2016年天津市河西区中考二模数学答案
天津市2016届中考模拟数学试题(二)及答案
2016 年••天津市中考模拟试卷••• 中考“名师圈题”数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）（1） 3 + (-5) 的结果是( )（A ）-2 （B ）2 （C ）8 （D ）-8（2） 3tan 30°的值为( ) （A ）23(B)3 （C ）33 （D ）233 （3）下列图形中，不是中心对称图形的是( )（4）“H7N9”是一种新型禽流感,其病毒颗粒呈多形性,其中球形病毒的最大直径为0.00000012 米, 0.00000012 用科学记数法表示为( )（A ）1.2×10-9 （B ）1.2 ×10-8 （C ）12×10-8 （D ）1.2×10-7 （5）形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如图所示，则其主视图是下图中的( )（6）如图，圆O 是△ABC 的外接圆,连接 OA,OB,∠OBA=500,则∠C 的度数为( )（A ） 30 （B ） 40 （C ） 50 （D ） 80 （7）设 119-=a , a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( ) （A ）1和 2（B ） 2 和 3 （C ） 3 和 4 （D ） 4 和 5（8）不解下列方程，判断下列哪个数是方程32133112--++=+x x x x 的解( ) （A ） x=1 (B)x=-1 C. x =3 (D) x=-3 （9）对于反比例函数xy 1-=,下列说法不正确的是( )（A ）图象经过点 (1,-1) （B ）图象在第二、四象限（C ） x> 0 时,y 随 x 的增大而增大 （D ） x< 0 时, y 随 x 的增大而减小 (10) 在平面直角坐标系中,已知△EFO 点,以原点 O 为位似中心,相似比为21,把△EFO 缩小,若 E(-4, 2) ,则点 E 的对应点 E ' 的坐标是( )（A ）（-2,1） （B ）（-8,4） （C ）（-8,4）或（8,-4） （D ）（-2,1）或（2,-1） 11.二次函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图所示,当x=a 时, y<0 .那么当 x=a-1 时,函数值 y 的取值范围是( )（A ） y<0 （B ） 0< y< m （C ） y>m （D ） y= m（12）如图,等腰直角 △ABC 中, AC=BC,∠ACB =900, AF 为△ABC 的角平分线,分别过点 C, B 作 AF 的垂线,垂足分别为 E ,D.以下结论:① CE=DE=BD 22;② AF= 2BD ;③ CE+ EF=AE 21;④212-=AF DF .其中结论正确的序号是( )（A ）①②③ （B ）①②④ （C ）①③④（D ）②③④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）(13)若|x|=7,则x 的值等于____________.(14) 在正比例函数 y=-3mx 中,y 随 x 的增大而增大,则 P(m,5) 在第_____象限.(15) 在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是 1 的概率为 ．(16) 如图,AB 是圆O 的直径,点 C 在圆上,CD ⊥ AB 于点 D , DE// BC ,则图中与△ABC 相似的三角形共 有 个．(17) 如图,圆内接正六边形 ABCDEF 中,AC 、 BF 交于点 M .则 S △ABM : S △AFM 等于 ．(18) 如图，在正方形网格中有一边长为 4 的平行四边形 ABCD ． （Ⅰ）平行四边形 ABCD 的面积是 ；（Ⅱ）请在如图所示的网格中,将其剪拼成一个有一边长为 6 的矩形,画出裁剪线(最多两条),并简述拼接方法．三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）（19）（本小题 8 分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥+)2(121)1(4)2(3x x x 请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①,得 ； （Ⅱ）解不等式②,得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．（20）（本小题 8 分）从 2013 年 1 月 7 日起,中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气. 某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”,随机调查了该市部分市民,并对调查结果进行整理,绘制了如下尚不完整的统计图表..请根据图表中提供的信息解答下列问题：（Ⅰ）求接受调查的总人数；（Ⅱ）填空：m =________，n =_______，扇形统计图中 E 组所占的百分比为_________%；（Ⅲ）若该市人口约有 100 万人，请你估计其中持 D 组“观点”的市民人数.（21）（本小题 10 分）已知 AB 为圆O 的直径, C 为圆 O 上一点,若直线 CD 与圆O 相切于点 C,AD⊥CD,垂足为 D .（Ⅰ）如图①, AB=10,AD = 2 ,求 AC 的长；（Ⅱ）如果把直线 CD 向下平行移动,如图②,直线 CD 交圆O 于C, G 两点,若题目中的其它条件不AD的值.变，且 AG= 4 ,BG=3,求AC（22）（本小题 10 分）如图,已知斜坡 AB 长为 60 2米,坡角（即∠BAC）为 45º, BC⊥ AC.现计划在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线 AC 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE ,若修建的斜坡 BE 的坡比为3 :1 ,求休闲平台 DE 的长是多少米?（结果保留根号）．（23）（本小题 10 分）某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台.市场调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台．（Ⅰ）假设每台冰箱降价 x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元,请写出 y 与 x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（Ⅱ）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元？（Ⅲ）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？（24）（本小题 10 分）如图,四边形 OABC 是矩形,点 A , C 的坐标分别为（3,0）,（0,1）,点 D 是1交折线 OAB 于点 E ．线段 BC 上的动点(与端点 B 、 C 不重合),过点 D 作直线b=y+x-2（Ⅰ）当点 E 与点 A 重合时,求点 D 的坐标；（Ⅱ）当点 E 在线段 AB 上时,记△ODE 的面积为 S ,求 S 与 b 的函数关系式；（Ⅲ）当点 E 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1ABC1,试探究O1ABC1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.（25）（本小题 10 分）已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y 在 x=0 和 x=2 时的函数值相等．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若一次函数 y= kx+6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(-3, m) ,求 m 和 k 的值； （Ⅲ）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B, C (点 B 在点 C 的左侧),将二次函数的图象在点 B,C 间的部分(含点 B 和点 C)向左平移 n( n >0)个单位后得到的图象记为 G ,同时将（Ⅱ）中得到的直线 y= kx+6 向上平移 n 个单位．请结合图象回答:平移后的直线与图象 G 有公共点时, n 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）（1）A （2）B （3）A （4）D （5）D （6）B（7）C （8）A （9）D （10）D （11）C （12）B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1(16)4 （17）1:2（13）7 （14）二（15）16（18）（Ⅰ）24；（Ⅱ）．将剪出的边长为 2 个单位长度的小三角形向下平移 4 个单位长度，再将剪出的边长为 4 的等腰直角三角形先向左平移 6 个单位长度，后向下平移 2 个单位长度，就组成了边长为 6 的矩形．（19）（本小题 8 分）解：（Ⅰ） x≥1 ；（Ⅱ） x <3 ；（Ⅳ）-1≤x<3．（20）（本小题 8 分）解：（Ⅰ）总人数是：80÷20%=400（人）（Ⅱ）40；100；15%（Ⅲ）30 （万人）持 D 组“观点”的市民人数为 30 万人25.。
天津市河西区2016年中考数学模拟试卷(二)(解析版)
天津市河西区2016年中考数学模拟试卷（二）一、选择题（共7小题，每小题0分，满分0分）1．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．2．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．105．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥16．如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（）A．1＜a＜2 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣10＜a＜﹣47．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④D．④⑤二、填空题8．现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．9．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．10．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：﹣3x=x2﹣5x+1，若x=，则所捂二次三项式的值为．11．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．12．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．13．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．14．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P 直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三、解答题16．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？17．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．18．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE=30°，DA=6．求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）19．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．20．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O 的反演点，求A′B′的长．21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．22．如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；（2）设点C的纵坐标为y c，求y c的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．天津市河西区2016年中考数学模拟试卷（二）解析一、选择题（共7小题，每小题0分，满分0分）1．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论．故选C．【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．2．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分【考点】加权平均数．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：85×+80×+90×=17+24+45=86（分），故选D【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．4．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．【专题】计算题．【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO= BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE 的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．5．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（）A．1＜a＜2 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣10＜a＜﹣4【考点】两条直线相交或平行问题．【专题】计算题．【分析】先求出直线y=﹣x﹣3与y轴的交点，则根据题意得到a＜﹣3时，直线y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，而四个选项中，只有﹣10＜a＜﹣4满足条件，故选D．【解答】解：∵直线y=﹣x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3），而直线y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，∴a＜﹣3．故选D．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．7．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④D．④⑤【考点】三角形中位线定理；平行线之间的距离．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．二、填空题8．现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽出的卡片所标数字不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有12种情况，∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是： =．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24°．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．10．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：﹣3x=x2﹣5x+1，若x=，则所捂二次三项式的值为 6 ．【考点】二次根式的化简求值；整式的加减．【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：设所捂的二次三项式为A，根据题意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；当x=+1时，原式=7+2﹣2﹣2+1=6．故答案为：6．【点评】此题考查了整式的加减，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y3＞y1＞y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算出自变量为4，和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可．【解答】解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y=（x﹣2）2﹣1得：y1=（x﹣2）2﹣1=3，y2=（x﹣2）2﹣1=5﹣4，y3=（x﹣2）2﹣1=15，∵5﹣4＜3＜15，所以y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．【考点】扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为： +．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．13．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B 的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．【考点】圆的综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，求出x的取值范围是0＜x≤2﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，求出OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣在R t△KGO′中，∠O′=30°，求得KG=KO′=﹣，在R t△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．【解答】解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，∴∠DOQ=∠ABO=45°，∴α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，∵OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，∴PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ==，在Rt△RKE中，RE=RK•sin60°=，∴S△PRK=•RE=，∴S阴影=+；拓展：如图5，∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴，即，∴BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤2﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，OS==2，在Rt△OSO′中，SO′=O S•tan60°=2，KO′=2﹣，在Rt△KGO′中，∠O′=30°，∴KG=KO′=﹣，∴在Rt△OGK中，sinα===，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα====；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60，综上所述sinα的值为：或或．【点评】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】解：（i）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性质，得B′E=BE=13．∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，∴B′G===12，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，∴DB′===4（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4．故答案为：16或4．【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．三、解答题16．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，解得：，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．17．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B（15，300），当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），当y=10x+150=600，解得：x=45，则y=600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更划算．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．18．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE=30°，DA=6．求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】首先过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由∠FAE=30°，DA=6，可求得AN与DN的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC=，又由在△ADM中， =，可得=，继而求得答案．【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA=6，∠FAE=30°，∴DN=AD=3，AN=AD•cos30°=6×=3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°=≈1.11，∴AC=，∴DM=CN=AN+AC=3+，∵在△ADM中， =，∴=，解得：x≈13．答：大树的高度约为13．【点评】此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 4 ；②连接OD，当∠PBA的度数为60°时，四边形BPDO是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．【解答】（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP与△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，（4÷2）×（4÷2）=2×2=4；②如图：∵DP∥AB，DP=BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°．故答案为：4；60°．【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．20．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P 关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O 的反演点，求A′B′的长．【考点】点与圆的位置关系；勾股定理．【专题】新定义．【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC 的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA=42，而r=4，OA=8，∴OA′=2，∵OB′•OB=42，∴OB′=4，即点B和B′重合，∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，∴A′B′=4sin60°=2．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E 分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．。
天津市河西区2016届高三数学二模试卷 文(含解析)
2016年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2}B．{1，3}C．{3}D．{1，2，3}2．函数的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立4．在边长为8的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A． B．1﹣C． D．1﹣5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④6．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．47．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B． C． D．8．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z= ．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB= ．14．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一点，且满足，•=5，则|= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）17．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．18．已知直线l n：y=x﹣与圆C n：x2+y2=2a n+n交于不同的两点A n，B n，n∈N*．数列{a n}满足：a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．20．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．2016年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2}B．{1，3}C．{3}D．{1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集U中的元素，根据B的补集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵全集U={x∈Z|1≤x≤5}={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，∴B={3，4，5}，则A∩B={3}．故选：C．2．函数的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2）C．（0，2]D．[0，2]【考点】对数函数的定义域．【分析】由对数式的真数大于0，被开放数大于等于0，求解x的取值范围，然后用集合或区间表示即可得到函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0≤x＜2．所以原函数的定义域为[0，2）．故选B．3．已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立【考点】命题的否定．【分析】利用￢p的定义即可得出．【解答】解：命题p：“∀x＞0，有e x≥1，则￢p为∃x0＞0，有e x0＜1成立．故选：C．4．在边长为8的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A． B．1﹣C． D．1﹣【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即【解答】解：以AB为直径圆内的区域为满足∠AMB＞90°的区域，则P落在半圆内，半圆的面积为π×42=8π；正方形ABCD的面积为64．∴满足∠AMB＞90°的概率为=；故选：A．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；故选C．6．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a2=3，b2=，c2=3+，双曲线的左焦点F（﹣c，0），抛物线的准线为x=﹣，∵双曲线C1的左焦点在抛物线C2的准线上，∴﹣=﹣c，即=c，则c2=，即3+=，即=3，则=1，则p=4，即a2=3，c2=3+=3+1=4，则a=，c=2，即离心率e===，故选：C7．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．8．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设f（x）=2x+x，从而2x＞a﹣x⇔f（x）＞a，根据题意便知x＞1得不到f（x）＞a，而f（x）＞a能得到x＞1，并且能知道函数f（x）为增函数，并且有f（x）＞3时，x ＞1，从而得出a＞3．【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为0.03 ．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率为1，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03．故答案为：0.03．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z= ﹣2i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设纯虚数z=mi（m≠0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求．【解答】解：设z=mi（m≠0），则=．∵是实数，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案为：﹣2i．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣6 ．【考点】循环结构．【分析】根据题意，i、S的初始值分别为1，0．该程序的意图是：当i≤3时，用（﹣1）i•i2+S值代替S，直到i=4时输出S的值，由此不难得到本题的答案．【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值故答案为：﹣612．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB= ﹣1 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】解：因为BD⊥AB，四边形ABDC内接于圆，所以AC⊥CD，又BD=CD，可得：AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（ AE﹣AB），由AE=2，可得：AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．故答案为：﹣1．14．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一点，且满足，•=5，则|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意和向量的线性运算求出，，，再求出和，代入，利用向量的数量积运算化简即可．【解答】解：由题意可得，BC∥AD、BC=2，AD=4，则，所以=，因为P为CD的中点，所以==﹣λ（），因为==﹣2， =，则=（）•（+）=（λ+﹣2）[（1﹣λ）λ（）]=5，又=0，且AB=4，BC=2，所以λ=；所以==﹣2，|==；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bc•si nA，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800．17．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点M，利用三角形的中位线的性质可得四边形CDFM为平行四边形，从而得到DF∥CM，再由线面平行的判定得到DF∥平面ABC；（2）由已知求解直角三角形证明AE⊥AB，由面面垂直的性质可得AC⊥BC，再由线面垂直的判定得到AE⊥平面ABC，从而AE⊥CM．在△ABC中，由AC=BC，M为AB中点，得CM⊥AB，进一步得到CM⊥平面ABE．结合（1）知DF∥CM，则DF⊥平面ABE；（3）由（2）可知BC为三棱锥B﹣CDE的高，然后利用等积法求得三棱锥D﹣BCE的体积．【解答】证明：（1）设M为AB中点，连结FM，CM．在△ABE中，又F为BE中点，∴．又∵CD∥AE，且，∴CD∥FM，CD=FM．则四边形CDFM为平行四边形．故DF∥CM，又DF⊄平面ABC，CM⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC；（2）在Rt△ABC中，AC=BC=1，∴．在△ABE中，AE=2，，．∵BE2=AE2+AB2．∴△ABE为直角三角形．∴AE⊥AB．又∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC．故BC⊥平面ACDE．即BC⊥AE．∵BC∩AB=B，∴AE⊥平面ABC，而CM⊂平面ABC，故AE⊥CM．在△ABC中，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB．AE∩AB=A，∴CM⊥平面ABE．由（1）知DF∥CM，∴DF⊥平面ABE；（3）由（2）可知BC⊥平面ACDE，∴BC为三棱锥B﹣CDE的高，∴V D﹣BCF=V B﹣CDE=．18．已知直线l n：y=x﹣与圆C n：x2+y2=2a n+n交于不同的两点A n，B n，n∈N*．数列{a n}满足：a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求出|A n B n|，代入a n+1=，可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a n}的通项公式a n可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n=，然后利用错位相减法求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）圆C n的圆心到直线l n的距离，半径，∴=，即，又a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==，∴，，两式相减，得，∴．19．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．20．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为•＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；（2）不等式＞即为•＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2故＞．令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．。
天津市河西区中考数学模拟试卷含答案解析
天津市河西区中考数学模拟试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填在下面的表格里．）1．3tan30°的值等于（）A．1 B． C． D．22．在下列APP图标的设计图案中，可以看做中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知反比例函数y=的图象经过点（2，6），那么k的值为（）A．12 B．3 C．﹣3 D．﹣124．如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（）米．A．7tanαB．C．7sinαD．7cosα9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）10．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米11．已知A，B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，那么下列结论中错误的是（）A．∠AOC=120°B．四边形OABC一定是菱形C．若连接AC，则AC=OAD．若连接AC、BO，则AC与BO互相垂直平分12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算cos245°+tan60°cos30°的值为．14．甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为．（写出自变量取值范围）15．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是．16．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E、F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是．17．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是．18．现有10个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图1中用实线画出分割线，并在图2的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求tanC的值．20．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．21．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．22．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．23．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀多少个队参赛？解题方案：设比赛组织者应邀请x个队参赛，（1）用含x的代数式表示：那么每个队要与其他个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有场；（2）根据题意，列出相应方程；（3）解这个方程，得；（4）检验：；（5）答：．24．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P在∠ABC的内部，①PA=4，PC=，PB=．②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．25．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？天津市河西区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填在下面的表格里．）1．3tan30°的值等于（）A．1 B． C． D．2【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：3tan30°=3×=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．在下列APP图标的设计图案中，可以看做中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可．【解答】解：第一、二个图形都不是中心对称图形，第三、四和图形都是中心对称图形．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．3．已知反比例函数y=的图象经过点（2，6），那么k的值为（）A．12 B．3 C．﹣3 D．﹣12【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，6），∴6=，解得k=12．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4．如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】计算题．【分析】从上面看几何体，得到俯视图即可．【解答】解：如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是．故选C【点评】此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的试图．5．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．【分析】平行四边形的性质是：对边相互平行且相等，对角线互相平分．这样不难得出：AD=BC，AB=CD，AO=CO，DO=BO，再利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形：△ACD≌△CAB（SSS），△ABD≌△CDB（SSS），△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD （SAS）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC；OD=OB，OA=OC；∵在△AOD和△COB中∴△AOD≌△COB（SAS）；同理可得出△AOB≌△COD（SAS）；∵在△ABD和△DCB中，∴△ABD≌△CDB（SSS）；同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．共有4对全等三角形．故选D．【点评】考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，三角形全等的条件有时候是直接给的，有时候是根据已知条件推出的，还有时是由已知图形的性质得出的，做题时要全面考虑．6．下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似图形．【分析】根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断．【解答】解：①正确．②两个等腰三角形一定相似，错误不一定相似．③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81，错误周长比应该是2：3，④不相似，三边不一定成比例．故选A．【点评】本题考查相似图形的有关性质，解题的关键是理解相似三角形、相似多边形的定义和性质，属于中考常考题型．7．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；反比例函数的应用．【专题】应用题．【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【解答】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah，即h=；是反比例函数，且2s＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选D．【点评】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（）米．A．7tanαB．C．7sinαD．7cosα【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故选A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．10．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米【考点】相似三角形的应用．【分析】作辅助线，连接AE和BD，根据题意知：=，可将窗口底边离地面的高BC求出．【解答】解：连接AE、BD，∵光是沿直线传播的，∴AE∥BD，∴△BCD∽△ACE，∴=即=解得：BC=4．故选A．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．11．已知A，B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，那么下列结论中错误的是（）A．∠AOC=120°B．四边形OABC一定是菱形C．若连接AC，则AC=OAD．若连接AC、BO，则AC与BO互相垂直平分【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；菱形的判定．【分析】连接OB，AC，根据已知条件得到四边形OABC一定是菱形，根据菱形的性质得到AC与BO互相垂直平分，根据等边三角形的性质得到∠BCO=60°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接OB，AC，∵四边形OABC是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形OABC一定是菱形，∴则AC与BO互相垂直平分，∵OB=OC，∴△BCO是等边三角形，∴∠BCO=60°，∴∠AOC=120°，∵∠OAC=30°，∴AC=OA，∴AC=OA．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理，菱形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】压轴题．【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c ＜0的解集．【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算cos245°+tan60°cos30°的值为2．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：cos245°+tan60°cos30°=（）2+×=+=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为y=﹣5x+500（0≤x≤100）．（写出自变量取值范围）【考点】根据实际问题列一次函数关系式．【分析】根据题意利用两车相距的距离﹣速度差×行驶时间=两车距离，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y=500﹣（25﹣20）x=﹣5x+500，（0≤x≤100）．故答案为：y=﹣5x+500（0≤x≤100）．【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意是解题关键．15．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意作出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两球标号之和为4的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，取出的两球标号之和为4的有2种情况，∴取出的两球标号之和为4的概率是： =．故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．16．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E、F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是120°．【考点】旋转的性质．【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DFC，进一步利用三角形外角的性质即可得到结果．【解答】解：如图，∵DE=DF，∠EDF=30°，∴∠DFC=（180°﹣∠EDF）=75°，∵∠C=45°，∴∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的性质是解题的关键．17．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（，3）、（﹣，4）．【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．【分析】首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A 作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A 作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴=，即=，∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，∴点C（﹣，4）．故答案是：（，3）、（﹣，4）．【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．18．现有10个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图1中用实线画出分割线，并在图2的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】因为拼接前图形的面积为10，所以拼接后图形的面积也为10，即所求正方形的边长为，利用勾股定理即可把原图分割成四个斜边为的直角三角形和一个正方形，进行拼接即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了应用作图设计，本题需仔细分析题意，结合图形，利用拼接前后图形的面积相等即可解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求tanC的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】（1）要求sinA的值，根据三角形内角和可求得∠A的度数，从而可以求得sinA的值；（2）要求tanC的值，只要作辅助线BD⊥AC于点D，然后通过变形，即可求得tanC的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，∴sinA=sin45°=，即sinA=；（2）作BD⊥AC于点D，如下图所示，∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a，∴AD=a，AB=，∵AB=AC，∴AC=，∴CD=AC﹣AD=，∴=，即tanC=．【点评】本题考查解直角三角形、三角形的内角和、求角的三角函数值，解题的关键是明确题意，找出对应量，求出相应的三角函数值．20．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】探究型．【分析】（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y=的图象上，所以2=，解得k=5；（2）由于在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取值范围即可；（3）反比例函数y=图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．∴点P的坐标为（2，2）．∵点P在反比例函数y=的图象上，∴2=，解得k=5．（Ⅱ）∵在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得k＞1．（Ⅲ）∵反比例函数y=图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x2．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．21．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的长，进而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长．【解答】（1）证明：连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°﹣（∠EBC+∠DCA）=180°﹣90°=90°，∴AC⊥BH；（2）解：∵∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD，∵BD=8，∴AD=8，在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，∴△BCE∽△ECD，∴，即CE2=BC•CD=14×6=84，∴CE==2．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．22．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度．【解答】解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直角△DFA中，tan∠ADF=，∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m）．在直角△DFB中，tan∠BDF=，∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（m），则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．23．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀多少个队参赛？解题方案：设比赛组织者应邀请x个队参赛，（1）用含x的代数式表示：那么每个队要与其他（x﹣1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有28场；（2）根据题意，列出相应方程； x（x﹣1）=28（3）解这个方程，得；x1=8，x2=﹣7（4）检验：x2=﹣7（舍去）；（5）答：比赛组织者应邀请8队参赛．【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有x（x﹣1）场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，（1）用含x的代数式表示：那么每个队要与其他（x﹣1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有28场；（2）根据题意，列出相应方程： x（x﹣1）=28，（3）解这个方程，得：x1=8，x2=﹣7，（4）检验：x2=﹣7（舍去）；（5）答：比赛组织者应邀请8队参赛．故答案为：（x﹣1）；28； x（x﹣1）=28；x1=8，x2=﹣7；x2=﹣7（舍去）；比赛组织者应邀请8队参赛．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．24．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P在∠ABC的内部，①PA=4，PC=，PB=2．②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据结论代入即可填写；（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之间的数量关系；（3）当点P在CB的延长线上时，得出PA2+PB2=PC2．【解答】解：（1）①PB==．故答案为：；②PA2+PC2=PB2，证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：∴∠1=∠2，∵AB=CB，在△ABP与△CBP′中，，∴△ABP≌△CBP′，∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，在四边形ABCP中，∵∠ABC=60°，∠APC=30°，。
2016届天津河西区中考模拟数学试卷(四)(带解析)
绝密★启用前2016届天津河西区中考模拟数学试卷（四）（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：121分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ）A ．B ．C ．试卷第2页，共36页D ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C 符合题意， 故选：C ．考点：函数的图象．2、如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设运动员C 的速度为v ，则运动了t 的路程为vt ， 设∠BOC=α，当点C 从运动到M 时，∵vt=∴α=，在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin =50sin t ，∴d 与t 之间的关系d=50sin t ，当点C 从M 运动到A 时，d 与t 之间的关系d=50sin （180﹣t ），故选：C ．考点：动点问题的函数图象．3、函数y=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共36页【答案】D 【解析】试题分析：当x ＜0时，函数解析式为：y=﹣x ﹣2，函数图象为：B 、D ， 当x ＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A 、C 、D ，故选：D ． 考点：函数的图象．4、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】C 【解析】试题分析：∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45°，又∵△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，∴AB=AD ﹣DB=6﹣2=4，△ABF 为等腰直角三角形，∴BF=AB=4，∴CF=BC ﹣BF=6﹣4=2，而EC=DB=2，×2×2=2．故选：C ．考点：翻折变换（折叠问题）．5、当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞﹣1 B ．a ＞﹣2 C ．a ＞0D ．a ＞﹣1且a≠0【答案】A【解析】试题分析：当x=1时，a+2＞0,解得：a＞﹣2；,当x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，,∴a 的取值范围为：a＞﹣1．考点：不等式的性质．试卷第6页，共36页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）6、现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于P ，Q ，易得BP ：QP ：QR=3：1：2．（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S 为EF 的中点，BS 分别交AC ，CD ，DE 于P ，Q ，R ，则BP ：PQ ：QR ：RS=（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T 为FG 的中点，BT 分别交AC ，CD ，DE ，EF 于P ，Q ，R ，S ，则BP ：PQ ：QR ：RS ：ST= ．【答案】（1）4：1：3：2； （2）5：1：4：2：3． 【解析】试题分析：（1）∵四个直角三角形是全等三角形， ∴AB=EF=CD ，AB ∥EF ∥CD ，BC=CE ，AC ∥DE ， ∴BP ：PR=BC ：CE=1， ∵CD ∥EF ， ∴△BCQ ∽△BES ． 又∵BC=CE∴CQ==，∴DQ=∵AB ∥CD ， ∴∠ABP=∠DQR ． 又∵∠BAP=∠QDR ，∴△BAP ∽△QDR ． ∴BP ：QR=4：3． ∴BP ：PQ ：QR=4：1：3， ∵DQ ∥SE ，∴QR ：RS=DQ ：SE=3：2， ∴BP ：PQ ：QR ：RS=4：1：3：2． 故答案为：4：1：3：2；（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形∴AB=CD=EF ，AB ∥CD ∥EF ，AC=DE=GF ，AC ∥DE ∥GF ， BC=CE=EG ， ∴BP=PR=RT ， ∵AC ∥DE ∥GF ， ∴△BPC ∽△BER ∽BTG ，∴PC==，RE==，∴AP=，DR=，FT=∴AP ：DR ：FT=5：4：3． ∵AC ∥DE ∥GF ， ∴∠BPA=∠QRD=∠STF ． 又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT ， ∴△BAP ∽△QDR ∽△SFT ．∴BP ：QR ：ST=AP ：DR ：FT=5：4：3． 又∵BP ：QR ：RT=1：1：1，∴BP ：PQ ：QR ：RS ：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3． 故答案为：5：1：4：2：3． 考点：相似三角形的判定与性质．试卷第8页，共36页7、如图，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF ，则线段OB= ；图中阴影部分的面积为 ．【答案】2，4π﹣2【解析】试题分析：过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，连接OE ，OB ， ∵菱形OABC 的顶点A 的坐标为（2，0）， ∴OA=2，∵将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF ，∠COA=60°， 则∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2， ∴∠BAG=60°， ∴∠ABG=30°，∴AG=AB=1，BG==，∴OB=2BG=2，∵∠BOE=120°，∴S 扇形==4π，S 菱形OABC =OA•BG=2，∴S 阴影=S 扇形﹣S 菱形OABC =4π﹣2．故答案为：2，4π﹣2．考点：菱形的性质；扇形面积的计算．8、一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A ，B 两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A 型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为 元． 【答案】29 【解析】试题分析：设购买A 种型号盒子x 个，购买盒子所需要费用为y 元，则购买B 种盒子的个数为个，①当0≤x ＜3时，y=5x+=x+30，∵k=1＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=0时，y 有最小值，最小值为30元；②当3≤x 时，y=5x+﹣4=26+x ，∵k=1＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=3时，y 有最小值，最小值为29元； 综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为29元． 故答案为：29．考点：一次函数的应用．9、如图，圆O 的直径AB=8，AC=3CB ，过C 作AB 的垂线交圆O 于M ，N 两点，连结MB ，则∠MBA 的余弦值为 ．试卷第10页，共36页【答案】【解析】试题分析：如图，连接AM ； ∵AB=8，AC=3CB ，∴BC=AB=2：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AMB=90°； 由射影定理得： BM 2=AB•CB ，∴BM=4，cos ∠MBA==，故答案为．考点：垂径定理；解直角三角形．10、九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．【答案】92%【解析】试题分析：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=92%．故答案是：92%．考点：频数（率）分布直方图．11、如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．【答案】65 【解析】试题分析：∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠BAE=∠DAE ，在△ABE 与△ADE 中，，∴△ABE ≌△ADE （SAS ）， ∴∠AEB=∠AED ，∠ABE=∠ADE ， ∵∠CBF=20°， ∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°， 故答案为：65考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．12、将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ．【答案】75°试卷第12页，共36页【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°， ∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°， 故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理． 13、以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补； ②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，E 是一腰AC 上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE ，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点． 其中正确命题的序号为 ．【答案】②③④ 【解析】试题分析：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，①错误；②边数相等的两个正多边形一定相似，②正确； ③如图所示，∵∠AED=∠C+∠EDC=∠B+∠EDC ， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠B+2∠EDC ， 又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°， ∴∠B+2∠EDC=∠B+60°， ∴∠EDC=30°， 故③正确；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，④正确． 故答案为②③④．考点：命题与定理．14、若方程x2﹣2x﹣1="0" 的两根分别为x1，x2，则3x1+3x2﹣4x1x2的值为．【答案】10【解析】试题分析：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以3x1+3x2﹣4x1x2=2×3﹣4×（﹣1）=10．故答案为10．考点：根与系数的关系．15、二次函数y=﹣2（x﹣3）（x+1）的图象与y轴的交点坐标是．【答案】（0，6）【解析】试题分析：当x=0时，y=﹣2（x﹣3）（x+1）=6，所以二次函数y=﹣2（x﹣3）（x+1）的图象与y轴的交点坐标为（0，6）．故答案为：（0，6）．考点：二次函数图象上点的坐标特征．16、已知x=，则= ．【答案】4﹣【解析】试题分析：原式===﹣（x﹣2）=2﹣x，试卷第14页，共36页当x=﹣2时，原式=2﹣（﹣2）=2﹣+2 =4﹣．故答案为：4﹣．考点：分式的混合运算．17、计算÷（1﹣）的结果是 ．【答案】【解析】试题分析：原式=÷=•=，故答案为：．考点：分式的混合运算． 18、分解因式：3x 2﹣27= ．【答案】3（x+3）（x ﹣3） 【解析】试题分析：3x 2﹣27， =3（x 2﹣9）， =3（x+3）（x ﹣3）．故答案为：3（x+3）（x ﹣3）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．19、若实数a 、b 满足（4a+4b ）（4a+4b ﹣2）﹣8=0，则a+b= ．【答案】﹣或1【解析】试题分析：设a+b=x ，则由原方程，得 4x （4x ﹣2）﹣8=0，整理，得16x 2﹣8x ﹣8=0，即2x 2﹣x ﹣1=0， 分解得：（2x+1）（x ﹣1）=0，解得：x 1=﹣，x 2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．考点：换元法解一元二次方程．三、解答题（题型注释）20、如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在边OA 上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．（1）求OE 的长及经过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；（2）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ；（3）若点N 在（1）中抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点坐标；若试卷第16页，共36页不存在，请说明理由．【答案】（1）在Rt △COE 中，OE===3，抛物线解析式为y=x （x+4）=x 2+x ；（2）t=；（3）存在满足条件的点M ，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质可求得CE 、CO ，在Rt △COE 中，由勾股定理可求得OE ，设AD=m ，在Rt △ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C 、O 两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t 的值；（3）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M 点的坐标． 试题解析：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt △COE 中，OE===3，设AD=m ，则DE=BD=4﹣m ， ∵OE=3， ∴AE=5﹣3=2，在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2+AE 2=DE 2，即m 2+22=（4﹣m ）2，解得m=，∴D （﹣，﹣5），∵C （﹣4，0），O （0，0），∴设过O 、D 、C 三点的抛物线为y=ax （x+4），∴﹣5=﹣a （﹣+4），解得a=，∴抛物线解析式为y=x （x+4）=x 2+x ；（2）∵CP=2t ，∴BP=5﹣2t ，∵BD=，DE==，∴BD=DE ，在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，，∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ （HL ）， ∴BP=EQ ， ∴5﹣2t=t ，∴t=；（3）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2， ∴设N （﹣2，n ），又由题意可知C （﹣4，0），E （0，﹣3）， 设M （m ，y ），①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时，则线段EN 的中点横坐标为=﹣1，线段CM 中点横坐标为，∵EN ，CM 互相平分，∴=﹣1，解得m=2，又M 点在抛物线上，∴y=×22+×2=16，试卷第18页，共36页∴M （2，16）；②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时，则线段EM 的中点横坐标为，线段CN 中点横坐标为=﹣3，∵EM ，CN 互相平分，∴=﹣3，解得m=﹣6，又∵M 点在抛物线上，∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，∴M （﹣6，16）；③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时，则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2，﹣）．综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．考点：二次函数综合题．21、已知：抛物线y=x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣1经过坐标原点，且当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y ＜0时，对应x 的取值范围；（2）设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于点B ，DC ⊥x 轴于点C ． ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD 的周长；②设动点A 的坐标为（a ，b ），将矩形ABCD 的周长L 表示为a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；（2）①矩形的周长为6；②当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案；（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案；②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），∴m2﹣1=0，∴m=±1∴y=x2+x或y=x2﹣3x，∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；（2）①如图1，当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为﹣2，∴矩形的周长为6；②∵A的坐标为（a，b），试卷第20页，共36页∴当点A 在对称轴左侧时，如图2，矩形ABCD 的一边BC=3﹣2a ，另一边AB=3a ﹣a 2，周长L=﹣2a 2+2a+6．其中0＜a ＜，当a=时，L 最大=，A 点坐标为（，﹣），当点A 在对称轴右侧时如图3，矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a ）=2a ﹣3，另一边AB=3a ﹣a 2，周长L=﹣2a 2+10a ﹣6，其中＜a ＜3，当a=时，L 最大=，A 点坐标为（，﹣）；综上所述：当0＜a ＜时，L=﹣2（a ﹣）2+，∴当a=时，L 最大=，A 点坐标为（，﹣），当＜a ＜3时，L=﹣2（a ﹣）2+，∴当a=时，L 最大=，A 点坐标为（，﹣）．考点：二次函数综合题．22、在△AOB 中，C ，D 分别是OA ，OB 边上的点，将△OCD 绕点O 顺时针旋转到△OC′D′． （1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB ，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD ∥AB ，AC′与BD′交于点E ，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析； （2）成立，理由见解析 【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS 证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ． 试题解析：（1）证明：①∵△OCD 旋转到△OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵OA=OB ，C 、D 为OA 、OB 的中点， ∴OC=OD ， ∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS ）， ∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E ，交BO 于F ，如图1所示：试卷第22页，共36页∵△AOC′≌△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE ，∠OAC′+∠AFO=90°， ∴∠OBD′+∠BFE=90°， ∴∠BEA=90°， ∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示： ∵△OCD 旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵CD ∥AB ，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′， ∴△AOC′∽△BO D′， ∴∠OAC′=∠OBD′， 又∠AFO=∠BFE ， ∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 23、大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x （元/件）（x ＞0即售价上涨，x ＜0即售价下降），每月饰品销量为y （件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【答案】（1）；（2）销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．【解析】试题分析：（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润×销量=总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．试题解析：（1）由题意可得：（2）由题意可得：，化简得：，即，由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125，x=5时，W=6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，将w=6000带入﹣20≤x＜0时对应的抛物线方程，即6000=﹣20（x+）2+6125，解得：x1=﹣5，将w=6000带入0≤x≤30时对应的抛物线方程，即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，解得x2=0，x3=10，试卷第24页，共36页综上可得，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．考点：二次函数的应用．24、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向点B 匀速运动；同时，动点N 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA 向点A 匀速运动．过线段MN 的中点G 作边AB 的垂线，垂足为点G ，交△ABC 的另一边于点P ，连接PM 、PN ，当点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒． （1）当t= 秒时，动点M 、N 相遇；（2）设△PMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）2.5（2）【解析】试题分析：（1）根据勾股定理可得AB=10，若动点M 、N 相遇，则有t+3t=10，即可求出t 的值；（2）由于“点P 在BC 上”与“点P 在点AC 上”及“点M 在点N 的左边”与“点M 在点N 的右边”对应的MN 、PG 的表达式不同，S 与t 之间的函数关系式也就不同，因此需分情况讨论．只需先考虑临界位置（点P 与点C 重合，点M 与点N 重合、点N 与点A 重合）所对应的t 的值，然后分三种情况（①0≤t≤1.4，②1.4＜t ＜2.5，③2.5＜t≤）讨论，用t 的代数式表示出MN 和PG ，就可解决问题． 试题解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10， ∴t+3t=10，解得t=2.5（s ）， 即当t=2.5秒时，动点M ，N 相遇； 故答案为2.5；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由S △ABC =AC•BC=AB•CH 得，CH==4.8，∴AH==3.6，BH=10﹣3.6=6.4．∵当点N 运动到点A 时，M ，N 两点同时停止运动，∴0≤t≤．当0≤t ＜2.5时，点M 在点N 的左边，如图1、图2， MN=AB ﹣AM ﹣BN=10﹣t ﹣3t=10﹣4t ．∵点G 是MN 的中点，∴MG=MN=5﹣2t ，∴AG=AM+MG=t+5﹣2t=5﹣t ， ∴BG=10﹣（5﹣t ）=t+5．当点P 与点C 重合时，点G 与点H 重合， 则有5﹣t=3.6，解得t=1.4．当2.5＜t≤时，点M 在点N 右边，如图3，∵MN=AM ﹣AN=AM ﹣（AB ﹣BN ）=t ﹣（10﹣3t ）=4t ﹣10，∴NG=MN=2t ﹣5，∴AG=AN+NG=10﹣3t+2t ﹣5=5﹣t ．综上所述：①当0≤t≤1.4时，点M 在点N 的左边，点P 在BC 上，如图1，试卷第26页，共36页此时MN=10﹣4t ，BG=t+5，PG=BG•tanB=（t+5）=t+，∴S=MN•PG=（10﹣4t ）•（t+）=﹣t 2﹣t+；②当1.4＜t ＜2.5时，点M 在点N 的左边，点P 在AC 上，如图2，此时MN=10﹣4t ，AG=5﹣t ，PG=AG•tanA=（5﹣t ）=﹣t ，∴S=MN•PG=（10﹣4t ）•（﹣t ）=t 2﹣20t+；③当2.5＜t≤时，点M 在点N 的右边，点P 在AC 上，如图3，此时MN=4t ﹣10，AG=5﹣t ，PG=AG•tanA=（5﹣t ）=﹣t ，∴S=MN•PG=（4t ﹣10）•（﹣t ）=﹣t 2+20t ﹣；∴S 与t 之间的函数关系式为．考点：动点问题的函数图象．25、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ． （1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．试题解析：（1）∵AC为⊙O直径，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，试卷第28页，共36页∴．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．26、如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为（8，y ），AB ⊥x 轴于点B ，sin ∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x 与y=的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB的面积的比．【答案】（1）反比例函数解析式为：y=；（2）【解析】试题分析：（1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA 的值，然后根据勾股定理求出AB 的值，然后由C 点是OA 的中点，求出C 点的坐标，然后将C 的坐标代入反比例函数y=中，即可确定反比例函数解析式；（2）先将y=3x 与y=联立成方程组，求出点M 的坐标，然后求出点D 的坐标，然后连接BC ，分别求出△OMB 的面积，△OBC 的面积，△BCD 的面积，进而确定四边形OCDB 的面积，进而可求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比．试题解析：（1）∵A 点的坐标为（8，y ），∴OB=8，∵AB ⊥x 轴于点B ，sin ∠OAB=，∴，∴OA=10，由勾股定理得：AB=，∵点C 是OA 的中点，且在第一象限内，∴C （4，3），∵点C 在反比例函数y=的图象上，∴k=12，∴反比例函数解析式为：y=；（2）将y=3x 与y=联立成方程组，得：，解得：，，∵M 是直线与双曲线另一支的交点，∴M （﹣2，﹣6），∵点D 在AB 上，∴点D 的横坐标为8，∵点D 在反比例函数y=的图象上，∴点D 的纵坐标为，∴D （8，），∴BD=，连接BC ，如图所示，∵S △MOB =•8•|﹣6|=24，S 四边形OCDB =S △OBC +S △BCD =•8•3+=15，∴．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．27、如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A 到最高点B 的距离为10，A ，B 两点正前方有垂直于地面的旗杆DE ．在A ，B 两点处用仪器测量旗杆顶端E 的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角） （1）求AE 的长；（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F 点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，试卷第30页，共36页求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？【答案】（1）AE 的长为10米．（2）旗子到达旗杆顶端需要28秒． 【解析】试题分析：（1）先求得∠ABE 和AEB ，利用等腰直角三角形即可求得AE ；（2）在RT △ADE 中，利用sin ∠EAD=，求得ED 的长，即可求得这面旗到达旗杆顶端需要的时间．试题解析：（1）∵BG ∥CD ， ∴∠GBA=∠BAC=30°， 又∵∠GBE=15°， ∴∠ABE=45°， ∵∠EAD=60°， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=45°， ∴AB=AE=10， 故AE 的长为10米．（2）在RT △ADE 中，sin ∠EAD=，∴DE=10×=15，又∵DF=1， ∴FE=14，∴时间t==28（秒）．故旗子到达旗杆顶端需要28秒．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．28、如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处到公路的距离（结果不取近似值）．【答案】拦截点D 处到公路的距离是（500+500）米．【解析】试题分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．解Rt △BCE ，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt △CDF ，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．试题解析：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．在Rt △BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt △CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，∴CF=CD=500米，试卷第32页，共36页∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D 处到公路的距离是（500+500）米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．29、水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？【答案】（1）100+200x ；（2）张阿姨需将每斤的售价降低1元；（3）当每斤的售价定为元时，每天获利最大，最大值为元．【解析】试题分析：（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可；（3）设每斤的售价降低x 元，每天获利为y 元，根据题意得到y=﹣200（x ﹣）2+，根据二次函数的性质即可得到结论．试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+×20=100+200x （斤）； 故答案为：100+200x ；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x ）（100+200x ）=300，解得：x=或x=1，当x=时，销售量是100+200×=200＜260；当x=1时，销售量是100+200=300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元；（3）设每斤的售价降低x元，每天获利为y元，根据题意得：y=（4﹣2﹣x）（100+200x）=﹣200x2+300x+200=﹣200（x﹣）2+，答：当每斤的售价定为元时，每天获利最大，最大值为元．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．30、父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．【答案】（1）爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：=；（2）会增大，理由见解析【解析】试题分析：（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．试题解析：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：试卷第34页，共36页∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：；（2）会增大，理由：分别用A ，B ，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： =＞；∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大． 考点：列表法与树状图法．31、若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足x+y ＞﹣，求出满足条件的m 的所有正整数值．【答案】满足条件m 的正整数值为1，2，3． 【解析】试题分析：方程组两方程相加表示出x+y ，代入已知不等式求出m 的范围，确定出正整数值即可．试题解析： ，①+②得：3（x+y ）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，代入不等式得：﹣m+2＞﹣，解得：m ＜，则满足条件m 的正整数值为1，2，3．考点：二元一次方程组的解；一元一次不等式的整数解．32、小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站如乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变）．图中折线ABCDE 表示小丽和学校之间的距离y （米）与她离家时间x （分钟）之间的函数关系． （1）小丽步行的速度为 ；（2）写出y 与x 之间的函数关系式： ．【答案】（1）50米/分钟．（2）【解析】试题分析：（1）小丽步行的速度为：（3900﹣3650）÷5=50（米/分钟）， 故答案为：50米/分钟．（2）点D 的纵坐标为：50×（18﹣15）=150． 设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ．当0≤x≤5时，有，解得：，∴此时y=﹣50x+3900； 当5＜x≤8时，此时y=3650；当8＜x≤15时，有，解得：，∴此时y=﹣500x+7650；。
天津市河西区2016届中考数学模拟试题(含解析)
7．已知三角形的面积一定，则它底边 a 上的高 h 与底边 a 之间的函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】 反比例函数的图象；反比例函数的应用． 【专题】 应用题．
限内将线段 AB缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（
）
A．（ 3， 3） B ．（ 4，3） C ．（ 3， 1） D ．（ 4，1）
10．阳光通过窗口 AB 照射到室内，在地面上留下 2.7 米的亮区 DE（如图所示），已知亮区到窗口
下的墙角的距离 EC=8.7 米，窗口高 AB=1.8 米，则窗口底边离地面的高 BC为（
12．如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c＜ 0 的解集是（
）
2
A．﹣ 1＜ x＜5 B．x＞ 5 C ． x＜﹣ 1 且 x＞ 5 D． x＜﹣ 1 或 x＞ 5
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）得分
2
13．计算 cos 45°+tan60 °cos30°的值为
25．如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A（﹣ 2， 0）， B（ 4，0），与 y 轴交于点 C（ 0， 8）．
（ 1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；
（ 2）设直线 CD交 x 轴于点 E．在线段 OB的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD的距离
等于点 P 到原点 O的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D． 4 对
6．下列说法中正确的有（
）
①位似图形都相似；
天津河西区2016年中考数学二模练习题及答案详解
天津河西区2016年中考数学二模练习题满分:120分时间:100分钟姓名: 得分:一选择题(每小题3分，共12题，共计36分)1.下面的数中,与﹣3的倒数和为0的是（）A.3B.﹣3C.D.2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.2010年我国总人口约为1 370 000 000人,该人口数用科学记数法表示为（）A.0.137×1011B.1.37×109C.13.7×108D.137×1074.下列运算正确的是（）A.a2•a3=a6B.（a3）2=a6C.a5÷a5=aD.（）3=5.如图,AD∥BC,∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A.30°B.60°C.90°D.120°6.如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A. B. C.AC2=AD•AB D.CD2=AD•BD7.已知x2+3x+5的值为11,则代数式3x2+9x-12的值为（）A.3B.6C.9D.﹣98.下列函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（）A.y=﹣x+1B.y=x2﹣1C.D.9.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,则m的取值范围是（）A.10＜m＜12B.2＜m＜22C.1＜m＜11D.5＜m＜610.函数（k≠0）的图象如图所示,那么函数y=kx﹣k的图象大致是（）A. B. C. D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，a﹣b﹣c，b+c﹣a，﹣这几个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图,边长为1的正方形ABCD中有两个动点P,Q,点P从点B出发沿BD作匀速运动,到达点D后停止;同时点Q从点B出发,沿折线BC→CD作匀速运动,P,Q两个点的速度都为每秒1个单位,如果其中一点停止运动,则另一点也停止运动.设P,Q两点的运动时间为x秒,两点之间的距离为y,下列图象中,能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）二 填空题(每小题3分，共6题，共计18分)13.已知031=++-y x ，则(-xy)2的值为 14.分解因式:3a 2﹣6ab+3b 2= ．15.如图,已知菱形ABCD 边长为5,对角线AC,BD 相交于点O,BD=6,则菱形ABCD 面积为 ．16.如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽,高分别为100cm,15cm 和10cm,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度为 ．17.如图,扇形AOB 的半径为1,∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为 ． 18.如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x+4交矩形OACB 于F 与G ，交x 轴于D ，交y 轴于E ．若∠FOG=45°. (1)△ODE 的面积为 ;(2)矩形OACB 的面积为 ．三计算推理题(共7题，共计66分)19(本小题8分)求不等式的整数解．20(本小题8分)某校开展了以“人生观,价值观”为主题的班会活动，活动结束后，初三（1）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图．（1）该班学生选择“和谐”观点的有人，在扇形统计图中,“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是°（2）如果该校有400名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有人．（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．（用树状图或列表法分析解答）21(本小题8分)如图,AB为⊙O直径,C为圆上一点,AC=2,BC=4,E为直径AB上一动点（不与点A、B重合）,CE延长线交⊙O于D,PC⊥CD交DB延长线于点P．（1）求证：△ABC∽△DPC；（2）当CD⊥AB时，求CP的长；（3）CP长是否存在最大值？若存在，求出CP的最大值；若不存在，说明理由．22(本小题10分)由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元.如果卖出相同数量的手机,那么去年销售额为8万元,今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售,已知甲型号手机每台进价为1000元,乙型号手机每台进价为800元,预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台,请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元,为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金a元,而甲型号手机仍按今年的售价销售,要使（2）中所有方案获利相同,a应取何值？23(本小题10分)钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航,其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）.在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向;航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．24.(本小题10分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止.作DE⊥AC交边AB或BC于点E,以DE为边向右作正方形DEFG.设点D运动时间为t（s）．（1）求AC的长．（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．（3）当点F在边BC上时，求t的值．（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．25(本小题10分)矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示,A,C两点的坐标分别为A（6,0）、C（0,3），直线y=x与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx经过D,A两点,试确定此抛物线的表达式；（3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点,求△POA面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点Q为对称轴上一动点,以Q,O,M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的Q点的坐标．答案详解1.【解答】解：设这个数为x，由题意得：x+（﹣3）=0，x﹣3=0，x=3，故选：A．2.【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．3.【解答】解：用科学记数法表示数1370000000为1.37×109．故选：B．4.【解答】解：A.a2•a3=a5,错误；B.（a3）2=a6，正确；C.a5÷a5=1,错误；D.（）3=，错误；故选B．5.【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠B=30°，∵DB平分∠ADE，∴∠ADE=2∠B=60°，∵AD∥BC，∴∠DEC=∠ADE=60°．故选B．6.【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：=，∴AC2=AD•AB．故选C．7.【解答】解：∵x2+3x+5=11，即x2+3x=6，∴原式=3（x2+3x）﹣12=18﹣12=6，故选B8.【解答】解：A、对于一次函数y=﹣x+1，k＜0，函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而减小，故本选项错误；B、对于二次函数y=x2﹣1,当x＞0时，y值随x值的增大而增大,当x＜0时,y值随x值的增大而减小，故本选项错误；C、对于反比例函数，k＞0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而减小,故本选项错误；D、对于反比例函数，k＜0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而增大,故本选项正确．故选D．9.【解答】解：∵平行四边形ABCD∴OA=OC=6，OB=OD=5∵在△OAB中：OA﹣OB＜AB＜OA+OB∴1＜m＜11．故选C．10.【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，∴k＜0，﹣k＞0．∵k＜0，∴函数y=kx﹣k的图象过二、四象限．又∵﹣k＞0，∴函数y=kx﹣k的图象与y轴相交于正半轴，∴一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限．故选C．11.【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0，a﹣b﹣c＞0，b+c﹣a＜0∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0．故选A．12.【解答】解：①如图1，当x≤1时，作PM⊥BC交BC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵BP=BQ=x，∴PM=BM=x，MQ=（1﹣）x，∴PQ===x，∴y=x是正比例函数图象．②如图2，当1＜x≤时，作PM⊥DC交DC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=45°，∵BP=x，QC=x﹣1，∴PM=（﹣x）=1﹣x，MQ=1﹣（﹣x）﹣（x﹣1）=（﹣1）x+1∴PQ===，∴y=，是类抛物线的一部分，故选：A．13.【解答】解：根据题意得，x﹣1=0，y+3=0，解得x=1,y=﹣3,所以(-xy)2=9．14.【解答】解：3a2﹣6ab+3b2=3（a2﹣2ab+b2）=3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．15.【解答】解：由题意得：AO==4，∴AC=8，故可得菱形ABCD的面积为×8×6=24．故答案为：24．16.【解答】解：展开图为：则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB==125cm．所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故答案为：125cm．17.【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．故答案是：．18.【解答】解：∵直线y=﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，∴OD=OE=4，∴∠ODE=∠OED=45°；∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，∵∠EOF=45°，∴∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG，∴∠DOF=∠OGE，∴△DOF∽△EGO，∴=，∴DF•EG=OE•OD=16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，∵NG=AC=a，FM=BC=b，∴DF=b，GE=a，∴DF•GE=2ab，∴2ab=16，∴ab=8，∴矩形OACB的面积=ab=8．故答案为8．19.【解答】解：（1）解不等式①，得：x＞﹣1，解不等式②，得：x≤2，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．∴此不等式组的整数解为：0，1，2．20.【解答】解：（1）该班学生选择“和谐”观点的有：50×10%=5（人）；“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是：360°×10%=36°；故答案为：5，36；（2）选择“感恩”观点的初三学生约有：400×28%=112（人）；故答案为：112；（3）列表法得：平等进取和谐感恩互助平等平等、进取平等、和谐平等、感恩平等、互助进取进取、平等进取、和谐进取、感恩进取、互助和谐和谐、平等和谐、进取和谐、感恩和谐、互助感恩感恩、平等感恩、进取感恩、和谐感恩、互助互助互助、平等互助、进取互助、和谐互助、感恩∵共有20种等可能的结果，恰好选到“和谐”和“感恩”观点的有2种情况，∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率是：．21.【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵PC⊥CD，∴∠DCP=90°，∴∠ACB=∠DCP，∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DPC；（2）解：在Rt△ACB中，∵AB===2，且CD⊥AB，∴CE===，∴CD=2CE=，∵由（1）已证△ABC∽△DPC，∴=，∴=，解得：CP=；（3）解：存在，由（1）已证△ABC∽△DPC，且=，即CP==CD=2CD，∵当CD最大时，CP也就最大，CD最大时为直径，∴当CD=AB=2时，CP最大值=2CD=4．22.【解答】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，=．解得x=1500．经检验x=1500是方程的解，且符合题意．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m台，由题意得，17600≤1000m+800（20﹣m）≤18400，8≤m≤12．因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，则W=（1500﹣1000）m+（1400﹣800﹣a）（20﹣m），W=（a﹣100）m+12000﹣20a．所以当a=100时，（2）中所有的方案获利相同．23.【解答】解：在直角△ACM ，∠CAM=45度，则△ACM 是等腰直角三角形， 则AC=CM=12（海里），∴BC=AC ﹣AB=12﹣4=8（海里），直角△BCN 中，CN=BC•tan ∠CBN=BC=8（海里），∴MN=CN ﹣CM=8﹣12（海里）．答：钓鱼岛东西两端点MN 之间的距离是（8﹣12）海里．24.【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，根据勾股定理得：AC==10cm ；（2）分两种情况考虑：如图1所示，过B 作BH ⊥AC ，∵S △ABC =AB•BC=AC•BH ，∴BH===， ∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A ，∴△AED ∽△ABH ，∴=，即=，解得：DE=t ， 则当0≤t≤时，DE=t ；如图2所示，同理得到△CED ∽△CBH ，∴=，即=，解得：DE=（10﹣t ）=﹣t+， 则当＜t≤10时，DE=（10﹣t ）=﹣t+；（3）如图3所示，由题意，得AD+DG+GC=10，即t+t+t×=10，解得：t=；（4）如图1所示，当0＜t≤时，S=（t ）2=t 2；如图2所示，当≤t ＜10时，S=[（10﹣t ）]2﹣×（10﹣t ）××（10﹣t ）=（10﹣t ）2．25.【解答】解：（1）由题知，直线y=x 与BC 交于点D （x ，3）．把y=3代入y=x 中得，x=4，∴D （4，3）；（2）抛物线y=ax 2+bx 经过D （4，3）、A （6，0）两点，分别代入y=ax 2+bx 中，得解之得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）因△POA底边OA=6，∴当S△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，∵a=﹣＜0，∴抛物线顶点恰为最高点，∴S△POA的最大值=×6×=；（4）抛物线的对称轴与x轴交于点Q1，符合条件．∵CB∥OA，∠Q1OM=∠CDO，∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO．x=﹣=3，该点坐标为Q1（3，0）．过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2，∵对称轴平行于y轴，∴∠Q2MO=∠DOC，∴Rt△Q2MO∽Rt△DOC．在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC，∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO．∴CD=Q1Q2=4，∵点Q2位于第四象限，∴Q2（3，﹣4）．因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（3，0），Q2（3，﹣4）．。
2016年天津市河西区高三二模数学(理)试题及答案(解析版)
2016年天津市河西区高三二模数学（理）试题及答案一、单选题（共8小题）1．已知全集|，，，，，，则（）A．，B．，C．D．，，2．的展开式中的常数项为（）A．6B．24C．D．3．（3）已知命题：“存在，，使得”，则下列说法正确的是( )A ．是假命题；：“任意，，都有”B ．是真命题；：“不存在，，使得”C ．是真命题；：“任意，，都有”D ．是假命题；：“任意，，都有”4．已知定义在上的偶函数在，上单调递增，则满足的的取值范围是（）A．，B．，C．，D．，5．已知双曲线：，的左焦点在抛物线：的准线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）A．B．C．D．7．若“”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图所示，边长为的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边和上移动，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）9.统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中的值为 .10.已知是纯虚数，是实数（是虚数单位），那么 .11.执行如图所示的程序框图，输出的值为 .12.若圆的方程为：（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为．（极角范围为，）13.如图，四边形内接于圆，，，过点的圆的切线与的延长线交于点，，，则 .14.函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .三、解答题（共6小题）15.已知函数（）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值及函数的定义域；（Ⅱ）若，求的值.16.长时间用手机上网严重影响学生的健康，某校为了解，两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长不小于21小时，则称为“过度用网”.（Ⅰ）请根据样本数据，估计，两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从班，班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，求的分布列和数学期望.17.如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．18.已知抛物线的顶点为，，焦点为，.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于、两点，求的最小值.19.已知直线：与圆：交于不同的两点，，.数列满足：，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）记数列的前项和为，在（Ⅱ）的条件下，求证：对任意正整数，20.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求过点，且与曲线相切的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调递增区间；（Ⅲ）若函数的两个极值点，，且，记表示不大于的最大整数，试比较与的大小.答案部分1.考点：集合的运算试题解析：|，，所以{3}.答案：C2.考点：二项式定理与性质试题解析：的展开式的通项公式为：令所以常数项为：答案：B3.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为所以，时，成立，即是真命题；因为特称命题的否定为全称命题，所以：“任意，，都有”。
2016年天津市五区县数学中考二模试卷【答案】
2016年天津市五区县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算（﹣3）3的结果等于（）A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣272．（3分）已知α为锐角，sinα=，则α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．（3分）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）2015年8月18日，第三届中国绿色博览会在天津开吗，坐落在“新时代”板块的天津园面积最大，达11000平方米，将11000用科学记数法表示应为（）A．0.11×105B．1.1×104C．11×103D．11×1045．（3分）下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C7．（3分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（）A． B．C． D．8．（3分）把分式中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．改变原来的D．不改变9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°10．（3分）已知两点（x1，y1），（x2，y2）在函数y=﹣的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y2＜y1＜011．（3分）以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形C．这个三角形是直角三角形D．这个三角形是钝角三角形12．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有两点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，y1y2＜0，则下列判断正确的是（）A．a＜0B．a＞0C．方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1＜x0＜x2D．y1＜y2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（ab）5÷（ab）2的结果是．14．（3分）将直线y=﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为．15．（3分）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是．16．（3分）如图，AB是⊙O直径，弦AD、BC相交于点E，若CD=5，AB=13，则=．17．（3分）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，能连续搭建正六边形的个数为个．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．①则△ABC的面积为．②请利用网格作以AB为底的等腰△ABD，使△ABD的面积等于3说明你的作图方法（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某校申报“跳绳特色运动”学校一年后，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图．（1）补全频数分布直方图，扇形图中m=；（2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如A组80≤x＜100的中间值是=90次），则这次调查的样本平均数是多少？（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为点P，过B点的直线与线段AB的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）如图1，求证：直线BF是⊙O的切线；（2）如图2，当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？证明你的结论．22．（10分）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设N、M为该岛的东西两端点）最近距离为15海里（即MC=15海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东57°方向（其中N、M、C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．（精确到0.1海里）参考数据：sin57°=0.84，cos57°=0.54，tan57°=1.54．23．（10分）某市出租车的收费标准是：起步价10元（起步价指小于等于3千米行程的出租车价），行程在3千米到5千米（即大于3千米小于等于5千米）时，超过3千米的部分按每千米1.3元收费（不足1千米按1千米计算），当超过5千米时，超过5千米的部分按每千米2.4元收费（不足1千米按1千米计算）．（Ⅰ）若某人乘坐了2千米的路程，则他应支付的费用为元；若乘坐了4千米的路程，则应支付的费用为元；若乘坐了8千米的路程，则应支付的费用为元；（Ⅱ）若某人乘坐了x（x＞5且为整数）千米的路程，则应支付的费用为元（用含x的代数式表示）；（Ⅲ）若某人乘车付了15元的车费，且他所乘路程的千米数位整数，那么请你算一算他乘了多少千米的路程？24．（10分）如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．（Ⅰ）求点E和点D的坐标；（Ⅱ）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出点M、N的坐标及四边形MNED周长的最小值；如果不存在，请说明理由．（Ⅲ）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．25．（10分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．2016年天津市五区县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算（﹣3）3的结果等于（）A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27【解答】解：计算（﹣3）3的结果等于﹣27．故选：D．2．（3分）已知α为锐角，sinα=，则α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴α=30°．故选A．3．（3分）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选B．4．（3分）2015年8月18日，第三届中国绿色博览会在天津开吗，坐落在“新时代”板块的天津园面积最大，达11000平方米，将11000用科学记数法表示应为（）A．0.11×105B．1.1×104C．11×103D．11×104【解答】解：将11000用科学记数法表示为1.1×104．故选：B．5．（3分）下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图为矩圆形，左视图为圆，故选项错误；B、主视图为三角形，左视图为带圆心的圆，故选项错误；C、主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确；D、主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误．故选：B．6．（3分）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【解答】解：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜＜3，则表示的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间．故选A7．（3分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（）A． B．C． D．【解答】解：A．当长方形如A所示对折时，其重叠部分两角的和中，一个顶点处小于90°，另一顶点处大于90°，故A错误；B．当如B所示折叠时，其重叠部分两角的和小于90°，故B错误；C．当如C所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，故C错误；D．当如D所示折叠时，两角的和是90°，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，故D正确．故选：D．8．（3分）把分式中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．改变原来的D．不改变【解答】解：分子、分母的x、y同时扩大2倍，即，根据分式的基本性质，则分式的值不变．故选D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD 所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=∠CED=30°．故选：C．10．（3分）已知两点（x1，y1），（x2，y2）在函数y=﹣的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y2＜y1＜0【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣5＜0，∴此函数图象的两个分支在二、四象限，∵x1＞x2＞0，∴两点都在第四象限，∵在第四象限内y的值随x的增大而增大，∴y2＜y1＜0．故选D．11．（3分）以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形C．这个三角形是直角三角形D．这个三角形是钝角三角形【解答】解：（1）因为OC=1，所以OD=1×sin30°=；（2）因为OB=1，所以OE=1×sin45°=；（3）因为OA=1，所以OD=1×cos30°=．因为（）2+（）2=（）2，所以这个三角形是直角三角形．故选C12．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有两点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，y1y2＜0，则下列判断正确的是（）A．a＜0B．a＞0C．方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1＜x0＜x2D．y1＜y2【解答】解：∵x1＜x2，y1y2＜0，∴两个交点在x轴的上方一个，下方一个，∴抛物线与x轴有一个交点在这两个点之间，∴方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1＜x0＜x2．a的正负情况以及y1与y2哪一个是正数哪一个是负数无法判断．故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（ab）5÷（ab）2的结果是a3b3．【解答】解：原式=（ab）5﹣2=（ab）3=a3b3．故答案为；a3b3．14．（3分）将直线y=﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为y=﹣2x﹣1．【解答】解：将直线y=﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为y=﹣2x+3﹣4，即y=﹣2x﹣1．故答案为y=﹣2x﹣1．15．（3分）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是．【解答】解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、，∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是：．故答案为：．16．（3分）如图，AB是⊙O直径，弦AD、BC相交于点E，若CD=5，AB=13，则=．【解答】解：∵∠C=∠A，∠D=∠B，∴△ECD∽△EAB，∴=；故答案为：．17．（3分）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，能连续搭建正六边形的个数为286个．【解答】解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y 个，由题意得，解得：．故答案为：286．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．①则△ABC的面积为．②请利用网格作以AB为底的等腰△ABD，使△ABD的面积等于3说明你的作图方法（不要求证明）延长BC得到格点E，作EF∥AB得格点F，EF与格线交于点M，连结MK，把EF向左平移2格得到HG，HG交格线于N，同样把AB向右平移3格得到PQ，PQ交格线于L，连结LN交MK于点，然后连结DA、DB，则△ABD为所作．【解答】解：①BC==，=••=；所以S△ABC故答案为；②如图，延长BC得到格点E，作EF∥AB得格点F，EF与格线交于点M，连结MK，把EF向左平移2格得到HG，HG交格线于N，同样把AB向右平移3格得到PQ，PQ交格线于L，连结LN交MK于点，然后连结DA、DB，则△ABD为所作．故答案为；延长BC得到格点E，作EF∥AB得格点F，EF与格线交于点M，连结MK，把EF向左平移2格得到HG，HG交格线于N，同样把AB向右平移3格得到PQ，PQ交格线于L，连结LN交MK于点，然后连结DA、DB，则△ABD为所作．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．【解答】解：，（Ⅰ）解不等式①得：x＞﹣3，（Ⅱ）解不等式②得：x≤2，（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，故答案为：（Ⅰ）x＞﹣3；（Ⅱ）x≤2；（Ⅳ）﹣3＜x≤2．20．（8分）某校申报“跳绳特色运动”学校一年后，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图．（1）补全频数分布直方图，扇形图中m=84；（2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如A组80≤x＜100的中间值是=90次），则这次调查的样本平均数是多少？（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？【解答】解：（1）由直方图和扇形图可知，A组人数是6人，占10%，则总人数：6÷10%=60，m=×360°=84°，D组人数为：60﹣6﹣14﹣19﹣5=16，；（2）平均数是：=130；（3）绩为优秀的大约有：2100×=1400人21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为点P，过B点的直线与线段AB的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）如图1，求证：直线BF是⊙O的切线；（2）如图2，当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线．（2）结论：四边形AEBF是平行四边形．证明：如图2中，连接AC、BD．∵OA=OB，∴OC=OD，∴四边形ACBD是平行四边形∴AD∥BC，即AF∥BE，又∵AE切⊙O于点A，∴AE⊥AB，同理BF⊥AB，∴AE∥BF，∴四边形AEBF是平行四边形．22．（10分）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设N、M为该岛的东西两端点）最近距离为15海里（即MC=15海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东57°方向（其中N、M、C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．（精确到0.1海里）参考数据：sin57°=0.84，cos57°=0.54，tan57°=1.54．【解答】解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan45°==1，∴AC=CM=15，∴BC=AC﹣AB=15﹣4=11．在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan57°==1.54．∴CN=1.54B C=16.94．∴MN=16.94﹣15=1.94≈1.9海里．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离约为1.9海里．23．（10分）某市出租车的收费标准是：起步价10元（起步价指小于等于3千米行程的出租车价），行程在3千米到5千米（即大于3千米小于等于5千米）时，超过3千米的部分按每千米1.3元收费（不足1千米按1千米计算），当超过5千米时，超过5千米的部分按每千米2.4元收费（不足1千米按1千米计算）．（Ⅰ）若某人乘坐了2千米的路程，则他应支付的费用为10元；若乘坐了4千米的路程，则应支付的费用为11.3元；若乘坐了8千米的路程，则应支付的费用为19.8元；（Ⅱ）若某人乘坐了x（x＞5且为整数）千米的路程，则应支付的费用为 2.4x+0.6或12.6+2.4（x﹣5）元（用含x的代数式表示）；（Ⅲ）若某人乘车付了15元的车费，且他所乘路程的千米数位整数，那么请你算一算他乘了多少千米的路程？【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：某人乘坐了2千米的路程，他应支付的费用为：10元；乘坐了4千米的路程，应支付的费用为：10+（4﹣3）×1.3=11.3（元），乘坐了8千米的路程，应支付的费用为：10+2×1.3+3×2.4=19.8（元），故答案为：10；11.3，19.8；（Ⅱ）由题意可得：10+1.3×2+2.4（x﹣5）=2.4x+0.6；故答案为：2.4x+0.6或12.6+2.4（x﹣5）（Ⅲ）若走5千米，则应付车费：10+1.3×2=12.6（元），∵12.6＜15，∴此人乘车的路程超过5千米，因此，由（Ⅱ）得2.4x+0.6=15，解得：x=6答：此人乘车的路程为6千米．24．（10分）如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．（Ⅰ）求点E和点D的坐标；（Ⅱ）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出点M、N的坐标及四边形MNED周长的最小值；如果不存在，请说明理由．（Ⅲ）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）依题意可OE=OA=15，AD=DE在Rt△OCE中，CE=12，∴E（12，9），又∵BE=BC﹣CE=3，在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2，即：DE2=BE2+（9﹣DE）2∴DE=AD=5，∴D（15，5）（Ⅱ）存在如图，作点D关于x轴的对称点D′（15，﹣5），E关于y轴的对称点E′（﹣12，9），连接点D′E′，分别交x轴、y轴于点M、N，则点M、N即为所求，设直线D′E′的解析式为y=kx+b，将D′（15，﹣5）、E′（﹣12，9）代入得k=﹣，b=∴直线D′E′的解析式为y=﹣x+令x=0，得y=令y=0，得x=∴M（，0）、N（0，），在Rt△BE′D′中，D′E′=5∴四边形MNED周长最小值=DE+EN+MN+MD=5+5（Ⅲ）当在x轴正半轴上，OP1=OE=15时，点P1与A重合，∴P1（15，0），当在x轴负半轴上时，OP2=OE=15时，P2（﹣15，0），如图，当OE=EP3时，作EH⊥OA，∴OH=CE=HP3=12，∴P3（24，0），当OP4=EP4时，由勾股定理得，P4H2+EH2=P4E2，∴（12﹣P4E）2+81=P4E2，∴OP4=EP4=，∴P4（，0）．满足条件的P点有四个，分别是P1（15，0），P2（﹣15，0），P3（24，0），P4（，0）．25．（10分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线l 1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得b=2，∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∵抛物线l2经过点A、E两点，∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），∴﹣=﹣5a，解得a=，∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，∵PC=PA，∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，∴P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），∵MN∥y轴，∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x ﹣）2+，显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x ﹣）2﹣，显然当x＞时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．。
(解析版)天津市河西区2016届高三数学二模试卷(文科) Word版含解析
2016年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2}B．{1，3}C．{3}D．{1，2，3}2．函数的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立4．在边长为8的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④6．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．47．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=．14．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一点，且满足，•=5，则|=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）17．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．18．已知直线l n：y=x﹣与圆C n：x2+y2=2a n+n交于不同的两点A n，B n，n∈N*．数列{a n}满足：a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．20．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．2016年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2}B．{1，3}C．{3}D．{1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集U中的元素，根据B的补集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵全集U={x∈Z|1≤x≤5}={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，∴B={3，4，5}，则A∩B={3}．故选：C．2．函数的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2）C．（0，2]D．[0，2]【考点】对数函数的定义域．【分析】由对数式的真数大于0，被开放数大于等于0，求解x的取值范围，然后用集合或区间表示即可得到函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0≤x＜2．所以原函数的定义域为[0，2）．故选B．3．已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立【考点】命题的否定．【分析】利用￢p的定义即可得出．【解答】解：命题p：“∀x＞0，有e x≥1，则￢p为∃x0＞0，有e x0＜1成立．故选：C．4．在边长为8的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即【解答】解：以AB为直径圆内的区域为满足∠AMB＞90°的区域，则P落在半圆内，半圆的面积为π×42=8π；正方形ABCD的面积为64．∴满足∠AMB＞90°的概率为=；故选：A．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；故选C．6．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a2=3，b2=，c2=3+，双曲线的左焦点F（﹣c，0），抛物线的准线为x=﹣，∵双曲线C1的左焦点在抛物线C2的准线上，∴﹣=﹣c，即=c，则c2=，即3+=，即=3，则=1，则p=4，即a2=3，c2=3+=3+1=4，则a=，c=2，即离心率e===，故选：C7．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．8．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设f（x）=2x+x，从而2x＞a﹣x⇔f（x）＞a，根据题意便知x＞1得不到f（x）＞a，而f（x）＞a能得到x＞1，并且能知道函数f（x）为增函数，并且有f（x）＞3时，x ＞1，从而得出a＞3．【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为0.03．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率为1，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03．故答案为：0.03．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设纯虚数z=mi（m≠0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求．【解答】解：设z=mi（m≠0），则=．∵是实数，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案为：﹣2i．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣6．【考点】循环结构．【分析】根据题意，i、S的初始值分别为1，0．该程序的意图是：当i≤3时，用（﹣1）i•i2+S 值代替S，直到i=4时输出S的值，由此不难得到本题的答案．【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值故答案为：﹣612．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=﹣1．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】解：因为BD⊥AB，四边形ABDC内接于圆，所以AC⊥CD，又BD=CD，可得：AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），由AE=2，可得：AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．故答案为：﹣1．14．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一点，且满足，•=5，则|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意和向量的线性运算求出，，，再求出和，代入，利用向量的数量积运算化简即可．【解答】解：由题意可得，BC∥AD、BC=2，AD=4，则，所以=，因为P为CD的中点，所以==﹣λ（），因为==﹣2，=，则=（）•（+）=（λ+﹣2）[（1﹣λ）λ（）]=5，又=0，且AB=4，BC=2，所以λ=；所以==﹣2，|==；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bc•sinA，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800．17．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点M，利用三角形的中位线的性质可得四边形CDFM为平行四边形，从而得到DF∥CM，再由线面平行的判定得到DF∥平面ABC；（2）由已知求解直角三角形证明AE⊥AB，由面面垂直的性质可得AC⊥BC，再由线面垂直的判定得到AE⊥平面ABC，从而AE⊥CM．在△ABC中，由AC=BC，M为AB中点，得CM⊥AB，进一步得到CM⊥平面ABE．结合（1）知DF∥CM，则DF⊥平面ABE；（3）由（2）可知BC为三棱锥B﹣CDE的高，然后利用等积法求得三棱锥D﹣BCE的体积．【解答】证明：（1）设M为AB中点，连结FM，CM．在△ABE中，又F为BE中点，∴．又∵CD∥AE，且，∴CD∥FM，CD=FM．则四边形CDFM为平行四边形．故DF∥CM，又DF⊄平面ABC，CM⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC；（2）在Rt△ABC中，AC=BC=1，∴．在△ABE中，AE=2，，．∵BE2=AE2+AB2．∴△ABE为直角三角形．∴AE⊥AB．又∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC．故BC⊥平面ACDE．即BC⊥AE．∵BC∩AB=B，∴AE⊥平面ABC，而CM⊂平面ABC，故AE⊥CM．在△ABC中，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB．AE∩AB=A，∴CM⊥平面ABE．由（1）知DF∥CM，∴DF⊥平面ABE；（3）由（2）可知BC⊥平面ACDE，∴BC为三棱锥B﹣CDE的高，∴V D ﹣BCF =V B ﹣CDE =．18．已知直线l n ：y=x ﹣与圆C n ：x 2+y 2=2a n +n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *．数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ）若b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求出|A n B n |，代入a n+1=，可得数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n 可求；（Ⅱ）把数列{a n }的通项公式代入b n =，然后利用错位相减法求得数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）圆C n 的圆心到直线l n 的距离，半径，∴=，即，又a 1=1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n ==，∴，，两式相减，得，∴．19．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．20．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为•＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；（2）不等式＞即为•＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2故＞．令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．2016年7月21日。
天津市河西区中考数学模拟考试试题(一)(含解析)
2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）1．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A．众数 B．中位数C．方差 D．以上都不对2．下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个3．在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将我市成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“全”字所在的面相对的字应是（）A．文B．明C．城D．市4．如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y=D．y=5．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（）A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF6．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．97．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x，0≤x≤5008．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或109．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程s（km）与所花时间t（min）之间的关系．则小亮步行的速度和乘公交车的速度分别是（）A．100m/min，266m/min B．62.5m/min，500m/minC．62.5m/min，437.5m/min D．100m/min，500m/min10．如图，AB是⊙O的直径，C，D 是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为（）A．B．C．D．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣312．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共11小题，每小题2分，满分22分）13．不等式组的所有整数解的积为．14．已知x=，则= ．15．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．16．如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．17．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．18．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EFGH是正方形花圃．一只小鸟随机落在绿化带区域内，则它停留在花圃上的概率是．19．如图，已知△ABC，过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，则DC= ．20．如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为．21．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．22．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．则sin∠BAG= ．23．如图△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P2015A2014A2015是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…都在函数（x＞0）x的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…A2014A2015都在x轴上，则A2015的坐标为．三、解答题（共10小题，满分74分）24．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求点A的坐标及一次函数解析式．（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．25．如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．26．“阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所示．（1）图中a值为．（2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A1、A2、…A n，从中随机抽取两名选手作经验交流，请用树状或列表法求恰好抽取到的选手A1和A2的概率．27．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如下表：（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．28．数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC =1：10（即EF ：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α．已知tan α=，升旗台高AF=1m ，小明身高CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．29．如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接PA 、AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若=，且OC=4，求PA 的长和tanD 的值．30．如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 是射线CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，点C 的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．31．如图，二次函数y=﹣的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D．（1）求 A，B，C三点的坐标；（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求出四边形AEBC的面积；（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由？32．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x 轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．33．（10分）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t 上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）1．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A．众数 B．中位数C．方差 D．以上都不对【考点】统计量的选择．【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．故选：C．【点评】本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．2．下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】命题与定理；平行四边形的判定．【分析】分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．3．在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将我市成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“全”字所在的面相对的字应是（）A．文B．明C．城D．市【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：由正方体的展开图特点可得：与“全”字所在的面相对的面上标的字应是“明”．故选：B．【点评】本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，掌握正方体相对面的特点是解题的关键．4．如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y=D．y=【考点】函数自变量的取值范围；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答．【解答】解：A、y=x+2，x为任意实数，故错误；B、y=x2+2，x为任意实数，故错误；C、，x+2≥0，即x≥﹣2，故正确；D、y=，x+2≠0，即x≠﹣2，故错误；故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（）A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF【考点】全等三角形的判定；勾股定理．【专题】网格型．【分析】根据全等三角形的对应边相等得到相关线段间的等量关系．然后利用勾股定理进行验证．【解答】解：在△ABC中，AB==，BC=，AC=2．A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故本选项错误；B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故本选项错误；C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=AC=2，则由SSS推知△ACF与△ABC全等，故本选项正确；D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定．此题利用了全等三角形的判定定理SSS进行证明的．6．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】扇形面积的计算．【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．【解答】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，∴S扇形DAB==×6×3=9．故选D．【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=．7．某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500【考点】根据实际问题列一次函数关系式．【分析】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案．【解答】解：因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，可得： L/km，60÷0.12=500（km），所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y=60﹣0.12x，（0≤x≤500），故选D．【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．8．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．9．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程s（km）与所花时间t（min）之间的关系．则小亮步行的速度和乘公交车的速度分别是（）A．100m/min，266m/min B．62.5m/min，500m/minC．62.5m/min，437.5m/min D．100m/min，500m/min【考点】函数的图象．【分析】根据图象可以确定他离家8km用了多长时间，等公交车时间是多少，他步行的时间和对应的路程，公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．【解答】解：由图象可知：他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min；公交车（30﹣16）min走了（8﹣1）km，故公交车的速度为7000÷14=500m/min．故选：D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D 是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为（）A．B．C．D．【考点】切线的性质．【分析】连接OC，求出∠OCE=90°，求出∠A=∠ACO=30°，根据三角形外角性质求出∠COE=60°，即可求出答案．【解答】解：连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE=90°，∵∠CDB=30°，∴∠A=∠CDB=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COE=30°+30°=60°，∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，∴sinE=，【点评】本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，连接OC构造直角三角形是做题的关键．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a 与b 的关系，以及当x=1时a+b+c=P 是解决问题的关键．12．如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】根据题意，易得△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等，且在△AEG 中，AE=x ，AG=2﹣x ；可得△AEG 的面积y 与x 的关系；进而可判断出y 关于x 的函数的图象的大致形状．【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG ，且正三角形ABC 的边长为2，故BE=CF=AG=2﹣x ；故△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等．在△AEG 中，AE=x ，AG=2﹣x ．则S △AEG =AE ×AG ×sinA=x （2﹣x ）；故y=S △ABC ﹣3S △AEG=﹣3×x （2﹣x ）=（3x 2﹣6x+4）． 故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；故选：D ．【点评】本题考查动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．二、填空题（共11小题，每小题2分，满分22分）13．不等式组的所有整数解的积为0 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相乘即可求解．【解答】解：，解不等式①得：x，解不等式②得：x≤50，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50，所以所有整数解的积为0，故答案为：0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．已知x=，则= ．【考点】分式的混合运算．【分析】将被除式分母因式分解，计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，计算乘法可化简原式，将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=÷=•=，当x=﹣1时，原式==．故答案为：．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质和分式运算的法则是关键．15．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 4 ．【考点】三角形的面积．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．16．如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为9cm2．【考点】中点四边形；菱形的性质．【分析】连接AC、BD，首先判定四边形EFGH的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出AC与BD的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==3，∴BD=6，∵EH=BD，EF=AC，∴EH=3，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=9cm2．故答案为：9．【点评】本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形EFGH的形状为矩形．17．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．18．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EFGH是正方形花圃．一只小鸟随机落在绿化带区域内，则它停留在花圃上的概率是．【考点】几何概率．【分析】求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率．【解答】解：设正方形的ABCD的边长为a，则AE=EF=FC=，∴阴影部分的面积为（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．19．如图，已知△ABC，过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，则DC= 2 ．【考点】解直角三角形．【专题】计算题；解直角三角形及其应用．【分析】由题意得到AD与BC垂直，利用垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由BC﹣BD求出CD的长即可．【解答】解：由题意得：AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AD=4，tan∠BAD=，∴tan∠BAD==，即BD=3，则CD=BC﹣BD=5﹣3=2，故答案为：2【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．20．如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为t1＞t2＞t3．【考点】轨迹．【专题】压轴题．【分析】根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为S，等边三角形、正方形的边长分别为a，b，圆的半径为r，等边三角形的面积S=a2，周长=3a=3，正方形的面积S=b2，周长=4b=4，圆的面积S=πr2，周长=2πr=2π，周长平方后的结果分别为12S，16S，4πS∴t1＞t2＞t3．故答案为：t1＞t2＞t3．【点评】本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．21．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 3 ．【考点】三角形中位线定理；勾股定理．【专题】压轴题；动点型．【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．22．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．则sin∠BAG= ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】证明直角△ABG≌直角△AFG，设BG=FG=x，在直角△GCE中利用勾股定理即可列方程求得BG的长，然后在直角△ABG中利用勾股定理求得AG的长，则根据正弦函数的定义求解．【解答】解：∠AFE=∠D=90°，则∠AFG=90°．在直角△ABG和直角△AFG中，，∴直角△ABG≌直角△AFG，∴BG=FG．设BG=FG=x，在直角△GCE中，EC=3，GC=6﹣x，GE=GF+EF=x+3．则（6﹣x）2+32=（x+3）2，解得：x=2．则在直角△ABG中，AG===2．则sin∠BGA===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠、三角函数的定义以及全等三角形的判定与性质，正确证明直角△ABG≌直角△AFG是关键．23．如图△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P2015A2014A2015是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…都在函数（x＞0）x的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…A2014A2015都在x轴上，则A2015的坐标为（4，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【专题】规律型．【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，知点P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P1的坐标是（2，2），则根据等腰三角形的三线合一求得点A1的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点A1的坐标和双曲线的解析式求得A2点的坐标．根据A1、A2点的坐标特征即可推而广之得到A n点的坐标．【解答】解：（1）可设点P1（x，y），根据等腰直角三角形的性质可得：x=y，又∵，则x2=4，∴x=±2（负值舍去），再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0），设点P2的坐标是（4+y，y），又∵，则y（4+y）=4，即y2+4y﹣4=0解得，y1=﹣2+2，y2=﹣2﹣2，∵y＞0，∴y=2﹣2，再根据等腰三角形的三线合一，得A2的坐标是（4，0）；同理得到：点A3的坐标是（4，0），…则A n点的坐标是（4，0）．∴A2015的坐标为（4，0）．故答案是：（4，0）．【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．三、解答题（共10小题，满分74分）24．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求点A的坐标及一次函数解析式．（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据OA=OB和点B的坐标易得点A坐标，再将A、B两点坐标分别代入y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，；（2）由B是线段AC的中点，可得C点坐标，将C点坐标代入y=（k≠0）可确定反比例函数的解析式．【解答】解：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2．（2）∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=8；∴反比例函数的解析式为y=．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．25．如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C′（﹣，），求得直线C′D的解析式为y=﹣x+1+，直线与y轴的交点即为所求．【解答】解：（1）∵A（1，3），∴AB=3，OB=1，∵AB=3BD，。
天津市河西区中考数学模拟试卷(四)(含解析)
2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（四）一、选择题1．当1≤x ≤2时，ax+2＞0，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣2C ．a ＞0D ．a ＞﹣1且a ≠02．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A ．B ．C ．2D ．43．函数y=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题6．分解因式：3x 2﹣27= ．7．计算÷（1﹣）的结果是 ．8．已知x=，则= ．9．若实数a 、b 满足（4a+4b ）（4a+4b ﹣2）﹣8=0，则a+b= ．10．二次函数y=﹣2（x ﹣3）（x+1）的图象与y 轴的交点坐标是 ．11．若方程x 2﹣2x ﹣1=0 的两根分别为x 1，x 2，则3x 1+3x 2﹣4x 1x 2的值为 ．12．以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，E 是一腰AC 上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE ，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为 ．13．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ．14．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．15．九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是．16．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．17．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为元．18．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，则线段OB= ；图中阴影部分的面积为．19．小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站如乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变）．图中折线ABCDE 表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．（1）小丽步行的速度为；（2）写出y与x之间的函数关系式：．20．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR=3：1：2．（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS=（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST= ．三、解答题21．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．22．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．23．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？（3）当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？24．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．25．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）（1）求AE的长；（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？26．如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．27．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证： =．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t= 秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．29．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？30．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．31．已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．32．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题1．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0【考点】不等式的性质．【分析】当x=1时，a+2＞0；当x=2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得到a的取值范围．【解答】解：当x=1时，a+2＞0解得：a＞﹣2；当x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值范围为：a＞﹣1．【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．2．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（）A．B．C．2 D．4【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质，在图②中得到DB=8﹣6=2，∠EAD=45°；在图③中，得到AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和矩形的性质得到BF=AB=4，CF=BC ﹣BF=6﹣4=2，EC=DB=2，最后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD边落在AB边上，∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45°，又∵△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，∴AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，∴BF=AB=4，∴CF=BC﹣BF=6﹣4=2，而EC=DB=2，×2×2=2．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和矩形的性质．3．函数y=的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】从x＜0和x＞0两种情况进行分析，先化简函数关系式再确定函数图象即可．【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y=﹣x﹣2，函数图象为：B、D，当x＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A、C、D，故选：D．【点评】本题考查的是函数图象，利用分情况讨论思想把函数关系式进行正确变形是解题的关键，要能够根据函数的系数确定函数的大致图象．4．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，当点C从M运动到A时，分别求出d与t之间的关系即可进行判断．【解答】解：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，∵vt==，∴α=，在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin=50sin t，∴d与t之间的关系d=50sin t，当点C从M运动到A时，d与t之间的关系d=50sin（180﹣t），故选：C．【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键．5．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故而得出答案．【解答】解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．二、填空题6．分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．7．（2015•黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．已知x=，则= 4﹣．【考点】分式的混合运算．【分析】先将被除式分子因式分解，计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分可化简原式，把x的值代入计算可得．【解答】解：原式=÷=•=﹣（x﹣2）=2﹣x，当x=﹣2时，原式=2﹣（﹣2）=2﹣+2=4﹣．故答案为：4﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的性质可分式运算的法则是解题的关键．9．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ﹣或1 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．10．二次函数y=﹣2（x﹣3）（x+1）的图象与y轴的交点坐标是（0，6）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】计算自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【解答】解：当x=0时，y=﹣2（x﹣3）（x+1）=6，所以二次函数y=﹣2（x﹣3）（x+1）的图象与y轴的交点坐标为（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11．若方程x2﹣2x﹣1=0 的两根分别为x1，x2，则3x1+3x2﹣4x1x2的值为10 ．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以3x1+3x2﹣4x1x2=2×3﹣4×（﹣1）=10．故答案为10．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．12．（2015•呼和浩特）以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为②③④．【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【解答】解：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，①错误；②边数相等的两个正多边形一定相似，②正确；③如图所示，∵∠AED=∠C+∠EDC=∠B+∠EDC，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠B+2∠EDC，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°，∴∠B+2∠EDC=∠B+60°，∴∠EDC=30°，故③正确；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，④正确．故答案为②③④．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．13．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是75°．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，得出平行线，再利用平行线的性质和对顶角相等得出∠2=45°，再利用三角形的外角性质解答即可．【解答】解：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．【点评】此题考查三角形外角性质，关键是利用平行线性质和对顶角相等得出∠2的度数．14．（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．15．九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是92% ．【考点】频数（率）分布直方图．【分析】利用合格的人数即50﹣4=46人，除以总人数即可求得．【解答】解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=92%．故答案是：92%．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．16．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AM；∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2：∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°；由射影定理得：BM2=AB•CB，∴BM=4，cos∠MBA==，故答案为．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．17．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为29 元．【考点】一次函数的应用．【分析】设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数为个，分两种情况讨论：①当0≤x＜3时；②当3≤x时，利用一次函数的性质即可解答．【解答】解：设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数为个，①当0≤x＜3时，y=5x+=x+30，∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元；②当3≤x时，y=5x+﹣4=26+x，∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最小值，最小值为29元；综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为29元．故答案为：29．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式，利用一次函数的性质解决最小值的问题，注意分类讨论思想的应用．18．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，则线段OB= 2；图中阴影部分的面积为4π﹣2．【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．【分析】过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，由菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），可求得OA=2，又由将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，可求得∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，继而求得线段BG的长，则可求得扇形EOB与菱形OABC的面积，继而求得答案．【解答】解：过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，∵菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，则∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，∴∠BAG=60°，∴∠ABG=30°，∴AG=AB=1，BG==，∴OB=2BG=2，∵∠BOE=120°，∴S扇形==4π，S菱形OABC=OA•BG=2，∴S阴影=S扇形﹣S菱形OABC=4π﹣2．故答案为：2，4π﹣2．【点评】此题考查了菱形的性质、旋转的性质以及扇形的面积．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19．小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站如乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变）．图中折线ABCDE 表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．（1）小丽步行的速度为50米/分钟；（2）写出y与x之间的函数关系式：．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）观察函数图象AB段，根据“速度=路程÷时间”即可算出小丽步行的速度；（2）根据（1）的结论结合函数图象可得出点D的纵坐标．设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．观察函数图象，找出点的坐标，分段利用待定系数法求出各段y关于x的函数关系式，由此即可得出结论．【解答】解：（1）小丽步行的速度为：（3900﹣3650）÷5=50（米/分钟），故答案为：50米/分钟．（2）点D的纵坐标为：50×（18﹣15）=150．设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．当0≤x≤5时，有，解得：，∴此时y=﹣50x+3900；当5＜x≤8时，此时y=3650；当8＜x≤15时，有，解得：，∴此时y=﹣500x+7650；当15＜x≤18时，有，解得：，∴此时y=﹣50x+900．综上可知：y与x之间的函数关系式为．故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）结合数量关系直接计算；（2）分段利用待定系数法求出各段函数解析式．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，观察函数图象，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．20．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR=3：1：2．（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS= 4：1：3：2（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST= 5：1：4：2：3 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）首先证明△BCQ∽△BES，从而可求得CQ=，DQ=EF，然后证明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3从而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知：QR：RS=DQ：SE=3：2，从而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2；（2）由AC∥DE∥GF，可知：△BPC∽△BER∽BTG，能够求得：AP：DR：FT=5：4：3，然后再证明△BAP∽△QDR∽△SFT．，求得BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3，因为∵BP：QR：RT=1：1：1，所以可求得：BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．【解答】解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，∴BP：PR=BC：CE=1，∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES．又∵BC=CE∴CQ==，∴DQ=∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR．又∵∠BAP=∠QDR，∴△BAP∽△QDR．∴BP：QR=4：3．∴BP：PQ：QR=4：1：3，∵DQ∥SE，∴QR：RS=DQ：SE=3：2，∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．故答案为：4：1：3：2；（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，BC=CE=EG，∴BP=PR=RT，∵AC∥DE∥GF，∴△BPC∽△BER∽BTG，∴PC==，RE==FG，∴AP=，DR=，FT=∴AP：DR：FT=5：4：3．∵AC∥DE∥GF，∴∠BPA=∠QRD=∠STF．又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，∴△BAP∽△QDR∽△SFT．∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3．又∵BP：QR：RT=1：1：1，∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3．故答案为：5：1：4：2：3．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应线段之间的比例关系是解题的关键．三、解答题21．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．【考点】二元一次方程组的解；一元一次不等式的整数解．【专题】计算题．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．【解答】解：，①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，代入不等式得：﹣m+2＞﹣，解得：m＜，则满足条件m的正整数值为1，2，3．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．【解答】解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： =；（2）会增大，理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：。
天津市河西区2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题
天津市河西区2015-2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数 学 试 卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V =·锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集Z x U ∈={|}51≤≤x ，1{=A ，2，}3，1{=B C U ，}2，则=B A （A ）1{，}2（B ）1{，}3 （C ）}3{（D ）1{，2，}3（2）4)12(xx -的展开式中的常数项为（A ）6（B ）24（C ）24-（D ）6-（3）已知命题p ：“存在1[0∈x ，)∞+，使得1)3(log 02≥x ”，则下列说法正确的是（A ）p 是假命题；p ⌝：“任意1[∈x ，)∞+，都有1)3(log 2<x ” （B ）p 是真命题；p ⌝：“不存在1[0∈x ，)∞+，使得1)3(log 02<x ” （C ）p 是真命题；p ⌝：“任意1[∈x ，)∞+，都有1)3(log 2<x ”（A ）31(，)32 （B ）31(-，)32 （C ）31(，)34（D ）31(-，)34（5）已知双曲线1C ：1163222=-py x 0(>a ，)0>b 的左焦点在抛物线2C ：)0(22>=p px y 的准线上，则双曲线1C 的离心率为（A ）34（B ）3（C ）332 （D ）4（6）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为（A ）232+（B ）13+（C ）232- （D ）13-（7）若“1>x ”是“不等式x a x ->2成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（A ）3>a（B ）3<a （C ）4>a（D ）4<a（8）如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在边长为2的正方形''''D C B A 的边''B A 和''D A 上移动，则A A ''⋅的最大值是（A ）4（B ）21+（C ）π （D ）2河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数 学 试 卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。
天津市河西区2016年中考数学模拟试卷(五)含答案
天津市河西区2016年中考数学模拟试卷（五）含答案一、选择题（共11小题，每小题3分，满分33分）1．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）A． B． C． D．【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．【解答】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： =；B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： =；C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，∵＞＞＞，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．故选：A．【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．2．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【解答】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确；C、测得∠1=∠2，∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，∴不一定能判定两直线平行，故错误；D、在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD，∴∠CAO=∠DBO，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．3．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）A． B．﹣1 C．2﹣D．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．5．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）A．甲的速度随时间的增加而增大B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面【分析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．【解答】解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误；B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．故选D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．6．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）A．16米B．米C．16米D．米【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．故选B．【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．7．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键． 8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）A． B． C． D．2【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=rsin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 9．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMC+∠PBQ=180°，∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP=BQ，∴，∴∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（ ）A．C．【分析】设P1（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出规律即可得出结论．【解答】解：设P1（x，y），∵点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，∴=1，=﹣1，解得x=2，y=﹣4，∴P1（2，﹣4）．同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，∴每6个数循环一次．∵=335…5，∴点P2015的坐标是（0，0）．故选A．【点评】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．11．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．二、填空题12．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= 25 ．【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，∴m+n=4，mn=﹣3，则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．故答案为：25．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．13．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 6 ．【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可．【解答】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，∴，解得，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6．故答案为6．【点评】本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．14．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为 100° ．【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180°，即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=160°，∴∠BAD=∠BOD=80°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°，故答案为：100°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，解决本题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180°．15．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 3 对全等三角形．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．16．如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是 5 ．【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果．【解答】解：∵l3∥l6，∴BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴=，∵BC=2，∴EF=5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键．17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则①∠CAB= 45 度；②线段ON的长为 1 ．【分析】①根据正方形对角线平分对角可得答案；②作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC﹣AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°，故答案为：45；②作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH=MH=AM=×2=，∵CM平分∠ACB，∴BM=MH=，∴AB=2+，∴AC=AB=（2+）=2+2，∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴=，即=，∴ON=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．正方形对角线互相垂直平分且平分每一组对角．18．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，则的长为 ．【分析】由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，再连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．【解答】解：连接DF，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 （12，） ．【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y=（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM===，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，∵点D的坐标为（6，8），∴OD==10，∵四边形OBCD是菱形，∴OB=OD=10，∴点B的坐标为：（10，0），∵AB=AD，即A是BD的中点，∴点A的坐标为：（8，4），∵点A在反比例函数y=上，∴k=xy=8×4=32，∵OD∥BC，∴∠DOM=∠FBE，∴tan∠FBE=tan∠DOM===，设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），∵点F在反比例函数y=上，∴4a（10+3a）=32，即3a2+10a﹣8=0，解得：a1=，a2=﹣4（舍去），∴点F的坐标为：（12，）．故答案为：（12，）．【点评】此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，求得反比例函数的解析式，得到tan∠FBE=tan∠DOM===，从而得到方程4a（10+3a）=32是关键．20．图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″．（1）小床这样设计应用的数学原理是 三角形具有稳定性 ．（2）若AB：BC=1：4，则tan∠CAD的值是 ．【分析】（1）直接利用三角形的稳定性得出答案；（2）根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理表示出DC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：（1）小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）∵AB：BC=1：4，∴设AB=x，DC=y，则BC=4x，C″D″=y，由图形可得：BC″=4x，则AC″=3x，AD=AD″=3x+y，故AC2+DC2=AD2，即（5x）2+y2=（3x+y）2，解得：y=x，则tan∠CAD的值是： ==．故答案为：．【点评】此题主要考查了翻折变换以及解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出AC，CD的长是解题关键．21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 2或2或2 ．【分析】利用分类讨论，当∠APB=90°时，易得∠PAB=30°，利用锐角三角函数得AP的长；当∠ABP=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图2易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=ABsin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．22．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是 ①②③ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．【分析】利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为得出④错误，得出tan∠DCF=，得出③正确．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AB=BC=6，∵∠DAB=60°，∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴①正确；过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，∴BE=6﹣2=4，∵EG⊥AB，∴EG=，∴点E到AB的距离是2，故②正确；∵BE=4，EC=2，∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，∴S△ABF：S△FBE=3：2，∴△ABF的面积为=，故④错误；∵，∴=，∵，∴FM=，∴DM=，∴CM=DC﹣DM=6﹣，∴tan∠DCF=，故③正确；故答案为：①②③【点评】此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题23．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价﹣成本）【分析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x＜9时，p=4.1；当9≤x≤15时，设P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p=0.1x+3.2，①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=741（元）；③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，∵a=﹣3＜0，∴当x=﹣=12时，w最大=768（元）；综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．24．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EHEA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=ABsin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EHEA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．25．甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一年内可卖完．现市场上流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压．因甲经销商无流动资金，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售．经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=．若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为w（元）．（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1（元）与x（套）之间的函数关系式；（2）求B品牌服装的销售款Q2（元）与x（套）之间的函数关系式；（3）求w（元）与x（套）之间的函数关系式，并求w的最大值．【分析】（1）直接根据销售款=售价×套数即可得出结论；（2）根据转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200）得出总件数，再与售价相乘即可；（3）把（1）（2）中的销售款相加再减去成本即可．【解答】解：（1）∵甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套售价500元，转让x套给乙，∴Q1=500×（1200﹣x）=﹣500x+600000（100≤x≤1200）；（2）∵转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200），B品牌服装，每套进价300元，∴转让后可购买B服装套，∴Q2=×600=﹣x2+720x（100≤x≤1200）；（3）∵由（1）、（2）知，Q1=﹣500x+600000，Q2=﹣x2+720x，∴W=Q1+Q2﹣400×1200=﹣500x+600000﹣x2+720x﹣480000=﹣（x﹣550）2+180500，当x=550时，W有最大值，最大值为180500元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．26．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解答】解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键． 27．如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点A 作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．（1）求m的值和直线AB的函数关系式；（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值．【解答】解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，∴m=8×1=8，∴y=，∴8=，即n=1，设AB的解析式为y=kx+b，把（8，1）、B（1，8）代入上式得：，解得：．∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，当P在OD上运动时，S===t2（0＜t≤4），当P在DB上运动时，S==t×8=4t（4＜t≤4.5）；②存在，当O′在反比例函数的图象上时，作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，由题意知：∠PO′Q=∠POQ，∠QO′F=90°﹣∠PO′E，∠EPO′=90′﹣∠PO′E，∴△PEO′∽△O′FQ，∴==，设QF=b，O′F=a，则PE=OF=t+b，O′E=2t﹣a，∴，解得：a=，b=，∴O′（t， t），当O′在反比例函数的图象上时，，解得：t=±，∵反比例函数的图形在第一象限，∴t＞0，∴t=．∴O′（4，2）．当t=个长度单位时，O′恰好落在反比例函数的图象上．【点评】本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．28．如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为 3 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ﹣1≤x≤1 ．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．【分析】（1）把二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3化成顶点式，即可求得最小值，分别求得二次函数L1，L2的y值随着x的增大而减小的x的取值，从而求得二次函数L1，L2的y 值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围；（2）先求得E、F点的坐标，作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，从而求得MG=NH=1，然后证得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，进而证得EM∥NF，从而得出四边形ENFM是平行四边形；（3）作MN的垂直平分线，交MN于D，交x轴于A，先求得D的坐标，继而求得MN 的解析式，进而就可求得直线AD的解析式，令y=0，求得A的坐标，根据对称轴从而求得另一个交点的坐标，就可求得方程﹣a（x+1）2+1=0的解．。
天津市河西区2016年中考数学二模试卷含答案解析
2016年天津市河西区中考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算﹣3﹣（﹣2）的结果等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣12．2cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图案中，可以看作是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．用科学记数法表示0.000000567是（）A．56.7×10﹣5B．56.7×10﹣6C．5.67×10﹣7D．5.67×10﹣85．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（）A．B． C．D．6．估计的值在（）A．1.4和1.5之间B．1.5和1.6之间C．1.6和1.7之间D．1.7和1.8之间7．在平面直角坐标系中，点A为（3，2），连接OA并把线段OA绕原点O逆时针旋转180°，所得到的对应点A′的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．已知反比例函数y=﹣当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．﹣10＜y＜﹣59．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π10．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x=x：2 B．x：（2﹣x）=（2﹣x）：2 C．（1﹣x）：x=x：1 D．（1﹣x）：x=1：x 11．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A．70°B．35°C．40°D．50°12．已知抛物线y=﹣与直线y=x交于点A，点B，则AB的长为（）A．3B．6C．3D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．计算a6÷a3的结果等于．14．抛物线y=x2﹣12x的顶点坐标为．15．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是．16．如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，BC=5.25，则DE的长度为．17．如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．18．如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．李红是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了她近期健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）手机软件记录了她健步走的天数为，图①中m的值为；（Ⅱ）在统计所走的步数这组数据中，求出平均数、众数和中位数．21．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．23．考虑下面两种宽带网的收费方式：设月上网时间为xh．（Ⅰ）用含有x的式子填写表格：（Ⅱ）在某种上网时间下，两种收费方式能否相等？如果能，这时的上网时间是多少？如果不能，说明理由．24．如图，在Rt △AOB 中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA 、OB 边所在的直线建立平面直角坐标系，D 点为x 轴正半轴上的一点，以OD 为一边在第一象限内作等边△ODE ． （Ⅰ）如图①当E 点恰好落在线段AB 上时，求E 点坐标；（Ⅱ）若点D 从原点出发沿x 轴正方向移动，设点D 到原点的距离为x ，△ODE 与△AOB 重叠部分的面积为y ，当E 点到达△AOB 的外面，且点D 在点B 左侧时，写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE 在线段OB 上向右平移如图②，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请直接指出这条线段；如果不存在，请说明理由．25．已知二次函数y=x 2+2bx +c （b 、c 为常数）．（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x ≤2上的最小值； （Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x ≤4上的最小值；（Ⅲ）当c=4b 2时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．2016年天津市河西区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算﹣3﹣（﹣2）的结果等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法法则，求出﹣3﹣（﹣2）的结果等于多少即可．【解答】解：﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1，故计算﹣3﹣（﹣2）的结果等于﹣1．故选：D．2．2cos45°的值等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．3．下列图案中，可以看作是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，第二个图形是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，综上所述，看作是中心对称图形的有3个．故选C．4．用科学记数法表示0.000000567是（）A．56.7×10﹣5B．56.7×10﹣6C．5.67×10﹣7D．5.67×10﹣8【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000567=5.67×10﹣7，故选：C．5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为2，1，故选B．6．估计的值在（）A．1.4和1.5之间B．1.5和1.6之间C．1.6和1.7之间D．1.7和1.8之间【考点】估算无理数的大小．【分析】采用夹值法进行求解即可．【解答】解：∵1.72=2.89，1.82=3.24，2.89＜3＜3.24，∴1.7＜1.8．故选D．7．在平面直角坐标系中，点A为（3，2），连接OA并把线段OA绕原点O逆时针旋转180°，所得到的对应点A′的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据关于原点中心对称的点的坐标特征求解．【解答】解：∵线段OA绕原点O逆时针旋转180°，A点的对应点A′，即点A与点A′关于原点中心对称，∴A′点的坐标为（﹣3，﹣2）．故选C．8．已知反比例函数y=﹣当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．﹣10＜y＜﹣5【考点】反比例函数的性质．【分析】先令x=﹣2，x=﹣1求出y的对应值，进而可得出结论．【解答】解：∵当x=﹣2时，y=﹣=5；当x=﹣1时，y=﹣=10，∴5＜y＜10．故选C．9．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．10．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x=x：2 B．x：（2﹣x）=（2﹣x）：2 C．（1﹣x）：x=x：1 D．（1﹣x）：x=1：x【考点】黄金分割．【分析】设它的下部的高度应设计为xm，则设它的上部的高度应设计为（2﹣x）m，于是利用雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比可列方程．【解答】解：根据题意得（2﹣x）：x=x：2．故选A．11．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A．70°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，则∠AC′C=∠ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=40°，所以∠B′AB=40°．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∴∠CAC′=180°﹣2×70°=40°，∴∠B′AB=40°，故选：C．12．已知抛物线y=﹣与直线y=x交于点A，点B，则AB的长为（）A．3B．6C．3D．2【考点】二次函数的性质．【分析】两解析式联立，整理得到x2﹣3x﹣36=0，然后结合根与系数的关系根据勾股定理即可求得．【解答】解：由整理得x2﹣3x﹣36=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3，x1•x2=﹣36，∴AB====3．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．计算a6÷a3的结果等于a3．【考点】同底数幂的除法．【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则求出答案．【解答】解：a6÷a3=a3．故答案为：a3．14．抛物线y=x2﹣12x的顶点坐标为（6，﹣36）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线解析式为一般式，可以利用顶点坐标公式求顶点坐标，也可以用配方法求解．【解答】解：利用配方法y=x2﹣12x，y═x2﹣12x+36﹣36，y=（x﹣6）2﹣36，∴顶点的坐标是（6，﹣36），故答案为（6，﹣36）．15．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解；袋中球的总数为：5+3=8，取到红球的概率为：；故答案为：．16．如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，BC=5.25，则DE的长度为 3.5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，得出比例式，代入相关数值求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∵AD=4，DB=2，∴AB=AD+DB=6，∵BC=5.25，∴4：6=DE：5.25解得：DE=3.5，故答案为：3.5．17．如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于2或4cm．【考点】正方形的性质．【分析】先由三角函数求出AE，得出AM，再证明Rt△PFQ≌Rt△ADE，得出∠FPQ=∠DAE，然后分两种情况分别作图求出AP即可．【解答】解：∵∠DAE=30°，∴AE==4（cm），∵M为AE的中点，∴AM=2cm，①如图1作PF⊥BC于F，交AE与G，则∠PFQ=90°，PF=AD，在Rt△PFQ和Rt△ADE中，，∴Rt△PFQ≌Rt△ADE（HL），∴∠FPQ=∠DAE=30°，∴∠APM=90°+30°=120°，∴∠AMP=30°，∴∠DAE=∠AMP=30°，∵∠AMP=∠PMG，∴△APM∽△PGM，∴=，∴cot30°==，∴=，即=∴AP=2cm．②如图2所示：作PF⊥BC于F，同理Rt△PFQ≌Rt△ADE，∴∠FPQ=∠DAE，∵∠FPQ+∠APM=90°，∴∠DAE+∠APM=90°，∴∠AMP=90°=∠D，∵∠PAM=∠DAE，∴△APM∽△AED，∴=，即=，∴AP=4cm．故答案为2或4．18．如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于22；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）直接根据勾股定理分别计算AD2、DC2、CB2的值，再相加即可；（2）以AB为边做正方形ABGH，这个正方形的面积是26，再作同底边平行四边形HMNG，使它的面积为4，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，得矩形ABPQ；【解答】解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，=S▱HMNG=4，∴S矩形HQNG=（）2=26，∵S正方形ABGH=26﹣4=22，∴S矩形ABPQ所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式①，得x＞2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为2＜x≤3．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再把各不等式的解集在数轴上表示出来即可得出不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得，x＞2，解不等式②，得x≤3，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：，故不等式组的解集为：2＜x≤3．故答案为：（I）x＞2；（II）x≤3；（IV）2＜x≤3．20．李红是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了她近期健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）手机软件记录了她健步走的天数为25，图①中m的值为12；（Ⅱ）在统计所走的步数这组数据中，求出平均数、众数和中位数．【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；中位数．【分析】（Ⅰ）用1.1万步的天数除以所占的百分比得出她健步走的天数，再用1减去其它各组所占百分比，即可求出图①中m的值；（Ⅱ）利用平均数，众数和中位数的定义求解．【解答】解：（Ⅰ）她健步走的天数为：2÷8%=25．∵1﹣8%﹣20%﹣28%﹣32%=12%，∴m=12．故答案为25，12；（Ⅱ）1.5万步走了25×12%=3天．平均数为：=1.32；∵在这组数据中，1.4出现了8次，次数最多，∴这组数据的众数是1.4；将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是1.3，∴这组数据的中位数是1.3．21．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【考点】解直角三角形的应用．【分析】设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．【解答】解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=，∴CO=AO•tan∠CAO=（45×0.1+x）•tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=，∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan58°，∵DC=DO﹣CO，∴36×0.1=x•tan58°﹣（4.5+x），∴x=≈=13.5．因此，B处距离码头O大约13.5km．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．【解答】解：（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．证明：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．23．考虑下面两种宽带网的收费方式：设月上网时间为xh．（Ⅰ）用含有x的式子填写表格：（Ⅱ）在某种上网时间下，两种收费方式能否相等？如果能，这时的上网时间是多少？如果不能，说明理由．【考点】一元一次方程的应用；列代数式．【分析】（I）当25＜x≤50时，根据方式A应收取费用=30+0.05×60×（上网时间﹣25）即可得出结论；当x＞50时，根据方式A应收取费用=30+0.05×60×（上网时间﹣25）以及根据方式B应收取费用=50+0.05×60×（上网时间﹣50）即可得出结论．（II）根据（I）结论即可得出当两种收费方式相等时，有3x﹣45=50，解之即可得出结论．【解答】解：（I）当25＜x≤50时，收费方式A应收取费用30+0.05×60（x﹣25）=3x﹣45（元）；当x＞50时，收费方式A应收取费用30+0.05×60（x﹣25）=3x﹣45（元），收费方式B应收取费用50+0.05×60（x﹣50）=3x﹣100．故答案为：3x﹣45；3x﹣45；3x﹣100．（II）两种收费方式能相等．根据题意得：3x﹣45=50，解得：x=．答：在上网时间为h 时，两种收费方式相等．24．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．（Ⅰ）如图①当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；（Ⅱ）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图②，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请直接指出这条线段；如果不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；（2）根据题意，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，2＜x＜4即可；（3）假设存在，由OO′=4﹣2﹣DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；【解答】解：（1）作EH⊥OB于点H，∵△OED是等边三角形，∴∠EOD=60°．又∵∠ABO=30°，∴∠OEB=90°．∵BO=4，∴OE=OB=2．∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°∴OH=1，EH=，∴E（1，）．（2）当2＜x＜4，符合题意，如图，所求重叠部分四边形OD′NE的面积为：S△OD′E﹣S△E′EN=x2﹣E′E×EN=x2﹣×（x﹣2）=﹣x2+2x﹣2（3）存在线段EF=OO'．∵∠ABO=30°，∠EDO=60°∴∠ABO=∠DFB=30°，∴DF=DB．∴OO′=4﹣2﹣DB=2﹣DB=2﹣DF=ED﹣FD=EF25．已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】（Ⅰ）把b=1，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；（Ⅱ）根据当c=3时，分情况讨论求出二次函数最小值；（Ⅲ）当c=4b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可【解答】解：（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴x=﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，（Ⅱ）y=x2+2bx+3，的对称轴为x=﹣b，①若﹣b＜0，即b＞0时，当x=0时，y有最小值为3，②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0时，当x=﹣b时，y有最小值﹣b2+3；③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x=﹣4时，y有最小值为8b+19，（Ⅲ）当c=4b2时，二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x=﹣b的抛物线，①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x增大而增大，∴当x=2b时，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2为最小值，∴12b2=21，∴b=或b=﹣（舍）∴二次函数的解析式为y=x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，当x=﹣b时，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，∴3b2=21∴b=﹣（舍）或b=（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x增大而减小，∴当x=2b+3时，代入二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=（舍），∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+16．综上所述，b=或b=﹣2，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+162017年2月27日。
天津市河西区中考数学二模试卷附详解
2016年天津市河西区中考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算﹣3﹣（﹣2）的结果等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣12．2cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图案中，可以看作是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．用科学记数法表示0.000000567是（）A．56.7×10﹣5B．56.7×10﹣6C．5.67×10﹣7D．5.67×10﹣85．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（）A．B． C．D．6．估计的值在（）A．1.4和1.5之间B．1.5和1.6之间C．1.6和1.7之间D．1.7和1.8之间7．在平面直角坐标系中，点A为（3，2），连接OA并把线段OA绕原点O逆时针旋转180°，所得到的对应点A′的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．已知反比例函数y=﹣当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．﹣10＜y＜﹣59．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π10．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x=x：2 B．x：（2﹣x）=（2﹣x）：2 C．（1﹣x）：x=x：1 D．（1﹣x）：x=1：x 11．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A．70°B．35°C．40°D．50°12．已知抛物线y=﹣与直线y=x交于点A，点B，则AB的长为（）A．3B．6C．3D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．计算a6÷a3的结果等于．14．抛物线y=x2﹣12x的顶点坐标为．15．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是．16．如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，BC=5.25，则DE的长度为．17．如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．18．如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．李红是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了她近期健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）手机软件记录了她健步走的天数为，图①中m的值为；（Ⅱ）在统计所走的步数这组数据中，求出平均数、众数和中位数．21．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．23．考虑下面两种宽带网的收费方式：收费方式月使用费（元）包时上网时间（h）超时费（元/min）A30250.05B50500.05设月上网时间为xh．（Ⅰ）用含有x的式子填写表格：0≤x＜2525＜x≤50x＞50收费方式A应收取费用（元）30收费方式B应收取费用（元）5050（Ⅱ）在某种上网时间下，两种收费方式能否相等？如果能，这时的上网时间是多少？如果不能，说明理由．24．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．（Ⅰ）如图①当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；（Ⅱ）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图②，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请直接指出这条线段；如果不存在，请说明理由．25．已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．2016年天津市河西区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算﹣3﹣（﹣2）的结果等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法法则，求出﹣3﹣（﹣2）的结果等于多少即可．【解答】解：﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1，故计算﹣3﹣（﹣2）的结果等于﹣1．故选：D．2．2cos45°的值等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．3．下列图案中，可以看作是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，第二个图形是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，综上所述，看作是中心对称图形的有3个．故选C．4．用科学记数法表示0.000000567是（）A．56.7×10﹣5B．56.7×10﹣6C．5.67×10﹣7D．5.67×10﹣8【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000567=5.67×10﹣7，故选：C．5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为2，1，故选B．6．估计的值在（）A．1.4和1.5之间B．1.5和1.6之间C．1.6和1.7之间D．1.7和1.8之间【考点】估算无理数的大小．【分析】采用夹值法进行求解即可．【解答】解：∵1.72=2.89，1.82=3.24，2.89＜3＜3.24，∴1.7＜1.8．故选D．7．在平面直角坐标系中，点A为（3，2），连接OA并把线段OA绕原点O逆时针旋转180°，所得到的对应点A′的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据关于原点中心对称的点的坐标特征求解．【解答】解：∵线段OA绕原点O逆时针旋转180°，A点的对应点A′，即点A与点A′关于原点中心对称，∴A′点的坐标为（﹣3，﹣2）．故选C．8．已知反比例函数y=﹣当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．﹣10＜y＜﹣5【考点】反比例函数的性质．【分析】先令x=﹣2，x=﹣1求出y的对应值，进而可得出结论．【解答】解：∵当x=﹣2时，y=﹣=5；当x=﹣1时，y=﹣=10，∴5＜y＜10．故选C．9．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．10．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x=x：2 B．x：（2﹣x）=（2﹣x）：2 C．（1﹣x）：x=x：1 D．（1﹣x）：x=1：x【考点】黄金分割．【分析】设它的下部的高度应设计为xm，则设它的上部的高度应设计为（2﹣x）m，于是利用雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比可列方程．【解答】解：根据题意得（2﹣x）：x=x：2．故选A．11．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A．70°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，则∠AC′C=∠ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=40°，所以∠B′AB=40°．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∴∠CAC′=180°﹣2×70°=40°，∴∠B′AB=40°，故选：C．12．已知抛物线y=﹣与直线y=x交于点A，点B，则AB的长为（）A．3B．6C．3D．2【考点】二次函数的性质．【分析】两解析式联立，整理得到x2﹣3x﹣36=0，然后结合根与系数的关系根据勾股定理即可求得．【解答】解：由整理得x2﹣3x﹣36=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3，x1•x2=﹣36，∴AB====3．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．计算a6÷a3的结果等于a3．【考点】同底数幂的除法．【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则求出答案．【解答】解：a6÷a3=a3．故答案为：a3．14．抛物线y=x2﹣12x的顶点坐标为（6，﹣36）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线解析式为一般式，可以利用顶点坐标公式求顶点坐标，也可以用配方法求解．【解答】解：利用配方法y=x2﹣12x，y═x2﹣12x+36﹣36，y=（x﹣6）2﹣36，∴顶点的坐标是（6，﹣36），故答案为（6，﹣36）．15．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解；袋中球的总数为：5+3=8，取到红球的概率为：；故答案为：．16．如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，BC=5.25，则DE的长度为 3.5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，得出比例式，代入相关数值求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∵AD=4，DB=2，∴AB=AD+DB=6，∵BC=5.25，∴4：6=DE：5.25解得：DE=3.5，故答案为：3.5．17．如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于2或4cm．【考点】正方形的性质．【分析】先由三角函数求出AE，得出AM，再证明Rt△PFQ≌Rt△ADE，得出∠FPQ=∠DAE，然后分两种情况分别作图求出AP即可．【解答】解：∵∠DAE=30°，∴AE==4（cm），∵M为AE的中点，∴AM=2cm，①如图1作PF⊥BC于F，交AE与G，则∠PFQ=90°，PF=AD，在Rt△PFQ和Rt△ADE中，，∴Rt△PFQ≌Rt△ADE（HL），∴∠FPQ=∠DAE=30°，∴∠APM=90°+30°=120°，∴∠AMP=30°，∴∠DAE=∠AMP=30°，∵∠AMP=∠PMG，∴△APM∽△PGM，∴=，∴cot30°==，∴=，即=∴AP=2cm．②如图2所示：作PF⊥BC于F，同理Rt△PFQ≌Rt△ADE，∴∠FPQ=∠DAE，∵∠FPQ+∠APM=90°，∴∠DAE+∠APM=90°，∴∠AMP=90°=∠D，∵∠PAM=∠DAE，∴△APM∽△AED，∴=，即=，∴AP=4cm．故答案为2或4．18．如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于22；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）直接根据勾股定理分别计算AD2、DC2、CB2的值，再相加即可；（2）以AB为边做正方形ABGH，这个正方形的面积是26，再作同底边平行四边形HMNG，使它的面积为4，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，得矩形ABPQ；【解答】解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，=S▱HMNG=4，∴S矩形HQNG=（）2=26，∵S正方形ABGH=26﹣4=22，∴S矩形ABPQ所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式①，得x＞2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为2＜x≤3．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再把各不等式的解集在数轴上表示出来即可得出不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得，x＞2，解不等式②，得x≤3，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：，故不等式组的解集为：2＜x≤3．故答案为：（I）x＞2；（II）x≤3；（IV）2＜x≤3．20．李红是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了她近期健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）手机软件记录了她健步走的天数为25，图①中m的值为12；（Ⅱ）在统计所走的步数这组数据中，求出平均数、众数和中位数．【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；中位数．【分析】（Ⅰ）用1.1万步的天数除以所占的百分比得出她健步走的天数，再用1减去其它各组所占百分比，即可求出图①中m的值；（Ⅱ）利用平均数，众数和中位数的定义求解．【解答】解：（Ⅰ）她健步走的天数为：2÷8%=25．∵1﹣8%﹣20%﹣28%﹣32%=12%，∴m=12．故答案为25，12；（Ⅱ）1.5万步走了25×12%=3天．平均数为：=1.32；∵在这组数据中，1.4出现了8次，次数最多，∴这组数据的众数是1.4；将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是1.3，∴这组数据的中位数是1.3．21．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【考点】解直角三角形的应用．【分析】设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．【解答】解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=，∴CO=AO•tan∠CAO=（45×0.1+x）•tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=，∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan58°，∵DC=DO﹣CO，∴36×0.1=x•tan58°﹣（4.5+x），∴x=≈=13.5．因此，B处距离码头O大约13.5km．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．【解答】解：（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．证明：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．23．考虑下面两种宽带网的收费方式：收费方式月使用费（元）包时上网时间（h）超时费（元/min）A30250.05B50500.05设月上网时间为xh．（Ⅰ）用含有x的式子填写表格：0≤x＜2525＜x≤50x＞50303x﹣453x﹣45收费方式A应收取费用（元）50503x﹣100收费方式B应收取费用（元）（Ⅱ）在某种上网时间下，两种收费方式能否相等？如果能，这时的上网时间是多少？如果不能，说明理由．【考点】一元一次方程的应用；列代数式．【分析】（I）当25＜x≤50时，根据方式A应收取费用=30+0.05×60×（上网时间﹣25）即可得出结论；当x＞50时，根据方式A应收取费用=30+0.05×60×（上网时间﹣25）以及根据方式B应收取费用=50+0.05×60×（上网时间﹣50）即可得出结论．（II）根据（I）结论即可得出当两种收费方式相等时，有3x﹣45=50，解之即可得出结论．【解答】解：（I）当25＜x≤50时，收费方式A应收取费用30+0.05×60（x﹣25）=3x﹣45（元）；当x＞50时，收费方式A应收取费用30+0.05×60（x﹣25）=3x﹣45（元），收费方式B应收取费用50+0.05×60（x﹣50）=3x﹣100．故答案为：3x﹣45；3x﹣45；3x﹣100．（II）两种收费方式能相等．根据题意得：3x﹣45=50，解得：x=．答：在上网时间为h时，两种收费方式相等．24．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．（Ⅰ）如图①当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；（Ⅱ）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图②，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请直接指出这条线段；如果不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；（2）根据题意，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，2＜x＜4即可；（3）假设存在，由OO′=4﹣2﹣DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；【解答】解：（1）作EH⊥OB于点H，∵△OED是等边三角形，∴∠EOD=60°．又∵∠ABO=30°，∴∠OEB=90°．∵BO=4，∴OE=OB=2．∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°∴OH=1，EH=，∴E（1，）．（2）当2＜x＜4，符合题意，如图，所求重叠部分四边形OD′NE的面积为：S△OD′E﹣S△E′EN=x2﹣E′E×EN=x2﹣×（x﹣2）=﹣ x2+2 x﹣2 （3）存在线段 EF=OO'． ∵∠ABO=30°，∠EDO=60° ∴∠ABO=∠DFB=30°， ∴DF=DB． ∴OO′=4﹣2﹣DB=2﹣DB=2﹣DF=ED﹣FD=EF25．已知二次函数 y=x2+2bx+c（b、c 为常数）． （Ⅰ）当 b=1，c=﹣3 时，求二次函数在﹣2≤x≤2 上的最小值； （Ⅱ）当 c=3 时，求二次函数在 0≤x≤4 上的最小值； （Ⅲ）当 c=4b2 时，若在自变量 x 的值满足 2b≤x≤2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小 值为 21，求此时二次函数的解析式． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（Ⅰ）把 b=1，c=﹣3 代入函数解析式，求二次函数的最小值； （Ⅱ）根据当 c=3 时，分情况讨论求出二次函数最小值； （Ⅲ）当 c=4b2 时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可 【解答】解：（Ⅰ）当 b=1，c=﹣3 时，二次函数解析式为 y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴x=﹣1 在﹣2≤x≤2 的范围内，此时函数取得最小值为﹣4， （Ⅱ）y=x2+2bx+3，的对称轴为 x=﹣b， ①若﹣b＜0，即 b＞0 时，当 x=0 时，y 有最小值为 3， ②若 0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0 时，当 x=﹣b 时，y 有最小值﹣b2+3； ③若﹣b＞4，即 b＜﹣4 时，当 x=﹣4 时，y 有最小值为 8b+19， （Ⅲ）当 c=4b2 时，二次函数的解析式为 y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为 x=﹣b 的抛物 线， ①若﹣b＜2b，即 b＞0 时，在自变量 x 的值满足 2b≤x≤2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 随 x 增大而增大， ∴当 x=2b 时，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2 为最小值， ∴12b2=21， ∴b= 或 b=﹣ （舍） ∴二次函数的解析式为 y=x2+ x+7，21②若 2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0， 当 x=﹣b 时，代入 y=x2+2bx+4b2，得 y 最小值为 3b2， ∴3b2=21 ∴b=﹣ （舍）或 b= （舍）， ③若﹣b＞2b+3，即 b＜﹣1，在自变量 x 的值满足 2b≤x≤2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 随 x 增大而减小， ∴当 x=2b+3 时，代入二次函数的解析式为 y=x2+2bx+4b2 中，得 y 最小值为 12b2+18b+9， ∴12b2+18b+9=21， ∴b=﹣2 或 b= （舍）， ∴二次函数的解析式为 y=x2﹣4x+16． 综上所述，b= 或 b=﹣2，此时二次函数的解析式为 y=x2+ x+7 或 y=x2﹣4x+16222017 年 2 月 27 日23242526272829。
河西二模数学试题
2016河西区二模数学试卷一、选择题1. 计算-3-（-2）的结果等于 A. 1B. 5C. -5D. -12. 2cos45°的值等于 A.22 B.2C.3D. 13. 下列图案中，可以看做是中心对称图形的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 用科学计数法表示0.000000567为 A. 61075 .B. 710675 .C. 8105670 .D. 6105675. 右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为A. B. C. D.6. 估计3的值为 A. 1.4和1.5之间B. 1.5和1.6之间C. 1.6和1.7之间D. 1.7和1.8之间7. 在平面直角坐标系中，点A 为（3，2），连接OA 并把线段OA 绕原点O 逆时针旋转180°，多得到的对应点A’的坐标为 A. （3，2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3，-2）8. 已知反比例函数xy 10当-2<x<-1时，y 的取值范围是 A. 0<y<5B. 1<y<2C. 5<y<10D. -10<y<-59. 如图，已知△ABC 内接于⊙O，若⊙O 的半径为6，∠A=60°，则弧BC 的长为 A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π10. 在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感。
按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高应设计为xm，则x 满足的关系式为 A. （2-x）：x=x：2 B. x：（2-x）=（2-x）：2C. （1-x）：x=x：1D. （1-x）：x=1：x11. 如图，在△ABC 中，∠CAB=70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB’C’的位置，使得CC’∥AB，则∠BAB’的度数是 A. 70° B. 50°C. 40°D. 35°12. 已知抛物线623612x x y 与直线y=x 交于点A，点B，则AB 的长为 A. 343 B. 176C. 173D. 342二、填空题13. 计算a 6÷a 3的结果等于 14. 抛物线x x y 122的顶点坐标为15. 袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同。