第10讲 数学奥林匹克竞赛解题方法(集合问题)
奥数 数字排列组合解题技巧
奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。
以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。
-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。
2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。
循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。
3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。
5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。
6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。
7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。
例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。
8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。
这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。
9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。
10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。
总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
数学奥林匹克竞赛的备考指导和实践
数学奥林匹克竞赛的备考指导和实践数学奥林匹克竞赛作为一项广受青少年欢迎的数学竞技比赛，旨在培养学生的数学兴趣、逻辑思维和问题解决能力。
参加数学奥林匹克竞赛不仅可以锻炼大脑，提高思维深度，还有助于培养逻辑思考和创新思维能力。
然而，备考数学奥林匹克竞赛并不容易，需要良好的学习方法和系统的准备。
本文将为大家提供一些备考数学奥林匹克竞赛的指导和实践经验，帮助大家更好地应对考试挑战。
一、深入理解奥赛题型数学奥林匹克竞赛的题目常常非常复杂，需要具备较高的数学知识和解题能力。
在备考过程中，首先需要熟悉奥赛题型，包括常见的几何、代数、数论等题型。
通过仔细分析历年的数学奥林匹克竞赛试题，了解奥赛的出题风格和解题思路，对备考至关重要。
其次，还应当注重解题的方法和技巧。
数学奥林匹克竞赛强调的是创新性的解题思路，复杂的题目并不能简单通过套公式来解决。
在备考过程中，需要培养良好的数学思维和解题能力，灵活运用各种解题方法，包括归纳法、逆向推理等，培养自己独立思考和解决问题的能力。
二、系统的学习规划备考数学奥林匹克竞赛需要有一个系统的学习规划。
首先，要全面复习数学知识，包括高中课本内容和相关的数学理论。
熟悉并掌握数学的基础知识对于解题过程中的逻辑思维和推理能力至关重要。
因此，建议在备考过程中注重学科知识的总结和归纳，建立知识体系。
其次，要注重解题训练和实践。
通过大量的练习和解题实践，可以提高解题速度和准确度。
可以使用历年的数学奥林匹克竞赛试题进行训练，也可以参加一些模拟考试，提高自己的应试能力。
在解题过程中，要注重思路的清晰和逻辑的严谨，通过实践来提高解题的能力。
三、培养团队合作精神数学奥林匹克竞赛常常以团队形式进行，要求学生之间能够合作解题，相互交流和学习。
在备考过程中，可以组织学习小组，与同学们一起讨论解题思路和解题方法，共同进步。
通过团队合作，可以提高学生的合作能力和团队精神，同时也能够从其他同学中获得更多的学习经验和解题技巧。
奥林匹克数学中的组合问题
奥林匹克数学中的组合问题奥林匹克数学中的组合问题是指在给定的一组对象中选择其中几个对象，形成一个由这些对象组成的集合。
组合问题是数学中的一个重要分支，也是奥林匹克数学竞赛的难点之一。
在奥林匹克数学竞赛中，组合问题要求考生具备逻辑思维和抽象思维能力，有时还需要一定的想象力和创造力。
以下是奥林匹克数学中组合问题的基本步骤：第一步：明确问题组合问题的第一步是要明确问题，即明确给定的对象和要求选择的集合的性质。
例如，问题可能要求在5个仪器中选择3个仪器，并且这3个仪器能够组成一组能够实现某种功能的仪器组合。
第二步：计算对象总数组合问题中需要计算对象的总数，这是问题的基本数据。
例如，如果给定了5个仪器，则对象总数为5。
第三步：确定选择的对象数组合问题需要确定要从给定的对象中选择多少个对象。
例如，如果要从给定的5个仪器中选择3个仪器，则选择的对象数为3。
第四步：计算组合数组合问题需要计算可以选择的方案数，即选择若干对象形成的集合的总数。
组合数可以用下列公式计算：$$C_n^m=\frac{n!}{m! (n-m)!}$$其中，$C_n^m$表示从n个不同对象中选择m个对象的方案数，称为“从n个不同的对象中选出m个对象的组合数”。
例如，选择3个对象的组合数可以计算如下：$$C_5^3=\frac{5!}{3! (5-3)!}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10$$即从5个对象中选出3个对象的方案数为10。
第五步：求解问题组合问题需要根据题目要求，结合计算出的组合数，得出具体的方案。
例如，如果要求从5个仪器中选择3个仪器，并且这3个仪器能够组成一组能够实现某种功能的仪器组合，则需要在10个可能的方案中找到满足条件的方案。
总之，奥林匹克数学中的组合问题是一个需要逻辑思维和抽象思维能力的问题，需要根据题目要求明确问题，计算对象总数和选择的对象数，计算组合数，然后结合题目要求求解问题。
数学奥赛训练与解题技巧
数学奥赛训练与解题技巧数学奥赛是许多学生争相参加的一项重要活动。
通过数学奥赛的训练，可以提高学生的数学水平和解题能力。
本文将介绍数学奥赛的训练方法和一些解题技巧，帮助读者更好地准备数学奥赛。
第一部分：数学奥赛训练方法1. 增加解题速度数学奥赛通常有时间限制，因此提高解题速度是十分重要的。
为了增加解题速度，学生可以多做一些习题，例如刷题或者参加数学竞赛。
刷题可以帮助学生熟悉各类题型，并掌握解题思路。
参加数学竞赛则可以提供一种模拟考试的环境，让学生适应有限的时间来解决问题。
2. 提高数学基础数学奥赛的题目往往涉及到高深的数学知识。
为了提高数学基础，学生需要加强对基础概念的掌握。
可以通过学习数学教材、参加数学班级或找到优秀的数学老师进行辅导来加强数学基础的学习。
3. 学会分析问题解决数学问题的第一步是正确地分析问题。
学生在训练中要注重思考问题的关键点和难点，以便能够合理地制定解题思路。
通过分析问题，学生可以更加清楚地理解题目的要求，从而更好地解决问题。
第二部分：数学奥赛解题技巧1. 学会做简化数学奥赛的题目有时会提供大量冗余信息，需要学生学会简化问题，找到问题的本质。
通过去掉无关信息，学生能够更快速地找到问题的解决方法。
2. 掌握解题模式数学奥赛的题目往往有一定的解题模式。
学生在训练中要积累和总结不同类型问题的解决方法，形成自己的解题模式库。
通过掌握解题模式，学生能更好地应对各类题目。
3. 多角度思考解题时，学生可以从不同的角度思考问题，寻找不同的解决路径。
有时，多角度的思考能够帮助学生发现题目中的规律或者突破口。
4. 注重细节和符号运算数学奥赛的题目通常有许多细节问题需要注意，比如符号运算和计算过程。
学生在解题过程中要注意书写规范，并且细心处理每一步的计算，以防出现低级错误。
第三部分：总结和展望数学奥赛的训练和解题是一个循序渐进的过程。
学生需通过不断的练习和总结，提高自己的数学水平和解题能力。
同时，数学奥赛也需要学生培养良好的心态，保持自信和冷静，以应对竞赛中的各种挑战。
奥林匹克数学竞赛答题技巧
奥林匹克数学竞赛答题技巧奥数是当选小学生最困难学习的科目榜首，说它很难，确实也难，但是掌握解题技巧，其实也就轻松了许多，下面是店铺为你整理的奥林匹克数学竞赛答题技巧，一起来看看吧。
奥林匹克数学竞赛答题技巧①观察法在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。
(适于二年级程度) 6、16、26、____、____、____、____。
9、18、27、____、____、____、____。
80、73、66、____、____、____、____。
解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。
观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。
观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。
这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、38。
奥林匹克数学竞赛答题技巧②尝试法解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。
尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。
奥数的解题方法
奥数的解题方法奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生解决复杂数学问题能力的竞赛活动。
在奥数竞赛中，解题方法成为了学生取得优异成绩的重要因素之一。
本文将介绍一些常见的奥数解题方法，希望能够对参加奥数竞赛的学生有所帮助。
一、找规律法找规律法是奥数竞赛中最常用的解题方法之一。
通过观察问题中给出的已知条件和结果，寻找数列、图形、运算规律等，并进行推理，从而得出未知部分的答案。
通过找规律，可以在不需要步骤繁琐的计算过程中，快速得到问题的解答。
例如，在数列问题中，可以观察数列的差或比例关系，从而确定下一个数的值。
二、逆向思维法逆向思维法是指从所给的结果或条件出发，逆向思考问题的解决方法。
通过逆向思维，我们可以通过猜测和试错，逐步逼近问题的解答。
逆向思维法常用于解决逻辑推理、数学反证法等问题。
通过逆向思维，我们可以将复杂的问题简化，将问题转化为已知的条件，从而更容易找到解决办法。
三、变量假设法变量假设法是指在解题过程中，假设一些变量的值，通过分析和比较不同情况下的结果，寻找符合题意的解答。
通过合理假设变量的值，可以简化问题，使问题更易于解决。
在应用变量假设法时，需要注意假设的合理性和有效性，以确保得到的解答符合实际情况。
四、逻辑推理法逻辑推理法是指通过分析问题中的逻辑关系和条件限制，推理出问题的答案。
逻辑推理法常用于解决逻辑谜题、数学证明等问题。
在应用逻辑推理法时，需要仔细分析问题中的条件和关系，合理使用逻辑规则和推理方法，推导出符合题意的结论。
五、分而治之法分而治之法是将一个复杂的问题分解成若干个简单的子问题，逐一解决每个子问题，最后将各个子问题的解答合并得到整体的解答。
通过分而治之法，可以将原本难以解决的问题转化为一系列相对简单的问题，提高解题的效率和准确性。
六、综合运用多种方法在实际的奥数竞赛解题过程中，往往需要综合运用不同的解题方法，以应对复杂多样的问题。
因此，掌握多种解题方法，并能够针对不同的问题选择合适的方法进行解答，是取得好成绩的重要因素之一。
数学奥林匹克竞赛题的几种解法
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根时， 此图案中的三角形个数为 % 到 !" 连续 0 * !" ）
数 学 奥 林 匹 克
% 1 % 2 !" 3 ’ !" * !%" 1 个 3 ，则需要 ! 的火柴棍总数为 & ’ !%" * )&" 根。 自然数的和，即 三、图表分析法。 即： 把问题的各个条件有序排 列， 通过比较可以找出已知条件相互间联系， 发现隐 含条件， 加上思维过程， 便能解决问题。 （ ） 如图， 一个正方体的每个面分别标 例 & 贵州 ： 有 %、 根据图中该正方体 4、 !、 &、 $、 (、 )， 5、 6 三种状 态所显示的数字， 可推算出 “ ？” 数字是 ......。
的末位数字是 , 。 二、高斯求和法。 即： 根据德国数学家高斯求等
差数列和的方法，来计算类似等差数列前 0 项和的 问题。 例 !（ 河北 ） ：如 图， 是用火柴棍摆出来的一 即 系列图案，按这种方法摆下去，当每边上摆 !" （ 根时， 需要的火柴棍总数为 ..... 根。 0 * !" ） 分析与解： 从图案组成可发现， 当每边摆 !" （ 即
分析与解： 此题若用脑去想， 一时半会还难以琢 磨出来。如果动手折一个正方体， 再把它展开， 不难 发现其为 6， 这样做既省时又省力。 五、数据规律法。 即： 观察题目中的数据并认真 分析， 找出某些规律进行计算。 连接 内蒙 ） ： 如图， 已知 456 的周长为 % ， 例 (（ 456 三边的中点，构成了第二个三角形，再连接第 二个三角形三边的中点， 构成第三个三角形， 依此类 推， 第 !""& 个三角形的周长为 .....。 143 % !""! 153 % !""&
高中数学奥林匹克竞赛中的整体处理技巧
数学奥林匹克竞赛中的整体处理技巧
数学题本身是一个子系统，在解题中，注意对其作整体结构的分析，从整体性质上去把握各个局部，这样的解题观念或思考方法，称为整体处理。
例1.九个袋子分别装有9，12，14，16，18，21，24，25，28只球，甲取走若干袋，乙也取走若干带，最后只剩下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，问剩下的一袋内装有球几只？
解：从全局上考虑，由于甲取走的球数是乙取走球数的两倍，所以取走的球数总和必是3的倍数，而九个袋子的球数之和被3除余2，所以剩下的一袋也是被3除余2，又由于九袋中，只有142(mod3)≡，故剩下的袋内装球14只。
例32.证明任意3个实数,,a b c 不能同时满足下列三个不等式
,,a b c b c a c a b <-<-<-。
证明：若不然，存在3个实数000,,a b c ，使
000a b c <- 000b c a <- 000c a b <-
相乘2220000000000()()()0a b c a b c b c a ≤-++-+-<
这一矛盾说明，任意3个实数,,a b c 不能同时满足题设的三个不等式。
奥数解题方法
奥数解题方法奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项旨在培养学生数学兴趣和解题能力的竞赛活动。
参加奥数竞赛的学生需要具备较高的数学素养和解题能力，因此掌握一定的解题方法对于他们来说至关重要。
在这篇文档中，我们将介绍一些常见的奥数解题方法，希望能够帮助大家更好地应对奥数竞赛中的各种题目。
首先，奥数解题方法中最基本的一点就是建立数学模型。
在解题过程中，我们需要将题目中的问题用数学语言进行描述，建立相应的数学模型。
通过建立数学模型，我们可以将抽象的问题转化为具体的数学计算，从而更好地进行分析和求解。
其次，对于奥数竞赛中的一些常见题型，比如组合与排列、概率与统计等，我们需要掌握相应的解题技巧。
比如在组合与排列的题目中，我们可以通过列出所有可能的排列组合，或者利用排列组合的性质进行推导，从而快速解决问题。
而在概率与统计的题目中，我们需要熟练掌握概率计算的方法，以及统计数据的分析技巧，这样才能更好地解决相关问题。
此外，奥数解题方法中还包括一些常见的数学技巧，比如数学归纳法、递推关系、数列求和等。
这些技巧在奥数竞赛中经常会用到，因此我们需要对这些技巧有所了解，并能够灵活运用到解题过程中。
最后，奥数解题方法中还需要我们培养良好的数学思维习惯。
在解题过程中，我们需要保持清晰的思维，善于发现问题的规律和特点，善于归纳总结，善于灵活运用各种数学知识和方法。
只有通过不断地练习和思考，才能够培养出良好的数学思维习惯，从而更好地应对奥数竞赛中的各种题目。
总之，奥数解题方法涵盖了数学建模、解题技巧、数学技巧和数学思维习惯等多个方面。
在奥数竞赛中，我们需要全面掌握这些方法，灵活运用到解题过程中，才能够取得更好的成绩。
希望通过本文介绍的奥数解题方法，能够帮助大家更好地应对奥数竞赛中的各种挑战。
数学竞赛之路集合的运算与应用技巧
数学竞赛之路集合的运算与应用技巧数学竞赛一直以来都是学生中的一项重要活动。
在数学竞赛中，集合的运算是一道常见的题型。
本文将介绍集合的基本概念和运算规则，以及在数学竞赛中常见的集合应用技巧。
一、集合的基本概念在数学中，集合是一种把具有某种特定性质的对象组合在一起的概念。
例如，我们可以有一个由所有大写字母组成的集合，记作A={A, B, C, D, ...}。
集合中的元素可以是数字、字母、符号等。
同时，集合还可以是有限的或无限的。
在集合中，常用的符号有：1. “∈”：表示一个元素属于某个集合。
例如，如果x∈A，表示x是集合A的元素。
2. “∉”：表示一个元素不属于某个集合。
例如，如果x∉A，表示x不是集合A的元素。
3. “⊂”：表示一个集合是另一个集合的子集。
例如，如果A⊂B，表示集合A是集合B的子集。
二、集合的运算规则在数学竞赛中，我们常常需要进行集合的交集、并集、补集、差集等运算。
下面将介绍这些运算的规则。
1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集是包含两个集合共有元素的集合，记作A∩B。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
交集的运算规则如下：- 若x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
- 若x∈A∩B，则x∈A且x∈B。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含两个集合所有元素的集合，记作A∪B。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
并集的运算规则如下：- 若x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
- 若x∈A∪B，则x∈A或x∈B。
3. 补集：给定一个全集U和一个集合A，A在U中的补集是指在U 中不属于A的所有元素的集合，记作A'。
例如，如果U={1,2,3,4,5}，A={3,4}，则A'={1,2,5}。
补集的运算规则如下：- 若x∈A，则x∉A'。
- 若x∉A'，则x∈A。
4. 差集：给定两个集合A和B，A和B的差集是指属于A但不属于B的元素的集合，记作A-B。
奥林匹克数学竞赛答题技巧方法
奥林匹克数学竞赛答题技巧方法国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
有哪些答题技巧，下面是店铺为你整理的奥林匹克数学竞赛答题技巧，一起来看看吧。
奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。
根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。
只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。
它体现的是由一般到特殊的演绎思维。
公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。
但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例3：计算59×37+12×59+5959×37+12×59+59=59×(37+12+1)…………运用乘法分配律=59×50…………运用加法计算法则=(60-1)×50…………运用数的组成规则=60×50-1×50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
比较法要注意：(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。
数学公开课解析数学奥赛常见题型与解题方法
数学公开课解析数学奥赛常见题型与解题方法数学奥林匹克竞赛是一项旨在培养学生数学思维能力和解题技巧的竞赛活动，对于参赛学生来说，熟悉常见的数学奥赛题型和解题方法是取得好成绩的关键。
本文将对数学奥赛中常见的题型进行解析，并详细介绍解题方法。
第一题型：整数问题整数问题是数学奥赛中常见且容易出现的题型之一。
一般而言，整数问题的解法有两种，一种是利用整数性质进行计算，另一种是利用逻辑思维进行推理。
解题思路一：利用整数性质进行计算在解决整数问题时，我们可以利用整数的性质进行计算。
例如，如果题目要求我们计算两个整数的和，我们可以利用整数的加法交换律和结合律，将运算次数减至最少。
同样地，我们还可以利用整数的乘法性质来计算乘法问题。
解题思路二：利用逻辑思维进行推理有些整数问题需要我们利用逻辑思维进行推理。
例如，当问题描述一个整数满足某种条件时，我们需要找到满足条件的整数范围，并根据条件进行推理。
这种解题方法在数学奥赛中非常常见，需要我们灵活运用逻辑思维。
第二题型：几何问题几何问题是数学奥赛中经常出现的题型之一，解题方法主要包括几何性质的运用和图形的拆分。
解题思路一：利用几何性质进行计算在解决几何问题时，我们可以利用几何性质进行计算。
例如，我们可以利用三角形的内角和定理计算三角形内角的大小；利用圆的面积公式计算圆的面积等。
掌握这些几何性质，可以大大简化计算步骤。
解题思路二：图形的拆分对于一些复杂的几何问题，我们可以采用图形的拆分方法，将大图形拆分成更简单的几何图形。
通过计算各个简单图形的面积或周长，最后再将结果合并，得到整个大图形的面积或周长。
这种解题方法常常可以减少计算的复杂程度。
第三题型：代数问题代数问题是数学奥赛中常见且考察学生运用代数表达式解题能力的题型之一。
解题思路一：建立方程在解决代数问题时，我们可以通过建立代数方程来解决。
关键是要将问题中的条件转换成代数表达式，并找到满足题目要求的解。
这个过程需要我们熟悉代数运算规则和代数方程的求解方法。
数学奥赛题目解析与解题技巧
数学奥赛题目解析与解题技巧数学奥赛一直是考验学生逻辑思维和解题能力的重要竞赛项目之一。
通过参加数学奥赛，学生们不仅能够提高自己的数学水平，还能锻炼思维能力和创造力。
然而，许多学生对于数学奥赛题目感到困惑，无法准确解答。
本文将与您分享数学奥赛题目的解析与解题技巧，帮助您更好地应对数学奥赛。
一、提高基础知识水平要在数学奥赛中获得好成绩，首先需要打牢自己的基础知识。
这包括掌握数学的基本运算、几何图形的性质、代数方程的解法等。
只有在基础知识扎实的基础上，才能巧妙地应用于解题过程中。
因此，建议学生在备战数学奥赛前，加强对基础知识的复习和学习，做到心中有数，运算熟练。
二、理解题目要求在解答数学奥赛题目之前，首先要理解题目要求。
有些题目可能会给出一些附加条件，需要学生注意审题，准确把握题意。
例如，有的题目可能会要求学生求出最大值或最小值，有的题目则可能会要求学生给出具体的解等。
只有充分理解题目要求，才能找到正确的解题思路。
三、列方程解题列方程是解答数学题目的一种常用方法。
当遇到一道问题时，可以考虑将问题转化为数学方程式。
通过列出方程，可以有效地解答题目。
例如，求解线性方程组、代数方程、三角方程等。
因此，掌握列方程的技巧对于解答数学奥赛题目非常重要。
四、运用排除法在数学奥赛中，有时会遇到一些复杂的题目，学生们可能会感到困惑。
此时，可以尝试使用排除法解题。
排除法是通过逐步排除错误选项来确定正确答案的方法。
通过对错误选项逐一进行分析和排除，最终可以找到正确答案。
尤其是在多选题中，排除法可以大大提高解题准确性。
五、培养逻辑思维数学奥赛考察的不仅仅是学生的计算能力，更重要的是考察学生的逻辑思维能力。
因此，培养逻辑思维能力对于解答数学奥赛题目非常关键。
可以通过解析理论题目、阅读数学推理文章、做逻辑思维题等方式来提高逻辑思维能力。
六、多做模拟题在备战数学奥赛时，做模拟题是一种非常有效的方法。
通过多做模拟题，可以熟悉奥赛题型，了解常见解题思路，提高解题速度和准确性。
初中数学奥林匹克赛题解析知识点整理
初中数学奥林匹克赛题解析知识点整理数学奥林匹克赛是一项旨在培养学生数学思维能力和解决问题能力的比赛。
它涵盖了初中数学的各个领域，并且难度较高，需要学生具备一定的数学基础和解题技巧。
在本文中，我们将解析一些常见的初中数学奥林匹克赛题，并整理出一些涉及的重要知识点，帮助学生更好地准备和应对这类比赛。
1. 方程的解析解法在初中数学奥林匹克赛中，经常会出现一些复杂的方程问题。
要解决这类问题，我们首先要掌握方程的基本概念和解法。
一般来说，方程的解就是使得方程两边相等的未知数值。
我们可以通过消元、配方法、因式分解等一系列的运算步骤，得出方程的解。
对于一些复杂的方程，我们还可以利用图形解法、特殊解法等方法求解。
2. 几何图形的性质分析几何问题是初中数学奥林匹克赛中的重要题型之一。
在解答几何题时，我们需要掌握各类几何图形的性质和定理。
例如，矩形的对角线相等、平行四边形的对边平行等。
同时，我们要善于利用图形的特殊性质来解决问题，比如利用对称性、相似性等特点进行推理。
3. 数列的性质和求解方法数列是数学奥林匹克赛中的常见题型。
学生要能够分析数列的性质并运用相关的公式和定理。
例如，等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
我们还需要熟练掌握数列的求和公式，如等差数列的前n项和Sn=n/2*(a1+an)。
4. 不等式的求解技巧不等式在初中数学奥林匹克赛中也是常见的题型。
要解决不等式问题，我们需要利用各种不等式的性质和定理。
例如，对于一元一次不等式ax+b>0，如果a>0，那么解集为x>-b/a；如果a<0，那么解集为x<-b/a。
此外，我们还要善于进行不等式的加减乘除操作，以求得不等式的解。
5. 组合数学的运算方法组合数学是数学奥林匹克赛中的一道难题。
学生要能够灵活运用组合数学的技巧和公式。
例如，排列组合的计算公式为C(n,m)=n!/m!(n-m)!，其中n为总数，m 为选择个数。
奥林匹克数学题型归纳法在组合中的应用
奥林匹克数学题型归纳法在组合中的应用组合数学是数学中的一个重要分支，主要研究集合的组合与排列问题。
在解决实际问题中，我们常常需要用到组合数学中的方法。
而奥林匹克数学竞赛中，归纳法是解决问题的一种常用方法。
本文将探讨奥林匹克数学题型中归纳法的应用，并展示归纳法在组合数学中的具体例子。
1. 归纳法的基本思想归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，其基本思想是：先证明某个命题在某个特殊情况成立，然后证明在该特殊情况成立的基础上，它在下一个情况也成立，由此推导出该命题对于所有情况都成立。
2. 奥林匹克数学竞赛中归纳法的应用奥林匹克数学竞赛中的题目往往具有一定的难度，需要深入思考和创新的解决方法。
归纳法作为一种较为灵活的思维方式，在奥数竞赛中被广泛应用。
例题1：某竞赛有10个选手，要从中选出前三名，问有多少种不同的结果？解析：可以通过归纳法来解答这个问题。
首先考虑边界情况，当只有一个选手时，只有一种结果。
当有两个选手时，有两种结果。
当有三个选手时，共有六种结果。
观察到当选手数量增加一个时，选取前三名的结果数量是上一情况的两倍。
例题2：某班有10个学生，其中6个是男生，4个是女生。
要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的组合？解析：这个问题可以通过归纳法来解决。
首先考虑边界情况，当只有一个男生和两个女生时，只有一种组合。
当有两个男生和一个女生时，有两种组合。
当有三个男生和没有女生时，有三种组合。
观察到当男生数量增加一个时，组合数量是上一情况的男生数量加一。
3. 归纳法在组合数学中的应用组合数学是归纳法的重要应用领域之一。
在组合数学中，通过观察和归纳，可以得出一些组合问题的规律。
例题3：有n个小球，要将其放入k个盒子中，每个盒子至少放一个小球，问有多少种不同的放法？解析：可以通过归纳法来解决这个问题。
当只有一个盒子时，只有一种放法。
当有两个盒子时，共有两种放法。
当有三个盒子时，共有四种放法。
观察到当增加一个盒子时，放法的数量是上一情况的两倍。
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学奥林匹克竞赛教程数学奥林匹克竞赛是一个旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力的竞赛。
对于初中阶段的学生来说，参加数学奥林匹克竞赛有着重要的意义。
下面是一个初中数学奥林匹克竞赛的教程，以帮助学生更好地参与竞赛。
一、了解数学奥林匹克竞赛的基本知识数学奥林匹克竞赛是一项高难度的数学竞赛，考察的内容有代数、几何、数论、组合数学等。
参加竞赛的学生应对这些知识有一定的了解和掌握。
二、积累数学题目要参加数学奥林匹克竞赛，需要积累大量的数学题目，并针对不同的题型进行分类整理。
可以通过做一些奥数辅导班的习题册，也可以通过向老师请教等方式来积累。
三、练习解题思路数学奥林匹克竞赛注重解题思路和数学方法的运用，因此要想在竞赛中取得好成绩，需要不断地练习解题思路。
可以选择一些经典案例，研究其中的解题思路和方法。
四、参加模拟竞赛数学奥林匹克竞赛是一项实战竞赛，为了更好地应对竞赛压力，可以参加一些模拟竞赛活动。
这样可以提前熟悉竞赛环境和竞赛模式，增强自己的竞赛实力。
五、增加数学知识的广度和深度数学奥林匹克竞赛不仅要求学生对基础的数学知识有深入的掌握，还要求学生对一些高级的数学知识有所了解。
因此要想在竞赛中取得好成绩，需要增加数学知识的广度和深度。
六、合理分配时间在参加数学奥林匹克竞赛时，要合理分配时间。
要根据每道题的难度和分值来合理安排时间，确保能够准确地完成每道题目。
七、培养团队合作精神数学奥林匹克竞赛有一些团队比赛的项目，这就需要学生培养团队合作精神。
要学会与队友相互配合，共同解决问题。
八、保持积极乐观的心态数学奥林匹克竞赛是一个较为困难的竞赛，可能会遇到各种困难和挫折。
学生要保持积极乐观的心态，相信自己的能力，并且相信只要努力，就一定能够克服困难。
九、重视总结和复习针对每次竞赛的经验和问题，要及时进行总结和复习。
通过总结和复习，可以发现自己的问题所在，认识到自己的不足，并且加以改进。
总的来说，参加初中数学奥林匹克竞赛需要学生在数学知识和解题思路上都有一定的积累和提高。
高中数学奥赛辅导教材(共十讲)
第一讲 集合概念及集合上的运算知识、方法、技能高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.赛题精讲Ⅰ．集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：求点集}lg lg )9131lg(|),{(33y x y x y x +=++中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xy y x y x =++>>及 由平均值不等式，有,)91()31()(3913133333xy y x y x =⋅⋅≥++ 当且仅当333331,91,9131====y x y x 即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：已知.}.,22|{},,34|{22B A x x x y y B x x x y y A ⋂∈+--==∈+-==求R R【思路分析】先进一步确定集合A 、B.【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2≤++-=x y∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=⋂≤=-≥y y B A y y B y y 故【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=.22,3422x x y x x y 消去.0122,2=+-x x y 因方程无实根，故φ=⋂B A . 这里的错因是将A 、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：已知集合|}.|||1|||),{(},0,|||||),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+= 若B A ⋂是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为.【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.【略解】点集A 是顶点为（a ，0），（0，a ），（－a ，0），（0，－a ）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将||||1||y x xy +=+，变形为,0)1|)(|1|(|=--y x所以，集合B 是由四条直线1,1±=±=y x 构成.欲使B A ⋂为正八边形的顶点所构成，只有212<<>a a 或这两种情况.（1）当2>a 时，由于正八形的边长只能为2，显然有,2222=-a故 22+=a .（2）当21<<a 时，设正八形边长为l ，则,222,2245cos -=-=︒l l l 这时，.221=+=l a 综上所述，a 的值为,222或+如图Ⅰ－1－1－1中).0,22(),0,2(+B A 【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是（ ）A ．D CB A ≠≠≠⊂⊂⊂ B ．φφ=⋂=⋂DC B A , C ．D C C B A ≠⊂⋃=, D ．φ=⋂=⋃D C B B A ,图Ⅰ－1－1－1【思路分析】应注意数的特征，即.,612613,21221Z ∈+=++=+n n n n n 【解法1】∵},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A ∴D C C B A ≠⊂⋃=,.故应选C. 【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令}.|63{},|2{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A ππππππ 结论仍然不变，显然A ′为终边在坐标轴上的角的集合，B ′为终边在x 轴上的角的集 合，C ′为终边在y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线x y 33±=上的角的集合，故应选（C ）.【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例5：设有集合B A B A x x B x x x A ⋃⋂<==-=和求和},2|||{}2][|{2（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合A 与B.从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然∴}.22|{≤<-=⋃x x B A若 },2,1,0,1{][,2][,2--∈+=⋂∈x x x B A x 则从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或 于是 }3,1{-=⋂B A【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.例6：设})],([|{},),(|{),,()(2R R R ∈==∈==∈++=x x f f x x B x x f x x A c b c bx x x f 且， 如果A 为只含一个元素的集合，则A=B.【思路分析】应从A 为只含一个元素的集合入手，即从方程0)(=-x x f 有重根来解之.【略解】设0)(},|{=-∈=x x f A 则方程R αα有重根α，于是,)()(2α-=-x x x f )],([..)()(2x f f x x x x f =+-=从而α即 ,)()]()[(222x x x x x +-+-+-=ααα 整理得,0]1)1[()(22=++--ααx x 因α,x 均为实数 .,01)1(2αα=≠++-x x 故 即.}{A B ==α【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.例7：已知N N M a y x y x N x y y x M =⋂≤-+=≥=求}.1)(|),{(},|),{(222成立时，a 需满足的充要条件.【思路分析】由.,M N N N M ⊆=⋂可知【略解】.M N N N M ⊆⇔=⋂由).1()12(1)(22222a y a y y x a y x -+-+-≤≤-+得于是，若0)1()12(22≤-+-+-a y a y ① 必有.,2M N x y ⊆≥即而①成立的条件是 ,04)12()1(422m a x ≤-----=a a y 即 ,0)12()1(422≤-+-a a 解得 .411≥a【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解. 例8：设A 、B 是坐标平面上的两个点集，}.|),{(222r y x y x C r ≤+=若对任何0≥r 都有B C A C r r ⋃⊆⋃，则必有B A ⊆.此命题是否正确？【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可.【略解】不正确.反例：取},1|),{(22≤+=y x y x A B 为A 去掉（0，0）后的集合.容易看出,B C A C r r ⋃⊆⋃但A 不包含在B 中.【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P 23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有 ).()()()(B A card B card A card B A card ⋂-+=⋃我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有)(1321n n A A A A A card ⋃⋃⋃⋃⋃-)]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ⋂+⋂-++++= )]()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ⋂⋂++⋂⋂+⋂++⋂++---).()1(311n n A A A card ⋂⋂⋂⋅-+--应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}. 则.8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,21)(=⋂=⋂=⋂===A C card C B card B A card C card B card A card ∵)()()()()()()(A C card C B card B A card C card B card A card C B A card ⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃ ),(C B A card ⋂⋂+∴.3689201921)()(=--++=⋂⋂-⋃⋃C B A card C B A card 这里，)(C B A card ⋃⋃是数、理、化中至少一门是优秀的人数，)(C B A card ⋂⋂是这三科全优的人数.可见，估计)(C B A card ⋃⋃的范围的问题与估计)(C B A card ⋂⋂的范围有关.注意到7)}(),(),(min{)(=⋂⋂⋂≤⋂⋂A C card C B card B A card C B A card ，可知 7)(0≤⋂⋂≤C B A card . 因而可得.43)(36≤⋃⋃≤C B A card 又∵.5)(),()()(=⋃⋃=⋃⋃+⋃⋃C B A card U card C B A card C B A card 其中 ∴.48)(41≤≤U card 这表明全班人数在41~48人之间. 仅数学优秀的人数是).(C B A card ⋃⋂ ∴)()()()()(B card C B A card C B card C B A card C B A card -⋃⋃=⋃-⋃⋃=⋃⋂ .32)()()(-⋃⋃=⋂+-C B A card C B card C card 可见,11)(4≤⋃⋂≤C B A card 同理可知 ,10)(3≤⋃⋂≤C A B card.12)(5≤⋃⋂≤A B C card 故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u 同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：图Ⅰ－1－2－1},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A }.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B 令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→…①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())((②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()(③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(( [由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。