(全国通用)2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
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第八章 立体几何与空间向量
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线的上三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过 该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
解析 A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；
B中，m与n也有可能平行，B错误；
C中，根据线面平行的性质可知C正确；
D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.
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解析 答案
5.(2017·湖北七市联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正 确的是 A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
【知识拓展】
1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
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解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
师生共研
典例 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的 中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；
证明 如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面.
∴cos∠A1BC1＝2×t2＋t12＋ ＋t12×＋1－t2＋2 1＝190. ∴t＝3，即AAAB1＝3.
解答
思维升华
用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它 就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
解析 答案
思想方法 构造模型判断空间线面位置关系 典例 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列 四个命题： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是__①__④____.(填序号)
证明
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 证明 ∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC. 同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.
证明
题型二 判断空间两直线的位置关系
解析 答案
思维升华
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对 于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 (梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对 于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
跟踪训练 (1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β
师生共研
典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α 与平面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析 答案
(2)(2017·唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所 在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_②__④__.(填上所有 正确答案的序号)
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
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解析 答案
3.[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC， CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C_＝__B__D_时，四边形EFGH为菱形； 解析 ∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，故AC＝BD. (2)当AC，BD满足条件_A_C_＝__B__D_且__A_C_⊥__B__D_时，四边形EFGH为正方形. 解析 ∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綊12AC，EH 綊12BD，∴AC＝BD 且 AC⊥BD.
解析 答案
3.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真 命题是 A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
√C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
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解析 答案
题组三 易错自纠
4.(2017·湖南省湘中名校联考)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不
同的平面，则下列判断正确的是
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
√C.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D.若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
跟踪训练 (2018·沈阳质检)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面；
证明 ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD. ∵在△BCD 中，GBGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面.
解析 选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.
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解析 答案
2.(2018·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的
中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线
A.不存在
B.有且只有两条
证明
思维升华
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将 所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其 他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再 证其他直线经过该点.
3.直线与平面的位置关系有_直__线__在__平__面__内__、_直__线__与__平__面__相__交__、_直__线__与_ _平__面__平__行__三种情况. 4.平面与平面的位置关系有_平__行__、_相__交__两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的_两__边__分__别__对__应__平__行__，那么这两个角相等或互补.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记 作α∩β＝a.( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( × ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( × ) (6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面,且a⊂α，b⊂β,则a,b是异面直线.( × )
C.有且只有三条
D.√有无数条
解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与
BC有且仅有1个交点N，
当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不
同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点 P，M，N，
如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交.
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①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，
则a⊥c.
其中正确的个数为
A.0
√B.1
C.2 D.3
解析 在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还
可能异面，所以①②错，③显然成立.
解析 答案
题型三 求异面直线所成的角
师生共研
典例 (2018·南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
思想方法指导 解析 答案
课时作业
基础保分练
1.在下列命题中，不是公理的是
√A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在
此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线
内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故
选A.
解析 答案
(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦 值为
1
2
A.5
B.5
C.35
√D.45
解析 答案
引申探究
将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线 A1B 与 AD1 所
成角的余弦值为190”，试求AAAB1的值. 解 设AAAB1＝t，则 AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t. ∵A1C1＝ 2，A1(2)CE，D1F，DA三线共点. 证明 ∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
跟 踪 训 练 (2017·佛 山 模 拟 ) 如 图 所 示 ， 在 正 三 棱 柱 ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝ 2 ∶1， 则异面直线AB1与BD所成的角为_6_0_°__.
解析 取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE， 在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角. 设 AB＝1，则 A1A＝ 2，AB1＝ 3，B1E＝ 23， 故∠AB1E＝60°.
√B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
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解析 答案
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF， GH在原正方体中互为异面的对数为__3____. 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位 置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直 线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF 平行.故互为异面的直线有且只有3对.
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线相平____交行____直直线线
异面直线：不同在任__何__一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，把a′与b′所成的_锐__角__(_或__直__角__) 叫做异面直线a与b所成的 角(或夹角). ②范围：__0_，__π2_ _.
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题组二 教材改编
2.[P52B 组 T1(2)] 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD—
A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异
面直线B1C与EF所成角的大小为
A.30°
B.45°
√C.60°
D.90°
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线的上三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过 该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
解析 A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；
B中，m与n也有可能平行，B错误；
C中，根据线面平行的性质可知C正确；
D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.
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解析 答案
5.(2017·湖北七市联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正 确的是 A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
【知识拓展】
1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
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解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
师生共研
典例 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的 中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；
证明 如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面.
∴cos∠A1BC1＝2×t2＋t12＋ ＋t12×＋1－t2＋2 1＝190. ∴t＝3，即AAAB1＝3.
解答
思维升华
用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它 就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
解析 答案
思想方法 构造模型判断空间线面位置关系 典例 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列 四个命题： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是__①__④____.(填序号)
证明
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 证明 ∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC. 同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.
证明
题型二 判断空间两直线的位置关系
解析 答案
思维升华
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对 于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 (梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对 于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
跟踪训练 (1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β
师生共研
典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α 与平面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析 答案
(2)(2017·唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所 在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_②__④__.(填上所有 正确答案的序号)
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
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3.[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC， CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C_＝__B__D_时，四边形EFGH为菱形； 解析 ∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，故AC＝BD. (2)当AC，BD满足条件_A_C_＝__B__D_且__A_C_⊥__B__D_时，四边形EFGH为正方形. 解析 ∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綊12AC，EH 綊12BD，∴AC＝BD 且 AC⊥BD.
解析 答案
3.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真 命题是 A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
√C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
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题组三 易错自纠
4.(2017·湖南省湘中名校联考)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不
同的平面，则下列判断正确的是
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
√C.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D.若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
跟踪训练 (2018·沈阳质检)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面；
证明 ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD. ∵在△BCD 中，GBGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面.
解析 选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.
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2.(2018·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的
中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线
A.不存在
B.有且只有两条
证明
思维升华
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将 所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其 他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再 证其他直线经过该点.
3.直线与平面的位置关系有_直__线__在__平__面__内__、_直__线__与__平__面__相__交__、_直__线__与_ _平__面__平__行__三种情况. 4.平面与平面的位置关系有_平__行__、_相__交__两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的_两__边__分__别__对__应__平__行__，那么这两个角相等或互补.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记 作α∩β＝a.( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( × ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( × ) (6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面,且a⊂α，b⊂β,则a,b是异面直线.( × )
C.有且只有三条
D.√有无数条
解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与
BC有且仅有1个交点N，
当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不
同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点 P，M，N，
如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交.
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①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，
则a⊥c.
其中正确的个数为
A.0
√B.1
C.2 D.3
解析 在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还
可能异面，所以①②错，③显然成立.
解析 答案
题型三 求异面直线所成的角
师生共研
典例 (2018·南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
思想方法指导 解析 答案
课时作业
基础保分练
1.在下列命题中，不是公理的是
√A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在
此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线
内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故
选A.
解析 答案
(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦 值为
1
2
A.5
B.5
C.35
√D.45
解析 答案
引申探究
将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线 A1B 与 AD1 所
成角的余弦值为190”，试求AAAB1的值. 解 设AAAB1＝t，则 AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t. ∵A1C1＝ 2，A1(2)CE，D1F，DA三线共点. 证明 ∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
跟 踪 训 练 (2017·佛 山 模 拟 ) 如 图 所 示 ， 在 正 三 棱 柱 ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝ 2 ∶1， 则异面直线AB1与BD所成的角为_6_0_°__.
解析 取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE， 在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角. 设 AB＝1，则 A1A＝ 2，AB1＝ 3，B1E＝ 23， 故∠AB1E＝60°.
√B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
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解析 答案
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF， GH在原正方体中互为异面的对数为__3____. 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位 置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直 线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF 平行.故互为异面的直线有且只有3对.
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线相平____交行____直直线线
异面直线：不同在任__何__一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，把a′与b′所成的_锐__角__(_或__直__角__) 叫做异面直线a与b所成的 角(或夹角). ②范围：__0_，__π2_ _.
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题组二 教材改编
2.[P52B 组 T1(2)] 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD—
A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异
面直线B1C与EF所成角的大小为
A.30°
B.45°
√C.60°
D.90°
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.