2018年浙江中考数学复习 图形的相似与解直角三角形 第23课时 锐角三角函数与解直角三角形

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(3)边角之间的关系 a b a sin A＝ ， cos A＝ ， tan A＝ ， c c b b a b sin B＝ ， cos B＝ ， tan B＝ . c c a
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第23课时 锐角三角函数 与解直角三角形
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9．(2016· 绍兴、义乌 )如图①，某社会实践活动小组实地测量 两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 A 处，测得河的 北岸边点 B 在其北偏东 45° 方向，然后向西走 60 m 到达点 C，测 得点 B 在点 C 的北偏东 60° 方向，如图②.
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8．(2017· 嘉兴、舟山 )如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱 台 (矩形 ABCD)靠墙摆放，高 AD＝ 80 cm，宽 AB＝ 48 cm，小强 身高 166 cm ，下半身 FG ＝ 100 cm ，洗漱时下半身与地面 成 80° (∠ FGK＝ 80° )，身体前倾成 125° (∠ EFG＝ 125° )，脚与洗漱台 距离 GC＝ 15 cm(点 D， C， G， K 在同一直线上 )．
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3． 解直角三角形的类型 已知条件 两直角边 (如 a， b) 斜边、一直角边 ( 如 c ， a) 解 法
a 由 tan A＝ ，求∠ A；∠ B＝ 90° b －∠ A；c＝ a2＋ b2 a 由 sin A＝ ，求∠ A；∠ B＝ 90° c －∠ A； b＝ c － a
A． 5 m
B． 6 m
C． 6.5 m
D． 12 m
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3．(2016· 绍兴、义乌 )如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90° ，∠ A ＝ 30° .以点 A 为圆心， BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点 A，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连结 AE，DE， 则∠ EAD 的余弦值是 ( B )
3 A． 12
3 B． 6
3 C． 3
3 D． 2
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4．(2016· 金华)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线， CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 θ.现要在楼梯上铺一条地毯， 已知 CA＝4 m，楼梯宽度为 1 m，则地毯的面积至少为( D )
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∵ GN＝ FG· cos 80° ＝ 100× cos 80° ≈ 17(cm)， CG＝ 15(cm)， ∴ OH ＝ OB＋ CG ＋ GN ＝ 24 ＋ 15 ＋ 17 ＝ 56(cm)， OP ＝ OH－ PH＝ 56－ 46.53＝ 9.47(cm)≈ 9.5(cm)， ∴他应向前 9.5 cm.
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(2)求出这段河的宽．(结果精确到 1 m，备用数据： 2≈ 1.41， 3≈ 1.73) 解：设 BD＝ x m．∵∠ BCA＝ 30° ， BD ∴ CD＝ ＝ 3x(m)． tan 30° ∵∠ BAD＝ 45° ， 60 ∴ AD＝ BD＝ x m，则 3x－ x＝ 60，解得 x＝ ≈ 82， 3－ 1 答：这段河的宽约为 82 m.
温馨提示 : 1．30° ，45° ，60° 角的正弦值的分母都是 2，分子从小到大分 别是 1， 2， 3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30° ，45° ， 60° 角的余弦值的分母也都是 2，而分子从大到小分别是 3， 2， 1，余弦值随角度的增大而减小． 2． 30° ， 60° 角的正切值互为倒数，都和 3有关， 45° 角的正 切值是 1，随着角度的增大，正切值也在逐
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6． (2016· 湖州 )计算： tan 45° － sin 30° ＋ (2－ 2)0. 1 3 解：原式＝ 1－ ＋ 1＝ . 2 2
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7 ． (2017· 台州 )如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意 图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 m．已知小汽车 车门宽 AO 为 1.2 m，当车门打开角度∠ AOB 为 40° 时，车门是否 会碰到墙？请说明理由． (参考数据： sin 40° ≈ 0.64， cos 40° ≈ 0.77， tan 40° ≈ 0.84 )
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∵∠ EFG＝ 125° ， ∴∠ EFM＝ 180° － 125° － 10° ＝ 45° ， ∴ FM＝ EF· cos 45° ＝ 66× cos 45° ≈ 46.53(cm)， ∴ MN＝ FN＋ FM＝ 98＋ 46.53≈ 144.5(cm)， ∴此时小强头部点 E 与地面 DK 相距约为 144.5 cm.
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温馨提示 : 1． 锐角三角函数是在直角三角形中定义的． 2．sin A，cos A，tan A 表示的是一个整体，是指两条线段的 比，没有单位． 3．锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直 角三角形的大小无关． 4．当 A 为锐角时， 0＜ sin A＜ 1， 0＜ cos A＜ 1， tan A＞ 0.
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考点二
解直角三角形
1． 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角 的过程，叫做解直角三角形． 2． 直角三角形的边角关系 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90° ，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a， b， c. (1)三边之间的关系： a2＋ b2＝ c2； (2)两个锐角之间的关系：∠ A＋∠ B＝ 90° ；
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(2)小强希望他的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方， 他应向前或后退多少？ (sin 80° ≈ 0.98，cos 80° ≈ 0.17， 2≈ 1.41， 结果精确到 0.1) 解：如图，过点 E 作 EP⊥ AB 于点 P，延长 OB 交 MN 于 点 H. ∵ AB＝ 48 cm， O 为 AB 的中点， ∴ AO＝ BO＝ 24 cm. ∵ EM＝ EF· sin 45° ＝ 66× sin 45° ≈ 46.53(cm)， ∴ PH≈ 46.53 cm.
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3． 三角函数值之间的关系 sin α (1)同角三角函数之间的关系：sin α＋ cos α＝ 1；tan α＝ . cos α
2 2
(2)互余两角的三角函数关系：若∠ A＋∠ B＝ 90° ，则 sin A＝ cos B 或 sin B＝ cos A．
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2． 特殊角的三角函数值 α sin α cos α tan α 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3
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1．(2017· 湖州 )如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90° ，AB＝ 5， BC＝ 3，则 cos B 的值是 ( A )
3 A． 5
4 B． 5
3 C． 4
4 D． 3
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2．(2017· 温州 )如图，一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 12 13 m，已知 cos α＝ ，则小车上升的高度是 ( 13 A )
(1)求∠ CBA 的度数；
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解：如图，作 BD⊥ CA 交 CA 延长于点 D，得∠ BAD＝ 45° ， ∠ BCA＝ 30° ， ∴∠ CBA＝∠ BAD－∠ BCA＝ 15° .
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4 A． m2 sin θ 4 2 C． 4＋tan θ m
4 B． m2 cos θ D．(4＋4tan θ)m2
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5．(2016· 宁波)如图，在一次数学课外 实践活动中， 小聪在距离旗杆 10 m 的 A 处 测得旗杆顶端 B 的仰角为 60° ，测倾仪高 AD 为 1 m，则旗杆高 BC 为 10 3＋1m(结 果保留根号)． 【解析】假设过点 A 的水平线交 BC 于点 E，则∠AEB＝90° .根据题意可得四边 形 ADCE 是矩形， ∴AE＝CD＝10 m， CE＝AD＝1 m． 在 Rt△AEB 中， ∵∠BAE＝60° ， ∴BE＝AE· tan∠BAE＝10tan 60° ＝10 3(m)， ∴BC＝BE＋CE＝(10 3＋1)m.
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解：如图，过点 A 作 AC⊥ OB，垂足为 C． 在 Rt△ ACO 中，∵∠ AOC＝ 40° ， AO＝ 1.2 m， ∴ AC＝ AO· sin∠ AOC≈ 1.2× 0.64＝ 0.768. ∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 m， ∴车门不会碰到墙．
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考点一
锐角三角函数
1． 锐角三角函数的定义
如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90° ，∠ A，∠ B，∠ C 的对边 a b a 分别为 a， b，c，则 sin A＝ ，cos A＝ ， tan A＝ ． c c b
2 2
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一锐角与邻边 (如∠ A， b) 一锐角与对边 (如∠ A， a) 斜边与一锐角 (如 c，∠ A)
∠ B＝ 90° －∠ A； a＝ b· tan A； b c＝ cos A a ∠ B＝ 90° －∠ A； b＝ ； tan A a c＝ sin A ∠ B＝ 90° －∠ A； a＝ c· sin A； b＝ c· cos A
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温馨提示 : 解直角三角形的思路可概括为 “ 有斜 (斜边 ) 用弦 (正弦、余 弦 )，无斜用切 (正切 )，宁乘勿除，取原避中”．
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(1)此时小强头部点 E 与地面 DK 相距多少？ 解：如图，过点 F 作 FN⊥ DK 于点 N， 过点 E 作 EM⊥ FN 于点 M. ∵ EF＋ FG＝ 166 cm， FG＝ 100 cm， ∴ EF＝ 66 cm.∵∠ FGK＝ 80° ，∠ FNG＝ 90° ， ∴∠ GFN＝ 10° . ∴ FN＝ FG· sin 80° ＝ 100× sin 80° ≈ 98(cm)．