初中数学常见模型之将军饮马
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。
本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。
1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。
此时，将军只需将马拉到目的地即可。
例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。
例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。
例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。
例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。
例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。
例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。
例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。
例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。
中考数学必会几何模型：将军饮马模型
将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC ， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5． 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A′，连接A′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP =.在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP =．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.模型2/角与定点1．已知，40MON °?，P 为MON Ð内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：OBAP(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB Ð等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°， ∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F ∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ONE2．如图，四边形中ABCD ，110BAD °?,90B D °??，在BC 、CD 上分别找 一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC++最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．xy (1，3)(3，1)OB 'BA 'AD C4．如图，20MON°?，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA =，4OB =，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB ++ 的最小值是多少？ONMAB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA '中，∴1OD =，3A D '= ∴413B D '=-=，23A B ''= ∴AQ PQ PB ++的最小值是23．模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.将A向右平移d个单位到A′，作A′关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，在l1、l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．解答：如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"ABl2l1A′NMABl2l1BAlM NA′A"BAld设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1， ∴点E 的坐标为(1，0). ∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25， ∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．112．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.AB l 2l 1。
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题是一个经典的数学问题，被广泛应用于算法设计和逻辑推理。
在这个问题中，有一个有限数量的将军和马，将军们需要同时饮马，而且马的数量要足够多，以保证每个将军都能骑到马上。
然而，问题的难点在于，如果将军们不约定时间，他们同时骑上马的可能性很小。
为解决这个问题，已经提出了许多解决方案，下面我将介绍16种解决这个问题的模型。
1. 广播模型将军们可以通过广播的方式进行通信，每个将军都可以听到其他将军的广播信号。
在某个固定时间，将军们开始广播他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信号，他们才会同时骑上马。
2. 协商模型将军们可以通过协商的方式进行通信，每个将军都可以与其他将军直接交流。
在某个固定时间，将军们开始与其他将军交流他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信息，他们才会同时骑上马。
3. 仲裁者模型将军们委任一个仲裁者作为中介来传递消息。
每个将军将自己已准备好骑马的消息告诉仲裁者，仲裁者负责将该消息传递给所有其他将军。
只有当每个将军都收到其他将军的消息，他们才会同时骑上马。
4. 时钟模型在固定的时间间隔内，每个将军都可以检查时钟的状态。
他们会设定一个目标时间，当时钟的时间达到目标时间时，将军们会同时骑上马。
这样，他们可以通过同步的方式来保证同时骑马。
5. 群体模型将军们通过形成一个群体来解决这个问题。
在一个固定时间，将军们同时进入群体，并在一起饮马。
这种方式需要所有将军都同意进入群体，并时刻保持一致，才能保证同时骑马。
将军们依次传递一个令牌表示自己已准备好骑马。
当每个将军都收到了令牌并且已经骑上马时，他们才会将令牌传递给下一个将军。
这种方式需要将军们按照一定的规则来传递令牌，以保证同时骑马。
7. 树模型将军们通过构建一棵树来解决这个问题。
树的根节点是一个仲裁者，每个将军是树的叶子节点。
当仲裁者收到所有将军的准备好骑马的消息时，他会通知所有将军同步骑马。
初中数学之将军饮马的6种模型(培优)
初中数学之将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形P AQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目类型一、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH–AE = 3–2 = 1，BH=在直角△BHE中，BE2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
初中数学常见模型之将军饮马
将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
初中数学常见模型之将军饮马
详细描述
假设有一个图形，我们需要将其放置在直线 l上，使得其面积最大。这个问题的解决方
法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对 称点，然后利用相似三角形的性质求出最大
面积。
练习题三：求最小成本
总结词
这道题目要求我们利用将军饮马模型求出某工程的最 小成本。
详细描述
假设有一个工程需要在直线l上完成，我们需要选择合 适的点作为工程地点，使得成本最小。这个问题的解 决方法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对称点 ，然后利用最小成本原理求出最小成本。
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解决实际问题
将军饮马模型也可以用于 解决一些实际问题，如求 物体的重心、平衡点等。
模型的重要性
培养数学思维
通过学习将军饮马模型， 学生可以培养数学思维， 提高解决数学问题的能力 。
拓展数学知识
将军饮马模型是初中数学 中的重要内容，对于拓展 学生的数学知识具有重要 意义。
提高解题效率
掌握将军饮马模型可以帮 助学生更快地解决数学问 题，提高解题效率。
04 将军饮马模型的常见题型
最短路径问题
总结词
在几何图形中，求两点之间的最短距 离是常见的问题。
详细描述
将军饮马模型常用于解决这类问题， 通过构建对称点，将两点之间的距离 转化为两点与对称点之间的距离和的 最小值。
最大面积问题
总结词
在给定条件下，求几何图形的最大面积也是常见的将军饮马模型应用。
三角形不等式
三角形不等式是指在任何三角形中，任意一边的长度都小 于另外两边之和。这个原理在解决最优化问题时非常有用 ，例如在寻找两个点之间的最短路径时。
在将军饮马模型中，三角形不等式常常被用来确定最短路 径的长度。例如，当一个将军要从一个地方走到另一个地 方时，他可以选择走直线，也可以选择绕弯。利用三角形 不等式，我们可以确定哪种路径更短。
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
将军饮马的六种模型
将军饮马的六种模型将军饮马问题是一个经典的最优化问题，常见的有六种模型。
一、六大模型1.给定直线l和直线l的异侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。
2.给定直线l和直线l的同侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。
3.给定∠MON内一点P，在OM、ON上分别作点A、B，使△PAB的周长最小。
4.给定∠MON内的两点P、Q，在OM、ON上分别作点A、B，使四边形PAQB的周长最小。
5.给定∠MON外的一点A，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
6.给定∠MON内的一点A，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
二、常见题目Part1、三角形1.在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC的最小值。
解：连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小。
过点B作BH⊥AC于点H，则EH=AH–AE=3–2=1.在直角△BHE中，BE=√(BH^2+HE^2)=√(3^2+1^2)=√10.因此，EM+EC=BE+BC-2AE=√10+6-2×2=√10+2.2.在锐角△ABC中，AB=√2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM+MN的最小值。
在XXX△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=√2.因此，XXX√2.3.在△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN值最小，则这个最小值是多少？解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MN。
将军饮马模型
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？AB模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题 眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。
中考必会几何模型：将军饮马模型
将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP .在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP ．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.OBAP模型2/角与定点1．已知，40MON ，P 为MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时：(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB 等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ON2．如图，四边形中ABCD ，110BAD ,90BD ，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．4．如图，20MON，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA ，4OB ，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB 的最小值是多少？ONB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA'中，∴1OD =，A D '=∴413B D '=-=，A B ''=∴AQ PQ PB ++的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l 上找M 、N 两点 (M 在左)，使得AM ＋MN ＋NB 最 小，且MN ＝d .将A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于l 的对称点A "，连接A "B 与直线l 交于点N ，将点N 向左平移d 个单位即为M ，点M ，N 即为所求.AM ＋MN ＋NB 的最小值为A "B ＋d如图，l 1∥l 2，l 1、l 2间距离为d ， 在l 1、l 2分别找M 、N 两点，使 得MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将A 向下平移d 个单位到A ，连接A ′B 交直线l 2于点N ，过点N 作MN ⊥l 1，连接AM .点M 、N 即为所求．AM ＋MN ＋NB 的最小值为A 'B ＋d .例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2.当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标．ABl 2 l 1 A ′NMABl 2 l 1 BAlMNA ′A "BAld解答：如图，将点D 向右平移2个单位得到D '(2，2)，作D '关于x 轴的对称点D "(2，－2)，连接BD "交x 轴于点F ，将点F 向左平移2个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小. 理由：∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1，学如逆水行舟,不进则退 11 ∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．2．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题源于中国古代的一个寓言故事，讲述的是三位将军跟随他们的军队来到一座河边准备渡河，但只有一条小船，这条小船一次只能搭载两人。
如果将军A和将军B在船上，将军C在岸边，将军C将会受到辱骂，如果将军A和将军C在船上，将军B在岸边，将军B也会受到辱骂，问题是如何让这三位将军都安全地渡河而不受辱骂。
这个问题启发了许多数学家和逻辑学家，有各种不同的解法。
下面将介绍将军饮马问题的16种不同模型。
模型1：最直接的解法最直接的解法是将将军A和将军B一同乘坐小船去对岸，然后将将军A带船返回，将将军C载到对岸。
模型2：穷举法穷举法是一种比较笨拙但可以解决问题的方法，即穷尽所有可能的情况。
这种方法虽然有效，但耗时较长。
模型3：递归法递归法是将问题分解成较小规模的子问题，并逐步解决。
这种方法可以节省时间和精力，但需要较高的逻辑思维能力。
模型4：数学推导法通过数学推导，可以将将军饮马问题转化为数学模型，从而得出解答。
这种方法需要较强的数学功底。
模型5：逻辑推理法逻辑推理法是通过逻辑推理和思维分析，得出解决将军饮马问题的方法。
这种方法强调思维的逻辑性和推理能力。
模型6：图论模型图论是数学的一个分支，可以用来描述将军饮马问题中的交叉关系和路径规划。
通过构建相应的图模型，可以更清晰地解决问题。
模型7：概率模型概率模型是通过概率计算和推测，找出解决将军饮马问题的可能性和概率分布。
这种方法适用于对问题进行全面分析和评估。
模型8：动态规划法动态规划法是针对多阶段决策问题的一种解决方法，可以在问题空间中寻找最优解。
这种方法适用于将军饮马问题的场景。
模型9：模拟法模拟法是通过模拟将军饮马问题的场景，以实验测算的方式找出最佳解决方案。
这种方法可以直观地展示问题的复杂性和解决路径。
模型10：启发式算法启发式算法是通过启发性的思考和优化方法，寻找将军饮马问题的最佳解决方案。
这种方法可以在复杂问题中找到较好的解决途径。
初中数学常见模型之将军饮马
将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
初中将军饮马问题题型总结(全)
初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。
因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。
根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。
因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。
且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。
又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。
又因为AM MD，所以ADM75。
初中数学-必考类型-将军饮马
初中数学-必考类型-将军饮马在初中数学中，经常会考到求线段最值、求路线最值、周长最值的问题。
这种题型近几年来更是中考的热门考题。
这种问题涉及到的一个重要几何模型就是将军饮马模型。
将军饮马指的是：一位将军从营地A出发，外出去B地巡视边防。
在B地巡视完边防后，要在天黑之前赶回营地A处。
但是由于战马长途奔袭，体力不及，所以将军要先带着战马去远处的一条小河喝水。
然后才能继续返回营地A处。
（A.B，小河三地不再同一个直线上），现在将军要选一条最近的路线，才能在天黑之前返回营地。
所以将军要带着战马去河边的哪一个位置饮水，才能使所走的路线最短？在数学中，我们也将细细的求线段最值、路线最值、周最值的题型称之为将军饮马题型。
下面是将军饮马题型的实题，通过实题我们来学习以下将军饮马题型的求法，和解题思路。
两定一动模型，是指有两个点是定点，不发生变动，而另外一个点是不确定点，有待我们确定的模型。
这种模型是典型的将军饮马模型。
这种题型相对来说比较简单，学生可以直观的找出答案。
一定两动模型，是指三个点中，只有一个点是固定不变的，另外两个点是在运动的。
由于另外两个点在变动，所以三点之间所成线段的长度和也是发生变化的。
但是在运动过程中，一定会存在一个位置，使三点之间的长度和最短。
而让我们求的就是这个最短值。
折中题型是将军饮马模型的变形。
相对来说有一定难度。
两静两动模型，是将军饮马模型的延伸。
将原来的三个点之间的线段和问题，延伸成了四个点之间的线段求和。
这种题型同样是找出定点的对称点，然后利用两点之间线段最短的理论去求解，找出最短距离。
利用将军饮马模型求解角度最值问题，是将军饮马的一个另一个方向的应用。
一直以来也是考察学生学以致用能力的常考题型。
初二数学将军饮马问题
初二数学将军饮马问题
在古罗马时代，有一位将军带着他的两个士兵从A城出发，前往B城。
但是，中间隔着一条河，他们需要找到一个渡口过河。
问题是：将军和两个士兵分别有不同的渡河时间，他们希望选择一个渡口，使得所有人过河的时间总和最短。
假设将军过河需要 t1 分钟，士兵甲需要 t2 分钟，士兵乙需要 t3 分钟。
根据题目，我们可以建立以下数学模型：
1. 将军从A城到B城的时间为 t1 分钟。
2. 士兵甲从A城到B城的时间为 t2 分钟。
3. 士兵乙从A城到B城的时间为 t3 分钟。
为了使所有人过河的时间总和最短，我们需要找到一个渡口的位置，使得将军和士兵甲、乙过河的时间总和最小。
用数学方程表示，我们需要找到一个渡口位置 x，使得：
t1 + t2 + t3 + x 最小。
其中，x 是渡口到B城的距离。
计算结果为：x = -12 分钟
所以，为了使所有人过河的时间总和最短，他们应该选择一个渡口位置，使得将军和士兵甲、乙过河的时间总和最小。
在这种情况下，所有人过河的时间总和最短为：-9 分钟。
将军饮马的六种模型
将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形P AQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目 Part 1、三角形1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ，∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH =22BC CH -=2263-=33在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=272．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____．解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
中考数学常见几何模型最值模型-将军饮马
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解．m A Bm m A Bm【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC ==∴PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tanAB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12BF BC ==⊥2B B BF '==⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥6B E '，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
中考必会几何模型：将军饮马模型
将军饮马模型讲解【模型1】如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.【作法】如图，连接AB，与直线l的交点即为所求点P.【模型2】如图，定点A，B分布在定直线的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为所求点P.【模型3】如图，点P为角内一点，在射线l1，l2上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.【作法】如图，分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P'和P"，连接P' P"，与两射线的交点即为所求点M，N.【模型4】如图，P，Q为角内的两个定点，在射线l1，l2上分别找点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.【作法】如图，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两射线的交点即为所求点M，N.【模型5】如图，直线m∥n，A，B分别为m上方和n下方的定点(直线AB不与m垂直)，在m，n上分别求点M，N，使得MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小.【作法】如图，将点A向下平移，使AA'=MN，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m于点M，则点M和点N即为所求.【模型6】如图，定点A，B分布在直线l的同侧，长度为a(a为定值）的线段MN在l上移动(点M在点N的左边)，在直线l上求两点M，N(点M在左)，使得MN=a，并使得AM+MN+NB的值最小.【作法】如图，将点A向右平移a个单位长度得到点A'，作点A'关于l的对称点A"，连接A"B，交直线l于点N，将点N向左平移a个单位长度得到点M，则点M和点N即为所求.典型例题典例1如图，∠AOB=30"，OC为∠AOB内部的一条射线，P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上的动点，则△PMN周).长的最小值为( ).A.2B.4C.8D.4√3典例2如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB=8，△ABC的面积为20，求EF+CF的最小值.典例3四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为( ).A.80°B.90°C.100°D.130°初露锋芒1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ).2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，D,E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点.当△PCE 的周长最小时，点P 的位置是( ).A.AD 与BE 的交点处B.AD 的中点处C.A 点处D.D 点处3.如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点，且OP= √3，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( ).A.3√62B. 3√32C.6D.34. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 周长的最小值是________.感受中考1.(2016江苏苏州中考真题)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( ).A.(3，1)B.(3，43) c.(3,53) D.(3,2)2.(2020贵州毕节中考模拟)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，点Q 是对角线AC 上的动点(包括端点A ，C ），则EP+PQ 的最小值是__________.参考答案典例1【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连接P1 P2，与OA的交点为点M，与OB的交点为点N,则PM=P1M,PN=P2N.此时，△PMN的周长最小，为PM+MN+PN=P1M +MN+P2N=P1P2.连接OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=4.又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2=OP1=4.∴△PMN周长的最小值是4.故选B.典例2【答案】5【解析】如图，作E关于BD对称交于点E'，则EF= E'F∴EF+CF= E'F+ CF∴当C E'⊥AB时，EF+CF最小.∵S△ABC= 12×AB×C E'=12×8×C E' =20C E'=5∴EF+CF的最小值为5.典例3【答案】C【解析】如图，延长线段AB到点A'使得BA'=AB，延长线段AD到点A"使得DA"=AD，连接A'A"，与BC.CD分别交于点M，N，此时△AMN的周长最小.∴点A，A'关于直线BC对称，点A，A"关于直线CD对称.∵BA=BA',MB⊥AB. ∴MA=MA'.同理，NA=NA"，∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A', ∠ANM=∠A"+∠NAD=2∠A",∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A").又∵∠BAD=130°, ∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°，∴∠AMN+∠ANM=100°.故选C.初露锋芒1. 【答案】D .【解析】根据两点之间，线段最短，作点P 关于直线L 的对称点P '，连接QP '交直线L 于点M 即可.故选D.2. 【答案】A【解析】∵EC 的长度固定，∴△PCE 的周长大小与PE+PC 的值有关， ∴当PE+PC 的值最小时，△PCE 的周长最小. 连接BE ，交AD 于点P '，如图，此时BP '+P 'E 的值最小，即BP+PE 的值最小. ∵点C 关于直线AD 的对称点为点B. ∴此时PE+PC 的值最小，∴当点P 在BE 与AD 的交点处时，△PCE 的周长最小. 故选A.3. 【答案】D.【解析】如图，分别作点P 关于射线OA. OB 的对称点C ，D ，连接CD 分别交OA ，OB 于点M ，N ，连接OC ，OD ， 则MP=MC ，NP=ND ，OC=OD=OP=√3, ∠BOP=∠BOD.∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MC+MN=DC.∠COD=∠BOP +∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴∠OCD=∠ODC=30°.作OH ⊥CD 于点H ，则CH=DH.∵∠OCH=30°. ∴OH= 12 0C= √32, ∴CH=√3OH= 32，∴CD=2CH=3, 即△PAMN 周长的最小值是3.故选D.4. 【答案】3.【解析】要使△PBG 的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG 最短即可，如图：连接AG 交EF 于M ，因为等边△ABC ，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，所以AG ⊥BC,EF ∥BC,则AG ⊥EF ，AM=MG,A 、G 关于EF 对称，即当P 和E 重合时，此时BP+PG 最小，即△PBG 的周长最小，AP =PG ，BP=BE ，最小值是：PB+ PG+ BG= AE+BE+ BG=AB+BG=2+1=3感受中考1.【答案】B【解析】如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 交AB 于点E ，此时△CDE 的周长最小.∵B(3，4)，四边形OABC 是矩形，∴A(3,0)，C(0,4).∵D 是OA 的中点，∴D( 32，0)，H( 92，0). 设直线CH 的解析式为y=kx + b ，把C(0，4).H( 92，0)代人y= kx + b , 得{4=b 0= 92k + b 解得{k =−89b =4 ∴直线CH 的解析式为y=−89x+4， 当x=3时；y= 43， ∴点E 的坐标为(3，43). 故选B.2. 【答案】3√2【解析】如图，作点B关于BC的对称点E'，作E'Q'⊥AC于点Q'，交BC于点P.∴PE=PE'.∴PQ+PE=PE'+PQ.分析知，当Q与Q'重合时，PE+PQ的值最小(垂线段最短)，∵四边形ABCD是正方形，∴∠E'AQ'=45°.∵AE'=6，∴E'Q'=3√2∴PE+PQ的最小值为3√。
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d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长
度d，得到点Q。
原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情， 已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
证明：连接AB，与直线l 的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取﹦）
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即 PA+PB的和最小
关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P 此时|PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大 即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求， 即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
A
E M
A
E
M
H
B
D
CB
D
C
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动 点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 作法一： 将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l 的对 称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移
长度d，得到点M。
模型4. 垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C 使得AB＋BC最短．
原理：垂线段最短 分析：点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON
交OM于点B，B、C即为所求。
例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差 最小 即PA-PB最小
初中数学常见模型
将军饮马
模型1.两定一动型（两定点到一动点的距离和最小）
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小
作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点， 即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB 原理：两点之间线段最短。
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
模型2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ 连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四 边形ABCD周长最短
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，
连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB 四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
模型3. 两定两动型最值
原理：三角形任意两边之差小于第三边
例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离 之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB， 交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度
原理：三角形任意两边之差小于如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的 一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值
实际问题数学化： 例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一 个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：
将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B， 交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥 CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
原理：两点之间，线段最短