重庆一中 高一下期半期考试(数学)
2024届重庆市重庆市第一中学校数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析
2024届重庆市重庆市第一中学校数学高一下期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（ ）A ．25B ．12C ．37D ．382．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，则22ac bc > C ．若a ＞b ＞0，则（a ﹣b ）c ＞0D ．若a ＞b ，则a ﹣c ＞b ﹣c3．已知圆锥的表面积为29cm π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 A ．322cm B ．32cm C ．3cm D ．23cm （）4．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω和ϕ分别是（ ）A ．=2,=3πωϕB ．=1=6πωϕ，C ．=2=6πωϕ，D ．=1=3πωϕ，5．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( )A ．B ．3C D ．6．关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是( ) A ．()(),13,-∞-+∞ B ．()1,3C ．()1,3-D ．()(),13,-∞⋃+∞7cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈ B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈8．把直线y x =绕原点逆时针转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角度（）． A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π9．若函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动6π个单位长度得函数()y g x =的图象，则函数1()3y g x =-在区间[2,4]ππ-内的所有零点之和为（）A ．52π B ．72π C ．3πD ．4π10．为了得到函数sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象（ ） A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移2π个单位长度 D ．向左平移2π个单位长度 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
重庆一中 高一下学期期中考试数学试题
重庆一中 高一下期半期考试数 学 试 题 卷一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.已知等差数列}{n a 满足682=+a a ，则=5a （ ）A.3B.6C. 8D. 12 2.已知向量)3,(),1,2(x b a =-=，若⊥，则实数x 的值是（ ）A. 6B. 6-C.23 D. 23- 3.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+01042y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A.2B. 27C. 7D.8 4.若1->x ，则14++x x 的最小值是（ ） A.4 B.3 C.2 D.15.（原创）在圆O 内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是（ ）A. π2B. π1C. 4πD. 5π6.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图所示，其中}3,2,1,0{,∈y x ，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多59，则y x +的值为（ ）A.5B.4C.3D.17.（原创）b a ,为非零实数，已知0>ab 且b a >，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A. a b b 2> B. 2ln )ln(>+b a a b C. ba 11)21()21(> D. 11++<a b a b8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出20152014=s ，则判断框内应填入的条件是（ ）甲组乙组9 6 0 7 8 3 3 x 1 1 y 3（第6题图）80 90 100 110 120 130 0.0300.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm （第12题图）A. 2015<nB. 2015≤nC. 2014<nD. 2013<n9.（原创）已知ABC ∆的三个内角,,A BC 满足B A C 2sin 220142cos 2cos 2015-=-，则=⋅+⋅B A B A C tan tan )tan (tantan （ ）A. 22015B. 20152C. 20141D. 1007110.（原创）已知平面向量βα,满足32=-，且βα+与βα2-的夹角为 150，则)()(R t t ∈-+βα的最小值是（ ）. A.43 B. 33 C. 23 D. 3 二．填空题.(本大题共5 小题，共25分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的T 的值为 ；12.对大量底部周长]130,80[∈（单位：cm ）的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的200株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm ；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟；若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知+∈R y x ,且32=+y x ，若不等式a y x xy ⋅+≤)2(对任意+∈R y x ,恒成立，则实数a 的取值范围是 ；15.（原创）已知*,12N n n a n ∈-=，将数列}{n a 的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一（第11题图）1 7,5,3 9,11,13,15,17 31,29,27,25,23,21,19 33,35,37,39,41,43,45,47,49 ……………………………………ABCDNM个金字塔状的三角形数阵，其中第m 行有12-m 个项，记第m 行从左到右．．．．的第k 个数为),,121(,*,N k m m k b k m ∈-≤≤，如29,152,44,3==b b ，则=k m b , （结果用k m ,表示）.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)16.（13分）（原创）学生“如花姐”是2015年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢 人数 500 200 100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的800名观众中抽取一个容量为n 的样本，若从不喜欢“如花姐”的100名观众中抽取的人数是5人. （1）求n 的值；（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的5人中恰有3名男生（记为321,,a a a ）2名女生（记为21,b b ），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果； （3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率.17.（13分）（原创）若数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是等比数列，且5221,a b a b ==.（1）求n a 及n b ；（2）记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（13分）（原创）如图，已知菱形ABCD 的边长为2，120=∠BAD ，N M ,分别为CDBC ,上的点，)1,0(,,,∈==μλμλ，记==,.（1） 当21==μλ-；（2） 若2-=⋅b a ，求μλ11+的值.19.（12分）（原创）ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若边2=c ，且B bC B a A a sin sin 2sin sin -=-.（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，求ABC ∆的面积；（2）记AB 边的中点为M 的最大值，并说明理由.20.（12分）（原创）已知二次函数0,,,,)(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f .（1）是否存在R c b N a ∈∈,,*使得1)(22+≤≤x x f x 对任意R x ∈恒成立？若存在，求出相应的c b a ,,的值；若不存在，请说明理由.（2）当1=a 时，若关于x 的方程x x f 2)(=的两根满足)2,1(),1,0(21∈∈x x ，试求)1(4)12()1(22+--++bc c b 的取值范围.21.（12分）（原创）已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，满足2),(65111≥-=+--+n b S S S n n n n ，*N n ∈，且5,121==b b ，数列}{n a 满足,11=a *121,2),111(N n n b b b b a n n n ∈≥+++⋅=- . （1）证明：数列}3{1n n b b -+是等比数列； （2） 求证：*21,)11()11()11(N n e a a a n∈<+⋅⋅+⋅+（e 是自然对数的底数， 71828.2=e ）.数 学 参 考 答 案一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10题：记=+βα，=-βα2，则,的夹角为 1503=配凑可得：)21()(=+-=-+m t t==令R u t u ∈-=21(，则上式43163)43(432322≥+-=+-=u u u .二．填空题：6 ，80 ，7247， ),31[+∞， ⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=为偶数为奇数m k m m k m m b k m ,122,124222,.三．解答题.16.（13分）解：（1）抽样比例为1005，故40510052001005500=+⨯+⨯=n ； （2）},,,,,,,,,{21231322122111323121b b b a b a b a b a b a b a a a a a a a =Ω，共10种可能的结果； （3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为A ，则},,,,,,{21231322122111b b b a b a b a b a b a b a A =，其含有7种结果，故107)(=A P （或解：A 表示两个都是男生，包含3个结果，1071031)(1)(=-=-=A P A P ）17.（13分）解：（1）2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，又111==S a 满足此式， 故*,12N n n a n ∈-=，于是9,321==b b ，而{}n b 等比，故n n b 3=； （2）n n n n n b a c 3)12(⋅-=⋅=，由错位相减法，有：n n n n n T 3)12(3)32(353331132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ………………………①=n T 31323)12(3)32(3331+⨯-+⨯-++⨯+⨯n n n n …………②两式相减，得：()1323)12(333232+⨯--+++⨯+=-n n n n T1123)12(31]311[323+-⨯----⨯⨯+=n n n 63)22(1-⨯-=+n n ，因此*1,33)1(N n n T n n ∈+⨯-=+.18.（13分）解：（1）当21==μλ时，N M ,分别为CD BC ,的中点，3==且b a ,的夹角为 60，3===；32=321===-=-BD ；（2）=⋅b a )()(DN AD BM AB AN AM +⋅+=⋅⋅+⋅+⋅+⋅=)21(222222)21(222-⨯⨯+⨯+⨯+-⨯⨯=-⇒μλλμλμμλλμμλ=+⇒=+⇒)(22)(4，故2111=+=+λμμλμλ. 19.（12分）解：因为2=c ，故ab c b a B b C c B a A a =-+⇒-=-222sin sin sin sin ，由余弦定理可得 60212cos 222=⇒=-+=C ab c b a C ； （1）A A A B A B A A B C cos sin 2)sin()sin(2sin )sin(sin =-++⇒=-+A B A A A A B sin sin 0cos cos sin cos sin ==⇒=⇒或，即 90=A 或B A =当 90=A 时， 30=B ，332=b ，33221==∆bc S ABC ， 当B A =时，ABC ∆为等边三角形，360sin 2221=⨯⨯⨯=∆ ABC S ；（2）由于)(21CB CA CM +=)(41)(41222ab b a CB CA ++=+=因为 60,2==C c ，故由余弦定理知422+=+ab b a 121+=ab而42422≤⇒≥+=+ab ab b a ab 3≤3=，（当且仅当c b a ===2）时取等.20.（12分）解：（1）1)(22+≤≤x x f x 中令1=x 得2)1(2)1(2=⇒≤≤f f故b a c --=2，于是b a bx ax x f --++=2)(2，由题知02)2()(22≥--+-+⇔≤b a x b ax x f x 对R x ∈恒成立，有0448440)2(4)2(222≤+--++⇒≤----=∆b a b ab a b a a b ，整理得 220)22(04)2(4)2(22=+⇒≤-+⇒≤++-+b a b a b a b a ，又⇔+≤1)(2x x f 01)1(2≤--++-b a bx x a 对R x ∈恒成立，故必有1≤a 而*N a ∈，于是1=a ，而22=+b a 故0=b ，此时12=--=b a c ，1)(2+=x x f ，显然满足1)(2+≤x x f 对R x ∈恒成立，故存在0,1==b a 满足题意；（2）当1=a 时，方程⇔=x x f 2)(0)2(2=+-+c x b x ，令c x b x x g +-+=)2()(2，其两个零点为21,x x ，则⇔∈∈)2,1(),1,0(21x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>⇔⎪⎩⎪⎨⎧><>020100)2(0)1(0)0(c b c b c g g g而4414412)1(4)12()1(2222--+-+++=+--++bc c c b b bc c b 2)2(2)2(2--+-=c b c b令c b t 2-=，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>02010c b c b c 下，由线性规划知识易求得)1,5(2-∈-=c b t故)13,3[222)2(2)2(22-∈-+=--+-t t c b c b ， 也即：)13,3[)1(4)12()1(22-∈+--++bc c b . 21.（12分） 解：（1）由⇒-=+--+)(65111n n n n b S S S ⇒--=---+1116)(5n n n n n b S S S S 1165-+-=n n n b b b 2),3(2311≥-⋅=-⇒-+n b b b b n n n n ，且其首项02312≠=-b b ，故}3{1n n b b -+等比，公比为2；（2）先求n b ，由（1）知n n n n b b 222311=⋅=--+21223211+⋅=⇒++n n n n b b}12{12231211+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=+⇒++nn n n n n b b b 等比，其首项为23121=+，公比为23, 于是nn n n nn b b 23)23(12-=⇒=+；（或用特征根法求得） 由题可得51,11221=⋅==b b a a ， 由于)2(,)111()111(11211211≥=+++⋅+++⋅=++++n b b b b b b b b b b a a n n nn n n n n ，故)1(1111)11()11()11()11(143322121+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=+⋅⋅+⋅+-n nn n a a a a a a a a a a a a =)111(2)111(52)111(52212122114332n n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b +++=+++⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅⋅⋅-因此所证⇔211121eb b b n <+++ ， 而3≥n 时，113121)23(211)23(212311--⋅=⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=n n nn n n n n b ，保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有：121511)311(12151131313121511111213221++<-⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅++≤+++--n n n b b b ， 而=++121511235.135.0160171e<=+<+，。
2022年重庆一中高2024届高一下期期末考试数学试卷(含答案)
秘密★启用前【考试时间：7月8日8:00-10:00】2022年重庆一中高2024届高一下期期末考试数学测试试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算20221()1i i -+=（）A.i B.i - C.1 D.1-2．如图，在ABC △中，6BC DC = ，则AD = （）A.1566AB AC +B.5166AB AC +C.1677AB AC +D.6177AB AC + 3．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，直线cos 20220ax y A ++=与直线cos 20230bx y B +-=平行，则ABC △一定是（）A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在四面体ABCD 中，AB =CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为70°,M ,N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为（）A.35︒B.55︒C.35︒或55︒D.20︒或70︒5．同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西航行。
如图所示，若一艘船用时8小时从A 同纬度航行至B ，其所在纬度为30ADA '∠=︒，A 与B 的经度差3AEB ∠=︒，取地球半径6400DA =千米，取 3.14π≈，3 1.73≈，则该船的航行速度大约为（）A.21千米/小时B.34千米/小时C.36千米/小时D.60千米/小时6．已知A ，B 为椭圆E 的左，右焦点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A.32 B.63 C.32或63 D.32或312-7．若方程234x b x x +=--有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（）A ．(122,122)-+ B.(122,1]--C ．[1,122)-+D ．(122,3]-8．已知锐角ABC △满足23AB =，60C ∠=︒且O 为ABC △的外接圆圆心，若OC OA OB λμ=+ ，则2λμ-的取值范围为（）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．[2,2)-D ．(2,2)-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市重庆一中高一下学期期中考试(数学).doc
重庆市重庆一中高一下学期期中考试（数学）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知角θ满足sin 0θ>,tan 0θ<,则角θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知sin (,)2πααπ=∈,则tan α=( ) A.12 B.2 C.12- D.2- 3.已知2AC CB =u u u r u u u r ,则B 分AC u u u r所成的比为( )A.12-B.2C.32- D.3- 4.已知点(2,1),(1,3),(2,5)A B C ----,且2OD OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r,则D 点坐标为( )A.(2,12)-B.(2,10)-C.(1,9)-D.(2,12) 5.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈,下面结论错误的是( )A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间[0,]2π上为增函数C.函数()f x 为奇函数D.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 6.2225log sinlog sinlog sin12612πππ++=( ) A.3- B.1- C.1 D.37.已知向量,a b u u r u r可作为平面向量的一组基底,若12,AB a b AC a b λλ=+=+u u u r u u r u r u u u r u u r u r ,12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件为( )A.121λλ==B.121λλ==-C.121λλ=D.121λλ=-8.将函数()y f x =的图象F 沿(2,2)a =-u u r 平移至F′,所得F′的函数解析式为22(2)2y x =-+,则()y f x =的解析式为( )A.22(4)4y x =-+ B.224y x =+ C.22(4)y x =- D.22y x =9.在△ABC 中,AB=6, AC=8, ∠BAC=90°,AD,BE 分别为边BC,AC 上的中线,则向量,AD BE u u u r u u u r间夹角的余弦值为( )A.65B.2C.65-D.12- 10.数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S =( ) A.470 B.490 C.495 D.510二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知(2,1),(3,2)a x b =+=-u u r u r ,且a b ⊥u u r u r,则x = .12.已知函数3()sin 1,(,,)f x ax bx c x a b c R =+++∈若(2)4f =,则(2)f -= .13.arcsinarctan 23+＝ . 14.设D 为△ABC 的边AB 上一点,P 为△ABC 内一点,且满足:34AD AB =u u u r u u u r , AP =u u u r25AD BC +u u u r u u u r ,则APD ABC SS ∆∆= .15.已知函数()f x =若对任意实数,x ()f x 均有意义,则θ的取值范围为 . 三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(13分)已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=u u r u r u u r u r u u r u r. (1)求a u u r 与b u r的夹角θ; (2)求||a b +u u r u r .17.(13分)求函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+⋅+∈的值域,最小正周期及单调递增区间.18.(13分)在△ABC 中,A,B,C 所对的边的长分别为,,a b c ,设,,a b c 满足条件222b c bc a +-=和72c b =,求A 和tan B .19.(13分)已知函数()sin(),(0,0,||)2y f x A x x R A πωϕωϕ==+∈>><其中的图象在y 轴右侧的第一个最值点(最高点或最低点)为(2,M ,与x 轴在原点左侧的第一个交点为N (2,0)-. (1)求函数解析式;(2)若()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点,解不等式()2f x ≤.12分)已知向量2(2sin ,1),(sin (),cos 2)42x a x b x π==+u u r u r ,设()f x a b =⋅u u r u r ,当2[,]63x ππ∈时,不等式|()|2f x m -<恒成立.求实数m 的范围.21.(12分)已知一列非零向量n a u u r 满足:11111111(,),(,)(,)2n n n n n n n a x y a x y x y x y ----===-+u r u u r ,(2)n ≥.(1)求证:{||}n a u u r为等比数列; (2)求向量1n a -u u u r 与n a u u r的夹角(2)n ≥;(3)设1(1,2)a =u r ,记12...n n OB a a a =+++u u u u r u r u u r u u r ,设点4n B 为(,)n n t r ,则当n 为何值时22n n r t +有最小值,并求此最小值.参考答案二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分) 11. 2 12. 2- 13. 2π 14. 31015. 3(2,2][2,2),44k k k k k Z πππππππ+++∈U三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.解:由已知22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=u u r u r u u r ur u u r uu r u r u r∴6ab ⋅=-u u r u r(1)61cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯⋅u u r u r u u r u r ∴120θ=︒(2)||a b +====u u r u r17.解:已知:()1cos 2212cos 22f x x x x x =-++=-+ 2sin(2)26x π=-+∴值域为[0,4] 最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-≤-≤+∴[,],63x k k k Z ππππ∈-+∈ ∴函数的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈.18.解:由已知2221cos 22b c a A bc +-== ∴60A =︒ 由正弦定理:sin sin(180)sin()sin sin sin cC A B A B b B B B︒--+=== 1sin sin(60)1722sin sin 22B BB B B +︒+==== ∴tan B =19.解:(1)(注意两种情况)sin()84y x ππ=+或3sin()84y x ππ=-(2)当()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点可知3()sin()284f x x ππ=⋅-≤∴3sin()842x ππ-≤ ∴53224844k x k ππππππ-≤-≤+∴168164[,],3333k k x k Z ∈-+∈:由已知2()2sin sin ()1cos 242x f x a b x x π=⋅=⋅++⋅u u r u rsin [1cos()]cos 22x x x π=⋅-++2sin (1sin )12sin x x x =⋅++- 2sin sin 1x x =-++设sin t x = ∵2[,]63x ππ∈ ∴1sin [,1]2x t =∈ ∴25()1[1,]4f x t t =-++∈∵|()|2f x m -< 恒成立 ∴2()2m f x m -<<+恒成立∴21524m m -<⎧⎪⎨<+⎪⎩ ∴334m -<<21.解:(1)由已知:1||||n n a a -===u u r u u u r ∴{||}n a u u r为等比数列(2)11111(,)(,)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y -----⋅=⋅=⋅+⋅u u u r u u r11111111()()22n n n n n n x x y y x y ------=-+⋅+222111111()||||||222n n n n n x y a a a ----=+==⋅u u u r u u r u u u r∴cos 2θ=∴4πθ= (3)由已知:(,)n n n a x y =u u r , 则11(,)(,)222n n n nn n n n n x y x y a x y x y +-+=-+=u u u r21(,)(,)2222222n n n n n n n n n n n x y x y x y x y y x a +-+-+=-+=-u u u u r3(,)44n n n n n x y x y a ++-=-u u u r , 41(,)4n n n a x y +=-u u u u r∴159261037114812,,,......;,,,......;,,......;,,,......a a a a a a a a a a a a u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r.构成公比为14-的等比数列 ∴12345678,a a a a a a a a ++++++u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r,……亦构成公比为14-的等比数列由条件可知1(1,2)a =u r ,23131(,),(1,)222a a =-=-u u r u u r ,431(,)44a =--u u r∴1234515(,)44a a a a +++=-u r u u r u u r u u r∴51151[1()][1()]1144441(),3[1()]11441()1()44n n n n n n t r -⋅--⋅--==-+-==------ ∴2219[1()]4121()4n n n n r t --=++-设11()4n u =+- ∴229(2)2n n r u t u-+=+49(4)u u =+- 显然4()9(4)g u u u =+-在(0,2)上], 在(2,)+∞Z 且11()24n u =+-< ∴当2n =时, 2max1171()416u =+-=时 2min 2025()2272n n r t =+。
重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题
重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,2-- B ．{}2C ．{}2,1,2--D ．{}2,1--【答案】C【解析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或，根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A ．3 B ．9C ．2D ．4【答案】A【解析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒= 【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题. 3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．2m m P UI W ==【答案】D【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4．在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A ．2± B ．4± C ．2 D ．4【答案】A【解析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果. 【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题. 5．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
重庆一中高2022级高一下期中考试数学试卷
︒120︒60︒135︒45=−b a Cc 2cos 1ABC −−6,3)(6,3)(−3,6)(−3,6)(=b =b 35︒180=−a 1,2)(b =S 7++=a a a 6138S n a n }{<≠b cbc a a 0)(>a a b c >b c a a log log >b c 22>>a b c 1,∈a b c R ,,=b c ⋅=⋅a b a c b a b a =−a b =a b =a b =a 0=a 0−3,1)(−3,1][−1,3)(−1,3][=C A R =−−≥A x x x 2302}{第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合，则（ ）A ． B. C. D.2. 下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与方向相反，则；与是相反向量；④若，则.其中正确的命题个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 33. 先后抛掷质地均匀的骰子两次，分别得到两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是（ ）A. 两个点数都是奇数B. 点数的和是奇数C. 点数的和小于13D. 点数的和大于74. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 5．已知等差数列的前n 项和为，若，则（ ）A. 7B. 10C. 14D. 216. 若平面向量与向量的夹角是，且，则（ ） A. B. C. D.7. 在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角A 为（ ） A. B. C. D.重庆一中高2022级高一（下）学期5月月考数学试题卷数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须试用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其他答案标号。
【精准解析】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
重庆一中高2022级高一（下）学期期中考试数学试题卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A. ()5,7 B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =（ ） A. 2 B. 326D. 56【答案】A 【解析】 【分析】先求出45,A =再利用正弦定理求解即可. 【详解】30B =︒，105C =︒，45A ∴=，由正弦定理可得4sin 45sin 30b=，解得142222b ⨯==，故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.3. 某外卖企业两位员工今年3月某10天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这10天的数据，下面说法错误的是（ ）A. 阿朱的日派送量的众数为76B. 阿紫的日派送量的中位数为77C. 阿朱的日派送量的中位数为76D. 阿朱的日派送外卖量更稳定【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图的数据计算出阿朱和阿紫的日派送量的众数和中位数，可判断A 、B 、C 选项的正误，根据阿朱和阿紫的日派送量数据的分布情况可可判断D 选项的正误.【详解】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为63、64、72、76、76、77、78、84、86、94，众数为76，中位数为76.5，阿紫的日派送量由小到大分别为54、58、63、72、73、81、86、89、95、99，中位数为77，由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中，阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定.所以，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查利用茎叶图计算众数和中位数，同时也考查了利用茎叶图的数据分布来比较样本的稳定性，考查数据分析能力，属于基础题.4. 如果(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程是( ) A. 340x y ++= B. 380x y -+= C. 340x y +-= D. 380x y -+= 【答案】A 【解析】【详解】因为已知点(1,3)A 关于直线l的对称点为(5,1)B -，故直线l 为线段AB 的中垂线， 求得AB 的中点坐标为(2,2)-，AB 的斜率为131513-=--，故直线l 的斜率为3-， 故直线l 的方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=. 故选：A.5. 直线l 经过()2,1A ，()23,B t ，(t ≤≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. 0,C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD.30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】由已知直线的斜率为221132t k t -==--，∵t ≤11k -≤≤，记直线l 的倾斜角为θ,[)0,θπ∈，即1tan 1θ-≤≤，所以3[0,][,)44ππθπ∈． 故选：A ．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的范围是[0,]π，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论．6. ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =（ ）A. 60︒B. 120︒C. 135︒D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边的关系，然后由余弦定理求出cos C ，即可得．【详解】因为3sin 5sin B A =，所以35b a =，35a b =，代入2a c b +=得75c b =， ∴22222294912525cos 32225b b b a bc C ab b b +-+-===-⨯⨯，∴120C =︒． 故选：B ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，用正弦定理化角为边，用余弦定理求角，属于基础题．7. 已知12a =，121n n a a n +-=+（*n N ∈），则n a =（ ） A. 1n + B. 21nC. 21n +D. 221n +【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法即可求出通项公式．【详解】解：∵121n n a a n +-=+，则当2n ≥时，121n n a a n --=-，……325a a -=， 213a a -=，∴132212153n n a a a a a a n --+⋅⋅⋅+-+-=-+⋅⋅⋅++， 化简得()()21121312n n n a a n --+-==-，又12a =， ∴21n a n =+，经检验12a =也符合上式， ∴()2*1n n N a n =+∈，故选：C ．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．8. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A. 4.9 B. 5.25C. 5.95D. 6.15【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果.【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 9. 直线:1x yl a b+=中，{}1,3,5,7a ∈，{}2,4,6,8b ∈.则l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10的概率为（ ） A.716B. 732C.1116D.1132【答案】A 【解析】 【分析】记事件为(,)a b ，可用列举法列出事件空间，从而得出面积不小于10的事件的个数，计算出概率． 【详解】,a b 构成一对有序数对(,)a b ，则事件空间为{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6,),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8)}，其中使得三角形面积不小于10的事件有：(3,8),(5,4),(5,6),(5,8),(7,4),(7,6),(7,8)共7个， ∴所求概率为716P =． 故选：A ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出事件(,)a b 构成的事件空间．列举法是解决此类问题的常用方法．10. 若ABC ∆中，1cos 2A =，2BC =，则BA BC CA CB AB AC ⋅⋅+的最大值是（ ）A. B. 1 C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为()2cos cos B C +，再根据23B C π+=化简，变形为2sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭，再求函数的最值. 【详解】cos cos BA BC BA BC B ac B ⋅==⋅cos cos CA CB CA CB C ab C ⋅==⋅， AB c =，AC b = ，∴原式()cos cos 2cos cos a B a C B C =⋅+⋅=+，1cos 2A =，3A π∴=， 23B C π∴+= ,∴原式22cos cos 3B B π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos B B =2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,203B π<< ,5666B πππ∴<+<12sin 26B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，∴BA BC CA CB ABAC⋅⋅+的最大值是2.故选：D【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型.11. 已知等差数列{}n a 满足22a =，3710a a +=，数列{}n b 满足11n nn n na ab a a ++-=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. (][),21,-∞-+∞ B. (](),22,-∞-+∞ C. (][),12,-∞-⋃+∞ D. []22-,【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列基本量法求出通项公式n a ，用裂项相消法求得n S ，求出{}n S 的最大值，然后利用关于a 的不等式是一次不等式列出t 满足的不等关系求得其范围．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由已知得2137122810a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，11111n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，∴122311111111111111n nn n S a a a a a a a a n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知数列{}n S 是递增数列，且1n S <，∴若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，即2231t at +-≥，又[2,2]a ∈-，∴2222312231t t t t ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得2t ≤-或2≥．故选：B ．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立．12. 已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，max S 表示S 所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（ ）①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，且1a b ==则max 5S =；③若4b a >，则min 0S >；④若2b a =，2min 8S a =，则a 与b 的夹角为3π. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意S 有3种结果，故①错误，由12230S S S S -=->，得到3S 最小，1S 最大，再根据条件对②③④判断即可得到答案.【详解】对①，S 有3种结果，分别是：22123S a b =+，22222S a a b b =+⋅+，234S a b b =⋅+，故①错误.因为()222221223220S S S S a b a b a b a b a b -=-=+-⋅≥+-⋅=-≥，所以S 中，3S 最小，1S 最大.对②，若a b ⊥，且1a b ==，则2222max 123235S S a b a b ==+=+=，故②正确. 对③，若4b a >，则22222min 344cos 40S S a b b a b b a b b b b θ==⋅+=+≥-+>-+=，故③正确.对④，若2b a =，2min 8S a =，则2222348cos 48S a b b a a a θ=⋅+=+=， 所以1cos 2θ=，3πθ=，故④正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的综合应用，考查学生推理，分析问题的能力，属于难题.第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 【答案】265【解析】 【分析】先根据平均数计算出m 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. 【详解】依题意12674,45m m ++++==.所以方差为()()()()()22222114244464745⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦[]126944955=+++=. 故答案为265. 【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14. 以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；10y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题． 【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；②直线310x y ++=的斜率为3k =-，倾斜角为120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确． 故答案为：①④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽炫图”，可类似地构造如图所示的图形：由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若213AB =，则EDF 的面积为________.【答案】43【解析】 【分析】根据正三角形和全等三角形的性质得DB AF =，再运用余弦定理可求得DF 的长，运用三角形的面积公式可求得其值.【详解】由题可知：在DEF 中，3EDA π∠=，则23ADB π∠=， 不妨设2DF k =，由2DF AF =知，AF k =，则3AD k =， 又因为AFC BDA ≅，所以DB AF k ==，由余弦定理可知：()22222231cos 2232k k AB AD BD AB ADB AD BD k k +-+-∠===-⋅⨯⨯，解得2213AB k =，而AB =2k =，所以4DF =，所以144sin 23DEF S π∆=⨯⨯⨯=，故答案为：【点睛】本题考查运用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形，属于中档题.16. 已知点M 为直线1:20l x y a +-=与直线2:210l x y -+=在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当AOB S取得最小值为1425时，a 的值为________.【答案】32【解析】 【分析】先求出点M 的坐标，然后设直线AB 的方程，得出,A B 坐标后可得三角形面积，由面积的最小值可求得a ．【详解】由20210x y a x y +-=⎧⎨-+=⎩，得21525a x a y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即212(,)55a a M -+，M 在第一象限，则12a >，设直线l 方程为221()55a a y k x +--=-，显然k 0<， 令0x =得2(21)55B a a k y +-=-，令0y =得21255A a a x k-+=-， 所以112122(21)225555AOB A B a a a a k S x y k -++-⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△221(2)2(2)(21)(21)()50a a a a k k ⎡⎤+=+-++--⎢⎥-⎣⎦12(2)(21)50a a ⎡≥+-+⎢⎢⎣2(2)(21)25a a +-=，当且仅当22(2)(21)()a a k k+=---，即221a k a +=--时等号成立． 所以OABS最大值为2(2)(21)142525a a +-=，解得32a =或3a =-（舍去）．故答案为：32． 【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角形面积，考查用基本不等式求最值．本题考查了学生运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-.（1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若45,2a tb θ=-b +垂直，求实数t 的值. 【答案】（1）2 （2）t =【解析】试题分析：（1）由//a b 得出，tan 4θ=-，由3sin 2cos 3tan 22sin cos 2tan 1θθθθθθ--=++得出结果;（2）由45θ=︒得2,2a ⎛= ⎝⎭，利用向量坐标运算法则求出2a tb -b +，再由b +与2a b +垂直，能求出t .试题解析：解：（1）//sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-，()()3423sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241θθθθθθ⨯----∴===++⨯-+.（2）45,2,2a θ⎛=∴= ⎭,()()222,22,23,1a tb t t a b ∴-=-++=-,2a tb -b +垂直，())()3210t t ⨯+⨯-=，t ∴=18. 已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【答案】（1）32a =；（2）3． 【解析】 【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =． （2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离3d ==． 【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题. 19. 2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分.根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在[80,100]的居民有600人.（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意指数η=满意程度的平均分/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[40,50)、[50,60)）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.【答案】（1）0.025a =，所调查的总人数为1000人；（2）不需要；（3）815. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，即可求得a ；再结合评分在[80,100]的居民有600人，用频率除以总数即为频率的公式计算，即可求得结果； （2）根据频率分布直方图求得平均数，再求得η，即可判断；（3）先求得在[40,50)，[50,60)的人数，列举出所有抽取2人的可能性；再找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图得：(0.0020.0040.0140.020.035)101a +++++⨯=， 解得0.025a =， 设总共调查了n 人，则6001000(0.0350.025)10n ==+⨯，即调查的总人数为1000人；（2）由频率分布直方图知，满意程度的平均分为450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，满意指数80.70.8070.8100η==>， 因此，该区防疫工作不需要大的调整；（3）由题意可知，评分在在[40,50)、[50,60)的频率之比为0.0210.042=， 所以，所抽取的6人中评分在[40,50)的人数为1623⨯=，分别记为,a b ， 评分在[50,60)的人数为2643⨯=，分别记为A 、B 、C 、D ，抽取2人的基本事件为：ab 、aA 、,,,,,,,,,,,,aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC CD CD 、 共15个，而仅有一人来自[40,50)的基本事件有：,,,,,,,,aA aB aC aD bA bB bB bC bD 共8个， 因此，所抽取的2人中仅有一人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率为815P =. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数、参数值，涉及古典概型的概率计算，属综合中档题.20. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+；（2）()1212nn +-⋅【解析】 【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．(2()111)2,2212n n n nn n nb b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．【详解】解：(1)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，21n a n ∴=+ (2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n nn n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得：()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题． 21. OPQ △中，2POQ π∠=，4PQ =，点M ，N 在边PQ 上，且6MON π∠=.（1）求OPQ △面积的最大值；（2）当OPQ △面积取得最大值时，求OMN 面积的最小值. 【答案】（1）4，（2）16-【解析】 【分析】（1）根据基本不等式得||||OP OQ ⋅最大值，再根据三角形面积公式得结果；（2）设点M 靠近P ，且POM θ∠=，根据正弦定理表示||,||OM ON ,再根据三角形面积公式建立函数关系式，最后利用三角函数性质求最小值. 【详解】（1）因为2POQ π∠=，||4PQ =，所以222||+||=||16OP OQ PQ =22||+||2||||||||8OP OQ OP OQ OP OQ ≥⋅∴⋅≤（当且仅当||||OP OQ ==时取等号），因此||||412OPQOP Q SO ⋅=≤,即OPQ △面积的最大值为4； （2）当OPQ △面积取得最大值时，||||OP OQ ==设点M 靠近P ，且[0,]3POM πθθ∠=∈，，则||sin24||,sin()sin()44OP OM πππθθ==++||sin24||,sin()sin()4646OP ON πππππθθ==++++12sin(2)sin()44||6||OMNN SOM O πππθθ=+++⋅====16≥=-6πθ=时取等号， 即OMN面积的最小值为16-【点睛】本题考查基本不等式求最值、正弦定理、辅助角公式、二倍角正弦与余弦公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 22. 已知数列{}()*n a n N ∈的22a=，前n 项和为n S ，且2n n nS a =对于任意的*n N ∈恒成立.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记()2n n b a n λ=+-，且前m 项和为m T ，不等式21m T m m -<+有且仅有两个不同的正整数解，求λ的取值范围.【答案】（1）22n a n =-；（2）112λ-<≤-或952λ≤<． 【解析】 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，然后用连乘法求得通项公式，验证12,a a 也适合此表达式；（2）化简n b ，由分组求和法求得m T ，观察不等式21m T m m -<+，发现3m =时不等式恒成立，因此2m =或4m =是不等式的另一个整数解，其他的整数m 都不是不等式的解，分离参数后通过研究新数列的单调性得出结论． 【详解】（1）由已知11112S a a ==，10a =， 因为2n n n S a =，∴2n ≥时，1112n n n S a ---=，两式相减得11122n n n n n n n a S S a a ---=-=-，1(2)(1)n n n a n a --=-， ∴当3n ≥时，112n n a n a n --=-，∴34223123122(1)122n n n a a a n a a n a a a n --=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=--，1,2n =也适合， 所以2(1)n a n =- ，*n N ∈；（2）由（1）2(1)(2)(2)22n b n n n λλλ=-+-=-+-，(1)(2)2(1)2m m m T m λλ+=-⨯+-， 2(1)22(2)2(2)(3)22m m m T m m m m λλλ+--=-⨯+-=⨯-， 不等式21m T m m -<+为22(3)12m m m λ-⨯-<+，3m =时，不等式恒成立，在3m >时，22123m m m λ-+<-，记21()3m f m m m+=-，222222132(1)()0(1)3(1)3(2)(3)m m m m f m f m m m m m m m m m +++-+-=-=-<+-+----， ∴在3m >时，数列{()}f m 递减，5(4)4f =，不等式为2524λ-<①， 2m =时，不等式为2322λ-<②， 1m =时，不等式为212λ-<③， 因此只要不等式②成立，不等式①不成立即可．不等式①不成立时，5m ≥，不等式都不成立， ∴523422λ-≤<，解得112λ-<≤-或952λ≤<． 【点睛】本题考查由n S 与na 的关系求数列的通项公式，考查数列不等式有解问题．掌握连乘法是求数列通项公式的基础．还考查了分组求和法，数列的单调性，考查学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力．。
高中数学-重庆市第一中学校2022-2023学年高一下月考数学试题(原卷版)
重庆一中高2025届高一下期4月月考数学试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1.记复数z 的共轭复数为()f z ，满足条件()4z f z ⋅≤的所有复数在复平面上所占的面积是（）A.πB.2πC.4πD.8π2.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1B.2C.5D.83.已知集合6sin 3,cos 3x A y y y x ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭Z ，则集合A 的元素个数为（）A .4B.5C.6D.74.已知函数()f x 满足()(]()2168,0,2111,2,22x x f x f x x ∞⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈+ ⎪⎪⎝⎭⎩.向量()()00,a x f x = ，()1,0b = ，(]014,30x ∈，记b 在a方向上的向量为c ，则当c r 最大时，0x 的值为（）A.142+ B.165C.145D.1755.在ABC 中，若sin 3cos cos A B C =，则22cos cos B C +的最大值为（）A.3136+ B.3133C.2136+ D.2133+6.一棱长为3的正方体封闭盒子中放有一半径为1的小球1个，若将盒子任意翻动，则小球不能到达的空间体积为（）A.1320π3-B.16π203-C.204π- D.1520π3-7.已知向量a ，b ，c满足1a = ，2a b += ，||3a c -= ，则b c ⋅ 的取值范围是（）A.[]12,6- B.[]12,4- C.[]10,6- D.[]10,4-8.在ABC 中，π3BAC ∠=，3AB =，2AC =，点D 为边BC 边上一动点，将ABD △沿着AD 翻折，使得点B 到达B '，且平面AB D '⊥平面ACD ，则当B C '最小时，CD 的长度为（）A.275 B.75C.375D.75二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+()0,R ωϕ>∈在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的值可能为（）A.83B.3011C.3D.11410.已知ABC 满足三个条件：①1AB =②2sin 2sin cos 2A B B =+③_______.若这样的ABC 恰好有2个，则③可以是（）A.π5B =B.25B π=C.ABC 是等腰三角形D.ABC是直角三角形11.设O 、A 、B 是平面上任意三点，定义向量的运算：()det ,OA OB OA OB '=⋅ ，其中OA '由向量OA 以点O 为旋转中心逆时针旋转直角得到（若OA 为零向量，规定OA ' 也是零向量）.对平面向量a 、b 、c，下列说法正确的是（）A.()()det ,det ,a b b a=B.对任意R λ∈，()()det ,det ,a b b a b λ+=C.若a 、b为不共线向量，满足(),yb c x a y x +=∈R ，则()()det ,det ,a c x a b =，()()det ,det ,by c b a = D.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=12.已知三棱锥A BCD -，过顶点B 的平面α交分别棱AC ，AD 于M ，N （均不与棱端点重合）.设1AM r AC =，2ANr AD =，3A BNM A BCDV r V --=，其中A BNM V -和A BCD V -分别表示三棱锥A BNM -和三棱锥A BCD -的体积.下列不等式一定成立的是（）A.312r r r <+ B.3121r r r +>+ C.223122r r r <+ D.2231212r r r +<+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.复数()6i R z a =+∈，且13z <<，则实数=a _______.14.平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-== ，()222b ac c b a c +⋅+-=⋅+ ，1a b b a b b c b⋅+=+⋅，则()2b c -= ______．15.若四面体ABCD 外接球半径为1，3AB CD ⋅=__________.16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3,3a A ==，则ABC 的外心到其三边距离和的取值范围是______.四、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复数z 满足i 22z z z ⋅=+，其中i 是数单位，z 是复数z 的共轭复数（1）求复数z ；（2）若复数()()212i 3i 12m m z +-+-是纯虚数，求实数m 的值18.如图，点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱AB 、CD 上的点，正四面体的边长为3,设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ.（1）若2DN x =，求三棱锥N BCM -体积的最大值；（2）若2CN ND =，求cos θ的取值范围.19.在锐角ABC 中，,,(,,BC a AC b AB c a b c ===均为已知常数），.ABC 的外接圆，内切圆半径分别为,R r .（1）求Rr ；（2）点,,D E F 分别在线段,,BC AC AB 上，DEF 的周长为0P ，请证明：()0rP a b c R≥++.20.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的六面体中（其中F ∈平面EDC ），四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，BF FE =，且平面FEB ⊥平面EDB ．（1）设M 为棱EB 的中点，证明：A C F M ，，，四点共面；（2）若22ED AB ==，求平面FEB 与平面EAB 的夹角的余弦值．21.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),p a b = 为()f x 的特征向量，()f x 为p的特征函数.（1）设()()32sin sin 2g x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，求()g x 的特征向量；（2）设向量)3,1p =的特征函数为()f x ，求当()65f x =且,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值；（3）设向量13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征函数为()f x ，记()()214h x f x =-，若()h x 在区间[],a b 上至少有40个零点，求b a -的最小值.22.已知函数()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--，其中a 为参数.（1）证明：()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ；（2）设*N n ∈，求所有的数对(),a n ，使得方程()0f x =在区间()0,πn 内恰有2023个根.。
重庆一中高2017级高一下期半期考试数学试题(含答案,多为原创题).
（） B. 2 2015
10.（原创）已知平面向量 , 满足 2
C. 1 2014
3 ，且
与
D. 1 1007
2 的夹角为 150 ，则
t(
) 3 ,(t R) 的最小值是（ ） .
2
3 A.
4
3 B.
3
3 C.
2
D. 3
二．填空题 .(本大题共 5 小题，共 25 分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置 )
A.3
B.6
C. 8
D. 12
2.已知向量 a (2, 1),b ( x,3) ，若 a b ，则实数 x 的值是（ ）
A. 6
B. 6
3 C.
2
x 2y 4 0
3.实数 x, y 满足 x 1
，则 z 2x y 的最大值为（ ）
y0
3 D.
2
A.2
B. 7
2
C. 7
D.8
4.若 x 1，则 x 4 的最小值是（ ） x1
（ 2）记 AB 边的中点为 M ，求 CM 的最大值，并说明理由 .
20.（12 分）（原创）已知二次函数 f ( x) ax 2 bx c, a,b, c R, a 0.
（ 1）是否存在 a N * ,b, c R 使得 2x
f (x)
2
x
1 对任意 x
R 恒成立？若存在，求出
相应的 a,b,c 的值；若不存在，请说明理由 .
起爬歌乐山的概率是
（用数字作答）；
14.（原创）已知 x, y R 且 2 x y 3 ，若不等式 xy ( x 2 y) a 对任意 x, y R 恒成立，
则实数 a 的取值范围是
2024届重庆一中数学高一第二学期期末质量检测试题含解析
2024届重庆一中数学高一第二学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A ．2B ．1C ．12D ．182．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =，2DN NC =，设MN AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）A ．56B ．56-C ．16D ．16-3．一条光线从点(2,3)-射出，经x 轴反射后与圆22(3)(2)1x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或234．已知向量a =(λ,2), b =(-1,1),若a b a b -=+,则λ的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．2 5．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则（OA OB +）AB ⋅=（ ）A ．0B 3C 3D ．67．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．458．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．359．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥ C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D10．设变量x ，y 满足约束条件510x y x y y +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．5C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
重庆一中高2016级13-14学年(下)半期试题——数学
秘密★启用前2014年重庆一中高2016级高一下期半期考试数 学 试 题 卷2014.5数学试题共4页，共21个小题。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知向量()()2,,,1m b m a ==，若b a //，则实数m 等于( )A ．－2 B.2 C ．－2或2 D ．0 2.不等式1213-≤--x x 的解集是（ ） A ．324xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <3.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，那么输出的a 值为（ ） A. B.16 C.256 D.3log 164.等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，若2=AB ，则⋅=( ) A. 2- B ． C ． D ．3-5.下列命题正确的是（ ）A.ac bc a b <⇒<B.ba ab b a ><<则若,0 C.当0x >且1x ≠时，1lg lg x x+2≥a b <6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，则z ＝5y －x 的最大值是( )A ．16B ．30C ．24D ．87.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的 形状是 ( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8.已知2121,,,b b a a 均为非零实数，不等式011<+b x a 与不等式022<+b x a 的解集分别为集 合M 和集合N ，那么“2121b b a a =”是“N M =”的 （ ） A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件9.(原创)在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边,若b c C a 2cos 2,1=+=且,则ABC ∆的周长的取值范围是（ ） A ．(]3,1B ．[2,4]C ．(]3,2D ．[3,5]二．填空题:本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷对应的横线上． 11.已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=___________.12.下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，如果判断框中应填入的条件是 “a k >”,则整数=a _______.13.已知非零向量b a,满足a b a b a 332=-=+，则向量b a +与b a -的夹角为 .14.已知数集},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．若{1,2,3,,}A n =， 则)(A M = .15.(原创)设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a .三．解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足53cos =A ，3AB AC ⋅=. (1).求ABC ∆的面积； (2).若6b c +=，求的值.18.（13分）在分别是角A 、B 、C 的对边，，且. (1).求角B 的大小；(2).求sin A ＋sin C 的取值范围.19.（12分）已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设数列{}n b 满足 *)(log 3241N n a b n n ∈=+.(1).求数列{}n n b a +的前项和为n S ； (2).若数列nn n n b a c c ⋅=满足}{，若对1412-+≤m m c n 一切正整数恒成立，求实数m 的取值范C围.20.（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪， 图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.(1).设x AD =（x≥0），y DE =，求用表示的函数关系 式,并求函数的定义域；(2).如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的 位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长， DE 的位置又应在哪里？请予证明.21.（12分）( 改编)设正项数列}{n a 的前项和为n S ，向量()()2,1,1,+==n n a b s a，（*N n ∈）满足b a //.(1).求数列}{n a 的通项公式； (2).设数列}{n b 的通项公式为n b nn a a t=+（*N t ∈），若，2b ，m b （*,3N m m ∈≥） 成等差数列，求和m 的值；(3).如果等比数列{}n c 满足11a c =，公比满足102q <<，且对任意正整数， ()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，求公比的取值范围.命题人：黄勇庆 审题人：王 明2014年重庆一中高2016级高一下期半期考试（本部）数 学 答 案2014.550二填空题：（每小题分，满分25分）11．； 12．7； 13．60； 14．32-n ； 15．121. 三、解答题：16.（本小题满分13分） 解：（1）因为53cos =A ，所以54cos 1sin 2=-=A A ，又由3AB AC ⋅=,得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=17.（本小题满分13分）解：(1)由题知1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，即⎩⎨⎧b ＝2a ，1＋b ＝3a ，∴a ＝1，b ＝2.(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0，所以:当c >2时解集为{x |x >c 或x <2}；当c ＝2时解集为{x |x ≠2，x ∈R };当c <2时解集为{x |x >2或x <c }. 18．（本小题满分13分）解：(1）由n m⊥，得,cos )2(cos B c a C b -= .cos 2cos cos B a B c C b =+∴由正弦定理得,cos sin 2cos sin cos sin B A B C C B =+.cos sin 2)sin(B A C B =+∴又,A C B -=+π.cos sin 2sin B A A =∴又.21cos ,0sin =∴≠B A 又.3),,0(ππ=∴∈B B(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π＝sin A ＋sin2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3.故sin A ＋sin C 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,23. 19.（本小题满分12分）解：（1）由题意知，*)()41(N n a n n ∈=2log 341-=n n a b ∴23-=n b n∴()2341-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n b a n n n ∴()2133411-+⎪⎭⎫⎝⎛-=n n S nn .（2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+∴当n=1时，4112==c c ;当n n n c c c c c c c n <<<<=<≥+ 43211,,2即时∴当n=1时，n c 取最大值是.又恒成立对一切正整数n m m c n 1412-+≤411412≥-+∴m m即510542-≤≥≥-+m m m m 或得。
重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
三、填空题 13．已知正VABC 为水平放置的 VABC 的直观图，若 AB 2 ，则 VABC 的面积为 __________.
14．已知复数 z 满足 z z 2 4i ，则 z __________.
A．1
B． 5 6
C． 3 4
D． 2
3
二、多选题
9．设 l 为直线， ， 为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 l//, l// ，则 //
B．若 //, l// ，则 l//
C．若 l ,l ，则 //
D．若 //, l ，则 l
10．已知函数
f
x
sin
x
π 6
(
重庆市第一中学校 2022-2023 学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知复数 z 3 i ，则复数 z (1 i)4 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 C．第三象限
A．若 B π ，则 A π
2
4
B．若
A
π 6
,
a
2
，则
VABC
的面积为
2
3
C．若 A π , a 2 ，则角 B 的角平分线 BD 3 6
D．若 VABC 为锐角三角形， a 2 ，则边长 b 2 2, 2 3
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12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E ， F 分别为面 BB1C1C ， CC1D1D 的 中心，点 G 是 A1B1 的中点，则（ ） A． DE BG B． AF∥面 BC1G C．直线 AB 与平面 BC1G 所成角的余弦值为 3
重庆市第一中学2022_2022学年高一数学下学期期中仿真卷B卷2022053101107
2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔B 〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2022·张家口月考]x ，y 是两个变量，以下四个散点图中，x ，y 呈正相关趋势的是〔 〕A ．B ．C ．D ．2．[2022·钦州期末]甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，那么甲胜的概率是〔 〕 A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.73．[2022·辽宁模拟]某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行平安检测，假设果蔬类抽此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号取4种，那么n 为〔 〕 A ．3B ．2C ．5D ．94．[2022·怀化模拟]总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，那么选出来的第5个个体的编号为〔 〕 A ．01B ．02C ．14D ．195．[2022·桂林调研]AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，说明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量“优良〞．如图是某市3月1日到12日的AQI 指数值．那么以下表达不正确的选项是〔 〕 A ．这12天的AQI 指数值的中位数是90 B ．12天中超过7天空气质量“优良〞 C ．从3月4日到9日空气质量越来越好D ．这12天的AQI 指数值的平均值为1006．[2022·四川诊断]执行如下图的程序框图，那么输出的S =〔 〕 A ．2B ．1C ．0D ．-17．[2022·百校联盟]x 与y 的取值如表所示，假设x 与y 线性相关，且回归直线方程为1.2ˆ3ˆyx a =+，那么6x =时，y 的预测值为〔保存到小数点后一位数字〕〔 〕A ．7.4B ．7.5C ．7.6D ．8.58．[2022·厦门质检]甲乙两名同学分别从“象棋〞、“文学〞、“摄影〞三个社团中随机选取一个社团参加，那么这两名同学参加同一个社团的概率是〔 〕 A ．14B ．13C ．12D ．239．[2022·南安月考]一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个外表的距离均大于1，称其为“平安飞行〞，那么蜜蜂“平安飞行〞的概率为〔 〕 A ．18B ．116C ．127D ．276410．[2022·南宁二中]2022年5月，国家统计局公布了?2022年农民工监测调查报告?，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的选项是〔 〕 A ．2022年农民工人均月收入的增长率是10% B ．2022年农民工人均月收入是2205元C ．小明看了统计图后说：“农民工2022年的人均月收入比2022年的少了〞D ．2022年到2022年这五年中2022年农民工人均月收入最高11．[2022·武汉蔡甸区实验中学]下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是〔 〕 A ．6B ．10C ．91D ．9212．[2022·南阳一中]样本()12,,...,n x x x 的平均数为x ，样本()12,,...,m y y y 的平均数为()y x y ≠，假设样本()1212,,...,,,,...,n m x x x y y y 的平均数()11,02z ax a y a =+-<<，那么,n m 的大小关系为〔 〕 A ．n m <B ．n m >C ．n m =D ．不能确定第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2022·保山统测]甲同学在“附中好声音〞歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，那么甲同学得分的方差为__________．14．[2022·奉新县一中]秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值得一个实例，假设输入n ，x 的值分别为3，4，那么输出v 的值为__________．15．[2022·石室中学]从某小学随机抽取名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．假设要从身高在[)120,130、[)130,140、[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，那么从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为_______．16．[2022·武邑中学]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚刚想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、{}0,1,2,,9b ∈．假设1a b -≤，那么称甲乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么二人“心有灵犀〞的概率为__________． 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2022·哈尔滨六中]某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100． 〔1〕求图中a 的值；〔2〕根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；〔3〕假设成绩在[)50,60的学生中男生比女生多一人，且从成绩在[)50,60的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率．18．[2022·寻乌中学]如下图，有两个独立的转盘〔A 〕、〔B 〕．两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒．用这两个转盘进行玩游戏，规那么是：依次随机转动两个转盘再随机停下〔指针固定不会动，当指针恰好落在分界线时，那么这次结果无效，重新开始〕，记转盘〔A 〕指针所对的数为x ，转盘〔B 〕指针所对的数为y ，〔x 、{}1,2,3y ∈〕，求以下概率：〔1〕(2)P x <；〔2〕(1)P y >．19．[2022·朝阳一模]某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．假设一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，那么称该学生的选考方案确定；否那么，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物〞三个选考科目，那么学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物〞为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生选考方案确定的有6人66312选考方案待确定的有8人 5 4 0 1 2 1 女生选考方案确定的有10人8 9 6 3 3 1 选考方案待确定的有6人5411〔1〕试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人．〔2〕写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理〞的人数．〔直接写出结果〕； 〔3〕从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 20．[2022·烟台诊断]某服装批发市场1-5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表:月份 1 2 3 4 5 销售量x (万件) 3 6 4 7 8 利润y (万元)1934264146〔1〕从这五个月的利润中任选2个，分别记为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于30〞的概率； 〔2〕销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；〔3〕假设由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，那么认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由〔2〕中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想．参考公式:1221,ni ii nii x y nxyb a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑．21．[2022·景德镇期中]阅读程序框图，并完成以下问题： 〔1〕假设输入x ＝0，求输出的结果； 〔2〕请将该程序框图改成分段函数解析式；〔3〕假设输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，求输入的实数x 的取值范围．22．[2022·南沙区一中]关于x 的一元二次函数()21f x ax bx =-+，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(),a b ．〔1〕假设{}13,P x x x =∈Z ≤≤，{|14,}Q x x x =-≤≤∈Z ，求函数()y f x =在x ∈R 内是偶函数的概率；〔2〕假设{|13,}P x x x =≤≤∈Z ，{|14,}Q x x x =-≤≤∈Z ，求函数()y f x =有零点的概率；〔3〕假设{}13,P x x x =∈R ≤≤，{|14,}Q x x x =-≤≤∈R ，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率．2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔B 〕答案第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】x ，y 呈正相关趋势时，散点图应该是从左下到右上趋势，由图可知选项A 中的散点图是从左下到右上趋势，描述了y 随着x 的增加而增加的变化趋势，应选A ． 2．【答案】A【解析】设甲胜的概率为p ，甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，那么由互斥事件至少有一个发生的概率公式得0.50.8p +=，0.3p ∴=，应选A ． 3．【答案】D【解析】超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，其比例为4:3:2，采用分层抽样的方法抽取样本进行平安检测，假设果蔬类抽取4种，那么奶制品类应抽取的种数为9494⨯=，应选D ． 4．【答案】A【解析】从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的和编号依次为08，02，14，19，14，01，其中第三个和第五个都是14，重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，那么第五个个体的编号为01．应选A ． 5．【答案】C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+=，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确．应选C ． 6．【答案】B【解析】第一次执行性程序后，313S ==，2i =，第二次执行程序后0S =，3i =，第三次执行程序后1S =，4i =，满足条件4i ≥，跳出循环，输出1S =，应选B ． 7．【答案】B 【解析】回归方程 1.2ˆ3ˆyx a =+，经过样本中心点()2,2.6， 2.6 1.2ˆ32a ∴=⨯+，解得ˆ0.14a=，∴回归直线方程为 1.2304ˆ.1y x =+，当6x =时， 1.2360.4.ˆ175y =⨯+≈， 应选B ． 8．【答案】B【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋〞、“文学〞、“摄影〞三个社团中选取一个社团参加，共有339⨯=种不同的结果，这两名同学参加同一个社团的有3种情况，那么这两名同学参加同一个社团的概率是3193=；应选B ． 9．【答案】A【解析】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是4的正方体．“平安飞行〞对应的区域为棱长是2的正方体．由几何概型概率公式得P=332814648==，故答案为：A ． 10．【答案】C【解析】A ．由折现统计图可得出：2022年农民工人均月收入的增长率是：10%，故正确；B ．由条形统计图可得出：2022年农民工人均月收入是：2205元，故正确；C ．因为2022年农民工人均月收入是：()2205120%2646⨯+=(元)，大于2205元；所以农民工2022年的人均月收入比2022年的少了，是错误的；D ．由条形统计图可得出，2022年到2022年这五年中2022年农民工人均月收入最高．应选C ． 11．【答案】B【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分〔包括90分〕以上的人数．结合茎叶图可知，成绩在90以上的人数为10人，所以选B ． 12．【答案】A【解析】所以()()() 1n m n m m n αα=⎧⎪⎩+=⎪⎨＋－，于是有()()()()+121n m m n m n ααα-=--⎡⎣=⎤⎦+-．210α-<，所以0n m -<，即n m <．应选A ． 第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分． 13．【答案】52【解析】22222298359525s ++++==，故答案为：52． 14．【答案】100【解析】()1424140100v ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⎣⎦． 15．【答案】3【解析】0.0350.020.010.0050.1a ++++=，解得0.03a =， 三组的比值为0.03:0.02:0.013:2:1=，故[]140,150内取11836⨯=人． 16．【答案】725【解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，那么1a b -≤的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有10×10=100， ∴他们“心有灵犀〞的概率为28710025P ==，故答案为：725． 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】〔1〕0.005；〔2〕73；〔3〕310． 【解析】〔1〕()0.020.030.04101a a ++++⨯=，0.005a =．〔2〕平均分的估计值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．〔3〕[)50,60共有1000.00510=5⨯⨯人，其中男生3人，女生2人，分别记为1，2，3，4，5，选出两人，根本领件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共10种，其中都是男生的有()1,2，()1,3，()2,3共3种，故概率为310． 18．【答案】〔1〕16；〔2〕23． 【解析】〔1〕“2x <〞表示“指针所对的数为1〞，由几何概型概率公式可得()601(2)13606P x P x <====，即()126P x <=．··········5分 〔2〕由题意得“1y >〞包含“2y =〞和“3y =〞两种情况， 由几何概型概率公式可得()()180602(1)233603603P y P y P y >==+==+=． 故2(1)3P y >=．··········10分19．【答案】〔1〕126；〔2〕2；〔3 【解析】〔1〕设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x ，所以选择生物的概率约为，所以选择生物的人数约为3420=12610x =⨯人．··········4分 〔2〕2人．··········6分〔3〕设选择物理、生物、化学的学生分别为1A ，2A ，3A ，选择物理、化学、历史的学生为1B ，选择物理、化学、地理的学生分别为1C ，所以任取2名男生的根本领件有()12,A A ，()23,A A ，()31,A B ，()11,B C ，()12,C C ，()13,A A ，()32,A C ，()12,B C ，()21,A B ，()11,A B ，()21,A C ，()31,A C ，()11,A C ，()22,A C ，()12,A C 所以两名男生所学科目相同的根本领件共有四个，分别为()12,A A ，()23,A A ，()12,C C ，()13,A A··········12分 20．【答案】〔1〕310；〔2〕 5.24ˆy x =+；〔3〕见解析．【解析】〔1〕所有的根本领件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30〞为事件A ，那么事件A 包含的根本领件为(34，41)，(34，46)，(41，46)，共3个，所以()310P A =．····5分〔2〕由前430y =，41652i ii x y==∑，421110i i x ==∑．30 5.25ˆ4a=-⨯=，所以线性回归方程为 5.24ˆy x =+．··········10分 〔3〕由题意得，当8x =时，ˆ45.6y=，45.6460.42-=<，所以利用〔2〕中的回归 方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．21．【答案】〔1〕1；〔2〕()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩；〔3〕[]2,1--．【解析】〔1〕输入x ＝0，[]02,2∈-，所以输出结果为()0021f ==；··········2分〔2〕()[]()()2,2,2 2,,22,xx f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩；··········7分 〔3··········12分- 11 - 22．【答案】〔1〕16；〔2〕13；〔3〕910． 【解析】〔1〕由得，{}1,2,3P =，{}1,0,1,2,3,4Q =-，所有的有序数列有()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,0，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有18对，要使()f x 是偶函数，须有0b =，满足条件的有序数对有()1,0，()2,0，()3,0共有3对，31186P ==．··········4分 〔2〕由得，{}1,2,3P =，{}1,0,1,2,3,4Q =-，所有的有序数列有()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,0，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有18对，要使()f x 有零点，240b a ∴-≥， 满足条件的有序数对有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共有6对， 61183P ==．··········8分 〔3〕要使()y f x =单调递增，12b a -∴-≤，即2a b ≥，(),a b 可看成是平面区域(){},|13,14a b a b Ω=≤≤-≤≤中的所有点，而满足条件是在平面区域(){},|2,13,14A a b a b a b =≥≤≤-≤≤中的所有点，12521922510A S P S Ω⨯-⨯⨯∴===⨯．··········12分。
重庆一中2021-2022学年高一下学期期中考试试卷 数学 Word版含答案
隐秘★启用前2022年重庆一中高2022级高一下期半期考试数 学 试 题 卷2022.5留意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必需使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必需使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(每小题5分,共60分) 1.在等差数列{}n a ,1352,10a a a =+=.则公差d =( )A.1-B.1C.2D.32.不等式111x ≤-的解集为( )A.(,1)[2,)-∞+∞B.(,0](1,)-∞+∞C.(1,2]D.[2,)+∞ 3.甲、乙两名同学八次数学测试成果如茎叶图所示,则甲同学成果的众数与乙同学成果的中位数依次为 ( )A.85, 86B.85, 85C.86, 85D.86, 864.运行如下的程序框图,输出的n 值为( ) A.4 B.3 C.2 D.15.(原创)ABC ∆中,角90C =︒. 若(,1),(2,2)AB t AC ==.则t =( )A.1-B.1C.3-D.36.已知2||10()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩,则下列结论正确的是( )A.()f x 的偶函数B.()f x 为增函数C. ()f x 为周期函数D. ()f x 值域为(1,)-+∞7.从向阳小区抽取100, 为制定阶梯电价供应数据,发觉其用电量都在到350度之间,制作频率分布直方图的工作人员 马虎大意,位置t 处未标明数据,你认为t =( ) A.0.0041 B.0.0042C.0.0043D.0.0044 8.(原创)已知递减的等比数列{}n a 满足22a =,前三项和为7,则12na a a 取最大值时n =( )A.2B.3C.2或3D.3或4 9.(原创)设a 的实数,则下列不等式肯定不成立．．．．．的是( ) A.24a a> B.2lg lg a a < C.2||0a a +≤ D.1||2a a +<10.锐角ABC ∆三边长分别为,1,2x x x ++,则x 的取值范围是( )A.(1,3)-B.(1,3)C.(3,)+∞D.(1,3)(3,)+∞11.(原创)设G 为ABC ∆的重心.2AG AM =.则( )A.2136BM BA BC =-+B.2136BM BA BC=+C.2136BM BA BC =- D.2136BM BA BC =--12.已知函数()(1||)f x x m x =+,关于x 的不等式()f x >()f x m +的解集记为T .若区间11[,]22-T ⊆.则实数m 的取值范围是( )甲 乙 8 9 7 7 8 4 5 5 6 8 3 5 5 7 1 2 9 2 3是否开头n=1n=n+1 2n >n 2?tA.B.C.(-∞D.13(0,2+二.填空题.(每小题5分,共20分)13.(原创)重庆某训练争辩机构对重庆38个区县中同学体重进行调查,按地域把它们分成甲、乙、丙、丁四个组,对应区县个数为4, 10, 16, 8.若用分层抽样抽取9个城市.则丁组应抽取的区县个数为 .14.ABC ∆中，5,7,120AB AC B ===︒.则ABC ∆的面积为 . 15.设0,0x y >>.且312()2x y-=.则14x y +的最小值为 .16.(原创)对数列{}n a 前n 项和为n S ,120(1,2,...),1n a n a a >===.且对2n ≥有12(...)n n a a a a +++=1211(...)n n a a a a -++++.则1223341...n nS S S S S S S S -++++= (2)n ≥.三.解答题.(共70分) 17.(10分)已知数列{}n a 前n 项和为212n S n n =-+.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{||}n a 的前10项和10T .18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 对边分别为,,a b c .角34C π=.且sin 2sin cos()B A A B =+.(1)证明:222b a =;(2)若ABC ∆面积为1,求边c 的长.(单位cm)的数据如下:(1)试求y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+;(2)试猜测玥玥10岁时的身高.(其中,121()(),()niii nii x x y y b a y b xx x ∧∧∧==--==--∑∑)20.(12分)直角三角形ABC 中,角,,A B C 对边长分别为,,a b c .90C ∠=︒. (1)若三角形面积为2,求斜边长c 最小值;(2)试比较n na b +与*()n c n N ∈的大小,并说明理由.21.(12分)已知函数9()log (91)()x f x kx k R =++∈是偶函数.(1)求k 的值;(2)若函数94()log (3)3x g x a a =⋅-的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点.求a 的取值范围. 22.（12分）已知数列22211{}:,()n n n n na a t n S n S a a +==++, 1,2,...n =(1)设{}n a 为等差数列,且前两项和23S =,求t 的值;(2)若13t =,证明:121n na n ≤<+.2022年重庆一中高2022级高一下期定时练习数学答题卷2022.42022年重庆一中高2022级高一下期半期考试数学答案2022.5二.填空题.(每小题5分,共20分)13.2 14.415.316.21223n--三.解答题.(共70分)17.解:(1)1112nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩132n=-(2)∵当6n≤时,na>,当7n≥时,0na<.∴101678910...T a aa a a a=++----6102S S=-52=18.解:(1)由已知有sin B A=由正弦定理有:b=即有222b a=(2)由已知有14(1)ababb⎫=⎪==即由又有解得2a b==由余弦定理有2222cos10c a b ab C=+-=∴c=19.解:(1)由公式有22221.5(13)(0.5)(5)0.55 1.5138.8( 1.5)(0.5)(0.5)(1.5)b∧-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==-+++(其中157.51312x y===)∴8.865a y x∧=-=从而回归直线方程为8.865y x∧=+(2)由(1),当10x=时.8.81065153y∧=⨯+=即当玥玥10岁时,猜测其身高为153cm左右.20.解:(1)由已知有4ab=.c==故斜边长c的最小值为(2)当1n=时,a b c+>当2n=时,222a b c+=当3n≥时,∵,c a c b>>222c a b=+∴222222n n nc c a c b c---⋅=⋅+⋅即2222n n nc a c b c--=+⋅2222n na ab b-->⋅+⋅n na b=+21.解:(1)由()()f x f x-=可求12k=-(2)由题方程9914log(91)log(3)23x xx a a-++=⋅-只有一解,即4(1)3303x x a a ----=有且只有一个实根令3xt =,则(0,)t ∈+∞从而方程24(1)103aa t t ---=有且只有一个正实根t当10a -=时,34t =-(舍去)当10a -≠时,若0∆=可求3a =-, 或34a =,但34a =时根0t <.舍去. 若0∆>,则120t t <.解得1a >从而所求a 范围是{3}(1,)-+∞ 22.解:(1)设等差数列公差为d ,则23t d +=又222211111()S S a a ⋅=++得11a =或13a =-但当13a =-时,9d =.无法使2221()n n n nn S n S a a +=++恒成立.所以1t = (2)先证1n a <.易知0n a >,2120nn n a a a n +-=>.故{}n a 为递增数列 从而21122n n n n n n a a aa a a n n -+=+<+ ∴21111n n a a n +<+有21111n na a n +->- 由叠加法有222111111[...](2)12(1)n n a a n ->-+++≥-留意到21111(2)(1)1k k k k k k <=-≥-- ∴22221111111[...]123(1)n a a n ->++++-11111[1(1)()...()]22321n n >-+-+-++--- 121n =--从而11111n a n >+>-. 即1(2)n a n <≥又1113a t ==<. 有*1()n a n N <∈成立. 再证21n na n ≥+ 当1n =时,1113211a =≥⨯+成立.由1n a <.22112221n n n n n n n a a n a a a a a n n n ++=+<+⇒>+ 从而2122n n n n n na aa a a a n n +=+=+⋅21221n n n a n a a n n +>+⋅+121n n n a a a n +=++∴211111n n a a n +>++. 即有211111n n a a n +-<-+叠加有222111111[...](2)11121(1)n n a a n -<-+++≥+++-又22111111kk k k k >=-+++ 从而222111111[...]11121(1)n a a n -<-++++++-11111[(1)()...()]2231n n <--+-+-- 11n =- ∴11212n n a n n +<+=. 即有(2)21n n a n n >≥+综上*()21n na n N n ≥∈+。
2019-2020学年重庆一中高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年重庆一中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知平面向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(2,4)，则−2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (−4,−10)B. (0,2)C. (4,−2)D. (0,−10)2. 在△ABC 中，B =135°，C =15°，a =3，则边b = ( )A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23. 两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是( )A. 甲、乙两人的各科平均分相同B. 甲的中位数是83，乙的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲的众数是89，乙的众数为874. 点P (7,−4)关于直线l ：6x −5y −1=0的对称点Q 的坐标是( )A. (5,6)B. (2,3)C. (−5,6)D. (−2,3)5. 已知直线经过点A(−2,0)，B(−5,3)，则该直线的倾斜角为( )A. 150°B. 135°C. 75°D. 45°6. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA:sinB =2:3，则a:b =( )A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37. 若数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=2a n .n =1，2，3….则a 1+a 2+⋯+a n = ______ ．A. 353453453B. 3453453C. 3543453D. 4534538. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ŷ=0.85x −0.25.由以上信息，得到下表中c 的值为( ) 天数x(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y(千个)2.5344.5cA. 5B. 6C. 7D. 89. 已知a ，b ∈{−1,0，1，2}，则关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的概率为( )A. 78B. 1316C. 34D. 5810. 在△ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2B. −2C. 2√3D. −2√311. 已知数列{a n }对任意的m 、n ∈N ∗，满足a m+n =a m +a n ，且a 2=1，那么a 10等于( )A. 3B. 5C. 7D. 912. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的平均数是x ，则数据x 1+1，x 2+2，…，x 10+10的平均数是_______. 14. 已知方程：x 2+y 2−(4m +2)x −2my −m =0,(m ∈R)①该方程表示圆，且圆心在直线x −2y −1=0上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当m =−1时，该方程表示的曲线关于直线l:x −y +1=0的对称曲线为C ，则曲线C 上的点到直线l 的最大距离为√2+22； ④若m ≥1，过点(−1,0)作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A,B ，则AB 所在的直线方程为4x +y −2=0．以上四个命题中，是正确的有_______________(填序号)15. 已知△ABC 中，AB =√3，BC =1，tanC =√3，则AC 等于______．16. 已知直线l 1：y =kx +3k −2与直线l 2：x +4y −4=0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)． (1)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 的值； (2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠BAD ．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否则不需要大100调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.已知{a n}为等比数列且a n>0，a1=1，a5=256；S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设T n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n，求T n．21.在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，△ABD面积与△ACD面积的比为2：3．(1)求cos∠C的值；(2)若AC=√2，求DC的长．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n log2a n，求{b n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查向量的坐标运算，属于基础题．直接利用向量的坐标运算求解即可．解：平面向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,4)，则−2a⃗−b⃗ =−2(−1,3)−(2,4)=(0,−10)．故选D.2.答案：C解析：本题主要考查正弦定理的应用．∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查样本数据特征：平均数、中位数、众数，会分析茎叶图的特点．根据茎叶图中的数据观察和计算可得．解：由茎叶图中的数据可知甲与乙的平均数均为82.55556，选项A正确，根据中位数的定义，从小到大排列，此题各组有9个数据，则最中间的一个数即为中位数，于是甲的中位数为83，乙的中位数为85，选项B正确，根据茎叶图的特点可知，数据越是集中说明越是稳定，因此可知甲比乙成绩稳定，选项C正确，由众数的定义知，甲的众数是83，乙的众数是98，因此选项D错误．4.答案：C解析：设所求对称点Q 的坐标为(a,b)，求出PQ 的中点为M(a+72,b−42)，直线l 的斜率k =65.再根据轴对称的性质建立关于a 、b 的方程组，解出a 、b 之值，可得点Q 的坐标．本题求定点P 关于直线l 的对称点Q 的坐标，着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．解：设P(7,−4)关于直线l ：6x −5y −1=0的对称点Q 的坐标为Q(a,b)， 可得PQ 的中点为M(a+72,b−42)，直线l 的斜率k =65，∵PQ 与直线l 相互垂直，且PQ 的中点M 在直线l 上，∴{b+4a−7×65=−1, 6×a+72−5×b−42−1=0，解得{a =−5b =6，可得Q 的坐标为(−5,6)． 故选：C5.答案：B解析：解：∵直线经过点A(−2,0)，B(−5,3)， ∴其斜率k =3−0−5−(−2)=−1． 设其倾斜角为θ(θ∈[0,π))， 则tanθ=−1． ∴θ=135°． 故选：B ．由两点式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角． 本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．解析：本题考查正弦定理，属于基础题目．直接利用正弦定理得出即可．解：∵sinA:sinB=2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.答案：C解析：解：数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n.n=1，2，3….所以数列是等比数列，公比为：2；a1+a2+⋯+a n=1(1−2n)1−2=2n−1；故答案为：2n−1由题意推出数列是等比数列，求出公比，直接求出它的前n项和即可．本题考查数列的求和公式的应用，数列的递推关系式，判断数列是等比数列，还是等差数列，主要依据数列的定义，注意公比是数值，是解题的关键．8.答案：B解析：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．解：x=3+4+5+6+75=5，y=2.5+3+4+4.5+c5=14+c5，代入回归直线方程中，得14+c5=0.85×5−0.25，解得c=6，故选B．9.答案：B解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n =4×4=16，使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 满足的条件为ab ≤1，由此利用举法能求出使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 的概率． 解：点P(a,b)，且a ，b ∈{−1,0，1，2}， 基本事件总数n =4×4=16，使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 满足的条件为： △=4−4ab ≥0，即ab ≤1，或a =0∴使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P(a,b)有：(−1,−1)，(−1,0)，(−1,1)，(−1,2)，(0,−1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,−1)，(1,0)，(1,1)，(2,−1)，(2,0)，共13个，∴使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 的概率P =1316． 故选：B ．10.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−π3)=2×2×(−12)=−2 故选B直接利用向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题11.答案：B解析：本题主要考查由数列的递推公式推导求解数列的项，考查基本运算，属于基础题． 由a m+n =a m +a n ，a 2=1可得a 4=2a 2，a 8=2a 4，进而可求a 10=a 2+a 8． 解：∵a m+n =a m +a n ，a 2=1， ∴a 4=2a 2=2， ∴a 8=2a 4=4，∴a10=a2+a8=5，故选B．12.答案：B解析：本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，|a⃗||b⃗ |≤1．∴a⃗⋅b⃗ =12即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.答案：x+5.5解析：，属基础题．本题考查数据的平均数性质，原数据的平均数为x，则新数据的平均数为x+1+2+...+1010=x+5.5．解：根据平均数性质知：原数据的平均数为x+1+2+...+1010故答案为x+5.5．14.答案：③④解析：本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．利用配方法把已知方程变形，确定圆心与半径判断①②；将m=−1代入圆的方程，把问题转化为圆上的点到直线l 的最大距离求解，即可判断③；求出以(−1,0)和圆心的连线为直径的圆的方程，将两圆方程作差可得两切点AB 所在直线方程判断④．解：由方程：x 2+y 2−(4m +2)x −2my −m =0，配方可得：(x −2m −1)2+(y −m)2=5m 2+5m +1当5m 2+5m +1>0，即m <−√5−510或m >√5−510才表示圆，故①错误； 由①知，当m <−√5−510或m >√5−510才表示圆，且圆心M(2m +1,m)在直线x −2y −1=0上移动，而圆的半径是是不定的，故②错误；当m =−1时，方程表示圆M(x +1)2+(y +1)2=1，由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离 即为圆M 上的点到直线l 的最大距离，即为|−1+1+1|√2+1=√2+22，故③正确； 当m ≥1时，r 2=5m 2+5m +1=5(m +12)2−14，则当m =1时，面积最小，此时圆心为M(3,1)，圆M 的方程为(x −3)2+(y −1)2=11，设P(−1,0)，则PM 的中点为(1,12)，|PM|2=17，则以PM 为直径的圆的方程为(x −1)2+(y −12)2=174，两圆相减即得AB 所在直线方程为4x +y −2=0，故④正确．故答案为：③④．15.答案：2解析：解：由题意AB =√3，BC =1，tanC =√3，可知C =60°，B =90°，三角形ABC 是直角三角形，所以AC =√AB 2+BC 2=2．故答案为：2．画出图形，利用已知条件直接求出AC 的距离即可．本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力．16.答案：(27,1)解析：本题考查了根据两直线的方程求出交点的坐标，需要掌握象限点坐标的特点，属于基础题．联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围．解：联立两直线方程{y =kx +3k −2x +4y −4=0， 解得{x =−12k+121+4k y =7k−21+4k ， 所以两直线的交点坐标为(−12k+121+4k ,7k−21+4k )，因为两直线的交点在第一象限，所以得到−12k+121+4k >0，且7k−21+4k >0， 解得27<k <1．故答案为(27,1)．17.答案：解：(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)，∴DA⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(2−m,−2)， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴1×(−2)−4(2−m)=0，∴m =52; (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+m,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4)， ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴−2(1+m)+8=0，∴m =3，此时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，∴cos∠BAD =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13×√5=−√6565．解析：本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，解题的关键是向量数量积的性质的熟练掌握．(1)先由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )求出坐标，然后根据BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标表示表示可求m ；(2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 求出坐标，由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据向量垂直的坐标表示可求m ． 18.答案：解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．解析：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.答案：解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1， 即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n 人，则0.6n =1800，解得n =3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x =45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X =80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a 、b ，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A 、B 、C 、D ，所以抽取两人的基本事件为：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD 共9个， 所以所求概率p =915=35．解析：本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a ，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得． 20.答案：解：(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，由a 5=a 1q 4得q =4，所以a n =4n−1．设{ b n }的公差为d ，由5S 5=2 S 8得5(5 b 1+10d)=2(8 b 1+28d)，d =32a 1=32×2=3，所以b n =b 1+(n −1)d =3n −1． (Ⅱ)T n =1⋅2+4⋅5+42⋅8+⋯+4n−1(3n −1)，①4T n =4⋅2+42⋅5+43⋅8+⋯+4n (3n −1)，②②−①得：3T n =−2−3(4+42+⋯+4n )+4n (3n −1)=−2+4(1−4n−1)+4n (3n −1)=2+(3n −2)⋅4n∴T n =(n −23)4n +23．解析：(Ⅰ)直接利用a1=1，a5=256求出公比即可求出{a n}的通项公式；把5S5=2S8转化为用首项和公差来写求出公差即可求{b n}的通项公式；(Ⅱ)直接利用(1)的结论对数列{a n⋅b n}用错位相减法求和即可求T n．本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．21.答案：解：(1)S△ABD=12⋅AB⋅AD⋅sin∠BAD，S△ACD=12⋅AC⋅AD⋅sin∠CAD，∠B=2∠C，所以：S△BAD S△ACD =12⋅AB⋅AD⋅sin∠BAD12⋅AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC=23，由正弦定理得：sinBsinC =ACAB=32，得到：sin2CsinC =2sinCcosCsinC=32，所以：cosC=34．(2)由(1)得：sinC=√1−sin2C=√74，所以：sinB=sin2C=2sinCcosC=3√78，cosB=cos2C=2cos2C−1=18．由(1)得：ACAB =32，所以：AB=2√23，设DC=x，由BDCD =23，所以：BD=2x3，在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cosC，即：AD2=2+x2−3√22x，①在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cosB，即：AD2=89+49x2−√29x，②由①②得：2x2−5√2x+4=0，解得：x =√22或2√2． 由于BC <AB +AC =5√23， 所以：53x <5√23， 所以：x <√2．故：x =√22,即：CD =√22．解析：(1)直接利用三角形的面积公式和正弦定理的应用求出结果．(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式及一元二次方程的解法求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．22.答案：解：(1)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n−1，当n =1时，a 1=S 1=2，∴数列的通项公式为．a n ={2,n =12n−1,n ≥2， (2)∵b n =a n log 2a n ，∴b n ={2,n =1(n −1)2n−1,n ≥2， ∴T n =2+1⋅2+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1，令M n =1⋅2+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1，2M n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −2)⋅2n−1+(n −1)⋅2n ，两式相减可得，−M n =2+22+23+⋯+2n−1−(n −1)⋅2n ，=2n −2−(n −1)⋅2n =(2−n)⋅2n −2，∴M n =(n −2)⋅2n +2∴T n =(n −2)⋅2n +4．解析：(1)根据数列的递推公式，即可求出．(2)由(1)和条件求出b n ，利用错位相减可求{b n }的前n 项和T n ．本题考查了数列的递推公式、前n 项和公式，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．。
重庆市第一中学2022_2022学年高一数学下学期期中仿真卷A卷2022053101106
2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔A 〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2022·孝感八校]一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤效劳人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，那么在20人的样本中应抽取管理人员人数为〔 〕 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】在20人的样本中应抽取管理人员人数为502051205030⨯=++，选C ．2．[2022·人大附中]“双色球〞彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，那么依次选出来的第3个红色球的编号为〔 〕 A ．21 B ．32C ．09D ．20【答案】C【解析】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…，故第三个数据为09．故答案为C ．3．[2022·南阳一中]要从已编号〔〕的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号是〔 〕A ．5，10，15，20，25，30，35B ．3，13，23，33，43，53，63C ．1，2，3，4，5，6，7D ．1，8，15，22，29，36，43【答案】B【解析】根据系统抽样的定义那么编号间距为70710÷=，那么满足条件是3，13，23，33，43，53，63；应选B ．4．[2022·张家界联考]如图是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是〔 〕 A ．62 B ．63C ．64D ．65【答案】C【解析】甲：13，15，23，26，28，34，37，39，41，所以中间的数是28，乙：15，24，25，32，36，37，38，45，47，中间的数是36，所以甲的中位数是28，乙的中位数是36，所以和是283664+=，应选C ．5．[2022·西北工业大学附中]假设关于某设备使用年限x 〔年〕和所支出的维修费用y 〔万元〕有如下统计资料：假设对呈线性相关关系，那么与的线性回归方程必过的点是〔 〕x1 2 4 5 y11.5 5.58A ．()2,2B ．()1,2C ．()4,5D ．()3,4【答案】D 【解析】∵124534x +++==，1 1.5 5.5844y +++==，∴这组数据的样本中心点是()3,4，∵线性回归方程过样本中心点，∴线性回归方程一定过点()3,4，应选D ．6．[2022·聊城一中]执行如下图的程序框图，假设输出的结果为 1.5，那么输入k 的值应为〔 〕 A ．4.5 B ．6C ．7.5D ．9【答案】B【解析】1n =，S k =，判断是，2n =，22k k S k =-=，判断是，3n =，263k k kS =-=，判断是，4n =，3124k k k S =-=，判断否，输出 1.54kS ==，6k =，应选B ． 7．[2022·泉州一中]用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，那么两个小球颜色不同的概率为〔 〕 A ．13B ．12C ．23D ．58【答案】C【解析】三种不同的颜色分别用A ，B ，C 表示，随机事件所包含的根本领件有：(),A A ，(),A B ，(),A C ，(),B A ，(),B B ，(),B C ，(),C A ，(),C B ，(),C C 共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，那么两个小球颜色不同的概率为6293P ==，应选C ． 8．[2022·淮南一模]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据几何概型的概率公式可得，A 图中奖的概率38P =，B 图中奖的概率2184P ==，C 图中奖的概率2163P ==，D 图中奖的概率13P =，那么概率最大的为A ，应选A 〔考点：几何概型〕．9．[2022·桂林联考]执行如下图的程序框图，假设输出的所有值之和是54，那么判断框的空白处应填〔 〕 A ．8n > B ．9n > C ．10n > D ．12n >【答案】B【解析】模拟程序的运行，可知，程序输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的倍数的数，因为所有输出值的和157********+++++=．故程序共运行9次．即判断框的空白处应填9n >．应选B ．10．[2022·三明联考]如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的平均数与中位数分别为〔 〕 A ．22.5 20 B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25【答案】C【解析】由题意，这批产品的平均数为()50021250041750082250032750033252275x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．，其中位数为()0050020.04520225008x -+⨯=+=....．应选C ．11．[2022·佳木斯一中]如果数据1x ，2x ，，n x 的平均数为x ，方差为2s ，那么143x +，243x +，，43n x +的平均数和方差分别为〔 〕A sB 2sC 216sD 216s【答案】D【解析】 ()()()2222121...n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦， 143x ∴+，243x +，...，43n x +的平均数为 143x +，243x +，...，43n x +的方差为()()()222212143434343...434316n x x x x x x S n ⎡⎤+--++--+++--=⎣⎦，应选D ． 12．[2022·临汾一中]在区间[]2,2-上任取一个数a ，那么函数()243f x x x a a =-+-+在[]0,4x ∈上的最大值是3的概率为〔 〕A ．34B ．14C ．45D ．25【答案】A【解析】由二次函数的性质可得，()243f x x x a =-+-在[]0,4上的最大值()()()(){}max max 024f x f f f =,,，又()max 3f x =，()()04f f =，()()03 23f f ⎧=⎪∴⎨≤⎪⎩或()()2303f f ⎧=≤⎪⎨⎪⎩，即33 113a a a a a -+=⇒≤⎧--+≤⎪⎨⎪⎩或13133a a a a a ⎧--+=⎪⇒=⎨-+≤⎪⎩，综合两种情况及[]22a ∈-，可得21a -≤≤，由几何概型概率公式可得函数()f x 在[]04x ∈，上的最大值是3的概率为()()123224--=--，应选A ． 第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2022·四川诊断]我国古代数学名著?九章算术?有一抽样问题：“今有北乡假设干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面假设干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人〔用分层抽样的方法〕，那么北面共有__________人． 【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为19214400，所以北面共有144001088100192⨯=人，故填8100．14．[2022·中山一中]如下图的框图运行后，假设输入n 的值为60，那么输出的结果是______．【答案】63 【解析】636420062m ⨯=>，所以输出63n =． 15．[2022·太原模拟]某人在微信群中发了一个7元“拼手气〞红包，被甲、乙、丙三人抢完，假设三人均领到整数元，且每人至少领到1元，那么甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________． 【答案】25【解析】由题意得共有()115,,，()151,,，()511,,，()124,,，()142,,，()214,,，()241,,，()412,,，()421,,，()133,,，()313,,，()331,,，()223,,，()232,,，()322,,这15种， 其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有()511,,，()412,,，()421,,，()313,,，()331,,，()322,,这6种，所以概率为62155=．16．[2022·泉州模拟]图①是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，图中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入(单位:元)在[)1000,1500，[)1500,2000，[)2000,2500，[)2500,3000，[)3000,3500，[)3500,4000的人数依次为1A ，2A ，⋯，6A ，图②是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，那么样本的容量n =_____，输出的S =_____．(用数字作答)图①图②【答案】〔1〕10000；〔2〕6000【解析】∵月收入在[)1000,1500的频率为0000850004⨯=..，且有4000人，∴样本的容量4000100000.4n ==． 由图②知输出的2361000040006000S A A A =++⋯+=-=．故填〔1〕10000，〔2〕6000．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2022·哈尔滨六中]从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160，第二组[)160,165，⋯，第八组[]190,195，以下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部，第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．〔1〕估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm )的人数；〔2〕求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图〔如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图〕；〔3〕由直方图估计男生身高的中位数． 【答案】〔1〕144；〔2〕详见解析；〔3〕174.5． 【解析】〔1〕由直方图，前五组频率为()000800160040040065082⨯.+.+.+.+.=.， 后三组频率为10.82018-=.；这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为8000.18144⨯=人．···········3分〔2〕由频率分布直方图得第八组频率为0.0085004⨯=.，人数为004502⨯=.人， 设第六组人数为m ，那么第七组人数为0185027m m ⨯--=-.，又()227m m +=-，所以4m =，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图．···········7分 〔3〕设中位数为n ，由[]155,170频率为0.32，所以[)170,175n ∈，1700.50.3250.2n --=， 解得174.5n =．···········10分18．[2022·阜城期末]某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计后得到频率分布直方图如下图：〔1〕试估计这组样本数据的众数和中位数〔结果精确到0.1〕；〔2〕年级决定在成绩[]70,100中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，那么在[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组分别抽取了多少人？〔3〕现在要从〔2〕中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长的概率．【答案】〔1〕65，73.3；〔2〕3，2，1；〔3〕35． 【解析】〔1〕由频率分布直方图得：众数为：6070652+=．成绩在[)5070,内的频率为：()000500351004+⨯=...， 成绩在[)70,80内的频率为：0031003⨯=..， ∴中位数为：0.1701073.30.3+⨯≈．···········4分 〔2〕成绩为[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组的频率分别为0.3，0.2，0..1， ∴[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．·····7分 〔3〕由〔2〕知成绩在[)70,80有3人，分别记为a ，b ，c ；成绩在[)80,90有2人，分别记为d ，e ；成绩在[]90,100有1人，记为f ．∴从〔2〕中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的根本领件有2630A =种，分别为：ab ，ba ，ac ，ca ，ad ，da ，ae ，ea ，af ，fa ，bc ，cb ，bd ，db ，be ，eb ，bf ，fb ，cd ，dc ，ce ，ec ，cf ，fc ，de ，ed ，df ，fd ，ef ，fe ，记“成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长〞为事件Q ， 那么事件Q 包含的根本领件有18种，∴成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长的概率()183305P Q ==．···12分 19．[2022·成都七中]在“新零售〞模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，方案在S 市A 区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到以下表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．〔1〕该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；〔2〕假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为200514z y x =--..，请结合〔1〕中的线性回归方程，估算该公司在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】〔1〕08506y x =+..；〔2〕4．【解析】〔1〕由表中数据和参考数据得：4x =，4y =，()()()121ˆ8508510ni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑..，ˆ4408506ˆa y bx =-=-⨯=..． ∴y 关于x 的线性回归方程为08506y x =+..．··········6分 〔2〕220051400508508z y x x x =--=-+-.....，A 区平均每个分店的年利润08800050850015085z t x x x x x ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭.....， ∴4x =时，t 取得最大值．故该公司应在A 区开设4个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．··········12分20．[2022·河南八市联考]某超市周年庆典，设置了一项互动游戏如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头P 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数〔箭头指向两个区域的边界时重新转动〕，且箭头P 指向每个区域的可能性都是相等的．要求每个家庭派一名儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，记为()a,b ，假设一个家庭总得分a b X =+，假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动，游戏规定：①假设X 8>，那么该家庭可以获得一等奖一份； ②假设X 8=，那么该家庭可以获得二等奖一份；假设()080X ab <<≠，那么该家庭可以获得纪念奖一份． 〔1〕求一个家庭获得纪念奖的概率；〔2〕试比拟同一个家庭获得一等奖和二等奖概率的大小． 【答案】〔1〕一个家庭获得纪念奖的概率为1936；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕由题意可知，一个家庭的得分情况共有36种，获得纪念奖的情况为()11,，()12,，()13,，()14,，()15,，()21,，()22,，()23,，()24,，()25,，()31,，()32,，()33,，()34,，()41,，()42,，()43,，()51,，()52,．共有19种． 记事件A =“一个家庭获得纪念奖〞，那么()1936P A =． 故一个家庭获得纪念奖的概率为1936．··········6分 〔2〕记事件B =“一个家庭获得一等奖〞，那么符合获得一等奖条件的得分情况包括：()45,，()54,，()55,共3种，那么()313612P B ==． 记事件C =“一个家庭获得二等奖〞，那么符合获得二等奖条件的得分情况包括：()44,，()53,，()35,共3种，所以()112P C =； 所以同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率相等．·········12分21．[2022·成都期末]阅读如下图的程序框图，解答以下问题： 〔1〕求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值；〔2〕根据程序框图，写出函数()f x ()x R ∈的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕()0,1．【解析】〔1〕当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==；··········3分 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+=．··········6分〔2〕根据程序框图，可得()22020 210x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩， 当0x <时，()2xf x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．那么可知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时， 实数k 的取值范围为()0,1．··········12分22．[2022·大同一中]设关于x的一元二次方程20x b ++=．〔1〕假设a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；〔2〕假设a 是从区间[]03，任取的一个数，b 是从区间[]02，任取的一个数，求上述方程有实数根的概率． 【答案】〔1〕()34P A =；〔2〕23． 【解析】设事件A为“方程20x b ++=有实根〞，方程20x b ++=有实根，那么a b ≥．〔1〕根本领件共12个：()0,0，()0,1，()0,2，()1,0，()1,1，()1,2，()2,0，()2,1，()2,2，- 11 - ()3,0，()3,1，()3,2，其中括号第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个根本领件，()00，，()10，，()11，，()20，，()21，，()22，，()30，，()31，，()32，，事件A 发生的概率为；()93124P A ==．··········6分〔2〕试验的全部结束所构成的区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤，构成事件A 的区域为(){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，··········12分 在Rt PAB △中，PB ==． ∴Rt PBD △中，12BPD S DP PB ∆=⋅⋅=．。
数学卷·2019届重庆市第一中学高一下学期期中考试(2017.05)
秘密★启用前2017年重庆一中高2019级高一下期半期考试数学试题卷 2017.5（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.设平面向量，，若，则等于( )A．B．C．D．3.在中，若，则（）A． B． C． D．4.在各项均为正数的等比数列中，，则（） A．4 B．6 C．8 D．5.数列前项的和为（）A． B．C． D．6.如右图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是（）A. B.C. D.7.已知平面上一条直线上有三个不同的点，是直线外一点，满足，则的最小值为（）A． B． C． D. 38.若实数满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9.在中，角所对的边分别是，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.10．已知数列的前和为，，当时，，则（）A.1006B．1007C．1008 D. 100911.（原创）已知平面直角坐标系中点，，，平面区域由所有满足（，）的点组成的区域，若区域的面积为8，则的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 612.（原创）已知，则的最小值是（）A. B. 16 C. D. 17第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上对应题号后的横线上.）13.已知为单位向量，其夹角为，则_________.14.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为495, 135,则输出的__________.15.已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为___________.16.（原创）在非直角中，为上的中点，且，为边上一点，，，则的面积的最大值为 (其中表示的面积).三.解答题:（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.（原创）（本小题满分12分）已知函数（为常数）.（1）当，时，解关于的不等式；（2）当，时，若对于恒成立，求实数的取值范围.19．(本小题满分12分)已知点分别在射线(不含端点)上运动，，在中，角所对的边分别是.（1）若是和的等差中项，且，求的值；（2）若，求周长的最大值.20.（本小题满分12分）设分别为三个内角的对边，若向量，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值(其中表示的面积).21．（本小题满分12分）已知数列中，，.(Ⅰ)求证：是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.22.（改编）（本小题满分12分）已知数列满足，. （Ⅰ）若，，，求实数的取值范围；（Ⅱ）设数列满足：，. 设，若，，求的取值范围；（Ⅲ）若成公比的等比数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公比.命题人涂勇审题人谢凯2017年重庆一中高2019级高一下期半期考试数学答案 2017.5一.选择题.(每小题5分,共60分)二.填空题.(每小题5分,共20分)三．解答题.（共70分）17.【解答】（1）设数列的公比为，又数列的各项均为正数，故，∴. 又∵，∴，解得.∴数列的通项公式为.（2）由（1）知.. ∴；.18.【解答】（1）当时，；讨论：①当时，原不等式的解集为；②当时，原不等式的解集为；③当时，原不等式的解集为；④当时，原不等式的解集为.（2）当时，，；；故.19.【解答】（1）因为成等差数列，且公差为2，故，，在中，，所以，由余弦定理得；代入得，解得或；因为，故.（2）在中，，，设，由正弦定理得，所以，；设的周长为，则，因为，所以当，即时，周长取到最大值.20.【解答】（Ⅰ），，且，，即，，，，因此.（Ⅱ）与余弦定理，，在中，，，，即当且仅当时，.21.【解答】（Ⅰ），（Ⅱ）当为奇数时，，；当为偶数时，，.综上所述：.22.【解答】：（Ⅰ）依题意，，∴，又，∴，综上可得；（Ⅱ）令，则问题转化为：是公比为的等比数列，，设，若，求的范围.由已知得，又，∴当时，，，即，成立当时，，，即，∴，此不等式即，∵，∴，对于不等式，令，得，解得，又当时，，∴成立，∴当时，，，即，即，∵∴时，不等式恒成立. 综上，的取值范围为.（Ⅲ）令，则是首项为1，公差为的等差数列，满足.显然，当时，是一组符合题意的解，∴，则由已知得，∴，当时，不等式即，∴，，∴时，，解得，∴，∴的最大值为，此时公差，此时公比.。
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秘密★启用前2013年重庆一中高2015级高一下期半期考试数 学 试 题 卷 2013.5数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一．选择题：（共10小题，每题5分，共50分．请将唯一正确的选项选出来，并涂在机读卡上的相应位置）1.已知)1,2(=→a ，)1,3(-=→b ，则=-→→b a （ ）A ()0,5B ()0,1-C ()2,1-D ()2,12. 已知某单位有职工120人，其中男职工90人。
现在采用分层抽样（按男女分层）抽取一个样本，若样本中有3名女职工，则样本容量为（ ）。
A 9B 12C 10D 153. 已知实数,a b 满足0,0a b b +><，则,,,a b a b --的大小关系是（ ） A a b b a >->>- B a b b a >>->- C a b a b >->-> D a b a b >>->-4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 65. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若c =,120b B == ，则边a 等于（ ） AB CD 26.数列{}n a 中，11=a ，对所有的2≥n 都有21a a (2)n a n =，则=⋅54a a （ ）A53 B 35 C 259 D 925 7.已知ABC △的三个内角C B A ,,所对边长分别为c b a ,,，向量),(b a c a m -+=→，),(c a b n -=→，若→m ∥→n ，则=∠C （ ） A6π B 3π C 2π D 32π1+*=i a a16≥a8. 已知数列{}n a 为等差数列，1a +3a +5a 102-=，246a a a ++99-=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最小值的n 是（ ）A 37和38B 38C 37D 36和379.在ABC △→→∙=AC BC ，()3,2--=→BA ,()1,m BC =→,则m 的值等于（ ） A 8 B 8- C32 D 32- 10.（原创）已知不等式)12)()((2))(2(+⋅--≥⋅---n n t c b b a c a c b a 对任意c b a >>及N n ∈恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ]222,(+-∞B ]124,(--∞C ),124[+∞-D ),222[+∞+二．填空题：（共5小题，每题5分，共25分．请将最简答案填在答题卷相应的位置）11. 在等比数列{}n a 中，23=a ，416=a ，则数列{}n a 的公比为________. 12. 样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则其方差为______________．13. 若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+003033x y x y x ，则目标函数y x z +=的最大值为_____________．14．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(→→→+∙OC OB OA 的最小值 是15.（原创）记n 项正项数列为n a a a ,,,21⋅⋅⋅，其前n 项积为n T ，定义)lg(21n T T T ⋅⋅⋅⋅为“相对叠乘积”，如果有2013项的正项数列201321,,,a a a ⋅⋅⋅的“相对叠乘积”为2013，则有2014项的数列201321,,,,10a a a ⋅⋅⋅的“相对叠乘积”为_______。
三．解答题：（共6小题，其中16～18每小题13分，19～21每小题12分，共75分．请将每题的解答过程写在答题卷相应的答题框内）16.（本小题满分13分）已知单位向量→a ，→b 满足3)2()32(=+∙-→→→→b a b a 。
（1）求→a ∙→b ； (2) 求→→-b a 2的值。
17.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足426=S ，2475=+a a .（1）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；（2）令n a n b -=2(n N *∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)sin sin ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。
（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的最大值。
19.（本小题满分12分）已知函数)(22)(R a x ax x f ∈--= (1) 若0=a ，解不等式1)(>x f ； （一） 解关于x 的不等式1)(-≥x f20.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S21.（原创）（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：0211=-+--n n n n a a a a ， ),2(N n n ∈≥ ，11=a ，前n 项和为n S 的数列{}n b 满足：,11=b 11212n n n n n n a a a b a a ---=-),2(N n n ∈≥，又nn n b S c 1-=),2(N n n ∈≥。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：38)11()11)(11(232<+⋅⋅⋅++≤n c c c ),2(N n n ∈≥；2013年重庆一中高2015级高一下期半期考试（本部）数 学 答 案 2013.5一：选择题 1---5 CBAAC 6---10 DBDBA二：填空题 11、21； 12、2； 13、3； 14、-2； 15、4027三：解答题16、解：（1）由条件3362422=-∙-∙+→→→→→→b b a b a a ，即3344=-∙-→→b a ，21-=∙∴→→b a .................................6分（2）=-→→22b a 2244→→→→+∙-b b a a 7)21(414=-⨯-+=，所以72=-→→b a .................................13分17、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为，426=s ，2475=+a a ，，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=⨯+2410242256611d a d a ,解得2,21==d a ,.................................4分 所以n a n 2=,()n n n n n S n +=⨯-+=22212；.................................8分（2）n na n nb ---===4222,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n T 4113141141141..............................13分18、解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ， 化简得0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ，即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ，故21cos =A ,又︒<<︒1800A ，所以︒=60A .................................6分（2）由余弦定理得21260cos 222=-+=︒bc a c b ，42422-≥=-+∴bc bc c b ，故 ,4≤bc 当c b =时取等号；面积34434360sin 21=⨯≤=︒=bc bc S ，当c b =时面积有最大值3。
................................13分 19、解:(1)1)(>x f 122122>-⇔>--⇔x x 22,2222,2x x x x ⇔-<≠⇔-<-<≠,故解得原不等式的解集为()()0,22,4 ；.................................4分 （2）原式⇔0122≥+--x ax ⇔0222≥--+-x x ax ⇔024)1(≥--+x x a ⇔[]()024)1(≥--+x x a 且2≠x ，.......................6分 当01<+a ,即1-<a 时，原不等式⇔0)2)(14(≤-+-x a x 且2≠x ， 解得214<≤+x a ...............................................................7分 当01=+a ，即1-=a 时，原不等式⇔202<⇒<-x x . (8)当01>+a ,即1->a 时，原不等式⇔0)2)(14(≥-+-x a x 且2≠x ，.......9分 ① 当11<<-a 时，142+<a ，解出142+≥<a x x 或；② 当1=a 时，⇔220)2(2≠⇒≠≥-x x x 且；..............................10分 ③ 当1>a 时，142+>a ，解出142+≤>a x x 或；...................... .11分. 综上：当1-<a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤+214x a x ；当1-=a 时，原不等式的解集为{}2<x x ；当11<<-a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+≥214x a x x 或；当1=a 时，原不等式的解集为{}2≠x x ；当1>a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤214x a x x 或；............................12分20.解、（1）当2≥n 时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⋅⋅⋅=-=------2121211222111a a a a a a n n n n n n⇒121212121-+⋅⋅⋅++=-n n a a ⇒ =+⋅⋅⋅+++=-122121211n n a 211211--n )211(2n -=， 当1=n 时，1)211(2=-=n a ，成立，所以通项n a )211(2n -=)(*∈N n .................................5分（2）n n b na =122--=n nn ，则n n b b b S +⋅⋅⋅++=21)2232221()21(21210-+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=n nn令12102232221-+⋅⋅⋅+++=n n nA ..........................①，则n n n nn A 221232221211321+-+⋅⋅⋅+++=-.........................②， ①-②得n n n n A 2212121211211321-+⋅⋅⋅++++=-=21211--n-n n 2n n 222+-= 所以1224-+-=n n n A ，则1(1)22422n n n n n S -++=⨯-+21242n n n n -+=+-+.................................12分 21、解：（1）由条件得0211=-+--n n n n a a a a 112--+=⇒n n n n a a a a ，易知0≠n a ，两边同除以1-n n a a 得11211+⨯=-n n a a )11(2111+=+⇒-n n a a ，又2111=+a ，故 n na 211=+121-=⇒n n a )(*∈N n 。