自控技术第三章

s 2 n s n 0
2 2
（3-18）
• 特征方程的根，即闭环传递函数的极点为：
s1, 2 n
n

2Hale Waihona Puke 1（3-19）二阶系统阶跃响应分析
•
•
•
•
•
0<ζ<1时，系统有一对实部为负的共轭复数，称 为欠阻尼状态，系统时间响应具有振荡性； 当ζ=1时，系统有一对相等的负实数，称为临界 阻尼状态； ζ﹥1 时，系统有两个不相等的负实根，称为过 阻尼状态。临界阻尼状态和过阻尼状态下，系统 时域响应均无振荡现象； ζ=0时，系统有一对虚根，称为无阻尼状态，系 统时间响应为等幅振荡曲线； ζ﹤0时，系统有一对实部为正的共轭复根。
第一节 概述
• 时域分析法 在一定输入条件下，使用拉氏变换 直接求解自动控制系统时域响应的表达式，从而 得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线和 性能指标。 • 几乎任何一个控制系统都是高阶系统。系统愈复 杂，微分方程的阶数愈高。 • 时域分析法难以直接提出改善系统动静态性能的 校正方案。 • 工程实践中，根据被控制对象使用要求，确定系 统静态和动态性能指标，再根据性能指标的要求 确定预期响应曲线，进而通过校正的方法人为地
K K 1K 2
ωn──无阻尼自然角频率 ζ──阻尼比

1
n
K

2 K
二阶系统阶跃响应分析
• D（s）=0时，参考输入量的传递函数为：
GR (s) CR (s) R (s) K
n
2
2 2
s s K
2
s 2 n s n
（3-17）
令式（3-17）分母为零，得到系统特征方程式：
（3-2）
该信号相当于在 t=0 处突加一个恒定的输入信号。 对于恒值系统相当于参考输入量的变化或者扰动量的 突变；对于随动系统，相当于突加一个位置输入信号。
•
单位斜坡函数
• 单位斜坡函数 也称为速度信号，数学表达式为： 0 t ＜0 r(t)= （3-3） t t ≥0
如图3-1b所示。拉氏变换式为：
• 二阶系统 由二阶微分方程描述的系统，即闭环系 统传递函数分母中s的最高次幂为2的系统。 • 典型的二阶系统
图3-6 二阶系统框图
二阶系统阶跃响应分析
图3-6 为典型的二阶系统，其开环传递函数为：
Go (s) K s ( s 1)
n
2
s ( s 2 n )
(3-16)
式中 K ──系统的开环放大系数
ess 1 c r ( ) 0
（3-14）
由于该系统稳态误差为零，因而又称为无差系统。
具有惯性环节的一阶系统
图3-4为前向通道具有惯性环节，且反馈系数为 α的环节所组成的一阶系统，其传递函数为：
C R (s) R (s) Kp K 1 K 1 K s 1 s 1
图3-2 典型一阶系统框图
典型一阶系统
当D(s)=0时，系统参考输入量的传递函数为：
G R (s) C R (s) R (s) 1
i
K
p

1
s 1
s 1

1 s 1
(3-9)
式中 τ i──积分环节时间常数； τ ──典型一阶系统时间常数 ,
i Kp
。
典型一阶系统
(3-6)
单位脉冲函数
• 单位脉冲函数 即狄拉克（Dirac）函数，数学表 达式为： 0 t ≠0 r（t）= δ（t）= (3-7) ∞ t=0 如图3-1d所示。拉氏变换式为：
R ( s ) L [ ( t )] 1
(3-8)
• 对控制系统来说，只要输入信号的强度足够大， 且信号持续时间相对于系统的时间常数可以忽略 不计时，则该信号可以视为脉冲函数。
改变系统的结构、参数和性能，使之满足所要求 的性能指标。
• 工程实践中，不要求校正后的响应曲线严格按照 预期的响应曲线变化，而只要求它的变化趋势与 预期响应曲线一致，并满足性能指标的要求。 • 工程实践中，常将一阶、二阶等系统的响应曲线 作为自动控制系统预期时域响应曲线。 • 控制系统的时域响应不仅取决于系统本身的结构 与参数，还与外加信号有关。因此，需要有一个 对各种控制系统性能指标进行比较的基础，也就 是预先设定一些典型信号，然后比较各种系统对 这些输入信号的响应。
• 对实际系统进行分析时，应根据系统的工作情况 选择合适的典型输入信号。同一系统选择不同的 输入信号，其响应也不同。为了对系统的动态性 能指标进行比较分析和研究，通常选用单位阶跃 函数。
第二节 一阶系统阶跃响应分析
一阶系统 由一阶微分方程式描述的控制系统， 也就是闭环系统的传递函数分母中 s 的最高次幂为 1 的系统。 典型一阶系统框图如图3-2所示。
常用的典型信号
a)单位阶跃函数 c) 单位抛物线函数
b)单位斜坡函数 d)单位脉冲函数
图3-1 典型时域输入信号
单位阶跃函数
• 单位阶跃函数1（t）， 也称为位置信号，数学表 达式为： 0 t ＜0 r（t）= 1（t）= （3-1） 1 t ≥0 如图3-1a所示。拉氏变换式为：
R ( s ) L 1( t ) 1 s
•
0 .1 1 e
1

t1
0 .9 1 e

1

t2
t r t 2 t1 2 . 2
（3-13）
• 建立时间ts （Setting Time） 从图3-3可知：t=3 τ时，δ=0.05，t=4τ，δ<0.02，由此可知一阶系统单 位阶跃响应曲线的建立时间 t s =3 ～ 4 τ 。工程上一 般认为t=ts时系统的瞬态过程已经结束，系统进入 稳态阶段。 • 稳态误差ess ：稳态误差可由下式确定：
d c r (t ) dt
t0
1 t e
1
t0

1

（3-12）
运用这一特点也可以通过实验法求取时间常数 τ 。同时，这一特点也是区分一阶系统和非周期响 应曲线与高阶系统的无超调响应曲线的基本标志， 后者在t=0处的斜率为0。 3. 由cr（t）的计算过程可知： ① cr（t）由两个分量组成。其中一个分量 e 是随时间衰减的，称为暂态分量（或瞬态分量）。 另一分量与输入信号成正比，称为稳态分量。稳态 分量与输入信号[R（s）=1/s]的极点（s=0）有关， 而与传递函数的极点无关；暂态分量与传递函数 [GR=1/(τ s+1)]的极点（s=-1/τ ）有关。
二阶系统阶跃响应分析
• 二阶系统的响应特性完全由 ζ 和ω n决定，所 以ζ 和ω n是描述二阶系统重要的结构参数。 • 当ζ =0和ζ ﹤0时，系统分别处于临界稳定状 态和不稳定状态，系统响应无法跟随参考输 入量变化，系统无法正常工作。下面只讨论 0﹤ζ ﹤1、ζ =1和ζ ﹥1三种情况下系统的阶 跃响应。
图3-7 二阶系统临界阻尼单位阶跃响应
临界阻尼状态阶跃响应特点
从二阶临界阻尼状态传递函数的极点来看，它 相当于两个时间常数为 τ 的惯性环节相串联。二阶 临界阻尼单位阶跃响应如图3-7所示，其特点如下： 1 ）阶跃响应曲线是单调上升的，且稳态值为 1 ， 这一特点与一阶系统相同。因而，它是一个稳定的 无差系统。 2 ）一阶系统阶跃响应曲线的斜率在 t =0 处最大， 并逐渐递减至零；而二阶临界阻尼响应曲线的斜率 为：
p p p

图3-4 具有惯性环节的一阶系统
具有惯性环节的一阶系统
式中：
──系统时间常数


1 Kp
Kp
'
──系统比例系数 K

p

Kp 1 Kp
当r（t）=1（t）时，由拉氏反变换可得：
c r ( t ) K p (1 e
1

t
)
(3-15)
图3-4与图3-2比较有如下特点： 1）具有惯性环节的一阶系统除了可以通过减小 τ或增大Kp来提高瞬态过程的响应速度，还可以通 过加大反馈系数α来进一步减小时间常数。图3-5出 示了α分别为α1和α2（α2>α1）时的响应曲线。 2）改变反馈系数减小了时间常数，同时也减小 了比例系数，因而稳态值也随之而减小了，如图3-5 所示。
R (s) L t 1 s
2
（3-4）
单位抛物线函数
• 单位抛物线函数 式为： 也称为加速度信号，数学表达
t 0 t 0
0 r (t ) 1 2 t 2
（3-5）
如图3-1c所示。拉氏变换式为：
1 1 2 R (s) L t 3 s 2
d cr (t ) dt n te
2 nt
临界阻尼状态阶跃响应特点
对上式求导可知，响应曲线斜率的最大值出 e 现在 t 1 处。由此可知二阶阻尼响应曲线斜率 由零逐渐增大到最大值 e ，然后再逐渐减小到零， 曲线形状呈S形。 3）根据上升时间的定义，可计算出tr=3.358τ 。 4）根据建立时间的定义，可计算出δ 为0.05 和0.02 时的建立时间分别为4.75τ 和5.84τ 。显然 其建立时间比一阶系统长。
图3-5 具有惯性环节的 一阶系统单位阶跃响应
3）图3-5所示的系统，其单位阶跃响应时的稳 态误差为：
ess 1 K p 1 1 Kp
由于该系统在稳态时存在误差，故常称为有差 系统。对比图3-2可知：系统前向通道中存在积分环 节时，系统的稳态误差为零。
第三节 二阶系统阶跃响应分析
t τ
② 在暂态分量尚未衰减到零以前，输出响 应就不可能与输入信号同规律变化，即在动态过
程中存在误差（称为动态误差）。可见，动态误