全南县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

全南县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
2． 已知点M 的球坐标为（1，，
），则它的直角坐标为（ ）
A ．（1，
，
）
B ．（，
，）
C ．（，，）
D ．（
，，
）
3． 已知一组函数f n （x ）=sin n x+cos n x ，x ∈[0，]，n ∈N *，则下列说法正确的个数是（ ）
①∀n ∈N *，f n （x ）≤
恒成立
②若f n （x ）为常数函数，则n=2
③f 4（x ）在[0，]上单调递减，在[，
]上单调递增．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
6． 设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）
A ．T=π，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π，
D ．T=2π，A=2
7． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
8．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设a∈R，且（a﹣i）•2i（i为虚数单位）为正实数，则a等于（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣1
10．函数的定义域为（）
A．{x|1＜x≤4} B．{x|1＜x≤4，且x≠2} C．{x|1≤x≤4，且x≠2} D．{x|x≥4}
11．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（）
A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0
C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0
12．不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） D．（﹣1，2]
二、填空题
13．命题p：∀x∈R，函数的否定为．
14．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（x i，y i）（1≤i≤90，i∈N*）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为．
15．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．
16．已知数列{a n}中，2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，a1=2，则b5=．
17．命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为．
18．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=（log 2x ﹣2）（log 4x ﹣） （1）当x ∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f （x ）＞mlog 2x 对于x ∈[4，16]恒成立，求m 的取值范围．
20．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
21．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
22．已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）=a x在（0，+∞）上单调递减”，命题q：“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
23．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α
24．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC边的长．
全南县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
2． 【答案】B
【解析】解：设点M 的直角坐标为（x ，y ，z ），
∵点M 的球坐标为（1，，），
∴x=sin
cos
=，y=sin
sin
=
，z=cos
=
∴M 的直角坐标为（，，）．
故选：B ．
【点评】假设P （x ，y ，z ）为空间内一点，则点P 也可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 与点P 间的距离，θ为有向线段OP 与z 轴正向的夹角，φ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到OM 所转过的角，这里M 为点P 在xOy 面上的投影．这样的三个数r ，φ，θ叫做点P 的球面坐标，显然，这里r ，φ，θ的变化范围为r ∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，
3． 【答案】 D
【解析】解：①∵x ∈[0，
]，∴f
n （x ）=sin n x+cos n x ≤sinx+cosx=
≤，因此正确；
②当n=1时，f 1（x ）=sinx+cosx ，不是常数函数；当n=2时，f 2（x ）=sin 2x+cos 2x=1为常数函数，
当n ≠2时，令sin 2
x=t ∈[0，1]，则f n （x ）=
+=g （t ），g ′（t ）=﹣
=
，当t ∈
时，g ′（t ）＜0，函数g （t ）单调递减；
当t ∈
时，g ′（t ）＞0，函数g （t ）单调递增加，因此函数f n （x ）不是常数函数，因此②正确．
③f 4（x ）=sin 4x+cos 4x=（sin 2x+cos 2x ）2﹣2sin 2xcos 2
x=1﹣
==
+，当x ∈[0，
]，4x ∈[0，π]，因此f 4（x ）在[0，]上单调递减，当x ∈[，
]，4x ∈[π，2π]，因此f 4（x ）在[
，
]
上单调递增，因此正确． 综上可得：①②③都正确． 故选：D ．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：
当x=时，sin（2×﹣）=0；
∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
5．【答案】A
【解析】解：因为抛物线y2=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）
又双曲线．渐近线为y=
有点到直线距离公式可得：d==1．
故选A．
【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．
6．【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），
∴T==π，A=2
故选：B
7．【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 8． 【答案】A
【解析】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，
由x 2
+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，
即“|x ﹣2|＜1”是“x 2
+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A ．
9． 【答案】B
【解析】解：∵（a ﹣i ）•2i=2ai+2为正实数， ∴2a=0， 解得a=0． 故选：B ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：要使函数有意义，只须
，
即，
解得1＜x ≤4且x ≠2，
∴函数f （x ）的定义域为{x|1＜x ≤4且x ≠2}． 故选B
11．【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2
﹣2x+3≤
0．
故选：C．
12．【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
二、填空题
13．【答案】∃x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
故答案为：∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
14．【答案】．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所
围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
15．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得cosC==＞0
∵C∈（0，π），∴角C是锐角，
由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形
故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
16．【答案】﹣1054．
【解析】解：∵2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，
∴2a n+a n+1=3，2a n a n+1=b n，
∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．
则b5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．【答案】∃x0∈R，都有x03＜1．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R，都有x03＜1”．
故答案为：∃x0∈R，都有x03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
18．【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA⊥底面ABC，且ABC
∆为直角三角形，且
5,,6
AB VA h AC
===，所以三棱锥的体积为
11
56520
32
V h h
=⨯⨯⨯==，解得4
h=.
考点：几何体的三视图与体积.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）
=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2﹣，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=时，y min=﹣，当t=1，或t=2时，y max=0．
∴函数的值域是[﹣，0]．
（2）令t=log2x，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，
∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣，
∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，
∴m＜0．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，
所以直线OP 的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
21．【答案】（1）3
B π
=；（2）[1,2).
【
解
析
】
22．【答案】
【解析】解：若p 为真，则0＜a ＜1；
若q 为真，则△=4a 2
﹣1≤0，得
， 又a ＞0，a ≠1，∴．
因为p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p ，q 中必有一个为真，且另一个为假．
①当p 为真，q 为假时，由
；
②当p 为假，q 为真时，无解．
综上，a 的取值范围是
．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a ＞0，a ≠1”，a 的取值范围是在此条件下进行的．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．
所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…
故BC=15，
从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．。