北京市西城区2019-2020学年中考第四次适应性考试数学试题含解析

北京市西城区2019-2020学年中考第四次适应性考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．tan60°的值是( )
A．3B．
3
2
C．
3
3
D．
1
2
2．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠B＝58°，则∠OAC的度数是( )
A．32°B．30°C．38°D．58°
3．如图，直线a∥b，∠ABC的顶点B在直线a上，两边分别交b于A，C两点，若∠ABC=90°，∠1=40°，则∠2的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
5．图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是( )
计算：
3
1
x-
+
2
3
1
x
x
-
-
A．只有小明的正确B．只有小红的正确
C．小明、小红都正确D．小明、小红都不正确
6．下列运算正确的是（）
A．2a+3a=5a2B．（a3）3=a9C．a2•a4=a8D．a6÷a3=a2
7．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )
A．a+t>a B．a+t<a C．a+t≥a D．不能确定
8．下列运算正确的（）
A．（b2）3=b5B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5D．a+a2=a3 9．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
10．下列各式：①a0=1 ②a2·a3=a5 ③ 2–2= –1
4
④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正确的是( )
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤
11．下列运算正确的是（）
A．x4+x4=2x8B．（x2）3=x5C．（x﹣y）2=x2﹣y2D．x3•x=x4
12．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM 的长为（）
A．3
2
B．2 C．
5
2
D．3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于______．
14．如图，点 A 是反比例函数 y ＝﹣4x （x ＜0）图象上的点，分别过点 A 向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为______．
15．如图，抛物线2y x 2x 3=-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点C 关于抛物线的对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为__________．
16．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB=2，则CD=_____．
17．分解因式：32a 4ab -= ．
18．已知关于x 的方程有解，则k 的取值范围是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接AE ．
（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；
（2）连接OE ，若∠ABC ＝60°，且AD ＝DE ＝4，求OE 的长．
20．（6分）在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+4和点M(3，2)
(1)判断点M是否在直线y＝﹣x+4上，并说明理由；
(2)将直线y＝﹣x+4沿y轴平移，当它经过M关于坐标轴的对称点时，求平移的距离；
(3)另一条直线y＝kx+b经过点M且与直线y＝﹣x+4交点的横坐标为n，当y＝kx+b随x的增大而增大时，则n取值范围是_____．
21．（6分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图1中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝，b＝；
如图2，当∠ABE＝10°，c＝4时，a＝，b＝；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关系式；
拓展应用
（1）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝5AB＝1．求
AF的长．
22．（8分）如图，抛物线y=x1﹣1x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为1．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（1）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE 面积的最大值；
（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE 上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
23．（8分）水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？
图①图②
24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=23，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．
（1）求证：BH=EH；
（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．
25．（10分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．求每个月生产成本的下降率；请你预测4月份该公司的生产成本．
26．（12分）先化简，后求值：（1﹣
1
1
a+
）÷（
2
221
a a
a a
-
++
），其中a＝1．
27．（12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
tan60°
故选：A．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．A
【解析】
【分析】
根据∠B＝58°得出∠AOC=116°,半径相等，得出OC=OA，进而得出∠OAC=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵∠B＝58°,
∴∠AOC=116°,
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°,
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3．C
【解析】
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAC的度数，再根据三角形内和定理，即可得到∠2的度数．
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1＝∠BAC＝40°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠2＝90°−40°＝50°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
4．A
【解析】
分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图．
详解：该几何体的左视图是：
故选A．
点睛：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．D
【解析】
【分析】
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
解：
3
1
x-2
3
1
x
x
-
+
-
＝﹣
3
1x
-
+
3
(1)(1)
x
x x
-
-+
＝﹣
3(1)
(1)(1)
x
x x
+
-+
+
3
(1)(1)
x
x x
-
-+
＝
333 (1)(1)
x x
x x --+-
-+
＝
26 (1)(1)
x
x x
--
-+
，
故小明、小红都不正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
【详解】
A、2a+3a=5a，故此选项错误；
B、（a3）3=a9，故此选项正确；
C、a2•a4=a6，故此选项错误；
D、a6÷a3=a3，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．7．A
【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.
t＞0，
∴a＋t＞a，
故选A.
考点：本题考查的是不等式的基本性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.
8．C
【解析】
分析：直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．详解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；
B、x3÷x3=1，故此选项错误；
C、5y3•3y2=15y5，正确；
D、a+a2，无法计算，故此选项错误．
故选C．
点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．D
【解析】
【分析】
根据实数的运算法则即可一一判断求解.
【详解】
①有理数的0次幂，当a=0时，a0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2= 1
4
，
原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．
故选D.
11．D
【解析】A. x4+x4=2x4，故错误；B. （x2）3=x6，故错误；C. （x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故错误；D. x3•x=x4，正确，故选D.
12．C
【解析】
【分析】
延长BC 到E 使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝1
2
DE＝
1
2
AB，再利用勾股定理进行计算即可解
答.
【详解】
解：延长BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，∵BC＝3，AD＝1，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝1
2
DE＝
1
2
AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝22
AC BC
＝22
4+3=5，
∴CM＝5
2
，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．
【解析】
试题分析：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可得BE∥CF，易证△BGD≌△CFD，所以GD=DF，BG=CF；又因BE是△ABC的角平分线且AD⊥BE，BG是公共边，可证得△ABG≌△DBG，
所以AG=GD=3；由BE∥CF可得△AGE∽△AFC，所以，即FC=3GE；又因
BE=BG+GE=3GE+GE=4GE=6，所以GE=，BG=；在Rt△AFC中，AF=AG+GD+GF=9，CF=BG=，由勾股定理可求得AC=.
考点：全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.
14．4﹣π
【解析】
【分析】
由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，求出点A坐标即可解决问题.
【详解】
由题意可以假设A（-m，m），
则-m2=-4，
∴m=≠±2，
∴m=2，
∴S阴=S正方形-S圆=4-π，
故答案为4-π．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
15
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），从而得到四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.
【详解】
如图，
在y＝﹣x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0,3），
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x－1）2＋4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1,4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2,3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1,4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3）,
连结D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE
＝DE＋D′F＋FG＋GE′
＝DE＋D′E′
∴四边形EDFG.
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，利用数形结合得出答案.
16．31-
【解析】
【分析】
先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论．
【详解】
如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，
在Rt △ABC 中，∠B=45°，
∴2AB=2，BF=AF=22
AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2， 在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，22AD AF -3
∴33，
3-1．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
17．()()a a 2b a 2b +-
【解析】
分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a 后继续应用平方差公式分解即可：()()()3222a 4ab a a 4b
a a 2
b a 2b -=-=+-． 18．k≠1
【解析】 试题分析：因为，所以1-x+2（x-2）=-k ，所以1-x+2x-4=-k ，所以x=3-k ，所以，因为原方程有解，所以，解得．
考点：分式方程． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19． (1)见解析13【解析】
【分析】
(1)四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质，可得AB=DE ， AB//DE ，则四边形ABDE 是平行四边形；
(2)因为AD=DE=1，则AD=AB=1，四边形ABCD 是菱形，由菱形的性质及解直角三角形可得
AO=AB ⋅sin ∠ABO=2，BO=AB ⋅cos ∠3， 3，则AE=BD ，利用勾股定理可得OE ．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB ＝CD ．
∵DE ＝CD ，
∴AB ＝DE ．
∴四边形ABDE 是平行四边形；
（2）∵AD ＝DE ＝1，
∴AD ＝AB ＝1．
∴▱ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，12
BO BD =，12ABO ABC ∠=∠． 又∵∠ABC ＝60°，
∴∠ABO ＝30°．
在Rt △ABO 中，sin 2AO AB ABO =⋅∠=，cos 23BO AB ABO =⋅∠= ∴3BD =
∵四边形ABDE 是平行四边形，
∴AE∥BD
，AE BD
==又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AE．
在Rt△AOE
中，OE==
【点睛】
此题考查平行四边形的性质及判断，考查菱形的判断及性质，及解直角三角形，解题关键在于掌握判定定理和利用三角函数进行计算.
20．（1）点M（1，2）不在直线y=﹣x+4上，理由见解析；（2）平移的距离为1或2；（1）2＜n＜1．【解析】
【分析】
（1）将x=1代入y=-x+4，求出y=-1+4=1≠2，即可判断点M（1，2）不在直线y=-x+4上；
（2）设直线y=-x+4沿y轴平移后的解析式为y=-x+4+b．分两种情况进行讨论：①点M（1，2）关于x 轴的对称点为点M1（1，-2）；②点M（1，2）关于y轴的对称点为点M2（-1，2）．分别求出b的值，得到平移的距离；
（1）由直线y=kx+b经过点M（1，2），得到b=2-1k．由直线y=kx+b与直线y=-x+4交点的横坐标为n，
得出y=kn+b=-n+4，k=
2
3
n
n
-+
-
．根据y=kx+b随x的增大而增大，得到k＞0，即
2
3
n
n
-+
-
＞0，那么
①
20
30
n
n
-+
⎧
⎨
-
⎩
＞
＞
，或②
20
30
n
n
-+
⎧
⎨
-
⎩
＜
＜
，分别解不等式组即可求出n的取值范围．
【详解】
（1）点M不在直线y=﹣x+4上，理由如下：
∵当x=1时，y=﹣1+4=1≠2，
∴点M（1，2）不在直线y=﹣x+4上；
（2）设直线y=﹣x+4沿y轴平移后的解析式为y=﹣x+4+b．①点M（1，2）关于x轴的对称点为点M1（1，﹣2），
∵点M1（1，﹣2）在直线y=﹣x+4+b上，
∴﹣2=﹣1+4+b，
∴b=﹣1，
即平移的距离为1；
②点M（1，2）关于y轴的对称点为点M2（﹣1，2），
∵点M2（﹣1，2）在直线y=﹣x+4+b上，
∴2=1+4+b，
∴b=﹣2，
即平移的距离为2．
综上所述，平移的距离为1或2；
（1）∵直线y=kx+b经过点M（1，2），
∴2=1k+b，b=2﹣1k．
∵直线y=kx+b与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n，∴y=kn+b=﹣n+4，
∴kn+2﹣1k=﹣n+4，
∴k=
2
3
n
n
-+
-
．
∵y=kx+b随x的增大而增大，
∴k＞0，即
2
3
n
n
-+
-
＞0，
∴①
20
30
n
n
-+
⎧
⎨
-
⎩
＞
＞
，或②
20
30
n
n
-+
⎧
⎨
-
⎩
＜
＜
，
不等式组①无解，不等式组②的解集为2＜n＜1．
∴n的取值范围是2＜n＜1．
故答案为2＜n＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式组，都是基础知识，需熟练掌握．
21．（1）25，25；213，27；（2）2a+2b=52c；（1）AF=2．
【解析】
试题分析：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=25°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=25°，∴PE=PF=1，在Rt △FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×2=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=2，∠ABP=10°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2=5c2，如图1，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=c cosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，
BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，
∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；
（1）如图2，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，
∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=1，AP=PF，在△AEH 和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EQ，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=2．
考点：相似形综合题．
22．（1）y=﹣x﹣1；（1）△ACE的面积最大值为27
8
；（3）M（1，﹣1），N（
1
2
，0）；（4）满足条件的F
点坐标为F1（1，0），F1（﹣3，0），F3（7，0），F4（47，0）．
【解析】
【分析】
（1）令抛物线y=x1-1x-3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；
（1）设P点的横坐标为x（-1≤x≤1），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；
（3）根据D点关于PE的对称点为点C（1，-3），点Q（0，-1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=-1x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；（4）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图1，此时可以求出F点的两个坐标．
【详解】
解：（1）令y=0，解得11
x=-或x1=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
将C 点的横坐标x=1代入y=x 1﹣1x ﹣3得3y =-，
∴C （1，-3），
∴直线AC 的函数解析式是1y x =--，
（1）设P 点的横坐标为x （﹣1≤x≤1），
则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 1﹣1x ﹣3），
∵P 点在E 点的上方，()()
221232PE x x x x x =-----=-++， ∴当12x =时，PE 的最大值9,4= △ACE 的面积最大值()1327[21]228PE PE =--==， （3）D 点关于PE 的对称点为点C （1，﹣3），点Q （0，﹣1）点关于x 轴的对称点为K （0，1）， 连接CK 交直线PE 于M 点，交x 轴于N 点，可求直线CK 的解析式为21y x =-+，此时四边形DMNQ 的周长最小，
最小值252CM QD =+=+，
求得M （1，﹣1），102N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
． （4）存在如图1，若AF ∥CH ，此时的D 和H 点重合，CD=1，则AF=1，
于是可得F 1（1，0），F 1（﹣3，0），
如图1，根据点A 和F 的坐标中点和点C 和点H 的坐标中点相同，
再根据|HA|=|CF|， 求出()()434747F F +，
，，． 综上所述，满足条件的F 点坐标为F 1（1，0），F 1（﹣3，0），()347F ，，()447F ，． 【点睛】
属于二次函数综合题，考查二次函数与x 轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值以及平行四边形的性质等，综合性比较强，难度较大.
23．（1）0.3 L ；（2）在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.
【解析】
【分析】
（1）根据点()0,0.3的实际意义可得；
（2）设W 与t 之间的函数关系式为W kt b =+，待定系数法求解可得，计算出24t =时W 的值，再减去容器内原有的水量即可.
【详解】
（1）由图象可知，容器内原有水0.3 L.
（2）由图象可知W 与t 之间的函数图象经过点（0，0.3），
故设函数关系式为W ＝kt ＋0.3.
又因为函数图象经过点（1.5，0.9），
代入函数关系式，得1.5k ＋0.3＝0.9，解得k ＝0.4.
故W 与t 之间的函数关系式为W ＝0.4t ＋0.3.
当t ＝24时，W ＝0.4×24＋0.3＝9.9（L ），9.9－0.3＝9.6（L ），
即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.
24．（1）见解析；（2）B 点经过的路径长为233
π．
【解析】
【分析】
(1)、连接AH，根据旋转图形的性质得出AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，根据AH为公共边得出Rt△ABH 和Rt△AEH全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出∠EAB的度数，然后根据弧长的计算公式得出答案．【详解】
(1)、证明：如图1中，连接AH，
由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．(2)、解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAC=90°，在Rt△ABG中，AG=4，AB=23，
∴cos∠BAG=
3
AB
AG
=，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE的长为
6023
π⋅⋅
=
23
π，
即B点经过的路径长为23
3
π．
【点睛】
本题主要考查的是旋转图形的性质以及扇形的弧长计算公式，属于中等难度的题型．明白旋转图形的性质是解决这个问题的关键．
25．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【解析】
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
26．11
a a +-,2. 【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．
【详解】 解：原式＝()()
2111111a a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+ ()()
2111a a a a a +=+-n 11
a a +=-， 当a ＝1时， 原式＝
3131+-＝2． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
27．（1）y=2x ，OA=
， （2）
是一个定值，， （3）当时，E 点只有1个，当
时，E 点有2个。

【解析】（1）把点A （3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k ，
∴k=2，
∴y=2x ．
OA=
． （2）是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q 作QG ⊥y 轴于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…（5分），
∴，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．①①
如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴，
∴OF=，
∴点F（，0），
设点B（x，），
过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，
∴，
即，
解得x1=6，x2=3（舍去），
∴点B（6，2），
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，
∴AB=5
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k=，b=10，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴B（6，2），
∴AB=5
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED.
设OE=x，则AE=﹣x （），
由△ABE∽△OED得，
∴
∴（）
∴顶点为（，）
如答图3，
当时，OE=x=，此时E点有1个；
当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．∴当时，E点只有1个
当时，E点有2个。