高中数学 19 向量应用举例练习(含解析)北师大版必修4(2021年整理)

2017-2018学年高中数学19 向量应用举例练习（含解析）北师大版必修4 编辑整理：
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19 向量应用举例
时间：45分钟满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
答案:C
解析：如图所示,知｜v合|2＝|v1｜2－|v2|2.
∴|v合｜＝错误!，∴t＝错误!＝错误!,选C.
6．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外，错误!2＝16，|错误!＋错误!｜＝｜错误!－错误! |,则｜错误!|＝( ）
A．8 B．4
C．2 D．1
答案:B
解析：由｜错误!＋错误!｜＝|错误!－错误!｜可知，错误!⊥错误!,则AM为Rt△ABC斜边BC 上的中线,因此，｜错误!｜＝错误!|错误!｜＝4,故选B。

二、填空题:（每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a＝(4，3),v b ＝(3,4)，则v a在v b上的射影为________．
答案：错误!
解析:由题知v a与v b的夹角θ的余弦值为cosθ＝错误!＝错误!.
∴v a在v b上的射影为|v a｜cosθ＝5×错误!＝错误!。

8．已知直线l经过点A（1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2，3)，则点B（2,3）到直线l的距离是________．
答案：错误!
解析：由题意,知直线l的斜率k＝－错误!。

又直线l过点A（1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(2,3）到直线l的距离d＝错误!＝错误!.
9．在四边形ABCD中，已知错误!＝(4，－2），错误!＝（7,4），错误!＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
答案：30
解析：错误!＝错误!－错误!＝（3，6）＝错误!，∵错误!·错误!＝(4，－2）·(3,6）＝0，∴错误!⊥错误!，∴四边形ABCD为矩形，|错误!|＝错误!，|错误!|＝错误!,∴S＝|错误!|·|错误!｜＝30.
三、解答题：（共35分，11＋12＋12）
10．如图,在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是边BC的中点，E是边AB上的点，且AE ＝2BE，求证：AD⊥CE。

解:解法一（基向量法）
错误!·错误!＝错误!·错误!
＝错误!·错误!
＝错误!·错误!
＝错误!错误!2－错误!错误!·错误!－错误!错误!2.
∵BC⊥CA,∴错误!·错误!＝0。

又BC＝CA，
∴｜错误!|＝|错误!|,
∴错误!·错误!＝错误!（|错误!｜2－｜错误!｜2）＝0,
∴错误!⊥错误!,即AD⊥CE.
解法二（坐标法）
以CA，CB所在直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系，设|错误!|＝｜错误!|＝a,∴C(0，0），A(a,0），B(0，a），E错误!，D错误!，
∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，
∴错误!·错误!＝－错误!＋错误!×错误!＝－错误!＋错误!＝0,
∴错误!⊥错误!，即AD⊥CE。

11．如图,平行四边形ABCD中，点E,F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T,证明：R,T为AC的三等分点．
解：设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b,错误!＝错误!b－a.
由于错误!与错误!共线，因此存在实数m，使得错误!＝m（a＋b）．
又错误!与错误!共线，因此存在实数n,使得错误!＝n错误!＝n错误!.
由AR，→＝错误!＋错误!＝错误!＋n错误!，得m（a＋b)＝a＋n错误!，
整理得(m＋n－1）a＋错误!b＝0.
由于向量a，b不共线,所以有错误!，
解得错误!，
所以错误!＝错误!错误!.
同理错误!＝错误!错误!，
所以错误!＝错误!错误!，所以AR＝RT＝TC,
所以R，T为AC的三等分点．
12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1。

(1）判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当｜F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围．
解：（1)如图所示,由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2,|F1｜＝错误!，｜F2｜＝|G|tanθ,
当θ从0°趋向于90°时，|F1｜，|F2|都逐渐增大．
(2）由|F1|＝错误!,｜F1｜≤2|G|，得cosθ≥错误!.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°，
即角θ的取值范围为［0°，60°］．。