第5~6 概率论重点内容总结

第5、6章 重点内容总结
设随机变量相互独立，且, ,,
记,,则有 (1) ,, , ;
(2);
(3)当充分大时,; (4)特别地,都服从参数为的（0—1）分布,即,当充分大时,
.
有关抽样分布
1. 常见统计量
(1) 样本均值;
(2) 样本方差; (3) 样本阶原点矩
(4) 样本阶中心矩
2. 常用抽样分布
要求：掌握定义、性质、概率密度图像、上分位点概念
(1)分布 定义:,记为,其中是来自总体的样
本,称参数为自由度.
性质
① 设且相互独立,则. ②.
③分布的概率密度的图形在第一象限单峰不对称(时).
④上分位点，使得. 12,,,,
n X X X ()i E X μ=2()0i D X σ=>1,2,
i =1n
i i Y X ==∑1
1n
n i i X X n ==
∑()E Y n μ=2
()D Y n σ=(n E μ=2()n D X n
σ={}
lim ||1n n P με→∞
-<=n 2~(,)Y N n n μσ近似
12,,
,,
n X X X p ~(,)Y b n p n ~(,(1))Y N np np p -近似
1
1n
i i X X n ==∑2
211()1n i i S X X n ==--∑22111n i i X nX n =⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
∑k 1
1,1,2,;n
k k i i A X k n ==
=∑k 1
1(),2,3,
.n k
k i i B X X k n ==-=∑2χ222212n X X X χ=+++22~()n χχ12,,,n X X X (0,1)N n 22221122~(),~(),n n χχχχ2212,χχ2221212~()n n χχχ++22(),()2E n D n χχ==2χ2n >α2()n α
χ{}22()P n αχχα>=
(2) 分布 定义:，记为，其中，，且与相互独立，称参
数为自由度.
性质
① 分布的概率密度的图形单峰关于纵轴对称.
② 上分位点使得，且，当时, (3)分布 定义:，记为，其中且与相互独立，分别称参数,为第一自由度和第二自由度.
性质
①若,则
. ②分布的概率密度的图形在第一象限单峰不对称.
③上分位点使得,且.
3. 正态总体的统计量
(1) 设是来自正态总体的样本，分别为样本均值和样本方差，则
,；
与相互独立；
①
；
②
；
.
(2) 设与分别是来自正态总体和的样本，
且这两个样本相互独立，样本均值和样本方差分别为和，则
; ⑤
;
t t =
~()t t n ~(0,1)X N 2~()Y n χX Y n t α()t n α{}()P t t n αα>=1()()t n t n αα-=-45n >()t n z αα≈F 1
2
X n F Y n =
12~(,)F F n n 2212~(),~(),X n Y n χχX Y 1n 2n 12~(,)F F n n 2
211
1~(,)Y n F n n F X n =F α12(,)F n n α{}12(,)P F F n n αα>=112211
(,)(,)
F n n F n n αα-=12,,,n X X X ()2,N μσ2S ()()
2,μσ==E X D X ()2
2
E S
σ
=()2~,μσX N n X 2S ()~0,1N ()()2
22
1~1χσ
--n S n ()~1-t n 112,,,n X X X 212,,,n Y Y Y ()211,N μσ()222,N μσX Y ，22
12,S S ()()1
2
~0,1X Y N μμ---()22
121222
12
~1,1S S F n n σσ--
⑥当时
.
22
212
σσσ==(()
()1
2
12~2μμ---+-X Y t n n。