四川省木里县中学高三数学总复习-动点轨迹问题-新人教A版

动点轨迹问题
一．专题内容：
求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： 〔1〕等量．．关系法．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关根本公式很熟悉． 〔2〕定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种曲线〔如圆锥曲线〕的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．
〔3〕转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，那么将00, x y 代入曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．
〔4〕参数法．．．：选取适当的参数〔如直线斜率k 等〕，分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． 〔5〕交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可〔有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系〕． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练
〔一〕选择、填空题
1．〔 〕1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，那么动点M 的轨迹是 〔A 〕椭圆 〔B 〕直线 〔C 〕圆 〔D 〕线段
2．〔 〕设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，那么MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是
〔A 〕
22125169x y +=〔0x ≠〕 〔B 〕22
1144169x y +=〔0x ≠〕 〔C 〕
22116925x y +=〔0y ≠〕 〔D 〕22
1169144
x y +=〔0y ≠〕 3．与圆2
2
40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线
22
1169
x y -=上运动，那么12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；
5．圆C ：22
(3)16x y ++=内一点(3, 0)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
分线交CQ 于P 点，那么P 点的轨迹方程为 ．2
214
x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，那么顶
点C 的轨迹方程是 ；
22
1916
x y -=〔3x >〕 变式：假设点P 为双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，那么△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；
推广：假设点P 为椭圆22
1259
x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，那么圆心M 的轨迹是 ；
7．动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，那么点M 的轨迹方程是 ．2
12y x =
8．抛物线2
2y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
4
k
x =〔28k y >〕
9．过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，
设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，
2
(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222
(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，那么有
21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨
⎪=-=⎪⎩
消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为2
2(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
由2
112224,4.
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1
PQ MF y
k k x ==-，
所以，21
y
y x ⋅
=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为2
2(1)y x =-．
10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 2
2y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 那么点M 的轨迹方程为_________．44y x =-
〔二〕解答题
1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆2
2(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． 〔定义法〕
2．过椭圆
22
1369
x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．
〔直接法、定义法；突出转化思想〕
F
1
A 2
A x
y
P
E O
3．1A 、2A 是椭圆22
221x y a b
+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，
求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．〔交轨法〕
4．点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足
||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．
〔1〕求点C 的轨迹方程；〔2〕假设斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．
解：〔1〕设(,)C x y ，那么由重心坐标公式可得(,)33
x y
G ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3
x M ．
∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴
222
()1()33x x x y +=-+，即 2213
x y +=． 故点C 的轨迹方程为2
213
x y +=〔1y ≠±〕．〔直接法〕 〔2〕设直线l 的方程为y kx b =+〔1b ≠±〕，11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22
,
3 3.
y kx b x y =+⎧⎨
+=⎩消y ，得222
(13)63(1)0k x kbx b +++-=．
∴ 22
2
2
3612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22
130k b +->． ①
又122
613kb
x x k
+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 22
3(,)1313kb b
N k k -
++．
∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1AN
k k =-，即 22
11
13313b
k kb k k ++=--
+，
∴ 2132k b +=，又由①式可得 2
20b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．
∴ 20134k <+<且2
132k +≠，解得11k -<<且33
k ≠±
． 故k 的取值范围是11k -<<且33
k ≠±．
5．平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． 〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔直接法〕
〔Ⅱ〕假设A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．
解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,
48MP MN y ⋅=+．
224(2)PN MN x y ⋅=+-，……………………………………………3分
∵MP MN PN MN ⋅=⋅， ∴48y +22
4(2)x y =+-． 整理，得 2
8x y =．
即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为2
8x y =．
6．O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =〔1m >〕，
0MN AF =⋅，1
()2
ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．
解：∵0MN AF ⋅=，1
()2
ON OA OF =+，
∴ MN 垂直平分AF ．
又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，
∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，
∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 2
2
2
2
1b a c m =-=-．
∴ 点M 的轨迹W 的方程为22
2211
x y m m +=-〔1m >〕．
7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，假设向量
(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．
〔1〕求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；〔定义法〕
〔2〕过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，试说明理由．
解：〔1
〕
22
11216
x y +=； 〔2〕因为l 过y 轴上的点(0,3)．假设直线l 是y 轴，那么,A B 两点是椭圆的顶点．
0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．
由223,1,1216
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=
此时
22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-
+，122
21
43x x k
=-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．
假设存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，那么OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．
1122(,),(,)OA x y OB x y ==，
∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．
即2
1212(1)3()90k x x k x x ++++=．
222
2118(1)()3()4343k k k k k +⋅-
+⋅-++ 90
+=．2
516k =，得54k =±． 故存在直线l ：5
3y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形．
8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． 〔I 〕建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；
〔II 〕假设经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34
πθπ≤<
时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．
解：〔1〕以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，
那么(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．
∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2
x M ． ∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02
x x y -⨯+-⨯-=， 即所求点P 的轨迹方程为2
4x y =． 〔2〕设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠
设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y
由⎩⎨⎧=+=y
x kx y 432…………6分 01242=--kx x 得
1242121-==+∴x x k
x x …………7分 9)4
(442212
22121==⋅=∴x
x x x y y
646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分
)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA
8
41649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x
)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(2
22121+=+++=+++=k k y y y y
4216484|
|||cos 2
222++-=+--=⋅⋅=∴k k k k FB FA FB
FA θ…………10分 由于
πθπ
<≤43 224
2122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 22224
2222≥∴≥
++∴k k k
解得4488-≤≥k k 或…………13分
∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或
9．如下图，定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． 〔1〕求动点N 的轨迹方程；
〔2〕直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，假设4OA OB ⋅=-，且6||430AB ≤≤求直线l 的斜率k 的取值范围．
解：〔1〕设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，
(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2
y
PF =-，
又0PM PF ⋅=，∴2
04y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =．
〔2〕
10．点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，
0MN MP +=．
x
y
o
M
N
P
F
〔1〕求P 点轨迹E 的方程；
〔2〕将〔1〕中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆
22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．
解：〔1〕设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，那么(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、
(, )MP x a y =-．
由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,
, ,
2
a b x
a b y ⎧+=⎪
⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为2
14
y x =． 〔2〕
11．如图(,3)A m m 和(,3)B n n -两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12
OA OB ⋅=-
， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．
〔1〕求m n ⋅的值； 〔2〕求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？ 〔3〕假设直线l 过点(2, 0)E 交〔2〕中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程．
解：〔1〕由得1(3)(,3)22
OA OB m m n n mn ⋅=⋅=-=-，
∴ 1
4
mn =
． 〔2〕设P 点坐标为(,)x y 〔0x >〕，由OP OA OB =+得 (,)(3)(,3)x y m m n n =+(3())m n m n =+-，
∴,3()
x m n y m n =+⎧⎪⎨
=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2
2
43y x mn -=，
O
A
P
B
x
y
又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3
y x x -=>．
它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2
2
13
y x -=的
右支．
〔3〕设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得
2
2
3(2)3ty y +-= 即 2
2
(31)1290t y ty -++=，
易知2
(31)0t -≠〔否那么，直线l 的斜率为3±，它与渐近线平行，不符合题意〕
又2
2
2
14436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，
设1122(,),(,)M x y N x y ，那么1212
22129,31
31
t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧
2
12121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++
2
2
22291234240313131
t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2
310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103
t <<，
由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 1212
23(2)
3x x y y -=-⎧⎨
-=⎩
由122222
123231
t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，
由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得2
22331
y t =--，
消去2y 得
2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！
解之得：2115
t = ，满足2
103
t <<．
故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-=．
12．设A ，B 分别是直线255y x =
和25
5
y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． 〔I 〕 求轨迹C 的方程；
〔II 〕假设点D 的坐标为〔0，16〕，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实
数λ的取值范围．
解：〔I 〕设(,)P x y ，因为A 、B 分别为直线255y x =
和25
5
y x =-上的点，故可设 1125(,
)5A x x ，2225
(,)5
B x x -． ∵OP OA OB =+， ∴1212,25()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
． ∴1212,
52x x x x x y +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩．
又20AB =
， ∴2212124
()()205
x x x x -++=．
∴22
542045
y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． 〔II 〕 设N 〔s ，t 〕，M 〔x ，y 〕，那么由DN DM λ=，可得〔x ，y-16〕=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．
∵ M、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25
s 1,16
t 25s 2
222
2λλλ
消去s 得
116
)1616t (16)
t 16(2
22=+-+-λλλ．
由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 1715
2t λλ
-=． 又 4t ≤， ∴
421517≤-λλ． 解得 3
5
53≤≤λ〔1≠λ〕．
故实数λ的取值范围是3
5
53≤≤λ〔1≠λ〕．
13．设双曲线22
213
y x a -
=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． 〔1〕求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；〔3
y x =〕 〔2〕假设A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹
方程，并说明是什么曲线．〔
22
317525
x y +=〕 提示：()2
21212||10()10AB x x y y =⇒
-+-=，又113
3
y x =-
，2233y x =， 那么12213()3y y x x +=
-，21123
()3
y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．
〔3〕过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由．〔不存在〕
14．点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的
距离为d ，2||PF =
，且23
32
d ≤≤． 〔1〕求动点P 的轨迹方程； 〔2〕假设1
3
PF OF ⋅=
，求向量OP 与OF 的夹角； 〔3〕如下图，假设点G 满足2GF FC =，点M 满足
3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求
△PGF 的面积．
15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆2
2
:2C ax y +=〔1a >〕交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 〔O 为坐标原点〕． l
x
y
C
G
F
O
P
M
〔1〕假设1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；〔3a =〕
〔2〕假设2a =，当k 变化时〔k R ∈〕，求点P 的轨迹方程．〔2
2
220x y y +-=〔0y ≠〕〕
16．双曲线C ：22
221x y a b
-=〔0a >，0b >〕的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且
22224
||||||||3
OA OB OA OB +=
⋅．
〔1〕求双曲线C 的方程； 〔2〕假设双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：〔I 〕依题意有：
22
22222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪
⎪+=⎨
⎪
⎪+=⎪⎩
解得：.2,3,1==
=c b a
所求双曲线的方程为.13
2
2
=-y x ………………………………………6分
〔Ⅱ〕当k=0时，显然不存在．………………………………………7分
当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN，直线MN 的方程为
1
y x b k
=-+．那么M 、N 两点的坐标满足方程组
由221y x b,k
3x y 3.⎧
=-+⎪⎨⎪-=⎩
消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分
显然2
3k 10-≠，
∴2222
(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．
即222
k b 3k 10+->． ① 设线段MN 中点D 〔00x ,y 〕
那么022
02
kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧
=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
∵D〔00x ,y 〕在直线l 上，
∴222
23k b k b
43k 13k 1
-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 2
2
2
k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．
∴223k 10k ->或22
3k 1
<-1k
-．
即k >
或1
k 2
<，且k≠0． ∴k
的取值范围是113
(,(,0)(0,)(,)223
-∞-+∞．…………………14分
17．向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2
)，其中O 为坐标原点，K 为参数.
〔Ⅰ〕求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；
〔Ⅱ〕如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤2
2
，求实数K 的取值范围.
18．过抛物线2
4y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，
假设0AB CD ⋅=，1
()2
OM OA OB =+，1
()2
ON OC OD =+．
〔1〕求证：直线MN 过定点；〔2〕记〔1〕中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； 〔3〕分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．
19．〔05年江西〕如图，M 是抛物线上2
y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．
〔1〕假设M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； 〔2〕假设M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．
思路分析：〔1〕由直线MF 〔或ME 〕方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；〔2〕用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出
G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程〔参数法〕.
解：〔1〕法一：设2
00(,)M y y ，直线ME 的斜率为k 〔0k >〕，
那么直线MF 的斜率为k -，方程为2
00()y y k x y -=-．
∴由2
002()y y k x y y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得2
00(1)0ky y y ky -+-=，
解得0
1F ky y k
-=，∴ 202(1)F ky x k -=，
x
y
O
A
B
E
F M
∴00220000
222
112
14(1)(1)2E F EF E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-
--===
=---+--
(定值)． 所以直线EF 的斜率为定值．
法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，
由2002
11
,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．
∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即
0102
11
y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．
所以，121222
1212120
11
2EF y y y y k x x y y y y y --=
===---+〔定值〕． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，那么直线EF 的斜率为定值；根据不
同的倾斜角，可得出一组平行弦．
〔2〕90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为2
00()y y k x y -=-
由2
002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --
同理可得2
00((1),(1)).F y y +-+
设重心G 〔x , y 〕，那么有2222
00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨
+--+++⎪===-⎪⎩
消去参数0y 得2122()9273
y x x =
->． 点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解〞,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.
20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的局部向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．
〔1〕建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；
〔2〕假设曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。