北师大版九年级数学重难点梳理

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北师大版九年级下册数学第一章锐角三角函数知识点及考点梳理

北师大版九年级下册数学第一章锐角三角函数知识点及考点梳

理

一、锐角三角函数的定义

二、特殊角的三角函数值

三、锐角三角函数值的变化

四、互余两角之间的三角函数关系

五、同角之间的三角函数的关系

六. 基础题型分析

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北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练习题(王金燕)

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨

⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()

3,2,1:( 如负整数如正整数整数)

0(零⎪⎩

⎪

⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数第一讲实数

一.知识梳理： 1.实数的基本概念 (1)正数和负数

定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数分类：

正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。即：

(3)无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数，归纳起来有四类： a.开方开不尽的数，如

32,7等；

b.有特定结构的数，如0.1010010001…等；

c.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，

如3

+8等； d.某些三角函数值，如sin60o

等注：小数是分数。

(4)实数：有理数和无理数统称为实数，即：正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数

无理数无限不循环小数负无理数

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（画数轴时，原点，正方向，单位长度三要素缺一不可）

注意：实数与数轴的点是一一对应的。 3.相反数：

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。几何定义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0⇔a 、b 互为相反数，反之亦成立.注意：零的相反数是零

一般地，如果a 、b 互为相反数，则a+b=0. 反之亦成立。 4.绝对值

定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫

北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理

北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理

【学习目标】

1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、

等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.

2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.

3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的

观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义

1.圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.

平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

北师大版九年级下册数学

全册知识点梳理及重点题型巩固练习

锐角三角函数—知识讲解

【学习目标】

1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】

要点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．

锐角A 的对边与斜

边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a

A c

∠=

=的对边斜边；

锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b

A c ∠=

=的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a

A A b

∠=

=∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠=

=的对边斜边；cos B a

B c

∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成

北师大版九年级下册数学第18讲《弧长和扇形面积》知识点梳理

北师大版九年级下册数学第 18 讲《弧长和扇形面积》知识点梳理

【学习目标】

1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；

2.能准确计算组合图形的面积.

【要点梳理】

要点一、弧长公式

半径为R 的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°

的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

要点二、扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R 的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

3 (3) 扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4) 扇形两个面积公式之间的联系： .

【典型例题】

类型一、弧长和扇形的有关计算

1. 如图（1），AB 切⊙O 于点 B ，OA= 2

，AB=3，弦 BC∥OA ，则劣弧 B

»C 的弧长为（）． A ． 3 π B ． 3 π 3 2 C ．π D ． 3π 2

北师大版数学九年级上册知识点总结

第一章证明二

一、公理1三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”; 2两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”; 3两角及其夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”; 4全等三角形的对应边相等、对应角相等;

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成“角角边”或“AAS ”;

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

1等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角

2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合三线合一; 等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角或直角,但顶角可为钝角或直角; ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则2

b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A,底角为∠B 、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=2

180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定

1如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等简称：等角对等边; 2有两条边相等的三角形是等腰三角形.

三、等边三角形

性质：1等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;

2三线合一

判定：1三条边都相等的三角形是等边三角形

2三个角都相等的三角形是等边三角形

3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;

四、直角三角形

一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;

北师大版九年级数学各章节知识梳理2018

九年级上册数学各章节知识梳理

【一】教学目标:

在新课方面通过讲授第一章、第四章的有关知识，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。进一步掌握综合法的证明方法，能证明与三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论。在第五章这一章通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手能力发展学生的空间思维。在第三章这一章让学生理解频率与概率的关系，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。在第二章、第六章这两章，让学生了解一元二次方程的各种解法，并能运用一元二次方程和函数解决一些数学问题逐步提高观察和归纳分析能力，体验数学结合的数学方法。同时学会对知识的归纳、整理、和运用。从而培养学生的思维能力和应变能力。

【二】教材分析：

本册教材包括几几何何部分《特殊的平行四边形》，《图形的相似》，《投影与视图》。代数部分《一元二次方程》，《反比例函数》以及与统计有关的《概率的进一步认识》。

《特殊的平行四边形》，《图形的相似》的重点是：

1、要求学生掌握证明的基本要求和方法，学会推理论证；

2、探索证明的思路和方法，提倡证明的多样性。

难点是：

1、引导学生探索、猜测、证明，体会证明的必要性；

2、在教学中渗透如归纳、类比、转化等数学思想。

《投影与视图》和重点是：通过学习和实践活动判断简单物体的三种视图，并能根据三种图形描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其视图之间的相互转化。

难点是：理解平行投影与中心投影，明确视点、视线和盲区的内容。

北师大版九年级数学(上册)重点知识点归纳整理

九年级数学上册知识点归纳（北师大版）

第一章特殊平行四边形

第二章一元二次方程

第三章概率的进一步认识

第四章图形的相似

第五章投影与视图

第六章反比例函数

（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形

．．．．．，平行四边形不相邻的

两顶点连成的线段叫做它的对角线

．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形

．．。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

北师大版九年级数学知识点

课堂临时报佛脚，不如课前预习好。其实任何学科都是一样的，学习任何一门学科，勤奋都是最好的学习方法，没有之一，书山有路勤为径。下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。

初三新学期数学知识点

一、圆的定义

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质

1、圆的对称性

(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：

平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

初三数学上册知识点归纳

北师大版九年级上册数学复习提纲

数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维。下面小编给大家分享一些北师大版九年级上册数学复习提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

北师大版九年级上册数学复习提纲

知识点1：一元二次方程的基本概念

1、一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2。

2、一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2。

3、一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7。

4、把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0。

知识点2：直角坐标系与点的位置

1、直角坐标系中，点A(3，0)在y轴上。

2、直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0。

3、直角坐标系中，点A(1，1)在第一象限。

4、直角坐标系中，点A(-2，3)在第四象限。

5、直角坐标系中，点A(-2，1)在第二象限。

知识点3：已知自变量的值求函数值

1、当x=2时，函数y=的值为1。

2、当x=3时，函数y=的值为1。

3、当x=-1时，函数y=的值为1。

知识点4：基本函数的概念及性质

1、函数y=-8x是一次函数。

2、函数y=4x+1是正比例函数。

3、函数是反比例函数。

4、抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下。

5、抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3。

6、抛物线的顶点坐标是(1，2)。

7、反比例函数的图象在第一、三象限。

知识点5：数据的平均数中位数与众数

1、数据13，10，12，8，7的平均数是10。

2、数据3，4，2，4，4的众数是4。

3、数据1，2，3，4，5的中位数是3。

九年级数学上册重点知识点归纳(北师大版)_

九年级数学上册重点知识点归纳(北师大版)

九年级数学上册知识点归纳（北师大版）

第一章特殊平行四边形

第二章一元二次方程

第三章概率的进一步认识

第四章图形的相似

第五章投影与视图

第六章反比例函数

（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形

．．．．．，平行四边形不相邻的两顶

点连成的线段叫做它的对角线

．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行

所示)：

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

平行四边形菱形矩正方形一组邻边相等一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分）一内角为直角一邻边相等或对角线垂直

一个内角为直角（或对角线相等）图3

第二章一元二次方程

1认识一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为

北师大版九年级上册数学[概率的进一步认识--知识点整理及重点题型梳理]

新北师大版九年级上册初中数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

概率的进一步认识--知识讲解

【学习目标】

1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；

2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；

3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；

4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、用树状图或表格求概率

1.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；

（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ；

（3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=

北师大版九年级数学下册(完整版)全册单元教材分析

北师大版九年级数学下册（完整版）全册单元教材分析

第一章直角三角形的边角关系

本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．

在学生掌握了直角三角形边角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．在中考中，本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算及解直角三角形及其应用．

教学指导

【本章重点】

1．锐角三角函数的概念．

2．30°，45°，60°角的三角函数值、会利用直角三角形边角之间的关系解直角三角形及运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题．

【本章难点】

运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题．【本章思想方法】

1．体会数形结合思想：如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边角之间的关系．

2．体会转化思想：如：(1)把实际问题转化成数学问题，把实际问题的情境转化为几何图形，把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．

课时计划

1 锐角三角函数2课时

2 30°，45°，60°角的三角函数值1课时

3 三角函数的计算1课时

4 解直角三角形1课时

5 三角函数的应用1课时

6 利用三角函数测高1课时

第二章二次函数

北师大版九年级数学重难点梳理

（上册）

第一章特殊平行四边

第一节菱形的性质与判定

重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边

形之间的联系。

2.会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用

菱形的对角线来计算菱形的面积。

3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊”

与“一般”的关系。

第二节矩形的性质与判定

重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理

2.矩形的轴对称性

3.直角三角形斜边上的中线的性质

4.矩形的判定（难点）

第三节正方形的性质与判定

重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运

用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。

2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他

相

关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力。第二章一元二次方程

第一节

第二节应用一元二次方程

重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。

2.经历“问题情境--建立模型--模型求解--解释与应用”的过

程，获取更多分析和解决实际问题的方法和经验。

第三章概率的进一步认识

第一节用树状图或表格求概率

第二节用频率估计概率

本章重点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率，会用稳定的频率估计概率。

本章难点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率。

第四章图形的相似

第一节成比例线段

重难点：1.认识形状相同的图形。

2.结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的

北师大版九年级上册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

新北师大版九年级上册初中数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

菱形（基础）

【学习目标】

1. 理解菱形的概念.

2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．

北师大版九年级数学下册教案：梳理知识点,打造有效教学

本文将详细介绍北师大版九年级数学下册教案的完整版，包括梳理知识点和打造有效教学。教案的设计要符合教学要求，能够激发学生的思维，提高他们的学习效果。下面，我们将一一介绍教案的重要内容。

一、教学目的

教学目的是制定教学计划的基础。在制定教学目的时，教师需要根据学科特点、学生需要、学科结构和教材内容等多种因素考虑。北师大版九年级数学下册教案完整版的教学目的分为三个方面：知识目标、能力目标和情感目标。

知识目标是指学生需要掌握的数学知识。例如，九年级数学下册教材包含数列、函数、平面向量等知识点。在制定知识目标时，教师应该明确每个知识点的重点和难点，制定符合学生认知水平的教学方法。

能力目标是指学生需要具备的数学技能和思维方式。例如，通过学习数列，学生需要掌握数列的通项公式和前n项和公式，通过学习函数，学生需要具备解函数方程的能力。能力目标的制定需要考虑教材要求和学生发展需求。

情感目标是指学生应培养的情感态度和价值观。例如，学生可感受到数学对人类社会的重要性和应用前景，培养学生发现问题、解决问题、探究问题的能力和习惯。

二、教学内容

教学内容是指对教材内容进行筛选和组织，制定教学大纲和教学计划。北师大版九年级数学下册教案完整版的教学内容应根据学生认知水平和教学需要进行合理组织。

在具体的教学内容中，教师还需要注意掌握难点和重点，及时掌握学生的学习情况，针对性地给予指导。

三、教学方法

教学方法是指教师在教学活动中所采取的组织形式，包括授课、案例分析、实验教学、调查研究、讨论等。北师大版九年级数学下册教案完整版的教学方法以激发学生兴趣和培养学生思维为核心。