高中数学概率统计知识万能公式文科
高中数学概率所有公式
高中数学概率所有公式高中数学概率这部分的公式啊，那可是相当重要！就像我们在数学世界里探险的工具，少了它们可不行。
首先，咱们来说说古典概型的概率公式。
如果一个试验中所有可能的结果有 n 个，其中事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 发生的概率 P(A) 就等于 m 除以 n ，即 P(A) = m / n 。
这就好比抽奖，假如有100 张奖券，其中 10 张能中奖，那你中奖的概率就是 10÷100 = 0.1 。
还有互斥事件的概率加法公式。
如果事件A 和事件B 是互斥事件，那么事件 A 或 B 发生的概率 P(A∪B) 就等于 P(A) + P(B) 。
这就好像你去超市买水果，苹果区有一堆苹果，香蕉区有一堆香蕉，你要么买苹果，要么买香蕉，买苹果的概率和买香蕉的概率加起来，就是你买水果的总概率。
再说独立事件的概率乘法公式。
如果事件 A 和事件 B 是相互独立的事件，那么事件 A 和 B 同时发生的概率 P(AB) 就等于 P(A)×P(B) 。
比如说你今天早上出门，坐公交不迟到的概率是 0.8 ，你今天老师不拖堂的概率是 0.7 ，这两件事相互独立，那么你今天既不迟到也不拖堂的概率就是 0.8×0.7 = 0.56 。
条件概率公式也不能落下。
在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率 P(A|B) 等于 P(AB)÷P(B) 。
这就好比你已经知道今天下雨了，在这个前提下，你忘记带伞的概率是多少。
全概率公式也得好好掌握。
设 B1 ，B2 ，...，Bn 是一组两两互斥的事件，且它们的并集是全集Ω，事件 A 与这组事件都有关系，那么P(A) = P(A|B1)×P(B1) + P(A|B2)×P(B2) +... + P(A|Bn)×P(Bn) 。
这个有点复杂，举个例子，你要从三个不同的箱子里摸球，每个箱子摸中红球的概率不一样，已知每个箱子被选中的概率，那么你最终摸中红球的概率就要用全概率公式来算。
高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0数指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
概率计算公式
概率计算公式概率计算是数理统计学中的重要内容，通过运用概率计算公式，我们可以对事件发生的可能性进行精确的预测和分析。
本文将介绍几种常用的概率计算公式，帮助读者更好地理解和应用概率计算。
一、频率法频率法是概率计算中最直观和常用的方法之一，它是通过实验数据的频率来估计事件发生的概率。
频率法概率计算公式如下：```P(A) = n(A) / n```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验总次数。
通过观察事件发生的实际频率，可以得出事件发生的概率近似值。
二、古典概型古典概型指的是指定试验中所有可能结果等可能的情况。
在古典概型中，可以使用以下概率计算公式：```P(A) = n(A) / n(S)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的有利次数，n(S)表示样本空间的大小。
三、总概率定理总概率定理用于计算在多个条件下的概率。
当有多个互斥事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集等于样本空间S时，可以使用总概率定理进行计算。
总概率定理公式如下：```P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
总概率定理在实际问题中具有广泛的应用，通过将复杂问题分解为简单事件的条件下的概率计算，可以更好地解决实际问题。
四、条件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率计算公式如下：```P(A|B) = P(A∩B) / P(B)```其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以帮助我们更好地理解事件之间的相关性，当我们已经了解到某个条件下的概率时，可以通过条件概率公式计算其他事件的概率。
(完整版)文科高中数学公式大全(超全完美)
、函数、导数1．元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U Ax A . ? A A集合 {a 1,a 2,L ,a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n 1个；非空子集有 2n 1个；非空的真子集有 2n 2个 .2. 真值表5. 函数的单调性ｐｑ非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假假常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 n 个 至多有（ n 1）个 小于不小于至多有 n 个至少有（ n 1）个对所有 x ，成立存在某 x ，不成立p 或q p 且 q 对任何 x ，不成立 存在某 x ，成立p 且qp 或 q四种命题的相互关系 （ 下图 ）: （原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ .）否命题 若非ｐ则非ｑ 3. 充要条件（记 逆否命题若非ｑ则非互逆 p 表示条件， q 表示结论） q ，则 p 是 q 充分条件 . p ，则 p 是 q 必要条件 . q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 .则乙是甲的必要条件；反之亦然若p 若q若p（ 1）充分条件： （ 2）必要条件： （ 3）充要条件： 注：如果甲是乙的充分条件，4. 全称量词 表示任意，表示存在； 的否定是的否定是 。
2 例： x R,x 2x 12 0 的否定是 x R,x 2互逆逆 逆否否互 否(2) 设函数 y f (x)在某个区间内可导，若 f (x) 0，则 f(x) 为增函数；若 f (x) 0，则 f (x) 为减函数 .6. 复合函数 y f[g(x)] 单调性判断步骤：(1)先求定义域(2)把原函数拆分成两个简单函数 y f (u)和 u g(x)( 3)判断法则是同增异减( 4)所求区间与定义域做交集7. 函数的奇偶性(1) 前提是定义域关于原点对称。
高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第九章 概率、统计与算法
第九章 概率、统计与算法（选修3、选修1-2）专题一：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nm A P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率nm A P =)(. 3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：的测度的测度D d A P =)(；其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件，则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
⑶如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 发生的概率的和，即：)()()(B P A P B A P +=+⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥，则有：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件A 的对立事件记作A ，则)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
专题二：统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn 。
2、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
高中数学概率统计知识万能公式
【考题分析】1、考试题型：选择填空1个，解答题：18（必考）2、考题分值：17分；3、解答题考点：①频率直方图的应用，②线性回归直线的应用，③独立性检验和概率4、难度系数：左右，（120分必须全对，100以上者全对）【知识总结】一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于时x 的值。
4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程：ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关；ˆ0:b <负相关。
3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
(完整版)高中数学统计与概率知识点归纳(全)
高中数学统计与概率知识点（文）一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。
众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)三 .众数、中位数及平均数的求法。
①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。
③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
四、中位数与众数的特点。
⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：七、简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）, 如果每次12||||||n x x xx x x n22212()()()n x x x x x x sn抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
高中数学《概率与统计》重要公式
高中数学《概率与统计》重要公式1.n个互斥事件发生的概率和公式为P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)。
2.独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)= P(A)·P(B)。
3.n个独立事件同时发生的概率为P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。
4.等可能性事件的概率为P(A)= m/n。
5.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率为C(n,k)P^k(1-P)^(n-k)。
6.互斥事件A，B分别发生的概率的和为P(A＋B)=P(A)＋P(B)。
7.离散型随机变量的分布列具有两个性质：(1) Pi>=0(i=1,2.) (2) P1+P2+。
=1.8.数学期望具有两个性质：(1) E(aX+b)=aE(X)+b (2) 若X~B(n,p)，则E(X)=np。
9.若随机变量X服从几何分布，且P(X=k)=g(k,p)=q^(k-1)p，则E(X)=1/p。
10.方差公式为2D(X)=(x1-E(X))^2P1+(x2-E(X))^2P2+。
+(xn-E(X))^2Pn。
11.方差具有三个性质：(1) D(aX+b)=a^2D(X) (2) 若X~B(n,p)，则D(X)=np(1-p) (3) 若X服从几何分布，且P(X=k)=g(k,p)=q^(k-1)p，则D(X)=q/p^2.12.方差与期望的关系为D(X)=E(X^2)-(E(X))^2.13.标准差为σ(X)=sqrt(D(X))。
14.标准正态分布密度函数为f(x)=1/sqrt(2π)e^(-x^2/2)，其中x属于实数集。
15.正态分布密度函数为f(x)=(1/(σsqrt(2π)))e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ和σ(σ>0)为参数，分别表示个体的平均数与标准差。
公式大全 文科版
高中数学常用公式及常用结论(文科)1．集合12{,, , }n a a a ⋅⋅⋅的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个； 非空子集有2n －1个；非空的真子集有2n －2个.2.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2() (0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()() (0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()() (0)f x a x x x x a =--≠. 3.真值表四种命题的相互关系充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.若函数)(x f y =是奇函数，则()()f x a f x a --=-+；若函数)(a x f y +=是奇函数，则()()f x a f x a -+=-+.8.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.9.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.10．多项式函数110()n n n n P x a x a xa --=++⋅⋅⋅+的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.11.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.12.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.13.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.14．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =⇔=-)()(1.15.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,()()(),(1)f xy f x f y f α==.16.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ；17.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==0,,a m n N *>∈，且1n >）.18．根式的性质（1）na =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.19.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.20.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m n a a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).21．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.对数恒等式 log a N a N =22.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆. 若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.23. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.24.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++⋅⋅⋅+).25.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-.26.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1), 11, 1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11, 11, 1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.27．同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
高考数学作文常用公式总结
高考数学作文常用公式总结介绍高考数学作文是高中学生在数学考试中常见的一种题型。
作文是考查学生对数学知识的理解和应用能力，也是检验学生逻辑思维和解决问题能力的一种方式。
在高考数学作文中，掌握常用公式是非常重要的，可以帮助学生更好地解题和推导。
本文将总结高考数学作文中常用的公式，以便学生们在备考中能够更好地掌握和应用。
计数原理排列组合公式•排列公式: Anm = n!/(n-m)!•组合公式：Cnm = n!/(m!(n-m)!)概率与统计基本概率公式•事件A的概率: P(A) = n(A)/n(S)•事件的互斥: P(A∪B) = P(A) + P(B)•事件的独立: P(A∩B) = P(A)P(B)离散型随机变量•期望：E(X) = μ = ∑(x * P(X=x))•方差：D(X) = σ2 = ∑((x-μ)2 * P(X=x))连续型随机变量•期望：E(X) = ∫(x * f(x))dx•方差：D(X) = ∫((x-μ)2 * f(x))dx函数与方程一次函数•一次函数方程：y = kx + b•斜率公式：k = (y2-y1)/(x2-x1)二次函数•二次函数一般式：y = ax2 + bx + c•二次函数顶点坐标：(h, k)，其中 h = -b/2a, k = f(h) •二次函数的判别式：Δ = b2 - 4ac•二次函数与x轴交点坐标：x1,2 = (-b±√Δ)/(2a)指数函数与对数函数•指数函数公式：y = ax•对数函数公式：y = logax•复数公式：a+bi，其中a是实部，b是虚部空间几何与立体几何直角坐标系•平面方程：Ax + By + Cz + D = 0•点的距离公式：d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2)点与直线•点斜式方程：y-y1 = k(x-x1)•两点式方程：(y-y1)/(x-x1) = (y-y2)/(x-x2)•截距式方程：x/a + y/b + z/c = 1平面几何•平面方程：Ax + By + Cz + D = 0•平面的法向量：n = (A, B, C)•平面上一点到平面的距离公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)•平行平面之间的距离：d = |D1-D2|/√(A2 + B2 + C2)立体几何•体积公式：V = lwh•表面积公式：S = 2lw + 2lh + 2wh导数与微分•导数定义：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h (h->0) •微分定义：dy = f'(x)dx•高阶导数：f''(x), f'''(x)积分•不定积分：∫f(x)dx•定积分：∫abf(x)dx•牛顿-莱布尼茨公式：∫abf(x)dx = F(b) - F(a) 微分中值定理•极值点：f'(x) = 0•最值点：可通过一阶导数或二阶导数判断三角函数基本三角函数•正弦函数：sin(x)•余弦函数：cos(x)•正切函数：tan(x)三角函数的性质•周期性：sin(x + 2π) = sin(x)•奇偶性：sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x)•三角函数的和差化积公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)三角函数的图像•正弦函数的图像：周期为2π，在[0, 2π]上为正值，[π, 2π]上为负值•余弦函数的图像：周期为2π，在[0, π]上为正值，[π, 2π]上为负值矩阵与行列式矩阵运算•矩阵乘法：C = AB，其中C的第i行第j列元素为A第i行与B第j列的乘积之和•矩阵的转置：AT，其中A的第i行第j列元素变为AT的第j行第i列元素行列式•二阶行列式：D = |a b| = ad - bc•三阶行列式：D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |a31 a32 a33|空间坐标系与向量空间坐标系•直角坐标系：以三条相互垂直的直线构成的坐标系•极坐标系：以极轴和极坐标构成的坐标系•柱面坐标系：以柱面坐标构成的坐标系•球面坐标系：以球面坐标构成的坐标系向量运算•向量加法：C = A + B，其中C的坐标为A和B的对应坐标相加•向量减法：C = A - B，其中C的坐标为A和B的对应坐标相减•数乘：C = kA，其中C的坐标为A的坐标乘以k金融数学复利公式•复利计算：A = P(1 + r/n)nt等额本息计算•等额本息计算：M = P * i * (1+i)t/((1+i)t-1)物理数学牛顿第二定律•牛顿第二定律公式：F = ma牛顿万有引力定律•牛顿万有引力定律公式：F = G * (m1 * m2)/r2结论本文总结了高考数学作文中常用的公式，涵盖了排列组合、概率与统计、函数与方程、空间几何与立体几何、微积分、三角函数、矩阵与行列式、空间坐标系与向量、金融数学和物理数学等方面。
高等数学概率的基本公式
例题4: 彩电使用10000小时无故障的概率 为95%,使用15000小时无故障的概率为60%; 现有一台彩电已使用了10000小时无故障,问 该彩电继续使用到15000小时无故障的概率?
解:设A={使用10000小时无故障};
B={使用15000小时无故障} 所求概率为:
P(B/A)= P( AB) P(B) P( A) P( A)
解：A=｛澄明度较差｝；B=｛标记不清｝
求P(A B)
P(A B) 1 P(A B)
1 P(A) P(B) P(AB)
1 6 5 4 20 20 20
0.65
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二、概率的乘法公式
1.条件概率
定义:事件A和B,若P(A)≠0,则下式称为在事件A 发生的条件下B发生的概率
P(B A) P( AB) P( A)
解：设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病
P（B/A） P( AB)
P(B)P(A B)
P( A) P(B)P(A B) P(B)P(A B)
0.001 0.95
0.001 0.95 0.999 0.002
0.32225
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四、独立重复试验和伯努利（Bernoulli)概型 独立重复试验： 在相同条件下重复试验，各次试验的结 果相互独立的随机试验。
0.0050.12 0.0006
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条件概率的性质:
1. P(B/A) ≥0 2. P(U/A)=1 , P(V/A)=0 3. P(B/A)=1- P(B/A) 4. P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)
特别地: 当条件A= U 时,条件概率就变成无条件概率了.
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概率统计公式大全(复习重点)
C nk N M
,
k
0,1,2, l
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
均匀分布
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
f (x)dx 1
2°
。
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离
方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序） （3）一些
对立事件（至少有一个） 常见排列 顺序问题
（ 4 ） 随 机 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但
试 验 和 随 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否
是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
精彩文案
实用标准文档
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用 Pn(k) 表示 n
重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率，
概率统计公式
概率统计公式概率统计是一门研究随机现象规律的学科，它是数学的一个分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
在概率统计的研究中，有许多重要的公式被广泛应用。
本文将介绍概率统计的一些重要公式，帮助读者了解概率统计的基本原理和公式。
1.基本概率公式(1)事件的概率公式对于一个随机事件A，其概率可以表示为P(A)。
假设样本空间Ω中可能出现的所有事件数为n，事件A中包含的基本事件数为m，则事件A 的概率可以用如下公式表示：P(A)=m/n(2)互斥事件的概率公式对于两个互斥事件A和B，其概率可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)(3)事件的补事件的概率公式对于事件A的补事件A'，其概率可以表示为：P(A')=1-P(A)2.条件概率公式(1)条件概率公式对于事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)(2)全概率公式对于一组事件B1,B2,...,Bn，它们互斥且构成了样本空间Ω的一个划分，事件A可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)(3) Bayes公式对于一组事件B1,B2,...,Bn，它们互斥且构成了样本空间Ω的一个划分，事件A可以表示为：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)]3.随机变量公式(1)离散型随机变量的概率质量函数对于离散型随机变量X，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，概率质量函数可以表示为：P(X = xi) = pi(2)随机变量的期望公式对于离散型随机变量X，其期望可以表示为：E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn(3)二维离散型随机变量的协方差公式对于二维离散型随机变量(X,Y)，其协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]4.连续型随机变量公式(1)连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) ≥ 0, ∫f(x)dx = 1(2)连续型随机变量的期望公式对于连续型随机变量X，其期望可以表示为：E(X) = ∫xf(x)dx(3)二维连续型随机变量的协方差公式对于二维连续型随机变量(X,Y)，其协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]5.大数定律和中心极限定理(1)大数定律对于一组独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，样本均值的概率收敛于总体均值，即：lim(n→∞) P(，(X1 + X2 + ... + Xn) / n - μ，< ε) = 1(2)中心极限定理对于一组独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，样本均值的分布趋向于正态分布，即：lim(n→∞) P[(X1 + X2 + ... + Xn - nμ) / (σ√n) < x] =Φ(x)以上是一些概率统计中常用的公式，它们对于理解概率统计的基本原理和进行实际计算非常重要。
高考文科数学公式总结
高考文科数学公式总结数学作为高考文科考试中的一门重要科目，公式的掌握和运用对考生来说至关重要。
下面将对高考文科数学中常用的公式进行总结，希望能帮助考生们更好地备战高考。
一、代数部分。
1. 二项式定理。
(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a b^(n-1) + C(n,n)b^n。
2. 平方差公式。
(a+b)(a-b) = a^2 b^2。
3. 一元二次方程根的判别式。
Δ = b^2 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
二、几何部分。
1. 直线的点斜式方程。
y y₁ = k(x x₁)。
2. 三角形面积公式。
S = 1/2 × a × b × sinC。
3. 圆的面积和周长。
圆的面积 S = πr²。
圆的周长 L = 2πr。
三、概率与统计部分。
1. 排列组合公式。
排列，A(n, m) = n!/(n-m)!组合，C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)。
2. 期望的计算。
E(X) = Σ(x×P(x))。
3. 正态分布的标准差计算。
P(a < X < b) = Φ(b) Φ(a)。
其中Φ(x)表示标准正态分布曲线下面积为x的部分。
四、导数与微积分部分。
1. 导数的基本公式。
(1) (x^n)' = nx^(n-1)。
(2) (e^x)' = e^x。
(3) (sinx)' = cosx。
(4) (cosx)' = -sinx。
2. 不定积分的基本公式。
(1) ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
(2) ∫e^x dx = e^x + C。
(3) ∫sinx dx = -cosx + C。
高考数学必备的重要公式归纳大全
高考数学必备的重要公式归纳大全进入高三,我们必须对自己所学的各科知识的有个全面的把握，作为高三学生熟记数学的每个公式,为你为期不久的高考作好准备。
下面是为大家整理的关于高考数学必备的重要公式归纳，希望对您有所帮助!高考数学万能公式概率公式定义:p(A)=m/n，全概率公式(贝页斯公式)某事件A是有B,C,D三种因素造成的`，求这一事件发生的概率p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)其中p(A/B)叫条件概率，即：在B发生的情况下，A发生的概率诱导公式弧度制下的角的表示：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)sec(2kπ+α)=secα (k∈Z)csc(2kπ+α)=cscα (k∈Z) 角度制下的角的表示： sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z)cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z)tan (α+k·360°)=tan α(k∈Z)cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z)sec(α+k·360°)=secα (k∈Z)csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)对数的基本性质如果a0,且a≠1，M0,N0,那么：1.a^log(a)(b)=b2.log(a)(a)=13.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4.log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6.log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n 定积分形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面，下限b写在∫下面)。
从入门到精通概率论与数理统计个公式解密分享
从入门到精通概率论与数理统计个公式解密分享概率论与数理统计是一门应用广泛的学科，涉及到许多数学模型和公式。
本文将从入门到精通的角度，对概率论与数理统计中的一些常用公式进行解密分享。
一、概率论基础公式1. 加法法则在事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生）的情况下，事件A或者事件B发生的概率为两个事件概率之和，即P(A or B) =P(A) + P(B)。
2. 乘法法则在事件A和事件B相互独立（即一个事件的发生不受另一个事件发生的影响）的情况下，事件A和事件B同时发生的概率为两个事件概率的乘积，即P(A and B) = P(A) * P(B)。
3. 条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，表示为P(A|B)，计算公式为P(A|B) = P(A and B) / P(B)。
4. 全概率公式如果事件A可以被划分为若干互不相容的事件B1，B2，...，Bn，那么事件A的概率可以表示为P(A) = P(A and B1) + P(A and B2) + ... + P(A and Bn)。
5. 贝叶斯公式当已知事件A的条件概率P(A|B)和事件的先验概率P(B)时，可以通过贝叶斯公式来计算事件B的后验概率P(B|A)，即P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)。
二、数理统计常用公式1. 期望值对于离散型随机变量X，其期望值（或均值）E(X)可以表示为E(X) = ∑(xi * P(xi))，其中xi为随机变量X的取值，P(xi)为随机变量X取值为xi的概率。
对于连续型随机变量X，其期望值可以表示为E(X) =∫(xf(x)dx)，其中f(x)为随机变量X的概率密度函数。
2. 方差随机变量X的方差Var(X)可以表示为Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中E(X)为随机变量X的期望值。
3. 协方差随机变量X和随机变量Y的协方差Cov(X, Y)可以表示为Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和随机变量Y的期望值。
概率与统计学的主要公式及解题技巧
一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);P(A )=1-P(A);B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn PkP1P2...pnX 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1);P{X>a}=1-P{X<a}离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k tp k ;(把X<x 的概率累加）连续型rvX ；F(x)=−∞xf x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=1b−a,a t0,其它=0,x x−a b−a1,x≥b,a t分布函数F(x)=−∞x f x dx④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t0,其它F(x)=1−e−xθ0,x 0;⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
(完整版)概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--例：证明：成立。
得证。
成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃--)).) 2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ； 3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数 ： ①、常规平均数：x x1 x2 xn ②、加权平均数： x x1 1 x22 xn nn1 2n 3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差： s 21[( x 1 x) 2 ( x 2 x )2( x n x )2 ]n二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积： fS y 距 d ；频率 =频数 /总数2、频率之和 ： f 1 f 2f n 1 ；同时 S 1 S 2 S n 1 ；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差1、众数： 最高小矩形底边的中点。
2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n fnx x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。
4、方差： s 2( x 1 x )2 f 1( x 2 x) 2 f 2 ( x nx) 2 f n 四、线性回归直线方程： ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy? ? 其中： b i 1 i 1 ,a? y bx n n ( x i x )2 x i2 nx 2i1 i 11、线性回归直线方程必过样本中心 ( x ,y ) ；?? 0 : 负相关。
2、 b 0 : 正相关； b? 3、线性回归直线方程： y? ?bxa?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析?i 1、残差 ： ?i y i?i 越小越好； e y （残差 =真实值—预报值）。
分析： e2、残差平方和 ： n ? )2 (y i ， i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1y ) 2( y y ) 2 ( y y) 2 分析：①意义：越小越好； ②计算： ?i ?12 ?2 n ?n i1 n ?i ) 2i 3、拟合度（相关指数） ： R 2 1 ( y y ，分析：① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高； i 1 的常数；ny)2i ( y i1nn4、相关系数 ： ri ( x i x )( yi y)x i y i nx y1i1nx)2 n y) 2 nx) 2 n y )2i 1 ( x i i ( y i ( x i ( y i1 i1 i 1分析：① . r [ 1,1]的常数； ② .r 0: 正相关； r 0: 负相关③. r [0,0.25] ；相关性很弱；r (0.25,0.75) ；相关性一般； r [0.75,1] ；相关性很强；六、独立性检验x1 x21、2×2 列联表 ： 合计2、独立性检验公式bc)2y 1a ba b ①． k 2(a n( ad d ) y 2 cdc d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n②．犯错误上界 P 对照表3、独立性检验步骤①．计算观察值n(ad bc) 2k ： k ；(a b)(c d )(a c)(b d )②．查找临界值 k0 ：由犯错误概率 P，根据上表查找临界值k0；③．下结论： k k0：即犯错误概率不超过P 的前提下认为：, 有 1-P 以上的把握认为：;k k0：即犯错误概率超过P 的前提认为：, 没有 1-P 以上的把握认为：; 【经典例题】题型 1 与茎叶图的应用例 1（ 2014 全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50 位市民。
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高中数学概率统计知识万
能公式文科
The pony was revised in January 2021
第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ
【考题分析】
1、考试题型：选择填空1个，解答题：18（必考）
2、考题分值：17分；
3、解答题考点：①频率直方图的应用，②线性回归直线的应用，③独立性检验和概率
4、难度系数：左右，（120分必须全对，100以上者全对）
【知识总结】
一、普通的众数、平均数、中位数及方差
1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：12n
x x x x n
++⋅⋅⋅+=
②、加权平均数：
112212n n
n
x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=
++⋅⋅⋅+
3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差：2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+⋅⋅⋅+-
二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数
2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=；
三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： 112233n n
x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+
3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于时x 的值。
4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-
四、线性回归直线方程：ˆˆˆy
bx a =+ 其中：1
1
2
22
1
1
()()
ˆ()
n
n
i i i i i i n
n
i i i i x x y y x y nxy
b
x x x nx ====---∑∑==
--∑∑ , ˆˆa
y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；
2、ˆ0:b
>正相关；ˆ0:b <负相关。
3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析
1、残差：ˆˆi i i e
y y =-（残差=真实值—预报值）。
分析：ˆi e
越小越好； 2、残差平方和：21
ˆ()n
i i i y y
=-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221
ˆˆˆˆ()()()()n
i i n n i y y
y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度（相关指数）：2
212
1
ˆ()1()
n
i i i n i i y y
R y y ==-∑=--∑，
分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高；
4、相关系数
：()()
n
n
i i i i x x y y x y nx y
r ---⋅∑∑=
=
分析：①.[1,1]r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关
③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强；
六、独立性检验
1、2×2列联表：
2、独立性检验公式
①．
2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++
②．犯错误上界P 对照表
3、独立性检验步骤
①．计算观察值k ：2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++；
②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k ；
③．下结论：0k k ≥：即犯错误概率不超过P 的前提下认为： ,有1-P 以上的把握认为： ;
0k k <：即犯错误概率超过P 的前提认为： ,没有1-P 以上的把握认为： ;
【经典例题】
题型1 与茎叶图的应用
例1（2014全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。
根据这50位市民
（1）分别估计该市的市民对
甲、乙部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对
甲、乙部门的评分做于90的概
率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。
题型2 频率直方分布图的应用
例2（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2，
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？
练习2 （2014全国1）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直
方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方
差(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企
业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
题型3 计算线性回归方程
例3（2015重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
（1）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆy
bt a =+ （2）用所求回归方程预测该地区2015年（t =6）的人民币储蓄存款.
练习3（2014全国2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567
人均纯收入
y
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
题型4 线性回归分析
例4（2016全国3）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(1).由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
(2).求出y 关于t 的回归方程ˆˆˆy
bt a =+（系数精确到），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：71
9.32i i y ==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑
0.55=，≈.
参考公式：()()
n
i
i
t t y y r --=
∑回归方程y a bt =+中：1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ==--=
-∑∑，
=.a y bt -
题型5 独立性检验综合应用
例5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班60人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
(2)在上述抽取的人中选2人，求恰有一名女生的概率；
(3)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。
练习5. 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女比
例
随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18
秒之
间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[),14,13第二组[)15,14, 第 五组[]18,17,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这次测试成绩的平均数、众数和中位数、
(2)设n m ,表示从第一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百米测试成绩,即[)[]18,1714,13,⋃∈n m ,求事件“2>-n m ”的概率;
(3)根据有关规定,成绩小于16秒为达标.如果男
完成上表,并根据上表数据,能否有99﹪的把握认
为“体育达标与性别有关”。