第十五章分式知识点总结及单元测试题
八上数学第十五章知识点总结
八上数学第十五章知识点总结一、分式的概念。
1. 分式的定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(x)/(x + 1)，(1)/(x)等都是分式，而(3)/(5)不是分式，因为分母5是常数，不含有字母。
2. 分式有意义的条件。
- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。
例如对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，该分式有意义。
3. 分式的值为零的条件。
- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。
比如对于分式(x - 1)/(x+1)，当x - 1 = 0（即x = 1）且x+1≠0（x≠ - 1）时，分式的值为0。
二、分式的基本性质。
1. 基本性质。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
例如(2x)/(3y)=(2x×2)/(3y×2)=(4x)/(6y)。
2. 约分。
- 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。
- 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
像(x + 1)/(x^2+1)就是最简分式。
3. 通分。
- 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定最简公分母。
例如对于分式(1)/(x)和(1)/(x + 1)，最简公分母是x(x + 1)，通分后分别为(x+1)/(x(x + 1))和(x)/(x(x + 1))。
三、分式的运算。
1. 分式的乘除。
- 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。
初二数学上册(人教版)第十五章分式15.1知识点总结含同步练习及答案
x+1 2x + 3 ；（2） ． 2x 3x − 5 x+1 解：（1） 要使 有意义，则分母 2x ≠ 0，即 x ≠ 0； 2x 2x + 3 5 （2） 要使 有意义，则分母 3x − 5 ≠ 0，即 x ≠ ． 3x − 5 3 x+2 的值为 0 ？ 2x − 3 x+2 解： = 0 ，即 x + 2 = 0 ， 2x − 3 解得 x = −2 且 2x − 3 ≠ 0 ． 所以当 x = −2 时，该分式值为 0 ．
① 在分式 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即
约分 约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式 或者整式． 通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分（reduction of fractions to a common denominator）． 各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母．
当 x 取何值时，分式
5xy ． 20y 2 5xy 5y ⋅ x x 解： ． = = 2 5y ⋅ 4y 4y 20y
化简
2a c x ， ， ． b ab 2ab 解：最简公母为 2ab ． 2a 4a2 ， = b 2ab c 2c ， = ab 2ab x x ． = 2ab 2ab
通分
四、课后作业
1. 使分式
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2 有意义的 x 的取值范围是 ( x−2 A．x ⩽ 2 B．x ⩽ −2
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型
.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题
新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型练习【知识网络】【思维方式】1。
转变观念转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章中常用的数学方法包括：因式分解、一般除法、除法归约、分母去除等。
运用数学知识解决实际问题时，首先要建立简单的数学模型，通过数学模型解决实际问题，并经历了“实际问题-分数阶方程模型-求解-解释解的合理性”的数学过程，了解分数阶方程的模型思想对培养解决实际问题的数学建模思想具有重要意义。
3.类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一课分数运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分数运算相关的算法3分数的减少和评估（一般分数和减少）4幂算法【主要公式】1.同分母加减法则:bcb?ca?a?a?a?0?2.不同分母的加减法则：ba?dc?bcac?daac?bc?daac?a?0,c?0?;3.分式的乘法与除法:ba?dc?bdac,ba?cbdbdd?a?c?ac4.同基幂的加减算法：实际上，它是将相似的5项同基幂的乘法和除法合并；A.m●an=am+n;am÷an=am－n6.产品和功率的功率：（AB）=ambn，（上午)Nm=amn7.负指数幂：a-p=1apa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型问题类型1：测试分数的定义1【例1】下列代数式中：x?,12x?y,a?bx2?y2x?ya?b,x?y,x?y，是分式的有：.问题类型2：检查分数的有意义条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）x?4x?4（2）3x26?x1x2?2（3）x2?1（4）|x|?3（5）x?1问题类型3：检查分数值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）x?1x|?23x?3（2）|x2?4（3）x2？2倍？x2？5倍？六题型四：考查分式的值为正、负的条件[例4]（1）当x是什么值时，分数48?x为正；（2）当x为何值时，分式5.x3？（x？1）2为负；（3）当x为何值时，分式十、二x?3是一种非负数练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）16|x|?3（2）3?x1(x?1)2?1（3）1.1x2。
八年级数学上册第十五章分式总结(重点)超详细(带答案)
八年级数学上册第十五章分式总结(重点)超详细单选题1、已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程y+3ay−3+4a3−y=2的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．20B．18C．17D．15答案：D分析：根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a，∴8−6＜a＜8＋6．即：2＜a＜14，∵y+3ay−3+4a3−y=2，∴y＝6−a，∵解是非负数，且y≠3，∴6−a≥0，且6−a≠3，∴a≤6且a≠3，∴2＜a≤6且a≠3，∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15．故选：D．小提示：本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．2、下列运算正确的是（）A．2x2+x2=2x4B．x3⋅x3=2x3C．(x5)2=x7D．2x7÷x5=2x2答案：D分析：根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．A.2x2+x2=3x2，故本选项不符合题意；B.x3⋅x3=x6，故本选项不符合题意；C.(x5)2=x10，故本选项不符合题意；D.2x7÷x5=2x2，正确．故选：D．小提示：本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式等知识点，能正确求出每个式子的值是解答此题的关键．3、已知x＝3是分式方程kxx−1−2k−1x=2的解，那么实数k的值为( )A．－1B．0C．1D．2 答案：D解：将x=3代入kxx−1−2k−1x=2，得：3k2−2k−13=2，解得：k=2，故选D．4、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．5、下列运算中，错误的是( )A．ab =acbc(c≠0)B．−a−ba+b=−1C．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD．x−yx+y=y−xy+x答案：D分析：分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据此作答．解：A、分式的分子、分母同时乘以同一个非0的数c，分式的值不变，故A正确；B、分式的分子、分母同时除以同一个非0的式子（a+b），分式的值不变，故B正确；C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，故C正确；D、x−yx+y =−（y−x）y+x，故D错误．故选D．小提示：本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．6、(−b2a)2n（n为正整数）的值是（）A．b2+2na2n B．b4na2nC．−b2n+1a2nD．−b4na2n答案：B分析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．故选：B．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．7、某中学“启明文学社”的全体同学租一辆面包车去某景点游览，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名其他社团的同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“启明文学社”有x人，则所列方程为（）A．180x −180x−2=3B．180x−180x+2=3C ．180x+2−180x =3D ．180x−2−180x =3答案：B分析：利用总的租价除以人数求得每个同学的车费，再根据增加人数前后每人的均摊车费差列方程即可； 解：由题意得：180x −180x+2=3，故选： B ．小提示：本题考查了分式方程的实际应用，找准题中等量关系列方程是解题关键．8、化简1x+1−x +1得（ ） A ．2−x 2x+1B ．−x 2+2x x+1C ．2−x 2D ．−x 2x+1答案：A分析：异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解：1x+1-x +1=1x+1-（x -1）=1x+1-x 2−1x+1=2−x 2x+1故选：A ．小提示：本题考查了分式的加减运算，熟练通分是解题的关键．9、若a 2=b 3=c 4，则2a 2−3bc+c 2a 2−2ab−c 2的值是( )A ．13B ．−13C ．12D ．−12 答案：C∵a 2=b 3=c 4， ∴b =32a ，c =2a ，则原式2a 2−3bc+c 2a 2−2ab−c 2=2a 2−9a 2+4a 2a 2−3a 2−4a 2=−3a 2−6a 2=12. 故选C. 10、解分式方程x 2x−1+21−2x =3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．x+2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1)D ．x+2＝3(2x ﹣1)答案：C分析：最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程．方程两边都乘以(2x ﹣1)，得x ﹣2＝3(2x ﹣1)，故选C ．小提示：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．填空题11、当x________时，分式x+12x−1有意义．答案：≠12． 分析：分母不为零时，分式有意义.当2x ﹣1≠0，即x ≠12时，分式x+12x−1有意义．故答案为≠12．小提示：本题考点：分式有意义.12、计算(12)−2−30=_________． 答案：3分析：分别计算负整数指数幂和零指数幂，再相减即可．解：(12)−2−30=1(12)2−1=4−1=3 ，所以答案是：3．小提示：本题考查实数的混合运算．掌握负整数指数幂和零指数幂的运算法则是解答本题的关键．13、关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2无解，则m的值为_______．答案：1或6或−4分析：方程两边都乘以(x+2)(x−2)，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．解：∵2x−2+mxx2−4=3x+2，∴2x−2+mx(x+2)(x−2)=3x+2，∴2(x+2)+mx=3(x−2)，∴(m−1)x=−10，当m=1时，显然方程无解，又原方程的增根为：x=±2，当x=2时，m−1=−5，∴m=−4，当x=−2时，m−1=5，∴m=6，综上当m=1或m=−4或m=6时，原方程无解．所以答案是：1或6或−4．小提示：本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．14、若x−3n=6，则x6n=__________．答案：136分析：根据负整数指数幂的逆运算解答即可．∵x-3n=6，∴x6n=1x−6n =1(x−3n)2=162=136.故答案是：136.小提示：考查负整数指数幂问题，解题关键是计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义变形．15、若分式2x−3的值为2，则x的值是_______．答案：4分析：根据题意建立分式方程，再解方程即可；解：由题意得：2x−3=2去分母：2=2(x−3)去括号：2=2x−6移项，合并同类项：2x=8系数化为1：x=4经检验，x=4是原方程的解，所以答案是：4；小提示：本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．解答题16、学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？答案：科普类图书平均每本的价格为20元．分析：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书比用9000元购买文学类图书数量少100本，可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据题意得：10000x =9000x−5−100，化简得x2+5x-500=0，解得：x=20或x=-25（舍去），经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意．答：科普类图书平均每本的价格为20元．小提示：本题考查了分式方程的应用以及解一元二次方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17、计算：(1)a 2a−b +b 2b−a(2)x 2x−1−x −1(3)先化简，再求值：a 2−4b 2a 3−4a 2b+4ab 2，其中a =−3，b =1． 答案：(1)a +b(2)1x−1 (3)a+2b a 2−2ab；−115 分析：（1）先变符号，然后分母不变，分子相加，因式分解后约分即可；（2）先通分，然后利用公式法展开，合并即可；（3）先因式分解，再约分，化为最简分式，代入数值，计算即可．（1）解：a 2a−b +b 2b−a =a 2a−b −b 2a−b =a 2−b 2a−b =(a+b )(a−b )a−b =a +b ；（2）解：x 2x−1−x −1=x 2x−1−(x+1)(x−1)x−1=x 2−x 2+1x−1=1x−1；（3）解：a 2−4b 2a 3−4a 2b+4ab 2=(a+2b )(a−2b )a (a−2b )2=a+2b a (a−2b )=a+2ba 2−2ab ， 当a =−3，b =1时，原式=a+2b a 2−2ab =−3+29−2×(−3)×1=−115．小提示：本题考查分式的加减运算，分式化简求值，掌握分式的加减运算法则，分式化简求值方法与步骤，通分，约分，因式分解是解题关键．18、若a ＞0，M =a+1a+2，N =a+2a+3．（1）当a =3时，计算M 与N 的值；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．答案：（1）M ＝45，N ＝56；（2）M ＜N ；证明见解析.分析：（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．（1）当a=3时，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：M﹣N=a+1a+2−a+2a+3=(a+1)(a+3)−（a+2）2(a+2)(a+3)=−1（a+2）（a+3）．∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴−1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；方法二：猜想：M＜N．理由如下：M N =a+1a+2⋅a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4．∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．小提示：本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．。
八年级上册第十五章分式知识点总结及练习
第十五章 分式一、知识概念： 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bccc±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbbdbd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a cac b dbd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad bdb cbc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nn a a-=（0a ≠，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式常考例题精选1.若分式有意义，则a的取值范围是( )=0 =1≠-1 ≠02.把分式方程=转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) +4 (x+4)3.分式方程-=的解为( )4.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )A. =B. =C. =D. =5.若分式有意义，则x的取值范围是.6.若代数式 -1的值为零，则x= ________.7.若关于x的分式方程=-2有非负数解，则a的取值范围是.8.化简：÷.9.先化简，再求值：÷，其中m=-3，n=5.10.某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.先化简，再求值：÷，其中x是不等式3x+7>1的负整数解.12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：请求出篮球和排球的单价各是多少元1．分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( )A ．x>1B ．x ≠1C ．x<1D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( )3．下列分式的运算正确的是( ) ＋2b ＝3a ＋b B ．(a ＋b c )2＝a 2＋b 2c 2＝a ＋b ＝13－a4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( )A ．a －2cB ．a ＋25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>2B ．m ≥2C ．m ≥2且m≠3D ．m>2且m≠37．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )－20x ＝1 －24x ＋2＝1 －20x ＋2＝1 －24x＝18．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a 的值为0，则a ＋b＝ ．9．方程5x ＝7x －2的解是x ＝ ．10．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是 ．11.关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝ ．12．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．13．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.14．先化简(1＋1x－2) ÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；15．小明去离家km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆。
初二数学上册(人教版)第十五章分式15.5知识点总结含同步练习及答案
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四、课后作业
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1. 若关于 x 的方程 A．0
答案： C
2x − a = 1 无解，则 a 的值等于 ( x−1 B．1 C．2
)
D．4
2. 分式方程 A．2
答案： C
1 m 有增根，则增根为 ( = x−2 x+1
B．−1
)
C．2 或 −1 D．无法确定
两边平方，得
− − − + 5x + 20． x + 8 = 4 + 4√− 5− x− + 20
整理，得
− − − = −x − 4 ． √− 5− x− + 20
两边平方，整理得
x2 + 3x − 4 = 0 ．
解得
x1 = −4，x2 = 1．
经检验：当 x = 1 时，原方程不成立，所以 x = 1 是增根，舍去． 所以，原方程的根为x = −4．
)
D．−0.5 或 −1.5
x (x − 3) ，得 (2m + x) x − x (x − 3) = 2 (x − 3)，即 (2m + 1) x = −6, ⋯ ⋯ ① （1）∵ 当 2m + 1 = 0 时，此方程无解，∴ 此时 m = −0.5 ． 2m + x 2 （2）∵ 关于 x 的分式方程 无解，∴ x = 0 或 x − 3 = 0 ，即 x = 0， −1 = x−3 x x = 3，当 x = 0 时，代入 ①，得 (2m + 1) × 0 = −6 ，解得此方程无解；当 x = 3 时，代入 ①，得 (2m + 1) × 3 = −6 ，解得 m = −1.5 ． ∴ m 的值是 −0.5 或 −1.5 ．
初二数学上册(人教版)第十五章分式15.2知识点总结含同步练习及答案
四、课后作业
1. 计算
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x2 − 4 ，结果是 ( x−2
)
B．x + 2 C．
A．x − 2
答案： B 解析：
x−4 2
D．
x+2 x
(x + 2) (x − 2) x2 − 4 = = x+2 x−2 x−2 1 1 的值为 ( = 3 ，则 a2 + a a2 B．7 )
解析：
1 3 (x − 2y)2 = 0．
B．−
1 3y
x−y = ( x+y 1 C． 3
)
D．
1 3y
答案： C
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② (
负整数次幂 an 的意义亦可视为 an = 1 ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ，起始值为 1 （乘法的单位元）乘上 n 个 a ，这 样就很容易得到： 指数是负整数时就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即
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n个
a−n =
1 1 1 1 1 1 = 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ = n = ( )n （ a ≠ 0，n 为正整数），例如： a a a⋅a⋅⋯⋅a a a a
n个 n个
（
为正整数），例如：
a−1
1 1 ． = （a ≠ 0）；2 −3 = a 8
n个
n个
例题： 计算：
3b 2 a 2x3 z 4xz 2 a + 2b b 2a ；（2） ；（3） ． ⋅ ÷ + − 2 2 6b y b−a a−b b−a 4a −3y 3b 2 a b 解：（1） ； ⋅ = 2 6b 8a 4a −3y 2 3x2 y 2x3 z 4xz 2 2x 3 z （2） ； ÷ = ×( )=− y y 2z −3y 2 4xz 2 a + 2b b 2a b−a （3） + − = = 1． b−a a−b b−a b−a
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．缩小到原来的13C ．保持不变D ．无法确定2．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253xx x-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余 D ．不是对顶角的两个角不相等3．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x -= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 5．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d ab d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b ca c d ab d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．46．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =7．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．759．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －110．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ） A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 11．下列式子的变形正确的是（ ）A ．22b b a a=B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x --=D ．22m nn m-=- 12．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22xy +13．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<14．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．a B ．2aC ．2b aD ．21a 15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 17．席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为_________．18．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．19．若关于x 的方程1322m x x x-+=--的解是正数，则m =____________． 20．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 21．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．22．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m mm a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）23．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．24．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件．三、解答题27．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？28．某快餐店欲购进A ，B 两种型号的餐盘，每个A 种型号的餐盘比每个B 种型号的餐盘费用多5元，且用120元购进的A 种型号的餐盘与用90元购进的B 种型号的餐盘的数量相同．（1）问A ，B 两种型号的餐盘单价为多少元？（2）若该快餐店决定在成本不超过1900元的前提下购进A ，B 两种型号的餐盘100个，则最多购进A 种型号餐盘多少个？29．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？ 30．计算 （1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．。
山东菏泽市八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含解析)
一、选择题1．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．3x =±D ．以上均不对B解析：B【分析】根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．【详解】由题意得：290,30x x -=-≠，解得x=-3，故选：B ．【点睛】此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 2．若关于x 的一元一次不等式组()()1112232321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．3A解析：A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】 关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩， ∵325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩恰有3个整数解， ∴2015a +<≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--，整理得：6y a =， ∵3133y ay y y ++=--有正整数解且63a≠，∴满足条件的整数a 的值为：1，3∴所有满足条件的整数a 的值之和是4，故选A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．3．已知2,1x y xy +==，则y x x y +的值是（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2D 解析：D【分析】 将y x x y+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案． 【详解】 解：2222()2221=21y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．4．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书（ ）A ．20本B ．25本C ．30本D ．35本A 解析：A【分析】设张明平均每分钟清点图书的数量为x ，则李强平均每分钟清点图书的数量为x ＋10，由张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．【详解】设张明平均每分钟清点图书x 本，则李强平均每分钟清点(10)x +本， 依题意，得：20030010x x =+，解得：20x ， 经检验，20x是原方程的解， 所以张明平均每分钟清点图书20本．故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用．找到题中的等量关系，列出分式方程，注意分式方程一定要验根．5．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ）A ．1524x x 3=+B ．1524x x 3=-C ．1524x 3x =+D ．1524x 3x =- D 解析：D【分析】由设硬面笔记本每本售价为x 元，可得软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据小红和小丽买到相同数量的笔记本列得方程．【详解】解：设硬面笔记本每本售价为x 元，则软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据题意可列出的方程为：1524x 3x =-． 故选：D ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程是解题的关键．6．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④C 解析：C【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案．【详解】解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()a a 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭=()()aa 1a 1a a 1÷+-+ =()()a a 11a 1a a+⋅+-=11a -；∵a为负整数，且a1≠-，∴1a-是大于1的正整数，则111a2 <<-．故选C．【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．7．将0.50.0110.20.03x x+-=的分母化为整数，得（）A．0.50.01123x x+-=B．5051003xx+-=C．0.50.01100203x x+-=D．50513xx+-= D解析：D【分析】根据分式的基本性质求解．【详解】解：将0.50.0110.20.03x x+-=的分母化为整数，可得50513xx+-=．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．8．下列式子的变形正确的是（）A．22b ba a=B．22+++a ba ba b=C．2422x y x yx x--=D．22m nnm-=- C解析：C【分析】根据分式的性质逐一判断即可．【详解】解：A.22b ba a=不一定正确；B.22+++a ba ba b=不正确；C. 2422x y x yx x--=分子分母同时除以2，变形正确；D. 22m n n m-=-不正确； 故选：C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．9．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．±1A 解析：A【分析】根据分式值为零的条件列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．【详解】由题意得：|x|−1＝0，x 2−3x+2≠0，解得，x ＝-1，故选：A ．【点睛】本题考查的是分式为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．10．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<<B ．b a c d <<<C ．b a d c <<<D ．a b d c <<< D解析：D【分析】 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】 解：21000.39a -=-=-，2193b -==--，2913c -⎛⎫=- ⎪⎭=⎝，0113d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵10011999-<-<<， ∴a b d c <<<， 故选D ．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．二、填空题11．计算：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝_____．2a4b5【分析】直接利用积的乘方运算法则化简再利用整式的除法运算法则计算得出答案【详解】解：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝4a ﹣4b2÷2a ﹣8b ﹣3＝2a-4-(-8)b2-(-3)=2a解析：2a 4b 5．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝4a ﹣4b 2÷2a ﹣8b ﹣3＝2a -4-(-8)b 2-(-3)，=2a 4b 5．故答案为：2a 4b 5．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练应用法则是解题关键．12．规定一种新的运算“ JX x A B →+∞”，其中A 和B 是关于x 的多项式，当A 的次数小于B 的次数时． 0JX x A B →+∞=；当A 的次数等于B 的次数时， JX x A B→+∞的值为A 、B 的最高次项的系数的商，当A 的次数大于B 的次数时， JX x A B →+∞不存在，例如： 201JX x x →+∞=-，2 2212312JX x x x x →+∞+=+-，若223410211A x x B x x -⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭，则 JX x A B →+∞的值为__________．【分析】根据已知条件化简分式即可求出答案【详解】解：∵的次数等于的次数故答案为：【点睛】本题考查了分式的混合运算熟练分解因式是解题的关键 解析：12【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案．【详解】 解：223410(2)11A x xB x x -=-÷-- ()()()225223111x x x x x x ---⎛⎫=÷ ⎪-+-⎝⎭ ()()()1125112252x x x x x x x x +--+⎛⎫=⨯= ⎪--⎝⎭ 12x x+=， ∵A 的次数等于B 的次数， ∴12x A JXB →+∞=， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．13．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +-+==+---，212(1)332111a a a a a -+-==-+++．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1a a =+_________； （2）①将321a a +-变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=-_________；②若321a a +-为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________．2或6【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；（2）①根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；②令可先求出a 与x 是整数时的对应值再从所得结果中找出符合条 解析：111a -+ 531a +- 2或6 【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a a +变形为满足要求的形式； （2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把321a a +-变形为满足要求的形式；②令325311a x a a +==+--，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件的a ，x 的值，即可得出结论．【详解】 解：（1）1111111a a a a a +-==-+++； 故答案为：111a -+； （2）①323(1)553111a a a a a +-+==+---； 故答案为：531a +-； ②∵323(1)553111a a a a a +-+==+--- 令531x a =+-， 当x ， a 都为整数时，11a -=±或15a -=±，解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4，当a ＝2时，x ＝8；当a ＝0时，x ＝-2；当a ＝6时，x ＝4；当a ＝-4时，x ＝2；∵x ， a 都为正整数，∴符合条件的a 的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．14．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y =+_____．1【分析】先进行分式计算再解方程组代入即可求解【详解】解：原式==xy+2x+2y 解方程组得：当x=3y=﹣1时原式=﹣3+6﹣2=1故答案为：1【点睛】此题考查了分式的化简求值熟练进行分式化简解出解析：1【分析】先进行分式计算，再解方程组，代入即可求解．【详解】解：原式=()22xy x y x y x y++⋅++=xy +2x +2y ， 解方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩得：31x y =⎧⎨=-⎩， 当x =3，y =﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练进行分式化简，解出二元一次方程组是解本题的关键． 15．符号“a bc d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a bc d ＝ad ﹣bc ，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值．若2111111xx =--，那么x ＝__．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的解析：4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．【详解】解：∵211111xx --=1， ∴21111x x-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，即x ＝4是分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．16．H 7N 9病毒直径为30纳米（1纳米＝10－9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小为________米．【分析】根据题意列得这个病毒直径为计算并用科学记数法表示即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查实数的乘法计算科学记数法正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键解析：8310-⨯【分析】根据题意列得这个病毒直径为93010-⨯，计算并用科学记数法表示即可．【详解】983010310--⨯=⨯，故答案为：8310-⨯ ．【点睛】此题考查实数的乘法计算，科学记数法，正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键．17．化简：（﹣2y x）3÷（223⋅y x x y ）＝_______________．﹣【分析】按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】解：原式＝﹣÷＝﹣•＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查分式的混合运算按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键解析：﹣25y x【分析】按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】 解：原式＝﹣36y x ÷y x＝﹣36y x •x y＝﹣25y x， 故答案为：﹣25y x． 【点睛】本题考查分式的混合运算，按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键． 18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．【分析】根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】当＜时＞2方程变形得：＝−2去分母得：1＝解得：（不符合题意舍去）；当＞即＜2方程变形得：＝−2去分母得：3＝解得：经检验是分式方程的解综 解析：4x =-【分析】根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可．【详解】 当12x -＜32x -时，x ＞2，方程变形得：12x -＝52x x --−2， 去分母得：1＝()522x x ---，解得：=2x -（不符合题意，舍去）； 当12x -＞32x -，即x ＜2，方程变形得：32x -＝52x x --−2， 去分母得：3＝()522x x ---，解得：4x =-，经检验4x =-是分式方程的解，综上，所求方程的解为4x =-．故填：4x =-．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．19．计算：201(1)2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭_____．【分析】先利用零次幂绝对值负整数次幂化简然后再计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了零次幂绝对值负整数次幂以及实数的运算灵活应用相关知识点成为解答本题的关键解析：1--【分析】先利用零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可．【详解】解：201(1)|2|2π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭124=+1=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂以及实数的运算，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．20．计算：()222333a b a b --⋅=_______________．【分析】根据单项式乘单项式计算法则以及幂的乘方与积的乘方负整数指数幂计算即可【详解】原式=故答案为：【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方负整数指数幂属于基础计算题 解析：3a b【分析】根据单项式乘单项式计算法则以及幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，计算即可．【详解】原式=44334343113333a a b a b a b a b b ----+-===故答案为：3a b ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，属于基础计算题．三、解答题21．先化简，再求值：214111x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中5x = 解析：12x -；13【分析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值即可【详解】 解：214111x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭ 2111114x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++-⎝⎭ ()()21122x x x x x ++=⋅++- 12x =- 把5x =代入上式，得：1112523x ==-- 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序正确计算是解题关键．22．为做好新冠肺炎疫情防控，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费3200元，购买消毒液花费3000元，购买的洗手液瓶数是消毒液瓶数的2倍，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格高7元．（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？（2）入冬以后，常见呼吸道传染病进入高发期，加剧了疫情防控的复杂性，学校决定第二次购入一批洗手液与消毒液，洗手液和消毒液的瓶数分别都比第一次的购入量多100瓶．适逢经销商进行价格调整，每瓶洗手液的价格比第一次的价格降低5%4a ，每瓶消毒液的价格比第一次的价格降低%a ，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液 与消毒液的总费用多400元，求a 的值．解析：（1）一瓶洗手液的价格为8元，一瓶消毒液的价格为15元；（2）20a =．【分析】（1）设一瓶洗手液的价格为x 元，则一瓶消毒液的价格为（x +7）元．根据题意可列出关于x 的分式方程，求出x 即可．（2）先求出第二次购入洗手液和消毒液各多少瓶，再结合题意列出关于a 的一元一次方程，解出a 即可．【详解】（1）设一瓶洗手液的价格为x 元，则一瓶消毒液的价格为（x +7）元． 根据题意可列方程：3200300027x x =⨯+， 解得：8x =，经检验8x =是原方程得解．故一瓶洗手液的价格为8元，一瓶消毒液的价格为8+7=15元．（2）第二次购入洗手液32001005008+=瓶，购入消毒液300010030015+=瓶． 根据题意可列等式：55008(1%)30015(1%)320030004004a a ⨯⨯-+⨯⨯-=++． 解得：20a =．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用．根据题意找准等量关系，列出相应方程是解答本题的关键．23．先化简，再求值：2246221121x x x x x x ++⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，其中x 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数． 解析：22(1)x x -+；3x =-；4 【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可．【详解】 原式2462(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦ 224(1)(1)(1)(2)x x x x x +-=⋅+-+ ()211x x -=+221x x -=+ 当3x =-时，原式2(3)2431⨯--==-+． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．24．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】（1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．25．随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．（1）使用智能分拣设备后，每人每小时可分拣快件多少件？（2）已知某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，每天工作时间为8小时，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作？解析：（1）使用智能分拣设备后每人每小时可分拣快件2100件；（2）每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作【分析】（1）设用传统方式每人每小时可分拣x 件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，利用时间差为4小时列方程80008000452520x x=-⨯，再解方程，检验即可得到答案； （2）利用每天工作总量（10万件）除以工作效率（每人每天分拣82584⨯⨯件），结果取符合题意的正整数即可得到答案．【详解】（1）解：设用传统方式每人每小时可分拣x 件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x 件， 由题意，得80008000452520x x=-⨯． 解得84x =．经检验，84x =是原方程的解，∴252100x =，∴使用智能分拣设备后每人每小时可分拣快件2100件；（2）∵1000002058425821=⨯⨯， ∵2055621<<， ∴每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握工作量等于工作时间乘以工作效率是解题的关键． 26．（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数2342n n -=-+________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数0.20.50.3x y x y-=-_______． （3）若分式231x x +-的值是整数，求整数x 的值． （4）已知12x x +=，求2421x x x ++的值． 解析：（1）2324n n --；（2）10253x y x y --；（3）0，2，6，-4；（4）13 【分析】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以-1即可；（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可；（3）将分式变形得521x +-，要使结果是整数，x-1=±1，或x-1=±5，进而求出x 的整数值即可；（4）倒数法，先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以-1得，2342n n -=-+2324n n --； （2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，0.20.50.3x y x y -=-10253x y x y--； （3）231x x +-=2251x x -+-=22511x x x -+--=521x +-， 要使分式的值为整数，∴x-1=±1，或x-1=±5，解得，x 1=0，x 2=2，x 3=6，x 4=-4，答：整数x 的值为0，2，6，-4． （4）∵12x x +=， ∴221422x x+=-=， ∵422221113x x x x x ++=++=， ∴242113x x x =++． 【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提．27．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭． 解析：（1）5；（2）-42；（3）222xy x y +；（4）67x ．【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）根据负指数整数幂、零指数幂、绝对值的意义及乘方，计算即可；（3）去括号，然后合并同类项即可；（4）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可．解：（1）2152224-⨯+÷ =115522-+=； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭=271161-⨯-+=2716142--+=-；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦ =22223242xy x y x y xy +--=222xy x y +；（4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭ =6633192727x x x x -+-⋅=67x ．【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则． 28．先化简，再求值：2222631121x x x x x x x ++-÷+--+，其中2x =-． 解析：21x +，-2 【分析】 先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的减法即可．【详解】 解：2222631121x x x x x x x ++-÷+--+ 222(3)(1)1(1)(1)3x x x x x x x +-=-⋅++-+ 22(1)11x x x x -=-++ 21x =+， 当2x =-时，原式222211===--+-．本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．。
八年级数学上册第十五章分式知识汇总大全(带答案)
八年级数学上册第十五章分式知识汇总大全单选题1、化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ） A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1答案：A分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．原式=（a ﹣1）÷1−a a •a =（a ﹣1）•a −(a−1)•a =﹣a 2，故选A ．小提示：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．2、下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．x+12+y 3=3（x +1）+2yB ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =2a−3b 4c+5d C ．a−b d−c =b−a c−d D ．2a−2b c+d =a−b c+d答案：C 分析：根据分式的性质逐项分析即可．A 选项分子分母同时乘以6，B 选项分子分母同时乘以100，C 选项分子分母同时乘以-1，D 选项分子因式分解．A ．x+12+y 3=3(x+1)+2y 6， 故该选项不正确，不符合题意； B ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =20a−3b 40c+5d ， 故该选项不正确，不符合题意； C ．a−b d−c =b−a c−d ，故该选项正确，符合题意；D ．2a−2b c+d =2(a−b )c+d，故该选项不正确，不符合题意； 故选C小提示：本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．3、某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．180−xx =180−x1.5x+1B．180−xx=180−x1.5x−1C．180x =1801.5x+2D．180x=1801.5x−2答案：A分析：根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．由题知：180−xx =180−x1.5x+1故选：A．小提示：本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．4、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.5、若分式1x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠－5B．x≠0C．x≠5D．x＞－5答案：A分析：根据分式有意义的条件列不等式求解．解：根据分式有意义的条件，可得：x+5≠0，∴x ≠−5，故选：A ．小提示：本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．6、对分式y 2x ，x 3y 2，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ．24x 2y 2B ．12x 2y 2C ．24xy 2D ．12xy 2答案：D分析：利用分式通分即可求出答案．最简公分母为：12xy 2．故选D ．小提示：本题考查了分式的通分，属于基础题型．7、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3 答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．8、若a ＝﹣0.32，b ＝(﹣3)﹣2，c ＝(﹣13)﹣2，d ＝(﹣13)0，则( ) A ．a ＜b ＜c ＜dB ．a ＜b ＜d ＜cC ．a ＜d ＜c ＜bD ．c ＜a ＜d ＜b答案：B∵a ＝－0.32=-0.09，b ＝(－3)－2=19，c ＝(−13)−2=9，d ＝(−13)0=1，∴a＜b＜d＜c.故选B.9、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A．v1+v22千米B．v1v2v1+v2千米C．2v1v2v1+v2千米D．无法确定答案：C平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2．依题意得：2÷（1v1+1v2）=2÷ v1+v2v1v2= 2v1v2v1+v2千米．故选C．小提示：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．10、方程12x =2x+3的解为（）A．x=﹣1B．x=0C．x=35D．x=1答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．填空题11、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x<m+1得：x<m+13，∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m≤2；y y−1=4−m 2y−2去分母得2y=4−m，解得y=4−m2，∵m≤2，∴4−m≥2∴y=4−m2≥1，又∵y−1≠0，∴y>1，∴y的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．12、记a※b=(a+b)2−(a−b)2，设A为代数式，若A※14x2−16y2=x−2yx+2y，则A=_____．答案：(x−2y)2分析：先利用完全平方公式化简a※b=(a+b)2−(a−b)2=4ab，由此可得4A⋅14x2−16y2=x−2yx+2y，进而得到A=x−2yx+2y ÷44x2−16y2，化简右边分式即可解答．∵(a+b)2−(a−b)2=(a+b+a−b)(a+b−a+b)=4ab∴a※b=(a+b)2−(a−b)2=4ab，∵A※14x2−16y2=x−2yx+2y，∴4A⋅14x2−16y2=x−2yx+2y∴A=x−2yx+2y÷44x2−16y2=x−2yx+2y⋅4(x+2y)(x−2y)4=(x−2y)2，所以答案是：(x−2y)2．小提示：本题主要考查分式的除法、完全平方公式、因式分解和分式的性质，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．13、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．答案：14##0.25分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=14．所以答案是：14．小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．14、（1）(5x23y )2=________；（2）(2a3bc2)3=________；（3）(3a2b−2c3)3=________；（4）(−3x22y2z)5=________．答案：25x49y28a9b3c6−27a6b38c9−243x1032y10z5分析：根据分式乘方的运算法则计算即可；解：（1）(5x23y )2=25x49y2，（2）(2a3bc2)3=8a9b3c6（3）(3a2b−2c3)3=−27a6b38c9，（4）(−3x22y2z )5=−243x1032y10z5，所以答案是：25x 49y 2，8a 9b 3c 6，−27a 6b 38c 9 −243x 1032y 10z 5小提示：本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键15、某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款的总额为6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等，则第一次捐款的总人数为________人．答案：300分析：先设第一次的捐款人数是x 人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x 的值，再进行检验即可求出答案．解：设第一次的捐款人数是x 人，根据题意得：6600x =7260x+30， 解得：x ＝300，经检验x ＝300是原方程的解，故答案为300．小提示：此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．解答题16、计算：(13)−1+(√23−1)0−√4． 答案：2．分析：根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．(13)−1+(√23−1)0−√4 =3+1−2=2．小提示：本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．17、先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x 2−1x+2，其中x =2．答案：x −1，1分析：根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，然后根据分式的性质计算，最后将字母的值代入求解．解：原式=x+2x+1⋅(x+1)(x−1)x+2=x−1．当x＝2时，原式=2−1=1．小提示：本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．18、观察以下等式：第1个等式：13×(1+21)=2−11第2个等式：34×(1+22)=2−12第3个等式：55×(1+23)=2−13第4个等式：76×(1+24)=2−14第5个等式：97×(1+25)=2−15······按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第6个等式____________；(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．答案：（1）118×(1+26)=2−16；（2）2n−1n+2×(1+2n)=2−1n，证明见解析．分析：（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．（1）由前五个式子可推出第6个等式为：118×(1+26)=2−16；（2）2n−1n+2×(1+2n)=2−1n，证明：∵左边=2n−1n+2×(1+2n)=2n−1n+2×n+2n=2n−1n=2−1n=右边，∴等式成立．小提示：本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．。
八年级数学上册第十五章分式重点知识归纳(带答案)
八年级数学上册第十五章分式重点知识归纳单选题1、下列分式x2−2x2y−xy ，x+1x2+1，−2a2−2a，12xy9z3中，最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．解：x2−2x2y−xy =x(x−2)y(2−x)=−xy，故原式不是最简分式；x+1x2+1是最简分式，−2a2−2a是最简分式，12xy 9z3=4xy3z3，故原式不是最简分式，最简分式有2个故选：B小提示：本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．2、计算(x−2)x=1，则x的值是()A．3B．1C．0D．3或0答案：D分析：根据实数的性质分类讨论即可求解．当x=0，x-2≠0时，(x−2)x=1，即x=0;当x-2=1时，(x−2)x=1，即x=3，故选D．小提示：此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．3、已知8a3b m÷28a n b2=27b2，则m、n的值为（）A．m=4,n=3B．m=4,n=1C．m=1,n=3D．m=2,n=3答案：A分析：先运用单项式除法法则运算，然后令a的次数为0，b的次数为2解答即可．解：8a3b m÷28a n b2=27b28a3b m÷28a n b2=27a3−n b m−2令3-n=0，m-2=2，解得n=3，m=4．故答案为A．小提示：本题考查了单项式除法，灵活运用单项式除法法则是解答本题的关键．4、若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3答案：D分析：分式有意义的条件是分母不为0．∵代数式x+1x−3有意义，∴x−3≠0，∴x≠3故选D．小提示：本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．5、化简a−1a ÷a−1a2的结果是（）A．1a B．a C．a−1D．1a−1答案：B分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：a−1a ÷a−1a2=a−1a×a2a−1=a．故选：B小提示：本题考查的是分式的除法运算，解题的关键是掌握进行分式除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．6、化简a 2+2ab+b 2a 2−b 2−b a−b 的结果是（ ） A ．a a−b B ．b a−b C ．a a +b D ．ba +b答案：A分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解:原式=（a+b)2(a+b)(a−b)-b a−b =a+b a−b -b a−b =a+b -b a−b=a a−b ．故选：A ．小提示：本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键．7、已知分式P =a−5a−3+2a+6a 2−9，Q =1a ，当a >1时，P 与Q 的大小关系是（ ） A ．P >Q B ．P =Q C ．P <Q D ．无法确定答案：A分析：根据分式的加减法法则化简P −Q ，再根据a >1判断P −Q 的正负即可得．解：因为P =a−5a−3+2a+6a 2−9，Q =1a ，所以P −Q =a−5a−3+2a+6a 2−9−1a =a −5a −3+2(a +3)(a +3)(a −3)−1a=a −5a −3+2a −3−1a=1−1a=a−1a ，因为a >1，所以a−1a >0，所以P −Q >0，即P >Q ，故选：A ．小提示：本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．8、计算(−a)2×ba 2 的结果为A ．bB ．−bC ．abD ．b a 答案：A分析：先计算（-a ）2，然后再进行约分即可得.(−a)2×b a 2 =a 2×b a 2 =b ，故选A.小提示：本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键.9、当x =1时，下列分式没有意义的是（ ）A ．x+1xB ．x x−1C ．x−1xD ．x x+1 答案：B分析：由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.x x−1,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.小提示：本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.10、某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ）A ．400x−50=300x B ．300x−50=400x C ．400x+50=300x D ．300x+50=400x答案：B分析：设实际平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．解：设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据题意，可列方程：300x−50=400x ， 故选：B ．小提示：此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．填空题11、某公司用汽车将货物发往甲地，用火车将货物发往乙地．第一次发货时，发往甲、乙两地货物的吨数之比为1:2，且每吨运费之比为4:3．第二次发货时，由于受汽油价格上涨的影响，汽车每吨运费上调了20%（火车每吨运费不变），因此发往甲地货物吨数只有第一次发往甲地货物的59，且第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总运费之比为2:3．则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是______．答案：715分析：设出第一次和第二次发往甲乙两地的吨数与每吨的运费，建立等式后进行化简并求解即可．解：设第一次发往甲、乙两地货物的吨数分别为x ，2x ，且每吨运费分别为4y 元，3y 元，第二次发往乙地m 吨．由题可得：(1+20％)×4y×59x 3ym =23， ∴m =43x ，∴(x +59x):(2x +m )=149x:103x =715， 所以答案是：715．小提示：本题考查了分式的应用，解题关键是设出未知数，找到相等关系列出相应代数式并进行转化．12、化简；x 2−4x+4x 2+2x ÷（4x+2﹣1）=______． 答案：-x−2x分析：直接利用分式的混合运算法则即可得出.原式=(x 2−4x+4x 2+2x )÷(4−x−2x+2)，=(x−2)2x(x+2)÷(2−xx+2)，=(x−2)2x(x+2)⋅(−x+2x−2)，=−x−2x.故答案为−x−2x.小提示：此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.13、分式3−x2−x 的值比分式1x−2的值大3，则x为______．答案：1分析：先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可．根据题意得：3−x2−x -1x−2=3，方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），解得：x=1，检验：把x=1代入x-2≠0，所以x=1是所列方程的解，所以当x=1时，3−x2−x 的值比分式1x−2的值大3．小提示：本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键．14、若√a−2+|b+1|=0，则(a+b)2020=_________．答案：1分析：根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．∵√a−2+|b+1|=0∴a=2，b=−1，∴(a+b)2020=12020=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．15、若方程axa+1−1=21−x的解与方程6x=3的解相同，则a=________．答案：−13分析：求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值．解：方程6x=3去分母得：3x＝6，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解，根据题意将x＝2代入第一个方程得：2aa+1−1=21−2解得：a=−13，经检验a=−13是原分式方程的解，则a=−13．所以答案是：−13．小提示：此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．解答题16、下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x2−9x2+6x+9−2x+1 2x+6=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)第一步=x−3x+3−2x+12(x+3)第二步=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)第三步=2x−6−(2x+1)2(x+3)第四步=2x−6−2x+12(x+3)第五步=−52x+6第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．答案：任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：−72x+6；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．分析：任务一：①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；任务二：根据分式的混合运算法则解答；任务三：可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．解：任务一：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；所以答案是：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；所以答案是：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：原式=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)=x−3x+3−2x+12(x+3)=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)=2x−6−(2x+1)2(x+3)=2x−6−2x−12(x+3)=−72x+6．任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．小提示：本题考查了分式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则、明确每一步计算的根据是解题的关键．17、中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？答案：（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒分析：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；（2）设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进(100−m)盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．根据题意，得4000 x +10=84001.4x．解得x=200．经检验：x=200是原方程的根．∴1.4x=1.4×200=280（元）．∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进(100−m)盒．打折前A种茶叶的利润为m2×100=50m．B种茶叶的利润为100−m2×120=6000−60m．打折后A种茶叶的利润为m2×10=5m．B种茶叶的利润为0．由题意得：50m+6000−60m+5m=5800．解方程，得：m=40．∴100−m=100−40=60（盒）．∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．小提示：本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．18、解分式方程：x−2x −3x−2=1．答案：x=45分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．方程x−2x −3x−2=1，x2−4x+4−3x=x2−2x，−5x=−4，x=45，经检验x=45是分式方程的解，∴原分式方程的解为x=45．小提示：本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．。
人教版八年级数学上《第15章分式》单元测试含答案解析
《第15章分式》一、选择题1．下列各式中，分式的个数为（）；A．5个B．4个C．3个D．2个2．下列各式正确的是（）A． =﹣B． =﹣C． =﹣D． =﹣3．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．4．将分式中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（）A．扩大2倍 B．缩小到原来的C．保持不变 D．无法确定5．若分式的值为零，那么x的值为（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=06．下列计算正确的是（）A．2÷2﹣1=﹣1 B．C．（﹣2x﹣2）﹣3=6x6D．7．为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，我省今年1﹣4月公路建设累计投资92.7亿元，该数据用科学记数法可表示为（）A．0.927×1010B．92.7×109C．9.27×1011D．9.27×1098．运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x 元，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．9．某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产x套，列方程式是（）A．B．C．D．10．分式方程的解为（）A．x=1 B．x=﹣3 C．x=3 D．x=﹣1二、填空题11．若分式的值为零，则x=______．当x=______时，分式的值为0．12．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，用科学记数法表示这个数是______m．13．计算： =______．14．，，的最简公分母为______．15．已知3m=4n≠0，则=______．16．若解分式方程产生增根，则m=______．17．当x=______时，分式无意义；当x______时，分式有意义．18．将下列分式约分：（1）=______；（2）=______；（3）=______．19．在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为______千米/时．20．要使分式有意义，则x应满足的条件是______．三、解答题21．计算（1）（2）（3）1﹣（4）．22．解方程（1）（2）（3）（4）．23．“先化简，再求值：，其中，x=﹣3”．小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？24．先化简下列分式，再选一个你认为合适的数字代入并求代数式的值．七、应用题25．甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．26．一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分到达目的地．求前一小时的行驶速度．27．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？28．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．《第15章分式》参考答案与试题解析一、选择题1．下列各式中，分式的个数为（）；A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】分式的定义．【分析】判断分式的依据是分式的定义，主要是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．分式不含等号．【解答】解：，， x+y，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．含有等号，不是分式．，﹣，分母中含有字母，因此是分式．故选C．【点评】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母．注意分式不含等号，也不含不等号．2．下列各式正确的是（）A． =﹣B． =﹣C． =﹣D． =﹣【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母同乘或同除以同一个整式（0除外）分式的值不变，可得答案．【解答】解：A，故A错误；B，故B正确；C ，故C错误；D，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母同乘或同除以同一个整式（0除外）分式的值不变，注意分式的分子分母都乘或都除以同一个整式（0除外），不能遗漏．3．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．【考点】最简分式．【分析】要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．【解答】解：A、=﹣1；B、=；C、分子、分母中不含公因式，不能化简，故为最简分式；D、=．故选：C．【点评】本题考查最简分式，是简单的基础题．4．将分式中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（）A．扩大2倍 B．缩小到原来的C．保持不变 D．无法确定【考点】分式的基本性质．【分析】根据已知得出=，求出后判断即可．【解答】解：将分式中的x、y的值同时扩大2倍为=，即分式的值扩大2倍，故选A．【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．5．若分式的值为零，那么x的值为（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x2﹣1=0，且x+1≠0，解得x=1．故选：B．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．6．下列计算正确的是（）A．2÷2﹣1=﹣1 B．C．（﹣2x﹣2）﹣3=6x6D．【考点】负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项法则结合负整数指数幂的计算公式可得答案．【解答】解：A、2÷2﹣1=4，故此选项错误；B、2x﹣3÷4x﹣4=，故此选项错误；C、（﹣2x﹣2）﹣3=﹣x6，故此选项错误；D、3x﹣2+4x﹣2=，故此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数．7．为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，我省今年1﹣4月公路建设累计投资92.7亿元，该数据用科学记数法可表示为（）A．0.927×1010B．92.7×109C．9.27×1011D．9.27×109【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将92.7亿=9270000000用科学记数法表示为：9.27×109．故选：D．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x 元，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】压轴题．【分析】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解．【解答】解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：﹣=20．故选B．【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产x套，列方程式是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原计划每天生产x套，先求出实际25天完成的套数，再求出实际的工作效率=，最后依据工作时间=工作总量÷工作效率解答．【解答】解：由分析可得列方程式是： =25．故选B．【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题．10．分式方程的解为（）A．x=1 B．x=﹣3 C．x=3 D．x=﹣1【考点】解分式方程．【专题】方程思想．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3）（x﹣1），得x（x﹣1）=（x﹣3）（x+1），x2﹣x=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣3．检验：把x=﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）=24≠0．∴原方程的解为：x=﹣3．故选B．【点评】考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．二、填空题11．若分式的值为零，则x= ﹣3 ．当x= ﹣3 时，分式的值为0．【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得|x|﹣3=0且x﹣3≠0，解得x=﹣3．由题意可得x2﹣9=0且x﹣3≠0，解得x=﹣3．故答案为：﹣3；﹣3．【点评】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．12．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，用科学记数法表示这个数是9.4×10﹣7m．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000094=9.4×10﹣7；故答案为：9.4×10﹣7．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．计算： = ．【考点】分式的乘除法．【专题】计算题．【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=．故答案为：【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．，，的最简公分母为6x2y2．【考点】最简公分母．【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：，，的分母分别是2xy、3x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2．故答案为6x2y2．【点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．15．已知3m=4n≠0，则= ．【考点】分式的化简求值．【分析】首先化简分式，再进一步用n表示m，代入求得数值即可．【解答】解：∵3m=4n≠0，∴，∴原式======．故答案为：．【点评】此题考查分式的化简求值，注意先化简，再代入求值．16．若解分式方程产生增根，则m= ﹣5 ．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，由分式方程无解得到x=﹣4，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：方程去分母得：x﹣1=m，由题意将x=﹣4代入方程得：﹣4﹣1=m，解得：m=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为0时x的值．17．当x= 1 时，分式无意义；当x ≠±3 时，分式有意义．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解；根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1=0，解得x=1；x2﹣9≠0，解得x≠±3．故答案为：1；≠±3．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．18．将下列分式约分：（1）= ；（2）= ；（3）= 1 ．【考点】约分．【分析】根据约分的定义，把分子分母同时约去它们的公因式，即可得出答案．【解答】解：（1）=；（2）=﹣；（3）==1；故答案为：，﹣，1．【点评】此题主要考查了分式的约分，关键是正确的找出分子分母的公因式．19．在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为40 千米/时．【考点】分式方程的应用．【专题】行程问题．【分析】设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时．等量关系：洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等，根据等量关系列式．【解答】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时．根据题意，得，即2（x﹣10）=1.2（x+10），解得x=40．经检验，x=40是原方程的根．所以该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时．故答案为：40．【点评】此题中用到的公式有：路程=速度×时间，顺流速=静水速+水流速，逆流速=静水速﹣水流速．20．要使分式有意义，则x应满足的条件是x≠﹣1，x≠2 ．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，（x+1）（x﹣2）≠0，解得x≠﹣1，x≠2．故答案为：x≠﹣1，x≠2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．三、解答题21．计算（1）（2）（3）1﹣（4）．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（3）原式第二项利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（4）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=÷=•=；（3）原式=1﹣•=1﹣==﹣；（4）原式=﹣÷=﹣•=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．解方程（1）（2）（3）（4）．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：1+2x﹣6=x﹣4，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解；（2）去分母得：4+（x+3）（x+2）=（x﹣1）（x﹣2），去括号得：4+x2+5x+6=x2﹣3x+2，移项合并得：8x=﹣8，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解；（3）去分母得：x（x+2）+2=x2﹣4，去括号得：x2+2x+2=x2﹣4，移项合并得：2x=﹣6，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解；（4）去分母得：7（x﹣1）+x+1=6x，去括号得：7x﹣7+x+1=6x，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．“先化简，再求值：，其中，x=﹣3”．小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=﹣3与x=3代入进行计算即可．【解答】解：原式=（+）•（x+2）（x﹣2）=•（x+2）（x﹣2）=x2+4，∵（﹣3）2+4=32+4=9+4，∴她的计算结果也是正确的．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．24．先化简下列分式，再选一个你认为合适的数字代入并求代数式的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[﹣]•=•=•=，当x=1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．七、应用题25．甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】本题中有两个相等关系：“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”；根据等量关系可列方程．【解答】解：设A的速度为xkm/时，则B的速度为3xkm/时．根据题意得方程：．解得：x=10．经检验：x=10是原方程的根．∴3x=30．答：A，B两人的速度分别为10km/时、30km/时．【点评】利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．26．一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分到达目的地．求前一小时的行驶速度．【考点】分式方程的应用．【分析】用到的关系式为：路程=速度×时间．由题意可知：加速后用的时间+40分钟+1小时=原计划用的时间．注意加速后行驶的路程为180千米﹣前一小时按原计划行驶的路程．【解答】解：设前一个小时的平均行驶速度为x千米/时．依题意得：1++=，3x+2（180﹣x）+2x=3×180，3x+360﹣2x+2x=540，3x=180，x=60．经检验：x=60是分式方程的解．答：前一个小时的平均行驶速度为60千米/时．【点评】本题考查了列分式方程解应用题，与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．27．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【考点】分式方程的应用．【专题】工程问题；压轴题．【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程．【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得﹣=10，解得：x=40．经检验：x=40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x=60．答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根．28．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【考点】分式方程的应用．【专题】方案型．【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【解答】解：设规定日期为x天．由题意得++=1，．3（x+6）+x2=x（x+6），3x=18，解之得：x=6．经检验：x=6是原方程的根．方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．∵7.2＞6.6，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．。
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点一、分式的定义与意义1. 分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
整式是分母中没有字母的代数式，而分式是分母中含有字母的代数式。
2. 分式有意义的条件：分母不能为0，即B≠0时，分式A/B才有意义。
3. 分式无意义的条件：分母为0，即B=0时，分式A/B无意义。
二、分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母同乘 （或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：若C≠0，则A/B = A×C / B×C。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母是取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。
三、分式的运算1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
即：(a/b) ×(c/d) = ac/bd。
2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即：(a/b) ÷(c/d) = (a/b) ×(d/c) = ad/bc。
3. 乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即：(a/b)^n = a^n/b^n （其中n为正整数）。
4. 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：(a/c) ±(b/c) = (a±b)/c。
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
四、分式方程的解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解法步骤：1. 去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母，得到整式方程。
2. 解整式方程：解这个整式方程，得到整式方程的解。
人教版八年级数学上册第十五章分式全章知识点总结及经典例题复习
分式全章知识点总结及经典例题复习知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ）②分式无意义：分母为0（0B）③分式值为0：分子为0且分母不为0（0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（00B A 或00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（0BA 或00BA ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）经典例题1、代数式14x是（）A.单项式B.多项式C.分式D.整式2、在2x，1()3x y ，3，5ax，24x y中，分式的个数为（）A.1B.2C.3D.43、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9元的甲种糖果的质量为千克.4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（）A.1a aB.21a aC.211a aD.211a a5、当1x 时，分式①11x x ，②122x x，③211x x，④311x中，有意义的是（）A.①③④ B.③④ C.②④D.④6、当1a 时，分式211a a（）A.等于0B.等于 1C.等于－1D.无意义7、使分式8483x x 的值为0，则x 等于（）A.38B.12 C.83D.128、若分式2212x xx 的值为0，则x 的值是（）A.1或－1 B.1 C.－1D.－29、当x 时，分式11x x 的值为正数. 10、当x 时，分式11x x 的值为负数.11、当x时，分式132x x的值为 1.12、分式1111x有意义的条件是（）A.0xB.1x且0x C.2x 且0x D.1x 且2x 13、如果分式33x x的值为1，则x 的值为（）A.0xB.3xC.0x 且3x D.3x 14、下列命题中，正确的有（）①A 、B 为两个整式，则式子A B 叫分式；②m 为任何实数时，分式13m m有意义；③分式2116x有意义的条件是4x；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1. comA.1个B.2个 C.3个D.4个15、在分式222x ax xx中a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为0？知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
包头市第一中学八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含解析)
一、选择题1．使分式21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数 2．化简221x x x ++÷(1－11x +)的结果是（ ） A ．11x + B ．11x - C ．x+1 D ．x-13．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．3x =± D ．以上均不对 4．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a≥⎧⎨>⎩的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B ．0 C ．－3 D ．－46．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x--++--÷++++的值的点落在（ ）．A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④ 7．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b = B ．11a a b b +=+ C ．2233a b a ab b = D ．232131a ab b ++=-- 8．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a b ab+=( ) A ．-2020 B ．-2 C ．1 D ．29．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④10．若数a 关于x 的不等式组()()11223321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-+⎩恰有三个整数解，且使关于y 的分式方程13y 2a 2y 11y--=---的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 11．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202y y y a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2 13．计算23211x x x x +-++的结果为（ ） A ．1 B ．3 C ．31x + D ．31x x ++ 14．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a- B ．4a C ．2b a b -- D ．b a - 15．若分式2-3x x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x >32 B ．x <32 C ．x =32 D ．x ≠32二、填空题16．当m=______时，解分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根． 17．科学家使用冷冻显微术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为__________．18．计算2216816a a a -++÷428a a -+=__________． 19．已知234a b c ==（0abc ≠，a b c +≠），则=+a b c a b c -+-_____． 20．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．21．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．22．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做8个，甲做160个所用的时间比乙做160个所用的时间多1小时，设甲每小时做x 个零件，列方程为________． 23．方程111x x x x -+=-的解是______． 24．某公司生产了A 型、B 型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A 型计算机总价值为102万元；B 型计算机总价值为81.6万元，且单价比A 型机便宜了2400元．问A 型、B 型两种计算机的单价各是多少万元．若设A 型计算机的单价是x 万元，请你根据题意列出方程________．25．计算：22824x x -=+-__________． 26．计算：()30120202-⎛⎫---= ⎪⎝⎭______． 三、解答题27．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？28．在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．（1）求A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？ 29．分式计算与解方程：（1）21211a a a a----；（2）121221x x x +=-+． 30．计算：21311211a a a a a a --+÷-+++．。
《常考题》初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．3x =± D ．以上均不对 2．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 3．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯ B ．-77.610⨯ C ．-87.610⨯ D ．-97.610⨯ 4．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d a b d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b c a c d a b d+++++的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．0 D ．45．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b= B ．11a a b b +=+ C ．2233a b a ab b = D ．232131a a b b ++=-- 6．要使分式()()221x x x ++-有意义，x 的取值应满足（ ） A ．1x ≠B ．2x ≠-C ．1x ≠或2x ≠-D ．1x ≠且2x ≠- 7．若方程21224k x x -=--有增根，则k =（ ） A ．4- B ．14- C ．4 D ．148．若数a 关于x 的不等式组()()11223321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-+⎩恰有三个整数解，且使关于y 的分式方程13y 2a 2y 11y--=---的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 9．若分式293x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．3或－3 D ．310．已知1x =是分式方程2334ax a x +=-的解，则a 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-11．已知a 、b 为实数且满足a ≠﹣1，b ≠﹣1，设M =11a b a b +++，N =1111a b +++，则下列两个结论（ ） ①ab =1时，M =N ；ab ＞1时，M ＜N ．②若a +b =0，则M •N ≤0．A ．①②都对B ．①对②错C ．①错②对D ．①②都错12．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a - B ．4a C ．2b a b -- D ．b a- 13．下列各式中正确的是（ ）A ．263333()22=x x y yB ．222224()=++a a a b a bC ．22222()--=++x y x y x y x y D ．333()()()++=--m n m n m n m n 14．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．±1 15．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<< 二、填空题16．计算：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝_____．17．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．18．计算22a b a b a b-=-- _________． 19．若关于x 的分式方程233x m x x=---的解为正数，则常数m 的取值范围是______． 20．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____． 21．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 22．计算：22311x x x -=+-____________． 23．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米．24．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．25．已知(3)1a a -=，则整数a 的值为______．26．计算：0521)-+=__．三、解答题27．计算：（1）2031(2021)|13|(2)4；（2）2222()()a b a ab b a b a ab b ．28．解方程（1）22211x x x =-+．（2）2127111x x x +=+--．29．计算：（1）(2)(2)4(21)x x x -+--；（2）2221111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．30．计算：021|22|( 3.14)()2π---+-。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)(1)
一、选择题1．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：660660(110%)x x -+=6，题中x 表示的量为（ ） A ．实际每天铺设管道长度B ．实际施工天数C ．计划施工天数D ．计划每天铺设管道的长度 2．若关于x 的方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ．1m ≠ C ．1m D ．1m >-且1m ≠3．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b= B ．11a a b b +=+ C ．2233a b a ab b = D ．232131a a b b ++=-- 5．下列变形不正确的是（ ） A ．1122x x x x +-=--- B ．b a a bc c --+=- C ．a b a b m m -+-=- D ．22112323x x x x--=--- 6．已知2,1x y xy +==，则y x x y+的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．27．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书（ ）A ．20本B ．25本C ．30本D ．35本 8．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ）A ．1524x x 3=+B ．1524x x 3=- C ．1524x 3x =+ D ．1524x 3x=- 9．下列变形不正确．．．的是（ ）A ．1a b a b a b-=-- B ．1a b a b a b +=++ C ．221a b a b a b +=++ D ．221-=-+a b a b a b10．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．20 D ．2111．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202y y y a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a - B ．4a C ．2b a b -- D ．b a- 13．020*******)(0.125)8+⨯的结果是（ ）AB2 C ．2 D ．014．使分式2221x x x ---的值为0的所有x 的值为（ ） A ．2或1- B ．2-或1 C ．2 D ．115．已知有理数a ，b 满足：1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（ ） A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M ，N 的大小不能确定二、填空题 16．计算2216816a a a -++÷428a a -+=__________． 17．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是______．18．方程31x x x x -=+的解是______． 19．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．（1）{}min 2,3--=__________________．（2）方程{}3min 2,322x x x --=---的解为_________________． （3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_________________． 20．计算：112a a-＝________． 21．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．22．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________． 23．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米．24．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做8个，甲做160个所用的时间比乙做160个所用的时间多1小时，设甲每小时做x 个零件，列方程为________． 25．方程111x x x x -+=-的解是______． 26．计算：262393x x x x -÷=+--______． 三、解答题 27．计算：（1）222221538x y y x⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭． （2）2222324424x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭． 28．计算．（1）因式分解：243x y xy y ++．（2）解方程：22312442x x x x-=--+-． 29．（提示：我们知道，如果0a b ->，那么a b >．）已知0m n >>．如果将分式n m 的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比n m是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究． （1）当所加的这个数为1时，请通过计算说明； （2）当所加的这个数为2时，直接说出结果； （3）当所加的这个数为0a >时，直接说出结果． 30．先化简，再求值：21123369a a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中2a =-．。
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第十六章分式知识点总结
1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B
A 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式
,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为
同分母分式，然后再加减
混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；
当n 为正整数时，n n a
a 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a
a a +=⋅；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n
b a ab =)(； (4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；
（5）商的乘方：n n
n b
a b a =)(()；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原
分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
8.科学记数法：把一个数表示成n
a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法．
用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点
前面的一个0)
bc
ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n
n b
a b a =)(C B C A B A ⋅⋅=C
B C A B A ÷÷=
第十五章分式单元测试题
一、选择题：（每小题2分，共20分）
1．下列各式：2b a -，x x 3+，π
y +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．下列判断中，正确的是（ ）
A ．分式的分子中一定含有字母
B ．当B ＝0时，分式
B A 无意义
C ．当A ＝0时，分式B
A 的值为0（A 、
B 为整式） D ．分数一定是分式
3．下列各式正确的是（ ）
A ．11++=++b a x b x a
B ．22x y x y =
C ．()0,≠=a ma
na m n D ．a m a n m n --= 4．下列各分式中，最简分式是（ ）
A ．()()y x y x +-8534
B ．y x x y +-2
2 C ．2222xy y x y x ++ D ．()222y x y x +- 5．化简2
293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m
m -3 6．若把分式
xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍
7．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9
小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ）
A ．
9448448=-++x x B ．9448448=-++x
x C ．9448=+x D ．9496496=-++x x 8．已知230.5
x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.13
9．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是（ ）
A ．12 B.35 C.24 D.47
10．已知226a b ab +=，且0a b >>，则
a b a b
+-的值为（ ）
A ．2
B ．2±
C ．2
D ．2±
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．分式392--x x 当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式x
x 2121-+有意义． 12．利用分式的基本性质填空：
（1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）()
1422=-+a a 13．分式方程
1
111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 ． 14.要使2415--x x 与的值相等，则x ＝__________. 15.计算：=+-+3
932a a a __________． 16. 若关于x 的分式方程3
232
-=--x m x x 无解，则m 的值为__________. 17.若分式2
31-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________． 18. 已知2242141
x y y x y y +-=-+-，则的24y y x ++值为______. 三、解答题：（共56分）
19.计算：
（1）11123x x x
++ （2）3xy 2÷x y 26
20. 计算： ()3322
232n m n m --⋅
21. 计算 （1）168422+--x x x x （2）m
n n n m m m n n m -+-+--2
22. 先化简，后求值：
222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-，其中2,33
a b ==-
23. 解下列分式方程．
（1）x x 3121=- （2）1
412112-=-++x x x
24. 计算：
（1）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--
x x x （2）4214121111x x x x ++++++-
25．已知x 为整数，且9
18232322-++-++x x x x 为整数，求所有符合条件的x 的值．
26．先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则
只能按零售价付款，需用()
12-m 元，（m 为正整数，且12-m ＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用()12-m 元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元．（用含x 、m 的代数式表示）．
27．某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？
28． A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车在距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速.。