湖南省洞口一中高二数学下学期期末测试试卷 理-人教版高二全册数学试题

2015年下学期高二年级期末数学试题（理科）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、命题“若0,00ab a b ===则或”的逆否命题是（ ） A ．若0,00ab a b ≠≠≠则或B ．00,0a b ab ≠≠≠若或则 C ．若0,00ab a b ≠≠≠则且D ．00,0a b ab ≠≠≠若且则
2、命题01,:2
>++∈∀ax ax R x p ，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值X 围是（ ） A ．(]0,4B ．[]0,4C ． ),4[)0,(+∞⋃-∞ D ．()(),04,-∞⋃+∞ 3、设01<<+=a b a b 且，则下列四数中最大的是 A ．22b a +B ．2ab
C ．a
D ．
2
1 4、已知向量(2,1,1),(2,4,)a x x b k =-+=，若a 与b 共线，则 A.0k =B ．1k =C ．2k =D ．4k =
5、在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
6、设0,0a b >>.若3是3a 与3b 的等比中项，则ab 的最大值为
A ．8
B ．4
C ．1 D.1
4
7、已知抛物线:C x y 42
=的焦点为F ，直线3(1)y x =
-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若
AF mFB =，则m 的值为
A. 3
B. 3
2
C. 2
D. 3
8、{}
,,a b c 是空间的一个单位正交基底，p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底{}
,,a b b c a c +++下的坐标为（ ）
A ．(1,2,3)-
B ．(1,2,3)-
C ．(1,2,3)-
D ．(3,2,1)-
9、已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域内运动，则z x y =-的
取值X 围是
A ．[－2，－1]
B ．[－2,1]
C ．[－1,2]
D ．[1,2]
10、已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、
B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．
C ．
D ．
11、已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)
()(>+
'x
x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ，)2
1
(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）
A ．b c a <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b a c <<
12、已知F 是抛物线2
4x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的两点A ，B ，若FB AF 4=，则k 的值是（ ） A ．
45B ．24
3
C ．417
D 23 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13、由曲线y x =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为．
14、椭圆2
2
1(0,0,)ax by a b a b +=>>≠与直线12y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜
率为
32，则a
b
的值为． 15、下列命题：①命题“2
1,1x x ==若则”的否命题为“2
1,1x x =≠若则”；②命题“2
0,10x x x ∀≥++<”的否定是“2
0,10x x x ∃<++≥” ③对于常数,m n ，“0mn <”是“方程2
2
1mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件；④“1x >”是“0x >”的必要不充分条件；⑤已知向量,,OA OB OC 不共面，则向量OA 可以与向量OB OA +和向量OC OA +构成空间向量的一个基底．其中说法正确的有（写出所有真命题的编号）． 16、设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足
1212P F P F F F +=，则
122
21
2
e e e e
+的值为．
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分10分) 数列}{n a 中，cn a a a n n +==+11,2（c 是常数，*N n ∈)，且321,,a a a 成公比不为1的等比数列.
(Ⅰ)求c 的值； (Ⅱ)求}{n a 的通项公式.
18、(本小题满分12分) 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知32sin a c A =
(Ⅰ)求角C 的值； (Ⅱ)若7c =
，且33
2
ABC
S
=
，求a b +的值． 19、(本小题满分12分) 如图：直三棱柱111ABC A B C -中，090ACB ∠=，12AA AC BC ===，D 为AB 中点．
（Ⅰ）求证：11BC CD 平面A (Ⅱ)求二面角1D CA A --的正切值．
20、(本小题满分12分)已知函数2
()ln ()f x x ax a x a R =--∈，622
5)(2
3-++-=x x x x g （1）若)(x f 的一个极值点为1，求a 的值；
（2）设)(x g 在]4,1[上的最大值为b ，当[)1,x ∈+∞时，b x f ≥)(恒成立，求a 的取值X 围．
21、(本小题满分12分) 已知命题p ：2
8200k k --≤，命题q ：方程
1142
2=-+-k
y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q 为真命题，某某数k 的取值X 围；
（Ⅱ）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，某某数k 的取值X 围．
22、(本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在x 轴的椭圆过点)3
3
2,1(-
E ，且焦距为2，过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）当121k k +=，直线MN 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由.
2015年下学期高二年级期末数学试题（理科） 参考答案
DCACC DDACB DA 13.
16
3
14. 3 15.③⑤ 16.22
17. (Ⅰ)c a c a a 32,2,2321+=+==，因为321,,a a a 成公比不为1的等比数列，解得 c=2；
(Ⅱ))1(2,...,2112-+=+=-n a a a a n n 累加可得22+-=n n a n ，1a 也符合，所以22
+-=n n a n （*N n ∈）.
18.(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3
＝sin A
sin C .
∵sin A ≠0，∴sin C ＝
3
2
. 又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π
3.
(2)c ＝7，C ＝π
3
，
由面积公式，得12ab sin π3＝33
2，即ab ＝6.①
由余弦定理，得a 2＋b 2
－2ab cos π3＝7，
即a 2
＋b 2
－ab ＝7.②
由②变形得(a ＋b )2
＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.
19. （1）证明：连接AC 1交A 1C 于O 点，连接DO ，则O 为AC 1的中点， ∵D 为AB 中点，∴DO∥BC 1，
又∵DO ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．
（2）解：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AA 1=AC=BC=2，D 为AB 中点． ∴
=（﹣2，2，2），
设二面角D ﹣CA 1﹣A 的大小为θ，则 ∵平面ACA 1的法向量是=（0，1，0） ∴cosθ=
=
，∴tanθ=
，
∴二面角D ﹣CA 1﹣A 的正切值是．
20. 解: (1)x
a
a x x f -
-='2)(，令02)1(=--='a a f ，则a ＝1………………3分 经检验，当a ＝1时，1是)(x f 的一个极值点………………4分
(2) )13)(2(253)(2
+--=++-='x x x x x g ，所以()g x 在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数
0)2()(max ==g x g ………………7分
0)(≥x f 在[)1,x ∈+∞上恒成立，
由x ∈[1，＋∞)知，x ＋ln x ＞0，………………8分 所以f (x )≥0恒成立等价于a ≤x 2
x ＋ln x
在x ∈[e，＋∞)时恒成立，………………9分
令h (x )＝
x 2
x ＋ln x
，x ∈[1，＋∞)，有h ′(x )＝
x x －1＋2ln x
x ＋ln x 2
＞0， (10)
所以h (x )在[1，＋∞)上是增函数，有h (x )≥h (1)＝1，所以a ≤1………………12分 21. 解：（1）当命题q 为真时，由已知得40
10
k k ->⎧⎨
->⎩，解得14k <<
∴当命题q 为真命题时，实数k 的取值X 围是14k <<…………………5分 （2）当命题p 为真时，由28200k k --≤解得210k -≤≤…………………7分
由题意得命题p 、q 中有一真命题、有一假命题 ………………………8分
当命题p 为真、命题q 为假时，则210
14
k k k -≤≤⎧⎨
≤≥⎩或，
解得21k -≤≤或410k ≤≤. …………………………………………………10分
当命题p 为假、命题q 为真时，则210
14
k k k <->⎧⎨<<⎩或，k 无解.
∴实数k 的取值X 围是21k -≤≤或410k ≤≤. …………………………12分
22. 解：（1）由题意知,1=c 设右焦点)0,1('
F
323
3
2)0332(
)11(222'=+-++=+=∴EF EF a ………………2分
2,3222=-==∴c a b a
∴椭圆方程为12
32
2=+y x ………………4分 （2）由题意21k k ≠，设),(M M y x M
直线)1(1:1-=-x k y AB ，即21k x k y += 代入椭圆方程并化简得
0636)32(2
221221=-+++k x k k x k ………………5分
2
12
2121322,323k k y k k k x M
M +=+-=
∴………………7分 同理2
2
1
2221322,323k k y k k k x N N +=+-=
∴………………8分 当021≠k k 时， 直线MN 的斜率2
12
19610k k k k x x y y k N M N M --=
--=
………………9分 直线MN 的方程为)323(96103222
1
2
12121212k k k x k k k k k k y +----=+-
………………10分 又121=+k k 化简得3
296102121---=
x k k k k y 此时直线过定点（0，32
-）
当021=k k 时，直线MN 即为y 轴，也过点（0，3
2
-）………………12分 综上，直线过定点（0，3
2-
）
15..解（1）根据库伦定律，A 、B 两点间的库仑力大小为：22
L
q k F =①
代入数据得：F =9.0×10-3
N ② （2）A 、B 点电荷在C 点产生的场强大小相等，均为：2
1L q k
E =③ A 、B 两点电荷形成的电场在C 点的合场强大小为：o E E 30cos 21=④
由③④式并代入数据得3
7.810N/C E =⨯，⑤
场强E 方向沿y 轴正方向
16、（1）加磁场时，粒子从A 到D 有：①
由几何关系有：
……②
加电场时，粒子从A 到D 有：
③
……④
由①～④得：
……⑤
（2）粒子在磁场中运动，由几何关系可知：圆心角
圆运动周期：
…⑦经磁场的运动时间：
⑧
由①～④得粒子经电场的运动时间：…⑨即：…⑩
17. (1)框架刚要运动时ab 中的感应电动势：E =BLv ………………①
MN 中电流12
E
I R R =
+……②MN 受到的安培力F 安=BIL …③
对框架，摩擦力：安F g m m F f =+=)(21μ……④ 由上述各式代入数据解得v =6m/s ……………⑤ (2) 闭合回路中产生的总热量：12
2
R +R Q R Q =总…………………⑥ 由能量守恒定律，得：211
2
Fx m v Q =
+总…………………⑦ 代入数据解得：x =1.1m …………………⑧
则通过棒ab 的电荷量为：…⑨
代入数据解得 q=0.55C …⑩。