江西省上高二中2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题文【含答案】

江西省上高二中2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 文
一、单选题(每小题5分，共60分) 1.抛物线2
14
x y =-的准线方程为（ ） A.116x =
B.116
x =- C.1y =
D.1y =-
2.圆4)1()1(:221=-++y x C 与圆25)4()3(:222=-+-y x C 的公切线有（ ） A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
3．已知椭圆22
1102
x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
4．若抛物线2
1:2C y px =的焦点与椭圆22
222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点重合，且1C 与2C 的一
个交点坐标是23⎛ ⎝⎭
，则椭圆的长轴长为（ ）
A ．4
B ．2
C ．D
5．若圆2
2
:(1)4C x y -+=上恰有两个点到直线0x b -+=的距离为1，则实数b 的取值范围（ ） A ．()7,3--
B ．()1,5
C ．()3,5-
D ．(7,3)(1,5)--⋃
6．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右顶点为A ，左焦点为F ，若以AF 为直径的圆过短轴
的一个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为2
2
2x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A ．
B C
D ．3
8.若椭圆
22136
9
x y 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A.20x y
B.240x y
C.280x
y D.21334
0x y
9．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线y ＝2m 所的取值范围是（ ）
A ．[3-
B ．(,3(4,)-∞-⋃+∞
C ．[3+
D ．(,1(2,)-∞⋃+∞
10．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭
圆E 于,A B 两点，点A 在x 轴上方.若||3AB =，2ABF ∆的内切圆的面积为916
π
，则直线2AF 的方程是（ ）
A ．3230x y +-=
B ．2320x y +-=
C ．4340x y +-=
D ．3430x y +-=
11、已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：22
1259
x y +=的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为12F PF ∠的外
角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M|=（ ） A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
12．已知椭圆 22
:186x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，点P 为椭圆C 上不同于,A B 两点的动点，
若直线PA 斜率的取值范围是[1]2，，则直线PB 斜率的取值范围是( ) A.[
]21﹣，﹣ B.33,24⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦ C.112
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，-
D.33,48⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦ 二、填空题(每小题5分，共20分)
13.圆2
2
2410x y x y ++-+=关于直线()220,ax by a b R -+=∈对称，则ab 的取值范围是
_______
14．抛物线2
4y x =的焦点为F ，点(2,1)A ，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则MAF ∆周长的最小值为____．
15．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是_____________
16．已知()0,1A 为椭圆22
44x y +=上一定点，点P 为椭圆上异于A 的一动点，则AP 的最大值
为______.
三、解答题
17．（本小题满分10分）
（Ⅰ）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线C 上一点(4,)M m 到其焦点的距离为6. 求抛物线C 的标准方程及m 的值；
（2）若点(2,3,2)A 关于xOz 平面的对称点为A '，点(2,1,4)B -关于y 轴对称点为B '，点M 为线段A B ''的中点，求||MA 的值.
18.(本小题满分12分)
已知椭圆C 1: 2
214
x y +=,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.
(1)求椭圆C 2的方程;
(2)已知12,F F 为椭圆C 2的两焦点，若点P 在椭圆C 2上，且123
F PF π
∠=,求12F PF ∆的面积。

19．(本小题满分12分)已知圆2
2
:(4)1M x y +-=，直线:20l x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （1）若60APB ∠=，求P 点坐标；
（2）若点P 的坐标为(1,2)，过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当CD =求直线CD 的
方程；
（3）求证：经过A 、P 、M 三点的圆与圆M 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C:2222x y a b +=1(a>b>0)的离心率e=2
,点在该椭圆上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若点A,B 是椭圆C 上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k 的取值范围.
21．(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为2
212
x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，
以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S . （1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆2
2
3x y +=.
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于1
2
，它的一个顶点恰好是抛物线283x =的焦点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点()2,3P ，()2,3Q -在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足
APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.
2022届高二年级第一次月考数学（文科）试卷答题卡
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
13、 14、 15、 16、
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17、（本题满分10分）
18、（本小题满分12分）
19、（本小题满分12分）
20、（本小题满分12分）
21、（本小题满分12分）
22、（本小题12分）
2022届高二年级第一次月考数学（文科）试卷答案
1-5CBDAD 6-10BBCDD 11-12AD
13. 1,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
14．32+ 15.2212036x y +=（x≠0） 16.
43
17（1）2
8y x = (2)解：
点()2,3,2A 关于xOz 平面的对称点为A '，()2,3,2A '∴-，
点(2,1,4)B -关于y 轴对称点为B '，()2,1,4B '∴-， 点M 为线段A B ''的中点，
()2,1,1M ∴--， 222||(22)(13)(12)5MA ∴=-+--+--=． 18解(1)由已知可设椭圆C 2的方程为
=1(a>2),
其离心率为,故,解得a=4.
故椭圆C 2的方程为=1.
4
33
19解：（Ⅰ）由条件可知2PM =，设(,2)P a a ，则22(24)2PM a a =+-=解得2a =或6
5
a =
，所以(2,4)P 或612
(,
)55
P (Ⅱ)由条件可知圆心到直线CD 的距离2
2
d =
，设直线CD 的方程为2(1)y k x -=-， 222
1
k k +=
+，解得7k =-或1k =- 所以直线CD 的方程为30x y +-=或790x y +-=
（III ）设(,2)P a a ，过A 、P 、M 三点的圆即以PM 为直径的圆， 其方程为()(4)(2)0x x a y y a -+--=
整理得2
2
4280x y ax y ay a +---+=与2
2
(4)10x y +--=相减得
(42)8150a y ax a --+-=
即(28)4150x y a y --++-=
由4150{280y x y -=--+=得1
2{15
4
x y =
=
所以两圆的公共弦过定点115
(,
)24
20(1)由已知
e=
c a 2
=
, 即c 2=12a 2,b 2=a 2-c 2=12a 2
, 将
代入椭圆方程,得
2221
a b
+=1,
.∴a 2=4,∴b 2=2,
∴ 椭圆C 的方程为22
x y 42
+
=1. (2)椭圆C 上存在点B,A 关于直线y=kx+1对称, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),y 1≠y 2,AB 的中点(x 0,y 0),
易知直线y=kx+1且k≠0,恒过点(0,1),则2
1x +(y 1-1)2=2
2x +(y 2-1)2,
点A,B 在椭圆上,∴21
x =4-22212y ,x =4-22
2y , ∴ 4-221y +(y 1-1)2=4-222y +(y 2-1)2
. 化简得2212y y -=-2(y 1-y 2),即y 1+y 2=-2,∴ y 0=
12
y y 2
+=-1. 又AB 的中点在y=kx+1上,∴ y 0=kx 0+1,x 0=-
2k
. 由22x 2y 4,-1,
y ⎧+=⎨=⎩可得
,∴0<
-2 k <,或
<- 2 k <0,
即
. 则k 的取值范围是(-∞,
,+∞). 21（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+，
联立椭圆方程2
2
22x y +=，可得2234220x tx t ++-=，
设()11,A x y 、()22,B x y ，则()
2
2
2
1612222480t t t ∆=--=->
，即t <<
由韦达定理得1243
t x x +=-，21222
3t x x -=，
则中点2,33t t C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，可得圆心C
的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭
，即轨迹为线段；
（2）由（1）可得AB ===
可得圆S 的方程为2
2
22124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
若圆S 经过原点，可得()
2243599
t t -=
，解得3t =±，
因此，直线l 的方程为3
y x =±；
（3）圆2
2
3x y +=的圆心设为()0,0O
圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
由2
222
2512413
3393933t t OS t ⎛⎫--=--+=+
- ⎪⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭，
()03m m =<<，则2
2
93
m t -=，
可得()2
22
2
941312033333m m OS m --=
+-=--≤⎪⎝
⎭
， 可得圆S 内含或内切于圆2
2
3x y +=.
22（1）∵椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，
∴设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，0a b >>，
椭圆的离心率等于1
2
，一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，
∴b =1
2
c a =，又∵222a b c =+，∴221124a a =+，解得4a =，
∴椭圆C 的方程为22
11612
x y +=.
（2）当APQ BPQ ∠=∠时，PA ，PB 的斜率之和为0，
设直线PA 的斜为k ，则PB 的斜率为k -，设()11,A x y ，()22,B x y ， 设直线PA 的方程为()32y k x -=-，
由()223211612y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()()()
22234832432480k x k kx k ++-+--=，∴()12823234k k
x k -+=+，
设PB 的直线方程为()32y k x -=--， 同理，得()
()22282382323434k k k k x k k ---++==++， ∴2122
161234k x x k -+=+，1224834k x x k --=+， ()()()1212121212122323412
AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--====---， ∴AB 的斜率为定值
12.。