江苏省徐州市高一数学下学期期中试卷(含解析)

江苏省徐州市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．函数的定义域是．
2．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a6的值为．
3．经过点（1，1）和（﹣2，4）的直线的一般式方程是．
4．△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA=acosC，则角C= ．
5．设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则x的取值范围是．
6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．
7． = ．
8．已知直线l经过点P（1，0）且与以A（2，1），B（3，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．
9．已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是．
10．设S n是数列{a n}的前n项和，且a2=，a n+1=S n S n+1，则S n= ．
11．已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n取到最小正值时，n= ．
12．已知x3+sin2x=m，y3+sin2y=﹣m，且，m∈R，则= ．13．已知α∈R，关于x的一元二次不等式2x2﹣17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为．
14．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x1，x2，总有不等式成立，则称函数f（x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a n}，如果对任意正整数n，总有不等式
成立，则称数列{a n}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{a n}满足如下两个条件：
①数列{a n}为上凸数列，且a1=1，a10=28；
②对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|a n﹣b n|≤20，其中，则数列{a n}中的第三项a3的取值范围为．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α．
（1）求tan2α的值；
（2）求的值．
16．已知A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x2﹣5x+6＜0}．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，求x2+ax﹣b＜0的解集．
17．已知数列{a n}的首项是a1=1，a n+1=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{na n}的前n项和S n．
18．如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．
（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=
（1）求角B的值；
（2）若且b≤a，求的取值范围．
20．已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．
（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；
（2）若b n=，a2=0．
①证明：数列{a n}为等差数列；
②设数列{c n}满足c n=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、
c m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年江苏省徐州一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．函数的定义域是{x|﹣2≤x≤2} ．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解x的取值集合得函数的定义域．
【解答】解：由4﹣x2≥0，得x2≤4，即﹣2≤x≤2．
∴函数的定义域是{x|﹣2≤x≤2}．
故答案为：{x|﹣2≤x≤2}．
2．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a6的值为11 ．
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．
a6=1+2×5=11，
故答案为：11．
3．经过点（1，1）和（﹣2，4）的直线的一般式方程是x+y﹣2=0 ．
【考点】IG：直线的一般式方程．
【分析】写出直线的两点式方程，化为一般式即可．
【解答】解：由题意可得直线的两点式方程为： =，
化为一般式可得：x+y﹣2=0
故答案为：x+y﹣2=0
4．△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA=acosC，则角C= ．【考点】HP：正弦定理．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据A为三角形的内角，得到sinA不为0，等式两边同时除以sinA，得到sinC=cosC，即为tanC=1，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
【解答】解：∵=，
∴csinA=acosC变形为：sinCsinA=sinAcosC，
又A为三角形的内角，∴sinA≠0，
∴sinC=cosC，即tanC=1，
∵C为三角形的内角，
则C=．
故答案为：
5．设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则x的取值范围是．
【考点】GS：二倍角的正弦；GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用二倍角公式将已知等式左边被开方数利用同角三角函数间的基本关系变形后，利用完全平方公式化简，再利用二次根式的化简公式变形，得到sinx大于等于cosx，由x的范围，利用正弦及余弦函数图象即可得出x的范围．
【解答】解：∵===|sinx﹣cosx|=sinx﹣cosx，
∴sinx﹣cosx≥0，即sinx≥cosx，
∵0≤x≤2π，
∴x的取值范围是≤x≤．
故答案为：．
6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．
【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，
所以由余弦定理可知cosθ==，
所以7所对的角为60°．
所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．
故答案为：120°．
7． = ．
【考点】GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】将cosC=化成﹣cos（A+B），再利用两角和与差的三角函数公式计算．
【解答】解：
∴，若A为锐角，则A＜，∴cosA=，sinB=
此时cosC=cos（π﹣A﹣B）=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=
若A为钝角，则A，A+B＞π，不合要求
故答案为：
8．已知直线l经过点P（1，0）且与以A（2，1），B（3，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是∪∪∪．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】二次函数f（x）=2x2﹣17x+a的对称轴为x=，关于x的一元二次不等式2x2﹣17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数为3，4，5，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次不等式2x2﹣17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，
∴△=289﹣8a＞0，解得a＜．
∵二次函数f（x）=2x2﹣17x+a的对称轴为x=，
∴关于x的一元二次不等式2x2﹣17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数为3，4，5，
∴，且f（2）＞0，f（5）≤0，解得30＜a≤33．
∴实数a的取值范围是（30，33]．
故答案为：（30，33]．
14．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x1，x2，总有不等式成立，则称函数f （x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a n}，如果对任意正整数n，总有不等式成立，则称数列{a n}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{a n}满足如下两个条件：
①数列{a n}为上凸数列，且a1=1，a10=28；
②对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|a n﹣b n|≤20，其中，则数列{a n}中的第三项a3的取值范围为．
【考点】8B：数列的应用．
【分析】根据数列{a n}为上凸数列，且a1=1，a10=28，求出a3≥7…①．根据正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|a n﹣b n|≤20，求出19≤a3≤19…②．问题得以解决
【解答】解：∵，
∴a n+a n+2≤2a n+1，
∴a n+a n+2≤2a n+1，
∴a n+2﹣a n+1≤a n+1﹣a n，
∴≤，
∴≤
把a1=1，a10=28代入，得a3≥7…①．
在|a n﹣b n|≤20，b n=n2﹣6n+10中，令n=3，得b3=9﹣18+10=1，
∴﹣20≤a3﹣b3≤20，
∴﹣19≤a3≤19…②．
①②联立得7≤a3≤19．
故答案为：．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α．
（1）求tan2α的值；
（2）求的值．
【考点】GU：二倍角的正切；GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）求出倾斜角的正切函数值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
（2）利用同角三角函数的基本关系式求解sinα，cosα的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：（1）直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．
可得：tan2α==．
（2）∵tanα==，α是锐角，
又∵sin2α+cos2α=1，
∴解得sinα=．cos，
∴=+=．
16．已知A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x2﹣5x+6＜0}．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，求x2+ax﹣b＜0的解集．
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】（1）先化简A，B再按照交集的定义求解计算．
（2）由（1）得A∩B={x|﹣1＜x＜2}，所以﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两根，求出a，b确定出ax2+x﹣b＜0，再求解．
【解答】解：（1）由题意得：A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2或x＞3}，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}．
（2）由题意得：﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两根
所以，解之得，
所以﹣x2+x+2＜0，其解集为{x|x＜﹣1或x＞2}．
17．已知数列{a n}的首项是a1=1，a n+1=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{na n}的前n项和S n．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】（1）递推式两边同时加1即可得出a n+1+1=2（a n+1），得出{a n+1}为等比数列，求出通项即可得出a n；
（2）先分组，再使用错位相减法求出一部分的和，即可得出S n．
【解答】解：（1）∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），
又a1+1=2，{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．
（2）na n=n•2n﹣n，
∴S n=1•2﹣1+2•22﹣2+3•23﹣3+…+n•2n﹣n
=（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣（1+2+3+4+…+n），
令T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
则2T n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
两式相减得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，
∴T n=（n﹣1）2n+1+2，
又1+2+3+4+…+n==+，
∴S n=（n﹣1）2n+1+2﹣﹣．
18．如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．
（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论；
（Ⅱ）在△ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC＞3时没有触礁危险．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，…4分
从而MC=5sin60°=＞3，没有触礁危险．…8分
（Ⅱ）设CM=x，在△ABM中由正弦定理得，
，
解得x=，…14分
所以当＞3时没有触礁危险．…16分．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=
（1）求角B的值；
（2）若且b≤a，求的取值范围．
【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值．
（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）
=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．
又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，
∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，
∴B=或．
（2）∵b=≤a，∴B=，
由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，
故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin （A﹣），
因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，
所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．
20．已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．
（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；
（2）若b n=，a2=0．
①证明：数列{a n}为等差数列；
②设数列{c n}满足c n=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】8C：等差关系的确定；8H：数列递推式．
【分析】（1）利用两个向量平行的坐标关系得到S n=（a n﹣1）b n，进一步对n取值，得到数列{a n}是等差数列；
（2）①由，则2S n=na n﹣n③，又2S n+1=（ n+1）a n+1﹣（n+1）④，两式相减即可得到数列{a n}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．
②由①得到数列{c n}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．
【解答】解：（1）因为=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．
得S n=（a n﹣1）b n，当b n=2，则S n=2a n﹣2 ①，
当n=1时，S1=2a1﹣2，即a1=2，…
又S n+1=2a n+1﹣2 ②，
②﹣①得S n+1﹣S n=2a n+1﹣2a n，
即a n+1=2a n，又a1=2，
所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，…
所以a n=2n．…
（2）①证明：因为，则2S n=na n﹣n③，
当n=1时，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，
又2S n+1=（ n+1）a n+1﹣（n+1）④，
④﹣③得
2S n+1﹣2S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣1，…
即（n﹣1）a n+1﹣na n﹣1=0 ⑤，
又na n+2﹣（n+1）a n+1﹣1=0⑥
⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，
即a n+2+a n=2a n+1，所以数列{a n}是等差数列．…
②又a1=﹣1，a2=0，
所以数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．
a n=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以，…
假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，即，
可得，…
整理得5lm﹣4l=4m+4即，由，得1≤m≤8，…
一一代入检验或或或或或或或
由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…。