115江苏省高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案)115

高考一轮复习备考试题(附参考答案)
数列
一、填空题
1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，2682a a a +=，则6a 的值是 ▲
2、（2013年江苏高考）在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 。

3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．
4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ▲
5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1324412a a a a S +=++=，，则数列{}n a 的公比q 为 ▲
6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列{}n a 的各项均为正数,361
4,,2
a a ==
则45a a += ▲
7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲
8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，
12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ．
9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = -1，S 3 =
6，则S 6 = ▲
10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列
的前3n 项和，n T 为数列{}
3
n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲
11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且
a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1
d 的值为 ▲
二、解答题
1、（2014年江苏高考）设数列{
}的前n 项和为
.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得
，则称{}是“H 数列。

”
（1）若数列{}的前n 项和=（n ），证明：{}是“H 数列”；
（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d 0.若{}是“H 数列”，求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H 数列” {}
和{}，使得=（n ）成立。

2、（2013年江苏高考）设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。

记
c
n nS b n n +=
2
，*
N n ∈，其中c 为实数。

（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*
,N n k ∈）；
（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c 。

3、（2012年江苏高考）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：
2
2
1n
n n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩
⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b ∙
=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ， {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21， S 4＋b 4＝30．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）记c n ＝a n b n ，n ∈N*，求数列{c n }的前n 项和．
5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知无穷数列{}n a 满足：11a =，2132a a a =+，且对
于任意*n ∈N ，都有0n a >，2
1
24n n n a a a ++=+． （1）求234,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式．
6、（南京市2014届高三第三次模拟）已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，
b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求b
a
的值；
（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；
（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．
7、（南通市2014届高三第三次调研）各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =++
+，
12111n n
T a a a =++
+， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．
（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；
（2）设12
n n c na =，求集合(){}
*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．
8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1，
()
1
1131n n n n n n
a S S a a λ+++=
+⋅+（*n ∈N ）． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；
（2）若11
2n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．
9、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，
12
()1n n n n
b a b a +=-
+，*n ∈N ．
（1）求证：数列1
{}n
b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，
使得
1p
c ，1
q c ，1r c 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．
10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．
（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；
（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2
a 1．
参考答案
一、填空题 1\、4
2、12
3、
35
4、2－2n －
1 5、13
6、3
7、1
8、322+
9、39 10、7 11、2
二、解答题
1、（1）证明：∵
=
，∴
=
=
（n
），又
=
=2=
，∴
（n ）。

∴存在m=n+1使得
（2）=1+（n-1）d ，若{}是“H 数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。

=1+（m-1）d 成立。

化简得
m= +1+，且d 0
又m ， ，d ，且为整数。

（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则
n +=+（-1），=++1，
∴= （）同理= （） 取==k
由题==+（-1）++（-1）
=（）+（n-1）（）=（n+k-1））
可得{}为等差数列。

即可构造出两个等差数列{}
和{}同时也是“H 数列”满足条件。

2、证明：∵}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和
∴d n n na S n 2
)1(-+
= （1）∵0=c ∴d n a n S b n n 2
1-+==
∵421b b b ，，成等比数列 ∴412
2b b b = ∴)2
3
()21(2d a a d a +=+
∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 2
1
= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222
)
1(2)1(=-+=-+
= ∴左边=a k n a nk S nk
222)(== 右边=a k n S n k 222=
∴左边=右边∴原式成立
（2）∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ，∴11)1(d n b b n
-+=带入c
n nS b n
n +=
2得：
11)1(d n b -+c
n nS n +=
2
∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+
∈N n 恒成立
∴⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0
0210211
11111b d c cd d a d b d d 由①式得：d d 211= ∵ 0≠d ∴ 01≠d
由③式得：0=c 法二：证：（1）若0=c
，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=
，2
2)1(a
d n b n +-=．
当421b b b ，，成等比数列，412
2
b b b =，
即：⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322
d a a d a ，得：ad d 22
=，又0≠d ，故a d 2=．
由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=．
故：k nk
S n S 2=（*,N n k ∈）．
（2）c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(， c n a d n c
a d n c a d n n ++--+-++-=2
222)1(22)1(22)1( c
n a d n c
a d n ++--+-=2
22)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n
+=型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：0
22)1(2=++-c
n a
d n c
，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c ．
经检验，当0=c
时}{n b 是等差数列．
3、解：（1）∵n n n a b b +
=+11，∴11222
=
1n n
n n n n
n n a b b a a b b a +++=+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭。

∴
211
1n n n n b b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

∴ ()2
22
221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00
n n a >b >，，∴()()2
2
222
n
n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴12
2
12n n n n n
a b <a a b ++=
≤+。

（﹡）
设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则212=
2a a <a q ≤，∴当1
2
log q n >a 时，112n n a a q >+=，与（﹡）矛盾。

若01,<q <则212=
1a a >a >q ，∴当1
1
log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q 。

∴()1*n a a n N =∈，∴112<a ≤。

又∵1122=n n n n b b b a a +=∙
∙()*n N ∈，∴{}n b 是公比是
12
a 的等比数列。

若12a ≠，则
1
2
1>a ，于是123b <b <b 。

又由2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+即112
2
1n n
a b a a b +=
+，得22
1112
12=
1
n a a a b a ±--。

∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b 矛盾。

∴1=2a 。

∴()()
()
2
2
2
22
22
=
=221
n b ±
-
-。

∴ 12==2a b 。

4、解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．
由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．……………………………… 3分
由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3
＝30，解得⎩⎨⎧d ＝1，
q ＝2．
所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． ……………………………… 7分 （2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．
记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ． 则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n
－1
＋(n ＋1)×2n ，
2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －
1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋
1，
所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋
1， …………………………… 11分
即T n ＝n ·2n ＋
1，n ∈N*． ……………………………… 14分
5、解：（1）由条件，*2
12,4n n n n a a a ++∀∈=+N ，
令1n =，得2
2134a a a +=． …………………………………………………………2分
又2132a a a =+，且11a =， 易求得233,5a a ==． ……………………………4分
再令2n =，得23244a a a +=，求得47a =． …………………………………………6分
（2）∵2
1
24n n n a a a ++=+ (1) ∴2
2
134+++=+n n n a a a (2) 由(1)-(2)得，22
12
213(4)(4)n n n n n n a a a a a a +++++-=+-+ 213n n n n a a a a +++=- ……………………………………………8分
∴22
1132
2n n n n n n a a a a a a ++++++=+ ∴11322()()n n n n n n a a a a a a ++++++=+ ∴
213
12n n n n n n a a a a a a +++++++=，∴数列21n n n a a a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列． ………………………12分 ∴
21
n n n a a a +++=
13
2 2.a a a += ∴212.n n n a a a +++= ∴数列{}n a 为等差数列． ……………………………………………………………14分 又公差212d a a =-=， ∴21n a n =-．……………………………………………16分 6、解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，
则d ＝b －a
6
，q ＝
6
b
a
． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b
2
，b 3＝aq 3＝ab ． …………………………2分
因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或1
4
． …………………………4分
（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1
m ＋1
a ×n ．
因为λa ＝a ×q
m ＋1
，所以q ＝λ
1
m ＋1
，从而得b n ＝a ×λ
n
m ＋1
．
因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)
m ＋1
×a ＝a ×λn
m ＋1．
因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1
＝λn
m ＋
1（*）． ………………………6分
因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)
m ＋1为有理数．
要使（*）成立，则λ
n m ＋1
必须为有理数．
因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1． 若λ＝2，则λ
n m ＋1
为无理数，不满足条件．
同理，λ＝3不满足条件． …………………………8分 当λ＝4时，4
n m ＋1
＝22n m ＋1．要使22n
m ＋1为有理数，则2n
m ＋1
必须为整数．
又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件． 所以1＋3(n －5)
m ＋1
＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．
综上，λ最小值为4，此时m 为29． ……………………………10分 (3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和． 先证：若{c n }为递增数列，则{S n
n }为递增数列．
证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1
n
＝b n ＋1．
因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S n
n }为递增数列．
同理可证，若{c n }为递减数列，则{S n
n }为递减数列． ……………………………12分
①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S n
n ．
即aq (q m ＋
1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)
q －1n ，即aq m ＋
1－a m ＋1
＞aq n －a n ．
因为b ＝aq m ＋
1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1
，
所以d ＞b n －a
n ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．
②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S n
n ．
即aq (q m ＋
1－1)q －1m ＋1
＜aq (q n －1)q －1n ．
因为0＜q ＜1，所以aq m ＋
1－a m ＋1
＞aq n －a
n ．以下同①．
综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ………………………16分
证法二：设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公
比为q ，
b ＝λa (λ＞0，λ≠1)．
由题意，得d ＝λ－1m ＋1
a ，q ＝aλ1
m ＋1
，
所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1
an ，b n ＝a λn
m ＋1
．
要证a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )，
只要证1＋λ－1m ＋1
n －λn
m ＋1
＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N *，n ≤m )．…………………………12分
构造函数f (x )＝1＋λ－1m ＋1x －λx
m ＋1
(λ＞0，λ≠1，0＜x ＜m ＋1)，
则f′(x )＝λ－1m ＋1－1m ＋1
λx
m ＋1
ln λ．令f′(x )＝0，解得x 0＝(m ＋1)log λλ－1ln λ．
以下证明0＜log λλ－1
ln λ
＜1．
不妨设λ＞1，即证明1＜λ－1
ln λ＜λ，即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0．
设g (λ)＝ln λ－λ＋1，h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝1
λ－1＜0，h′(λ)＝ln λ＞0，
所以函数g (λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)为增函数． 所以g (λ)＜g (1)＝0，h (λ)＞h (1)＝0．
所以1＜λ－1ln λ＜λ，从而0＜log λλ－1
ln λ＜1，所以0＜x 0＜m ＋1．…………………………14分
因为在(0，x 0)上f′(x )＞0，函数f (x )在(0，x 0)上是增函数；
因为在(x 0，m ＋1)上f′(x )＜0，函数f (x )在(x 0，m ＋1)上是减函数． 所以f (x )＞min{f (0)，f (m ＋1)}＝0． 所以a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．
同理，当0＜λ＜1时，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． (1)
7、【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，
即11
1(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分
由(2)(1)2n n S T -+=，所以2
12n n
T S =-- ① 当2n ≥时，11
2
12n n T S --=-- ②
①-②，得
112122
22(2)(2)
n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分 即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以
1152
n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以1
1n
n b b -<． 所以
11
2
n n b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，
所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分
（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n n
c =．
由2m r k c c c +=，得2m r k k c c
c c +=（*）
又2n ≥时，
11
12n n c n c n
++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分 （Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则
2
2
422222m m m k m m m
c c
m m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*
1()r m i i =++∈N ，则()1
11
112122222222
i r k m m i
m m m m i m r m c c c ++++++++=
=-=
-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}
11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，
114
2k c c
c c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}
111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分） 8、
9、（1）因为2n n a b =，所以2n n
a b =
， 则14224
2221221n n
n n n n n n n n
a b b b a b a b b b +=-
=-=-=
++++， ………………………2分 所以
11112
n n b b +=+，
又13a =，所以123b =，故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为32，公差为1
2的等差数列， ……4分 即
1312(1)222n n n b +=+-⨯=，所以2
2
n b n =+． ………………………6分 （2）由（1）知2n a n =+，所以2521n n c a n =-=-， ①当1p =时，11p c c ==，21q c q =-，21r c r =-，
若
1p c ，1
q c ，1r
c 成等差数列，则2112121q r =+--（*）， 因为p q r <<，所以2q ≥，3r ≥，
2121q <-，1
1121
r +>-， 所以（*）不成立． …………………………9分
②当2p ≥时，若1p c ，1
q c ，1r c 成等差数列，
则
211212121q p r =+---，所以121421
212121(21)(21)
p q r q p p q --=-=-----， 即(21)(21)21421p q r p q ---=
--，所以22421
pq p q
r p q +-=--， ………………………12分
欲满足题设条件，只需21q p =-，此时2452r p p =-+， ………………14分 因为2p ≥，所以21q p p =->，224734(1)10r q p p p p -=-+=-+->，
即r q >． …………………………15分 综上所述，当1p =时，不存在q ，r 满足题设条件；
当2p ≥时，存在21q p =-，2452r p p =-+，满足题设条件．…16分
10、解：（1）解法一：因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则a 3＝3－2d ，a 4＝3－d ．
因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝(3－2d )2
3－d ． ………………3分
因为a 2＝1，所以(3－2d )2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为a n ＞0，所以d ＝3
4．
因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d )＝1
2．……………5分
解法二：因为a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5成等差数列，
则⎪⎩⎪⎨⎧+==+=3
2234
42
331a a a a a a ，……………3分 则3232
3+=a a ，解得233=
a 或13-=a （舍），所以2
1
2321=-=a 。

………5分 解法三：因为a 1，a 2，a 3成等差数列，则132a a -=，
因为a 2，a 3，a 4成等比数列，则2
14)2(a a -=………………3分
因为a 3，a 4，a 5成等差数列，则5342a a a +=，则32)2(212
1+-=-a a 解得：31=a 或211=
a ；当31=a 时，13-=a （与0>n a 矛盾，故舍去），所以2
11=a ． ………5分（注：没有舍去一解，扣1
分）
（2）证法一：因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列，
所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2．②；所以a 2
2n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2．③ 所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ．
因为a n ＞0，所以a 2n －2 ＋a 2n ＋2＝2a 2n ． …………7分 即数列{a 2n }是等差数列．
所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)．
由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列，
可得a 4＝(2a 2－a 1)2
a 2
．………………8分
所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)＝(a 2－a 1)n ＋a 1
a 2
．
所以a 2n ＝[(a 2－a 1)n ＋a 1]2
a 2
．……………………10分
所以a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]2
a 2
．
从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)n ＋a 1][(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]
a 2
．
所以a 2n －1＝[(a 2－a 1)(n －1)＋a 1][(a 2－a 1)n ＋a 1]
a 2．………………12分
①当n ＝2m ，m ∈N *时，
a n ＋1a n －a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1][(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1]
a 2[(a 2－a 1)m ＋a 1]2
a 2
－a 2a 1＝(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1(a 2－a 1)m ＋a 1
－a 2
a 1 ＝－m (a 1－a 2)2
a 1[(a 2－a 1)m ＋a 1]＜0． ……………14分
②当n ＝2m －1，m ∈N *，m ≥2时，
a n ＋1a n －a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1]2
a 2[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1][(a 2－a 1)m ＋a 1]a 2
－a 2a 1＝(a 2－a 1)m ＋a 1(a 2－a 1)(m －1)＋a 1－a 2
a 1
＝－(m －1)(a 1－a 2)
2
a 1[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1]
＜0．
综上，对一切n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1a n ＜a 2
a 1
． ………………16分
证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．
因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝(2a n ＋1－a n )a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝－(a n ＋1－a n )2
a n ＋1a n ≤0，
所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1
a n
．………………9分
②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1
a n
．………11分
由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *， a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n
≤…≤a 3
a 2．………13分
又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 2
2
a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1
，
因为a 1＜a 2，所以－(a 1－a 2)2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2
a 1
．………15分
综上，a n ＋1a n ＜a 2
a 1
．…………16分．。