2019-2020年人教B版数学选修2-1课时分层作业+20+两个向量的数量积+Word版含解析

课时分层作业(二十) 两个向量的数量
积
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
C [∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a·b ＋b 2＝0，
即2|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝0，而|a |＝|b|，
∴2cos 〈a ，b 〉＋1＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12
. 又〈a ，b 〉∈[0°，180°]，
∴〈a ，b 〉＝120°，选C.]
2．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →
＝0
C.AA 1→·B 1D 1→＝0
D.AC 1→·A 1C →
＝0
D [如图，AB →＝－C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→
，故A ，B ，C 选项均正确．]
3．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么
( )
A.AE →·BC →＜AE →·CD →
B.AE →·BC →＝AE →·CD →
C.AE →·BC →＞AE →·CD →
D.AE →·BC →与AE →·CD →
不能比较大小
C [因为E 是BC 的中点，AB ＝AC ，故AE →⊥BC →，即AE →·BC →
＝0.不妨设空间
四边形的各边和对角线长均为1，且AB →，AC →，AD →的夹角为60°，则AE →·CD →＝12
(AB →＋AC →)·(AD →－AC →)＝12(AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AD →－AC →·AC →)＝－14
＜0，故选C.] 4．已知a ，b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )
A ．－6
B ．6
C ．3
D ．－3
B [由a ⊥b ，得a·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0，
∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.]
5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
C [AB →＝AC →＋C
D →＋DB →
，
∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →
＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →
＝0＋12＋0＝1，
又|AB →|＝2，|CD →
|＝1.
∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|
＝12×1＝12
. ∴a 与b 所成的角是60°.]
二、填空题
6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3
，则|a ＋b |＝________. 7 [|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2
＝1＋2×1×2×cos π3
＋22＝7， ∴|a ＋b |＝7.]
7．设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |＝5，|b |＝3，|c |＝8，那么(a ＋3c )·(3b －2a )＝________；(2a ＋b －3c )2＝________.
－62 373 [(a ＋3c )·(3b －2a )＝3a·b －2a 2＋9c·b －6a·c ＝3|a||b |cos 90°－2|a |2＋9|c ||b |cos 60°－6|a ||c |cos 60°＝－62；(2a ＋b －3c )2＝4a 2＋b 2＋9c 2＋4a·b －12a·c －6b·c ＝4|a |2＋|b |2＋9|c |2＋4|a||b |cos 90°－12|a||c |cos 60°－6|c|·|b |cos 60°＝373.]
8．如图所示，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，
F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →
－
EF →
|＝________.
2 3 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2；
EF →＝12
BD →， BD →·BC →
＝2×2×cos 60°＝2，
故|BC →－EF →|2＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2 ＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14
×4＝3， 故|BC →－EF →
|＝ 3.]
三、解答题
9．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，
AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且PA ＝AB ＝BC ＝12
AD ＝1，求PB 与
CD 所成的角．
[解] 由题意知|PB →
|＝2，
|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →
，∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →
＝0，
∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →
＝0，
∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →
＝0，
∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →
)
＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →
|＝2，
∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12
， ∴〈PB →，DC →
〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.
10．已知空间四边形OABC 中，∠
AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝
OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．
求证：OG ⊥BC .
[证明] 连接ON ，
设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，
又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |.
又OG →＝12
(OM →＋ON →) ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14
(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b ， ∴OG →·BC →＝14
(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14
·(a·c －a·b ＋b·c －|b |2＋|c |2－b·c ) ＝14
(|a|2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →
，即OG ⊥BC .
[能力提升练]
1．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为 ( )
A ．－25 B.25 C.35 D.1010
B [如图，由图知直线AM 与CN 所成角等于〈AM →，CN →〉.AM
→
＝AA 1→＋A 1M →，CN →＝CB →＋BN →，
∴AM →·CN →＝(AA 1→＋A 1M →)·(CB →＋BN →)＝AA 1→·CB →＋AA 1→·BN →＋A 1M →·CB →＋A 1M →·BN →＝12
， |AM →
|＝|AA 1→|2＋|A 1M →|2＝54＝52，|CN →|＝54＝52
.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →
|AM →||CN →|＝1252×52
＝25
.] 2．如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝
CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，
则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．
78
[由AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2得cos 〈AB →，AD →〉＝cos 〈AC →，AD →〉＝13
， cos 〈AB →，AC →〉＝79
，AN ＝CM ＝2 2. 又AN →＝12AB →＋12AC →，CM →＝12
AD →－AC →， ∴AN →·CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12AD →－AC → ＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12AC →2 ＝14×3×2×13＋14×3×2×13－12×3×3×79－12
×9＝－7. ∴cos 〈AN →，CM →〉＝AN →·CM →|AN →||CM →|
＝－722×22
＝－78. ∴异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为78
.]。