广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期第15周周测数学试题(12月)

东莞市第四高级中学 2020-2021 第一学期高二数学第十五周周测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．设 P 是椭圆 x2 y2 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） 53
A． 2 2
（3）对于an +bn结构，利用分组求和法；
x1 x2
3 m， 2
由方程组
x1x2
3 4
m2 1 ，解得 m2 2m 1 0 ，即 m 1．
x1
x2 3， 2
而 m 12，2 ， 所以直线 l 的方程为 y=x-1．
1
（4）对于
结构，其中
anan1
an
是等差数列，公差为 d
A． 1 4
B．0
1 C．
2
D．1
6．若 ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边 a ，b ，c 满足(a b)2 c 2 3 ，且 C 120 ，则 ab 的
值为（ ）
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
7．集合 A x 1 x 1 ，若“ x B ”是“ x A ”的充分不必要条件，则 B 可以是（ ）
B． 2 3
C． 2 5
2．在△ABC 中， AB 3, AC 1, B ，则 A （ ） 6
A． 6 或 3
B． 或
23
2
C． 或
33
D． 4 2
D．
或
2
6
3．命题：“ x Z, log2 x 3 1”的否定为（ ）
A． x0 Z, log2 x0 3 1
B． x0 Z, log2 x0 3 1
得
4x2
6mx
3m2
3
0
.
令 36m2
48m2 48 0 ，得 2 m 2 ．
y x m
x1
x2
3 2
m
，
x1x2
3 4
m2 1
．
因为 PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形，所以 NP 平行于 x 轴．
过 M 做 NP 的垂线，则垂足 Q 为线段 NP 的中点．设点 Q 的坐标为
C． x Z, log2 x 3 1
D． x Z, log2 x 3 1
4．若方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是（ ）． m 4m
A． m 2
B． 0 m 2
C． 2 m 4
D． m 2
5．若不等式 ax2 bx 1 0 的解集为x | 1 x 2, 则 a+b 的值为（ ）
c2 a2
7 e 9
c a
7 3
17．【详解】(1) n 1 时，得 a1+S1 4 ，则 a1 2 ，
13．8
14．
7 8
【详解】根据由题意知
S3
，
S6
S3 ，
S9
S6
成等比数列，即
8，
7
8
，
S9
7
成等比数列，
所以 (1)2
8 S9
7 ，解得
S9
7
1 8
．所以 a4
a5
a9
S9
S3
7
1 8
22n
；
(2) bn log2 an 2 n ， bn bn1 (2 n) (3 n) 1 （常数），
所以数列{bn}是首项为 1，公差为 1的等差数列；
因为 A B C ，所以 sin C sin( A B) sin A cos B cos Asin B ，
(3) bn log2 an 2 n,b2n 1 3 2n,b2n 1 1 2n ，
所以 2sin Acos B 2cos Asin B sin A 2sin B cos A ， 化简得 (2 cos B 1) sin A 0 ，因为 sin A 0 ，所以 2cos B 1 0 ，解得 cos B 1 ，
2
1 b b 2n1 2n1
1 (3 2n)(1 2n)
1 (2n 3)(2n
四、解答题
17．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， an Sn 4 ，设 bn log2 an
18．已知椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 过点
A0,1 ，且椭圆的离心率为
6． 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)斜率为1的直线 l 交椭圆 C 于 M x1, y1 ， N x2, y2 两点，且 x1 x2 ．若直线 x 3 上存在点 P，
A．x 1 x 1 B．x 1 x 1 C．x 0 x 2 D．x 2 x 1
8．若关于 x 的不等式 kx2 3kx k 2 0 的解集为 R，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．{k | 4 k 0} B．{k | 8 k 0} C．{k | 4 k 0} D．{k | 8 k 0}
，则
1 an an 1
1 d
1 an
1 an1
，利用裂项相
消法求和.
b 1,
18． （Ⅰ）由题意得
c a
6, 3
a2 b2 c2.
解得 a2 3． 所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ． 3
（Ⅱ）设直线 l 的方程为 y=x+m， P 3, yP
x
2
由 3
y2
1，
15．在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 b 3 ， 2c a 2b cos A ，则 a c 的
最大值为________.
16．已知点 P 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上的一点， F1 ， F2 分别为椭圆的左、右焦点，已知
F1PF2 120 ，且 PF1 2 PF2 ，则椭圆的离心率为______．
5
5
5
5
二、多选题
9．若数列{an} 满足 a4 9 ，且 (an1 an 1)(an1 3an ) 0(n N*) ，则首项 a1 可能是（ ）
A．6
5
B．
3
C．2
1
D．
3
10．下列结论正确的是（ ）
A．当 x 0 时， x2 2 2 2 x
B．函数 y x 1 的值域为2,
所以 an1 an 1 或 an1 3an ，
当 an1 an 1 时，{an} 是公差为 1 的等差数列，此时 a1 a4 3d 9 3 6 ，
当 an1
3an 时，{an}是公比为
3
的等差数列，此时 a1
a4 q3
9 33
1 3
，
10．AD
A. 当 x 0 时， x2 2 x 2 2
8
7 8
．
15． 2 3 解：因为 2c a 2b cos A ，
所以由正弦定理得， 2 sin C sin A 2 sin B cos A ，
n
2
时，由 an
Sn
4 得 an1
Sn1
4 ，两式相减得 2an
an1
0 ，即
an an1
1 2
，
所以数列
an
是等比数列, an
2
1 2n1
11．ABC A. “a=b”能推出“ac=bc”，当 c = 0 时，“ac=bc”推不出“a=b”，故正确； B. 1 1 b a 0 ，当 ab 0 时， a b ；当 ab 0 时， a b ，故正确；
a b ab C. “a≠0”推不出“ab≠0”， 若“ab≠0”，则 a 0 且 b≠0 ，故正确；
1
（3）求数列
b2n1
b2n1
的前
n
项和
Tn
C．直线 l 的方程为 x y 3 0
D． AB 4 3 3
三、填空题
x y 0 13．已知实数 x，y 满足 2x y 0 ，则 3x y 的最大值为________ ．
y 4 0
14．已知 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，且 S3 8 ， S6 7 ，则 a4 a5 a9 ________．
2ab
2
所以 (a b)2 c2 ab ，解得 ab 3 .
7．B 8．D【详解】当 k 0 时， 2 0 恒成立，符合题意；
当 k 0 时，需满足 k 0 且 9k 2 4k k 2 5k 2 8k 0 ，得 8 k 0 ，
5 综上， 8 k 0 .
5 9．AD 因为 (an1 an 1)(an1 3an ) 0(n N*) ，
所以 (a c)2 3ac 3 ，所以 3 (a c)2 3 (a c)2 1 (a c)2 ，当且仅当 a c 时取等号
4
4
所以 a c≤2 3 ， a c 的最大值为 2 3 ，
16．
7 【详解】 PF1 2 PF2 3
， PF1 PF2
2a PF2
2a 3
，
PF1
使得 PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形，求直线 l 的方程．
高二第二学期数学周测 12.5 参考答案
1．C 2．D 3．A
m0
4．B 若方程 x2
y2
1 表示焦点在
y
轴上的椭圆，则
4
m
0
，解得 0
m
2
．
m 4m
4 m m
5．B
6．C 由余弦定理，得 cos C a2 b2 c2 1 ，即 a2 b2 c2 ab ，
D. “a>b>0”能推出“an > bn (n 纬N ,n 2)”，反之不成立，故错误；
12．CD【详解】由椭圆方程 x2 y2 1 可得焦点在 y 轴上，且 a 2 2, b 2, c 2 ，
48
椭圆的焦点坐标为 0, 2,0, 2 ，故 A 错误；椭圆 C 的长轴长为 2a 4 2 ，故 B 错误；
x
x
2
，当且仅当
x
2 x
即
x
2 时等号成立，正确；
B.
当 x 0 时，函数
y
x
1 x
2
，当且仅当
x
1
取等号，所以错误；
C.
当 x 3 时， y
x
1 x 1
x 1
1 1 3 ，当 x=2 时等号成立，而 x>3，所以错误 x 1
D. 若 x y 2 ，则 2x 2y 2 2x y 2 4 4 ，当且仅当 2x 2y 即 x y 1 等号成立，所以正确.
可知直线 l 的斜率存在，设斜率为 k ， A x1, y1 , B x2, y2 ，
则
x12 4 x22 4
y12 8 y22 8
1
，两式相减得
1
x1
x2
x1
4
x2
y1
y2
y1
8
y2
0
，
2 x1 x2
4
4 y1
8
y2
0 ，解得 k
y1 y2 x1 x2
1 ，
则直线 l 的方程为 y 2 x 1 ，即 x y 3 0 ，故 C 正确；
x y 3 0
联立直线与椭圆 x2
4
y2 8
1
，整理得 3x2
6x 1 0 ， x1
x2
2, x1x2
1
，
3
因为
B
(0,
)
，所以
B
3
，因为
b
3 ，所以由余弦定理得，3 a2 c2 2ac cos B a2 c2 ac ，
（1）求数列an 的通项公式
12．已知椭圆 C： x2 y2 1 内一点 M(1，2)，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M 为线段 AB 的中点，
48 则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）
B．椭圆 C 的长轴长为 2 2
（2）判断数列bn 是否为等差数列，并说明理由.
1)
1 2
(
1 2n
3
2n11)
，
Tn
1 2
(1 1
1) 1
1 2
(1 1
1) 3
1 2
(1 3
1) 5
1 2
(1 2n 3
1) 2n 1
1 2
(1
2n11)
n 2n 1
.
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于anbn结构，其中an 是等差数列，bn 是等比数列，用错位相减法求和；
xQ , yQ
，则 xQ
xM
x1
x2 3 ． 2
4a 3
AB 1 12 22 4 1 4 3 ,故 D 正确.
33 【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在 y 轴上，在做
题时容易忽略焦点位置，判断错误.
F1PF2
120 ， 4c2
2a 3
2
4a 3
2
2
2a 3
4a 3
(
1 2
)
，解得
x
C．当
x
பைடு நூலகம்
3
时，
y
x
x
1 1
的最小值时
3
D．若 x y 2 ，则 2x 2y 的最小值是 4
11．下列说法正确的有（ ）
A．“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件 B．“ 1 1 ”是“a<b”的既不充分又不必要条件 ab
C．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D．“a>b>0”是“an > bn (n 纬N ,n 2)”的充要条件