以，二面角C-PB-D 的大小为60°.
19．解：（1）设()()11,,,A x y M x y ，由中点公式得11
111
212
3232
x x x x y y y y
+⎧=⎪=-⎧⎪⇔⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩ 因为A 在圆C 上，所以()()2
2
2
232234,12x y x y ⎛
⎫+-=+-= ⎪⎝
⎭即
点M 的轨迹是以30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为圆心，1为半径的圆。

（2）设L 的斜率为k ，则L 的方程为()31y k x -=-即30kx y k --+=
因为CA ⊥CD ，△CAD 为等腰直角三角形， 圆心C （-1，0）到L 的距离为
22
1=CD
由点到直线的距离公式得
222324129221
k k k k k k --+=∴-+=++
2112127032
k k k ∴-+==±
解得 20．（Ⅰ）证明：在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得
222PD AD PA =+于是PA AD ⊥.在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA = ， 所以⊥AD 平面PAB ．
（Ⅱ）解：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角. 在PAB ∆中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，⊂PB 平面PAB ，
所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ∆是直角三角形，故2
7
tan ==BC PB PCB ． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为2
7
arctan
． （Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE
因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ， 因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。

由题设可得，
13
4
,13,2,
160cos ,360sin 22=⋅=
=+==-==⋅==⋅=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH 于是再PHE RT ∆中，4
39tan =PEH 所以二面角A BD P --的大小为4
39
arctan
． 7
cos 222=⋅⋅-+=PAB AB PA AB PA PB。