2020届四川省资阳市普通高中高三毕业班第二次高考诊断性考试数学(文)试题(解析版)

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四川省资阳市2020届高三上学期第二次诊断考试数学(文)试卷

数学试题文(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，B ＝{x|x ＝2n，n ∈N}，则A ∩B ＝ A.{－1，1，2} B.{1，2} C.{1，2，4} D.{0，1，2，4} 2.已知i 为虚数单位，复数z ＝i(2＋3i)，则其共扼复数z = A.2－3i B.－2－3i C.3－2i D.－3－2i3.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)。

若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为A.10π+10π C.103π2π-4.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(44sin ,cos33ππ)，则cos α＝A.2 B.12 C.12- D.2- 5.函数2()1x x f x e =-的图象大致是6.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为－2，19，输出y 的值分别为a ，b ，则a ＋b ＝A.－4B.－2C.74-D.147.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA|为坐标原点)，则该椭圆的离心率为A.3 B.32D.3 8.关于函数()3sin(2)1()3f x x x R π=-+∈的图象向右平移12π个单位长度后得到y ＝g(x)图象，则函数g(x)A.最大值为3B.最小正周期为2πC.为奇函数D.图象关于y 轴对称 9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。

2020年四川省资阳市高考数学二诊试卷(文科)(有解析)

2020年四川省资阳市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={−2,−1,0，1，2，3，4}，B={x|2x−1<3}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−2,−1,0，1}D. {−2,−1,0，1，2}2.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i3.如图，如果底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是()A. 13πr2(a+b)B. 12πr2(a+b)C. πr2(a+b)D. 2r2(a+b)4.角α的终边过点(−2,4)，则cosα=()A. 2√55B. −√55C. −2√55D. √555.函数f(x)=e x−e−xx2的图象大致为()A. B.C. D.6..执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为()A. 1.125B. 1.25C. 1.3125D. 1.3757.椭圆x24+y23=1的离心率为()A. √72B. 12C. √32D. 148.将曲线y=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向右平移π6个单位长度后得到曲线y=f(x)，若函数f(x)的图象关于y轴对称，则φ=()A. π3B. π6C. −π3D. −π69.青朱出入图(图1)是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青人的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若E是正方形ABCD的边AB的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为()A. 1126B. 713C. 12D. 112410.已知圆C:x2+y2=1，则圆上到直线l:3x+4y−12=0距离为3的点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300min的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min，已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x min和y min，总收益为z元，则线性目标函数为()A. z=500x+200yB. z=3000x+2000yC. z=500y+200xD. z=x+y12.直线2x−y+1=0与曲线y=ae x+x相切，则a=()A. eB. 1C. 2eD. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若非零向量 α⃗⃗ ，β ⃗⃗⃗⃗ 满足|α⃗+β ⃗⃗⃗⃗ |=|α⃗−β ⃗⃗⃗⃗ |，则α⃗与β ⃗⃗⃗⃗ 所成角的大小为_____。

四川省资阳市高中2023-2024学年高三第二次诊断性考试文科数学试题(含答案)

资阳市高中2021级第二次诊断性考试数学（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}232,450A x x B x x x =-<<=+-≤，则A B ⋂=（）A.∅ B.(]3,1- C.[)1,2- D.()3,2-2.复数1i i 1i z +=+-，则z =（）A.1 C.2 D.43.已知向量()()1,3,2,1a b ==-- ，则()()2a b a b +⋅-= （）A.10B.18C.()7,8-D.()4,14-4.已知命题:,221x p x x ∃∈≥+R ，则p ⌝为（）A.,221x x x ∃∉<+R B.,221x x x ∃∈<+R C.,221x x x ∀∉<+R D.,221x x x ∀∈<+R 5.甲､乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：下列说法正确的是（）A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大6.执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2023，则输出的y 值为（）A.116 B.18 C.14 D.127.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若1599a a a ++=，258b b b =则28281a a b b +=+（）A.2 C.32 D.38.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，点A 在C 上，若122F A F A =，121230,AF F AF F ∠=︒ 的面积为C 的方程为（）A.22196x y -= B.22136x y -=C.22169x y -= D.22163x y -=9.若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（）A.21e B.22e C.1e D.2e10.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则ω的最小值是（）A.52 B.83 C.3 D.7211.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.1AB 与11A C 所成的角为60︒B.1DB 与11A C 所成的角为60︒C.1AB 与1A D 所成的角为45︒D.1DB 与11C D 所成的角为45︒12.已知O 为坐标原点，12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，,A B 分别为C 的左､右顶点.P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线AP 与y 轴交于点M ，直线BM 与2PF 交于点Q ，直线1F Q 与y 轴交于点N .若14ON OM =，则C 的离心率为（）A.13 B.12 C.23 D.34二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()21sin f x a x a x =-+为偶函数，则a =___________.14.已知实数,x y 满足4,20,2,y x y y x ≤-⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩则23x y +的最大值为___________.15.在正四棱台1111ABCD A B C D -内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若112,4A B AB ==，则该四棱台的高是___________.16.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为___________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲､乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300（1）通过计算判断，是否有90%的把握认为产品质量与生产线有关系？（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率.附表及公式：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.18.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 为锐角三角形，π3A =，__________，求ABC 面积的取值范围.从①a =；②2b =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知O 为坐标原点，过点()2,0P 的动直线l 与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点.（1）求OA OB ⋅；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C .（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使得四棱锥11P BCC B -的体积为43？若存在，指出点P 的位置；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()32sin cos f x ax x x x =+-.（1）若0a =，判断()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，并说明理由；（2）当0a >，探究()f x 在()0,π上的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线22:C x y x y +=+（其中0y >），曲线1cos ,:sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >），曲线2sin ,:cos x t C y t αα=-⎧⎨=⎩（t 为参数，0,02t πα><<）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程；（2）若曲线C 与12,C C 分别交于,A B 两点，求OAB 面积的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()222f x x x =-++.（1）解不等式()52f x x ≤-；（2）令()f x 的最小值为T ，正数,a b 满足222a b b T ++=，证明：1a b +≤-.文科数学参考解答及评分参考一､选择题1.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.【答案】B【解析】由{}{}245051B xx x x x =+-=-∣∣ ，所以{}{32}51{31}A B x x x x x x ⋂=-<<⋂-=-<∣∣∣ .2.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法､加法运算，复数模的概念等基础知识；考查运算求解能力.【答案】C 【解析】由21i (1i)i i 2i 1i 2z ++=+=+=-，所以2i 2z ==.3.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的加减法运算，数量积运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.【答案】A【解析】()()()()21,24,710a b a b +⋅-=-⋅= .4.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查全称量词与存在量词的意义､含有一个量词的命题的否定等基础知识；考查数学抽象等数学核心素养.【答案】D【解析】依题意，对有存在量词的命题p 的否定为:,221x p x x ⌝∀∈<+R .5.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查直方图､统计量的含义等基础知识；考查统计与概率等数学思想；考查直观想象､数学建模等数学核心素养.【答案】C【解析】依直方图可知，甲投中个数的平均数､中位数分别比乙投中个数的平均数､中位数大，A,B 错误；甲投中个数的标准差比乙投中个数的平标准差小，C 正确；甲投中个数的极差比乙投中个数的极差小，D 错误.6.【考查意图】本小题设置数学应用情境，设计程序框图问题，主要考查对程序框图以及循环结构的理解和应用等基础知识；考查读图能力和逻辑思维能力；考查逻辑推理素养.【答案】D【解析】运行程序，输入2023x =，则202342019x =-=，满足0;201942015x x =-= ，满足0;;3x x = ，满足0;1x x =- ，不满足0x ，故输出的1122y -==.7.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计等差数列和等比数列问题，主要考查等差数列和等比数列的性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力.【答案】C【解析】由{}n a 是等差数列，159539a a a a ++==得53a =，所以28526a a a +==，由32585b b b b ==得5b =，所以283b b =，所以282866311342a ab b +===++.8.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计求双曲线标准方程的问题，考查双曲线的定义，解三角形及三角形面积等基础知识，考查化归与转化的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.【答案】B【解析】设122F F c =，由12122,2F A F A F A F A a =-=得124,2F A a F A a ==，又因为1230AF F ∠= ，所以121290,2F F A F F c ∠=== ，故12AF F的面积为212212F F F A ⋅==，即2223,9,6a c b ===，故C 的方程为22136x y -=.9.【考查意图】本小题设置有关切线的数学课程学习，考查导数的几何意义､导数的应用等基础知识，考查运算求解､推理论证等能力；考查化归与转化等思想方法.【答案】C【解析】设y kx =与曲线ln y x =相切于点()()000,ln 0A x x x >，则切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =⋅+-，则001,ln 10k x x =-=，解得1ek =.10.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设置三角函数图象问题，主要考查三角函数图象及其性质等基础知识；考查化归与转化能力､运算求解能力；考查数形结合思想，数学运算核心素养.【答案】A【解析】由()102f =-，得1sin 2ϕ=-，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移π3个单位长度后所得函数图象对应的解析式为πππππsin sin 33636y f x x x ωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.由已知得，函数ππsin 36y x ωω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以()πππ36k k ω+=∈Z ，解得()132k k ω=-∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为52.11.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计空间几何问题，主要考查正方体中直线与直线的位置关系､线线角的计算等基础知识与基本技能；考查空间想象能力，考查化归与转化等思想，考查逻辑推理､直观想象等数学素养.【答案】A【解析】如图，由正方体的性质，可得11A C ∥1,AC AB C 为正三角形，所以1B AC ∠为1AB 与11A C 所成的角，等于60,A 选项正确；同理1A D ∥11,B C AB C ∠为1AB 与1A D 所成的角，等于60,C 选项错误；由1B D ⊥平面11A BC ，则111B D A C ⊥，B 选项错误；由11C D ∥CD ，1B DC ∠为1DB 与11C D 所成的角，在Rt 1B DC 中，1tan B DC ∠=，显然D 选项错误.12.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计与椭圆有关的综合问题，考查利用简单图形的几何性质求解点的坐标，线段长度等基础知识，考查化归转化､数形结合等思想方法，考查直观想象､数学运算等数学素养.【答案】B 【解析】设122F F c =，由题知，不妨设()()()()22222221,,,22a c b a c b b a b a c P c OM F P F Q OM ON F Q a a c a c a a a c a a c --⎛⎫-====== ⎪++++⎝⎭，又因为14ON OM =，所以()()()2224a c b b ON a a c a c -==++即2a c =，则12e =.二､填空题13.【考查意图】本小题设置数学学科学习情境，考查函数的奇偶性等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查逻辑推理等数学核心素养.【答案】0【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即()()221sin 1sin a x a x a x a x --=-+，所以2sin 0a x =恒成立，所以0a =.14.【考查意图】本小题设置数学课程学习情景，主要考查线性规划问题；查数形结合思想；考查直观想象､数学运算素养.【答案】11【解析】不等式组所表示的平面区域是由连接()()()4,2,6,2,1,3A B C ---所构成的三角形及内部区域，当23z x y =+所表示的直线过点()1,3C 时，z 的值最大，其最大值为11.15.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计多面体的内切球问题；主要考查正四棱台的底面与高､斜高等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.【答案】【解析】如图，取球心O ､球与上下底面的切点12,O O ，球与左､右侧面的切点34,O O 确定的截面11EFF E .易得1141241,2O F O F O F O F ====，故1123F F =+=，从而四棱台的高h ==.16.【考查意图】本小题设置数学文化情境，设计数列应用问题，主要考查等差数列公差､数列通项公式等基础知识；考查运算求解能力，阅读理解能力，推理论证能力；考查数学文化，逻辑推理素养，数学运算素养.【答案】21【解析】设每日所织尺数为正项等差数列{}n a ，公差为d ，由已知得123471224,,a a a a a a a +++=⎧⎨=⋅⎩即()11114624,6,a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩解得13,2a d =⎧⎨=⎩或124,20a d =-⎧⎨=⎩（不符合题意，舍去），所以1039221a =+⨯=.三､解答题17.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查独立性检验的基本思想及其初步应用､概率等基础知识；考查统计与概率等数学思想；考查数学运算､数据处理､数学建模等数学核心素养.【解析】（1）由题，22300(401008080)100 3.704 2.70612018012018027K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，因此，有90%的把握认为产品质量与生产线有关系.（2）记这6件产品中产自于甲生产线的有2件，记为12,A A ，产自于乙生产线的有4件，记为1234,,,B B B B .从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有：()()()()12111213,,,,,,,A A A B A B A B ，()()()()()()()()()142122232412131423,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B B B B B B B B B ，()()2434,,,B B B B ，共15个.其中，至少有一件产自于甲生产线的基本事件有9个.所以，抽取的2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为915即35.18.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计结构不良问题，主要考查正弦定理，三角形面积公式，锐角三角形等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，数学运算素养，逻辑推理素养.【解析】若选①，由正弦定理得4πsin sin sin sin 3a b c A B C ====，所以4sin ,4sin b B c C ==，2π2π2π4sin 4sin 4sin cos sin 22sin 333c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11sin 4sin 2sin 222ABC S bc A B B B ==⨯⋅+⋅26sin cos B B B=+)3sin21cos2B B =+-3sin2B B =-+π26B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ032C B <=-<且π02B <<，所以ππ62B <<，所以ππ5π1π2,sin 2166626B B ⎛⎫<-<<- ⎪⎝⎭ ，所以π26B ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭故锐角ABC面积的取值范围为(.若选②，由正弦定理得2sin sin sin c b C B B ==，所以()π2sin 2sin 2sin 3cos sin 331sin sin sin sin tan B A B C B B c B B B B B⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=====+，因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ032C B <=-<且π02B <<，所以ππ62B <<，所以()tan 11,43tan B c B >=+∈，所以1sin ,222ABC S bc A c ⎛==∈ ⎝ .故锐角ABC面积的取值范围为,2⎛ ⎝.19.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计直线与抛物线的综合问题，主要考查直线与抛物线的交点坐标､抛物线的对称性等基础知识，考查特殊与一股､化归与转化等数学思想，考查类比推理及数学运算素养.【解析】（1）由题知，直线l 与y 轴不垂直，故可设直线l 的方程为()()11222,,,,x my A x y B x y =+.由24,2y x x my ⎧=⎨=+⎩得2480y my --=.显然，2Δ16320m =+>，于是221212121214,8,416y y m y y x x y y +==-==.所以12124OA OB x x y y ⋅=+=- .（2）当直线l x ⊥轴时，((:2,,2,l x A B =-，故当AQP BQP ∠∠=时，点Q x ∈轴.当直线l 与x 轴不垂直时，由抛物线的对称性知，满足条件的点Q x ∈轴，设(),0Q n ，由AQP BQP ∠∠=得0AQ BQ k k +=，即12120y y x n x n+=--，整理得()()12210y x n y x n -+-=，即()()1221220y my n y my n +-++-=，所以()()1212220my y n y y +-+=.故()16420m n m -+-=，解得2n =-.综上，存在定点()2,0Q -满足条件.20.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计柱体相关的综合问题，主要考查直线与平面垂直的判定及性质，平面与平面垂直的性质，二面角的平面角的计算等基础知识与基本技能；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.【解析】（1）在平面11BB C C 中作1BH CC ⊥于H ，因为平面11AA C C ⊥平面11BB C C ，且平面11AA C C ⋂平面111BB C C CC =，所以BH ⊥平面11AA C C ，从而AC BH ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，1C B ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AC C B ⊥.又因为1BC BH B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB C C ，因此1AC BB ⊥.（2）假设点P 存在，在平面111A B C 中，作PM ∥11A C 交11B C 于M ，则PM ∥AC ，因为AC ⊥平面11BB C C ，故PM ⊥平面11BB C C .在平行四边形11BCC B 中，因为1C B BC ⊥，且12BC BC ==.所以111224BCC B S BC C B =⋅=⨯= .所以1111144333P BCC B BCC B V S PM PM -=⋅=⋅= ，所以1PM =.因112A C =，所以1112PM A C =.故符合条件的点P 存在，为11A B 的中点.21.【考查意图】本小题以幂函数､三角函数等通过四则运算构成的新函数为数学探究创新情境，主要考查函数的图象和性质､导数､不等式等基础知识；考查化归与转化､分类与整合､数形结合等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.【解析】（1）当0a =时，()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是单调递增函数，理由如下：思路1：依题意，()()2sin cos ,cos sin f x x x x f x x x x =-=+'，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos sin 0f x x x x =+>'；当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos 0,sin 0x x x >>，则()cos sin 0f x x x x =+>'，故ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是单调递增函数.思路2：依题意，()()2sin cos ,cos sin f x x x x f x x x x =-=+'，由于()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数，故可先判断()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调性.当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos sin 0f x x x x =+>'，此时()f x 单调递增，由于()f x 为奇函数，所以()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是单调递增函数.（2）由()32sin cos f x ax x x x =+-，得()23cos sin f x ax x x x =++'，依题意，只需探究()23cos sin f x ax x x x =++'在()0,π上的零点个数即可.令()()23cos sin u x f x ax x x x =+'=+，则()()6cos 6cos u x ax x x x a x =+=+'，（i ）当61a ，即16a 时，6cos 0a x + ，此时()0u x ' 在[)0,π恒成立，则()u x 即()f x '单调递增，故()()01f x f ''= ，此时()f x '在()0,π上无零点，则()f x 在()0,π上的极值点个数为0.（ii ）当061a <<，即106a <<时，()00,πx ∃∈，使得()006cos 0x a x +=，即0cos 6x a =-，可知00x x <<时，()00;πu x x x ><<'时，()0u x '<，所以()u x 即()f x '在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，由于()()201,π3π1f f a ='=-'，①若()2π3π10f a =-' ，即2113π6a < 时，()f x '在()0,π上没有零点，所以，()f x 在()0,π上的极值点个数为0.②若()2π3π10f a =-<'，即2103πa <<时，()f x '在()0,π上有1个零点，所以，()f x 在()0,π上的极值点个数为1.综上所述：当213πa时，()f x 在()0,π上的极值点个数为210;03πa <<时，()f x 在()0,π上的极值点个数为1.选考题22.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计坐标系与参数方程的综合问题，考查直角坐标与极坐标的转化，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的交点，三角形的面积等基础知识，考查化归与转化，数形结合的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.【解析】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，由22x y x y +=+，得2cos sin ρρθρθ=+.由0y >知，0ρ=>，且2π2ππk k θ<<+，故cos sin ,2π2ππ,k k k ρθθθ=+<<+∈Z .（2）曲线1cos ,:sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >）的极坐标方程为θα=，又ππsin cos ,cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线2C 的极坐标方程为π2θα=+.联立曲线C 与1C 的极坐标方程，得cos sin cos sin A ραααα=+=+；联立曲线C 与2C 的极坐标方程，得sin cos cos sin B ραααα=+=+.故OAB 的面积为()()21111(cos sin )12sin cos 1sin212222A B ρρααααα=+=+=+ ，故当π4α=时，OAB 面积的最大值为1.23.【考查意图】本小题以含有绝对值的函数为数学课程学习情景，考查函数的图象和性质，不等式的解法，不等式的证明方法等基础知识；考查函数与方程､化归与转化等数学思想；考查逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）当2x <-时，()22252f x x x x =-+--- ，解得52x -<- ；当21x - 时，()22252f x x x x =-+++- ，解得21x - ；当1x >时，()22252f x x x x =-++- ，此时不成立，综上所述，原不等式的解集为{}51xx -∣ .（2）由题意，当2x <-时，()36f x x =->；当21x - 时，()43f x x =-+ ；当1x >时，()33f x x =>，则()f x 的最小值为3T =.所以，2223a b b ++=，即22(1)4a b ++=.因为()222222222(1)(1)21(1)(1)2(1)8a b a b a b a b a b a b ⎡⎤++=+++++++++=++=⎣⎦ ，又,a b 为正数，则当且仅当1a b =+时取等号，此时1a b ==-，所以1a b ++ ，即1a b + .。

四川省资阳市高三数学上学期第二次诊断考试试题文

资阳市高中2013级第二次诊断性考试数学（文史类）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{}12345U =，，，，，集合{}24M =，，集合{}35N =，，则()U M N =I ð (A) {}15，(B) {}35， (C) {}135，，(D) {}245，，2．已知i 为虚数单位，复数24ii+= (A) 42i -(B) 42i +(C) 42i --(D) 42i -+3．抛物线24x y =的焦点坐标是 (A) (20)-，(B) (02)-，(C) (10)，(D) (01)，4．已知O 为坐标原点，点A (2，1)，向量(12)OB =-u u u r，，则()()OA OB OA OB +⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r (A) －4 (B) －2 (C) 0(D) 25．已知命题p ：0x ∀≥，21x ≥；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是(A) p q ∧(B) p q ⌝∧(C) p q ⌝⌝∧(D) p q ⌝∨6．若函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕ<<π)的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为 (A) 6π(B) 4π (C)3π(D)32π 7．在区间[24]-，上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4(D) 98．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为(A) 0，4 (B) 0，3 (C) 2，4 (D) 2，3 9．某几何体的正视图、侧(左)视图、俯视图如图所示，若该几何体各个顶点在同一个球面上，则该球体的表面积是 (A) 6π (B) 12π (C) 24π (D) 32π10．若函数3211()(8)2(00)32f x ax b x x a b =+-+>，≥在区间[1，2]上单调递减，则(1)a b -的最大值为 (A) 4(B) 194 (C)92(D)254第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

四川省资阳市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

四川省资阳市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】【分析】【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,|y 1-y 2|=|πsinx 1-πcosx 2| =22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.2．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.3．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A BC ．2D 【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 60ba=︒=223b a =.∴双曲线的离心率为22cae aa a==== 故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．4．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（）A ．43π B ．4π C ．323πD ．【答案】A 【解析】【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】由题,因为1,AC BC AC BC ==⊥,所以AB ==设PB h =,则由2PA PB =,可得2h =,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.5．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】【分析】由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=，所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴，故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 6．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 7．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（）A ．34+ B ．34+ C ．36+ D ．36+ 【答案】A 【解析】【分析】所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦，当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 8．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )A B ．2C ．1D【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1i z i +⋅=-,所以()()()211111i i z i i i i --===-++⋅-,由复数模的定义知,1z ==.故选:C 【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.9．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变【答案】D 【解析】【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫=⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题10．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）【答案】B 【解析】【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。

四川省资阳市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析

四川省资阳市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺【答案】A 【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的四棱锥的体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故选A ．【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．2．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.3．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（） A ．43π B ．4πC ．42πD ．3π【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱锥底边边长为2，高为2，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为22，所以2,2OB SB == ，O 到SB 的距离为1SO OBd SB⨯==，同理O 到,,SC SD SA 的距离为1，所以O 为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为4π. 故选：B 【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.4．在等腰直角三角形ABC 中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为ABCD 的外接球的表面积为（）.A ．5πB ．3C ．12πD ．20π【答案】D 【解析】【分析】如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后AB =(222221cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=，设ADB ∆外接圆的半径为r ，24sin120r ∴== ，2r ∴= ，如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.5．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.6．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（）A ．1112- B ．31- C ．221-D ．32【答案】C 【解析】【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则121022211a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，所以，圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2231x y -+=，设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭当2y =±时，MC 取最小值2min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.7．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（） A ．9 B ．27 C ．81D ．83【答案】A 【解析】【分析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q.由43231030a a a -+=，得231030q q -+=，解得3q =或13q =. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =. 又()4141340133a S -==-，解得113a =，故341393a =⨯=. 故选：A 【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（）则212222442k x x k k++==+，因为直线()1y k x =-经过C 的焦点，所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k=+，所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学(文)试题(解析版)

2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题一、单选题1.已知集合A xx2 3x 10 0 , B x x 2n , nN ，则AI B （）A. 1,1,2B. 1,2C. 1,2,4D. 0,1,2,4【答案】C【解析】解一元二次不等式化简集合A,集合B中的元素都是正整数，再根据集合的交集的概念进行运算即可，【详解】因为A xx2 3x 10 0 {x| 2 x 5},所以A B {1,2,4}.故选:C【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知i为虚数单位，复数z i 2 3i，则其共扼复数z （）A. 2 3iB. 2 3iC. 3 2iD. 3 2i【答案】D【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数z ,再根据共轭复数的概念可得答案.【详解】因为z i 2 3i 3 2i ,所以；3 2i.故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.3•已知圆柱的底面半径为2,高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形nABCD （如图）.若底面圆的弦AB所对的圆心角为一，则圆柱被分成两部分中较大部3 分的体积为（）【答案】A【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案【详解】设截面ABCD 将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为 V i ,圆柱的体积为V , DC 将则S15 22 1 2 2 空：",62 23V 22 3 12 ,S 22 4 ,所以依题意可得呂 ,V S10[3 所以S 13 2-., M » 上12 103、3S4故选:A 【点睛】本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积，利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键，属于基础题•4•在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P4 n 4 n sin ,cos33,则 cos ()A. 5B. -C.1 D.込2222【答案】 D【解析】根据三角函数的定义计算可得答案•【详解】A . 10 n 3.3B. 10nD. 2 n 3. 3圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为 S i ,圆柱的底面积为S ,所以cos1 2故选：D 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值，属于基础题.2£ X5 •函数fX r —-的图象大致是（）e 1因为sin 4sin — 34 ,cos —3 1cos32，所以1,【解析】根据函数值恒大于等于 0,排除A ,根据函数不是偶函数，排除C ,根据x 趋近于正无穷时，函数值趋近于0,排除D ,故选：B . 【详解】因为f x函数f x2X 0,所以A 不正确；e 12x—— 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，所以C 不正确；当 x 0 时,f(x)2Xxe 10,当x 趋近于正无穷时，x 2和e x 1都趋近于正无穷，但2是e x1增大的速度大于x2增大的速度,所以f x —趋近于0,故D不正确.e x1故选:B【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象，考查了偶函数图象的对称性，考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键1若输入x的值分别为2 ,-,输出y的值分别为a , b ,9A. 4B. 2【答案】C1【解析】根据程序框图得到a -, b4【详解】由程序框图可知：程序框图的功能是计算分段函数的函数值2 1 1当x 2时，y 2 ,所以a ,4 41 1当x 时，y log32,所以b 2,9 91 7所以a b — 2 -4 4'故选:C【点睛】本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值，搞清楚程序框图的功能是解题关键属于基础题.27.已知椭圆牛2 a2 _^2 1 a b 0的左顶点为A ,上顶点为B ,且OA 、、3|OB ( O b6.执行如图所示的程序框图,c 71C. D.-442,再相加即可得到答案则a b ( )为坐标原点)，则该椭圆的离心率为(【答案】B【详解】依题意可知a = • 3b ,即b ―33所以该椭圆的离心率 e故选:B 【点睛】g x 图象，则函数g【答案】D式可得答案• 【详解】依题意可得g(x) 3sin[2( x) ] 1 12 3所以g(x)的最大值为4,最小正周期为，g(x)为偶函数，图象关于y 轴对称.故选:D 【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，考查了诱导公式，考查了函数的最值,周期性和奇偶性【解析】根据题意得a= 3b 以及a 2b 2c 2,消去b ,结合离心率的定义可得答案(33a)2 空a ，3本题考查了求椭圆的离心率,关键是由OAJ3|0B 得到a = 73b ,属于基础题.8. 关于函数f x 3sinn2x - 3nR 的图象向右平移一个单位长度后得到12A . 最大值为3B .最小正周期为2 nC. 为奇函数D.图象关于y 轴对称【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得g(x) 3cos2x 1,再根据g(x)的解析3sin(2x -) 13cos2 x 1 ,属于基础题 9 •部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义•如图，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于-种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.图① 豳图③ 图④若在图④中随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为（【答案】C【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比，再用几何概型的概率公式可得答案【详解】依题意可得：图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积图②中阴影部分的面积是大三角形面积的所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率故选:C 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了几何概型的概率公式，属于基础题• 10 •圆x 2 y 2 2x 2y 2 0上到直线|：x y 0的距离为1的点共有（）A . 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C通过计算可知：圆心到直线的距离等于圆的半径的一半【详解】A .9 28c. 27D.286437 64图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916归纳可得，图④中阴影部分的面积是大三角形面积的27 64为27.64,由此可得结论【解析】圆X2 y2 2x 2y 2 0 可化为（x 1）2（y 1）24,所以圆心为（1,1）,半径r为2,圆心（1,1）到直线l : x y . 2 0的距离为：d 1 1 1 2 11,V111所以d r,2所以圆x2 y2 2x 2y 2 0上到直线l :x y 2 0的距离为1的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径，考查了点到直线的距离公式，属于基础题•11 •某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元•若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（）A. 2400 元B. 2560 元C. 2816 元D. 4576 元【答案】B【解析】设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,依题意列出x,y所满足的不等式组和目标函数，然后作出可行域，平移直线320X 504y 0,根据图形得到最优解，代入最优解的坐标即可得到答案•【详解】设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元，0x80 y 4则，目标函数z 320x 504 y ,24x 30 y 180x N, y N0x8作出不等式组0 y 4 所表示的平面区域，如图所示的阴影部分：24x 30 y 180作直线320x 504y 0 ,并平移，分析可得当直线过点(8,0)时，z取得最小值即z min 8 320 0 504 2560 元.故选:B【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值，解题关键是找到最优解，属于基础题.12 .已知直线y a x 1与曲线f x e x b相切，则ab的最小值为( )1112A. -B. - c. D.4e2e e e【答案】B【解析】设切点为(X0,e' b),利用导数的几何意义可得X In a ,将切点(x0,e x° b)坐标代入直线y a(x 1),可得ab a2Ina,再构造函数利用导数可得最小值.【详解】设切点为(X o’e" b),因为f(x) e x b ,所以f (x) e x,所以f (怡)e x0 a ,所以X。

四川省资阳市高中2021-2022学年高三上学期理数第二次诊断性考试试卷

四川省资阳市高中2021-2022学年高三上学期理数第二次诊断性考试试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x∣−1<x<1}，B={x∣0⩽x⩽2}，则A∪B=（）A．{x∣−1<x⩽2}B．{x∣−1⩽x⩽2}C．{x∣0⩽x⩽1}D．{x∣−1<x⩽0}2．（2分）若复数z满足z⋅i=√3+i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）下面正确的是（）A．tan1<sin2<cos3B．sin2<cos3<tan1C．cos3<tan1<sin2D．cos3<sin2<tan14．（2分）若实数x，y满足约束条件{x+y≤1x−y≤1x⩾0，则z=x−3y的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 5．（2分）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．若α⊥β，m⊥α，则m//βC．若m//α，α∩β=n，则m//nD．若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n6．（2分）已知椭圆C的上焦点为F，过原点O的直线l交C于点M，N，且2|FO|=|MN|，若∠MNF=π12，则C的离心率为（）A．√22B．√33C．√63D．√3−127．（2分）新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ln10≈2.30）（）A．4天B．6天C．8天D．10天8．（2分）志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（）A．14B．12C．24D．289．（2分）若√2cos2θcos(π4−θ)=√3sin2θ，则sin2θ=（）A．13B．23C．−23D．−1310．（2分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为311．（2分）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，CB，CD的中点，P为线段AD1上的一个动点，平面α∥平面EFG，则下列命题中错误的是（）A．不存在点P，使得CP⊥平面EFGB．三棱锥P−EFG的体积为定值C．平面α截该正方体所得截面面积的最大值为√32D．平面α截该正方体所得截面可能是三角形或六边形12．（2分）已知函数f(x)={x2−5x−6，x≤λ，ln(x−1)，x>λ.若f(x)的图象与x轴恰好有2个交点，则实数λ的取值范围是（）A．[6，+∞)B．[1，2)∪(2，+∞)C．[−1，2)∪(6，+∞)D．[1，2)∪[6，+∞)12x )的展开式中常数项为．14．（1分）已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，|c |=1，|a −c |=|b ⃗ −c |=√13，则|a −b⃗ |的最大值是 .15．（1分）已知点F 是抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，点A(2，y 1)，B(12，y 2)分别是抛物线上位于第一､四象限的点，若|AF|=10，则△ABF 的面积为 .16．（1分）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm 的圆面中剪下扇形 OAB ，使扇形 OAB 的面积与圆面中剩余部分的面积比值为 √5−12 （ √5−12≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形 OAB中剪下扇环形 ABDC 制作扇面，使扇环形 ABDC 的面积与扇形 OAB 的面积比值为 √5−12．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为cm 2．三、解答题(共7题；共61分)17．（6分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n+1=4a n ，n ∈N ∗，且a 1=4.（1）（5分）证明：{a n+1−2a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）（1分）在①b n =a n+1−a n ；②b n =log 2a nn ；③b n =a n+2a n+1a n这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列{b n }满足_______，求{b n }的前n 项和T n . 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.18．（10分）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）参考公式：K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．（1）（5分）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？（2）（5分）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考数据： 19．（10分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB =AD =2，CD ⊥PD ，异面直线PA 与CD 所成角等于60∘.（1）（5分）求证：平面PCD ⊥平面PBD ；（2）（5分）在棱PA 上是否存在一点E ，使得平面PAB 与平面BDE 所成锐二面角的切值为√5？若存在，指出点E 的位置，若不存在，请说明理由.20．（5分）已知抛物线C ： y 2 =2px 经过点 P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点， QM ⇀=λQO ⇀ ， QN ⇀=μQO ⇀ ，求证： 1λ+1μ为定值．21．（10分）已知f(x)=x+1−mx−mlnx，m∈R.（1）（5分）讨论f(x)的单调区间；（2）（5分）当0<m≤e 22时，证明：e x>x2−xf(x)+1−m.22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为{x=a+√2ty=1+√2t（t为参数，a∈R），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ−ρ=0．（1）（5分）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）（5分）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．23．（10分）已知函数f(x)=√|x+2|+|x−4|−m的定义域为R．（1）（5分）求实数m的范围；（2）（5分）若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b +13a+2b=n时，求4a+7b的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵A={x∣−1<x<1}，B={x∣0≤x≤2}，∴A∪B={x∣−1<x⩽2}。

四川省资阳市2022届高三第二次诊断性考试数学(文)试题

四川省资阳市2022届高三第二次诊断性考试数学〔文〕试题xiangpi 橡皮网在线组卷系统资阳市高中2022级第二次诊断性考试数学〔文史类〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕。

第一卷1至2页，第二卷3至4页。

总分值150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第一卷〔选择题共50分〕考前须知：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第一卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．复数m2?1?(m?1)i是纯虚数，那么实数m 的值为(A)－1 (C)?1(B)1 (D)?22．集合M?{x|1?x?2}，N?{x|x?a}，假设M?N，那么实数a的取值范围是(A)[2,??) (C)[1,??)(B)(2,??)(D)(1,??)3．抛物线y2?2x的焦点到其准线的距离是(A)1 4(B)1 2(C) 1 (D) 24．“a?2〞是“直线(a2?a)x?y?1?0和2x?y?1?0互相平行〞的(A) 充要条件(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件(C)充分不必要条件15．设a?log12，b?log23，c?()0.3，那么a，b，c大小关系为23(A) a?b?c (C)b?c?a(B)a?c?b (D)c?a?bxiangpi 橡皮网在线组卷系统 x2y26．双曲线2?2?1(a>0，b>0) 的离心率为3，那么双曲线的渐近线方程为ab(A) y??2x 1(C)y??x2(B)y??2x 2(D)y??2x?0?x?2,7．在不等式组?所表示的平面区域内任取一点P，那么点P的坐标(x,y)满足x?2y?00?y?2?的概率为 (A)(C)3 41 2(B)(D)2 31 48．执行如下图的程序框图，那么输出S的值为(A)(C)33 23 2(B)3 (D) 09． a、b为平面向量，假设a＋b与a的夹角为3 36 3?3，a＋b与b的夹角为5 36 2?4，那么|a|? |b|(A)(C)(B)(D)?1?2?2x,0?x?1,110．定义在R上的函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，当x?[0,2)时，f(x)??函321?|x?|?2,1?x?2.??2数g(x)?x3?3x2?m．假设?s?[?4,?2)，?t?[?4,?2)，不等式f(s)?g(t)?0成立，那么实数m的取值范围是 (A) (??,?12] (C)(??,8] (B)(??,?4] (D)(??,31] 2xiangpi 橡皮网在线组卷系统第二卷〔非选择题共100分〕考前须知：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

四川资阳市2020届高三语文第二次诊断考试卷附答案详析

四川资阳市2020届高三语文第二次诊断考试卷本试卷8页，22小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.答主观题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。

“互联网＋”固然全面推动了文化产业的发展,使互联网文化消费异军突起，但由此引发的狂热消费，特别是过度娱乐化现象，也同样值得警惕。

在传统文化产业中，文化消费一直扮演着“软消费”的角色，其弊端是，不仅大众的消费欲难以释放，而且消费也难与生产环节形成有效的互动。

但在互联网时代，这一情形得以改变，消费者既可以按照自己的需求参与到产品的设计、生产、传播等诸环节，生产者也可以精准把握到消费者的“痛点”，进而满足消费者日益多样化、个性化的需求。

在这种双向互赢价值链驱动下，互联网文化消费近年来出现“井喷”，消费的潜力开始得到极大释放。

特别是在“80后”“90后”群体中，互联网文化消费俨然已成为一种日常行为。

随之而来，互联网文化消费也对传统理性、节制的消费文化产生了巨大冲击。

它依托强烈的浸入感、消遣性与便捷性，劝诱人们尽情消费、享受消费，鼓吹“消费的增长就是幸福的增长”。

在这里，物欲的满足不是首要目的，重要的是时刻在线及刷屏过程中那令人陶醉的快感，越是消费便越让人“欲罢不能”。

很多人警觉地发现，使用短视频等互联网产品本来是要利用碎片时间进行消遣，结果却发现自己的时间越切越碎，本来是要消费文化，实际却被文化“消费”。

互联网文化消费强调娱乐作为文化消费的首要性。

在一些人看来，互联网应成为人们在饱受现实世界束缚、压抑之外的另一个轻松、自由与愉快的新世界。

资阳市高三数学第二次诊断性考试试题文

资阳市高中2012级第二次诊断性考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21(1)i m m -++是纯虚数，则实数m 的值为(A)－1 (B)1(C)1±(D)2±2．集合{|12}M x x =<<，{|}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)[1,)+∞(D)(1,)+∞3．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离是(A)14(B)12(C) 1(D) 24．“2a =”是“直线2()10a a x y -+-=和210x y ++=互相平行”的(A) 充要条件(B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件5．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则a ，b ，c 大小关系为(A) a b c << (B)a c b << (C)b c a <<(D)c a b <<6．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)(A) 2y x =±(B)y =(C)12y x =±(D)y =7．在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，则点P 的坐标(x ,y )满足20x y -≤的概率为 (A)34 (B)23 (C)12(D)148．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(D) 09．已知 a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为3π，a ＋b 与b 的夹角为4π，则||||=a b10．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，31||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是 (A) (,12]-∞- (B)(,4]-∞- (C)(,8]-∞(D)31(,]2-∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

【数学】四川省资阳市2020届高三第二次诊断考试数学(文科)(PDF版含命题说明)

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2020年四川省宜宾市高考(文科)数学第二次诊断检测试卷含解析

2020年高考（文科）数学第二次诊断测试试卷一、选择题1．设i是虚数单位，则（2+3i）（3﹣2i）＝（）A．13B．5i C．6﹣6i D．12+5i2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，}3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．如图，为了估计函数y＝x2的图象与直线x＝﹣1，x＝1以及x轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形ABCD中随机产生1000个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为（）A．0.698B．0.606C．0.303D．0.1516．函数f（x）＝x cos（x﹣）的图象大致为（）A．B．C．D．7．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（）A．11B．10C．9D．88．已知tan（﹣）＝，sinθ＝（）A．B．C．D．9．四棱锥P﹣ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法错误的是（）A．MN与PD是异面直线B．MN∥平面PBCC．MN∥AC D．MN⊥PB10．在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（）A．B．3C．1D．311．过抛物线x2＝12y的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若＝3，则|BC|＝（）A．4B．4C．6D．812．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0．当x∈[0，1]，f（x）＝1﹣x2，则（）A．f（log2）＞f（）＞f（log23）B．f（）＞f（log2）＞f（log23）C．f（log2）＞f（log23）＞f（）D．f（）＞f（log23）＞f（log2）二、填空题13．函数f（x）＝x3+2x2+3x+的零点个数为．14．已知f（x）＝sin x+x+m为奇函数，则f（）＝．15．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，P是边BC的垂直平分线上的一点，则•＝．16．已知圆锥的顶点为S，过母线SA，SB的切面切口为正三角形，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为．三、解答题17．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（x）23456患病人数（y）2222171410（1）求y关于x的线性回归方程；（2）计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若|r|∈[0.75，1]，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则x，y相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则x，y相关性较弱．）参考数据：≈5.477参考公式：＝＝，相关系数r＝．18．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．19．将棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥D1﹣ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．（1）求证：OB∥平面ACD1；（2）求几何体ACB1A1D1的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣2上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21．已知函数f（x）＝e x﹣x2+x．证明：（1）函数f（x）在R上是单调递增函数；（2）对任意实数x1，x2，若f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系xOy．（1）求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；（2）求证：|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|．（1）求不等式f（x）＜1的解集；（2）若存在实数x，使不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设i是虚数单位，则（2+3i）（3﹣2i）＝（）A．13B．5i C．6﹣6i D．12+5i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：（2+3i）（3﹣2i）＝6﹣4i+9i+6＝12+5i．故选：D．2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵B＝{x|﹣2＜x＜3}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【分析】根据图表，观察分析可得．解：由图可得，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，正确，故A正确，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，正确，故B正确，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，正确，故C正确，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数，一直在增加，在2月12日左右新增人数达到峰值，故D错误，故选：D．4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y＝x即y＝x，由此可得b：a＝4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意一条渐近线方程为y＝x，得＝，设b＝4t，a＝3t，则c＝＝5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e＝＝．故选：A．5．如图，为了估计函数y＝x2的图象与直线x＝﹣1，x＝1以及x轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形ABCD中随机产生1000个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为（）A．0.698B．0.606C．0.303D．0.151【分析】先求矩形面积为2，设区域面积为x，由几何概型可求．解：设面积区域为x，由概率的几何概型知，则，解之得x＝0.606，则该区域面积的近似值为0.606．故选：B．6．函数f（x）＝x cos（x﹣）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，排除B、D，进而分析可得在区间（0，π）上，有f（x）＞0，排除C，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝x cos（x﹣）＝x sin x，有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除B、D；又由在区间（0，π）上，x＞0，sin x＞0，有f（x）＞0，排除C；故选：A．7．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（）A．11B．10C．9D．8【分析】这是一个循环结构的问题，根据循环体的运算功能一步步往下算就行，直到算出m＝1，要注意m与n的值对应好．解：根据框图可知：n＝2，m＝40n＝6，m＝3×5+1＝16n＝10，m＝，故选：B．8．已知tan（﹣）＝，sinθ＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合两角和的正切公式可求tan，然后利用sinθ＝，代入即可求解．解：因为tan（﹣）＝，所以tan＝tan[（）+]＝＝3，所以sinθ＝＝＝．故选：C．9．四棱锥P﹣ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法错误的是（）A．MN与PD是异面直线B．MN∥平面PBCC．MN∥AC D．MN⊥PB【分析】画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的性质判断选项A、B、C的正误，直线与平面垂直，判断选项D．解：由题意可知四棱锥P﹣ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN 与PD是异面直线，正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，正确；MN ∥AC，不正确；MN⊥PB正确；故选：C．10．在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（）A．B．3C．1D．3【分析】先根据角平分线性质求得DC，再结合余弦定理求得cos B，进而求出S△ABC，即可求得结论．解：如图：；因为△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，所以：＝⇒DC＝4；∴BC＝6；∴cos B＝＝＝﹣；∴sin B＝＝；∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝3．∴S△ABD＝S△ABC＝．故选：A．11．过抛物线x2＝12y的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若＝3，则|BC|＝（）A．4B．4C．6D．8【分析】作出图象，作BM⊥CP，AN⊥CP，BH⊥AN，设BF＝x，根据抛物线的性质可得BM＝BF＝HN＝x，AN＝AF＝3x，进而得到sin∠ACN＝，则可求出x的值，进而得到BC的值解：作BM⊥CP，AN⊥CP，BH⊥AN，如图，因为＝3，不妨设BF＝x，所以AF＝3BF＝3x，AB＝4x根据抛物线的定义可得，BM＝BF＝HN＝x，AN＝AF＝3x，FP＝p＝6，则AH＝AN﹣HN＝3x﹣x＝2x，所以sin∠ABH＝sin∠ACN＝＝，则CF＝12，CB＝2x，则CF＝CB+BF＝3x＝12，所以x＝4，则BC＝2x＝8，故选：D．12．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0．当x∈[0，1]，f（x）＝1﹣x2，则（）A．f（log2）＞f（）＞f（log23）B．f（）＞f（log2）＞f（log23）C．f（log2）＞f（log23）＞f（）D．f（）＞f（log23）＞f（log2）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：因为定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0．所以f（2+x）+f（﹣x）＝0即f（2+x）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝f（x），即函数的周期为4，因为当x∈[0，1]，f（x）＝1﹣x2单调递减，因为f（）＝﹣f（﹣）＝﹣f（）＜0，f（log23）＝﹣f（log2）＜0，f（）＝f（﹣log32）＝f（log32）＞0，因为0＜log2＜＜1，所以﹣f（log2）＜﹣f（），所以，f（）＞﹣f（）＞﹣f（log2），即f（）＞f（）＞f（log23），故选：A．二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝x3+2x2+3x+的零点个数为2．【分析】先求出导函数f'（x），令f'（x）＝0求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数．解：∵函数f（x）＝x3+2x2+3x+，∴f'（x）＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3），令f'（x）＝0得：x＝﹣3或﹣1，∴当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（﹣3，﹣1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴函数f（x）的极大值为f（﹣3）＝，极小值为f（﹣1）＝0，∴函数f（x）的大致图象如图所示：，由图象可知，函数f（x）有2个零点，故答案为：2．14．已知f（x）＝sin x+x+m为奇函数，则f（）＝．【分析】由奇函数的性质先求出m，然后代入即可求解．解：由奇函数的性质可得f（0）＝m＝0，故f（x）＝sin x+x，所以f（）＝1+．故答案为：1+．15．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，P是边BC的垂直平分线上的一点，则•＝﹣．【分析】取BC的中点D，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．解：取BC的中点D，由条件得：•＝•（）＝•+•＝（﹣）•（+）+0＝（）＝（22﹣32）＝﹣．故答案为：﹣．16．已知圆锥的顶点为S，过母线SA，SB的切面切口为正三角形，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为8π．【分析】求出SA＝SB＝SC＝l，∠SAC＝30°，AC＝l，AB＝l，根据三角形的面积求得l，由此能求出该圆锥的侧面积．解：依题意画图，如图：SA＝SB＝SC＝l，∠SAC＝30°，AC＝l，AB＝l，∵△SAB的面积为＝l2•sin60°，解得l＝4，∴AC＝4，r＝2，∴该圆锥的侧面积为：πrl＝8π．故答案为：8π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（x）23456患病人数（y）2222171410（1）求y关于x的线性回归方程；（2）计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若|r|∈[0.75，1]，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则x，y相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则x，y相关性较弱．）参考数据：≈5.477参考公式：＝＝，相关系数r＝．【分析】（1）结合已知数据和参考公式求出这两个系数即可得回归方程；（2）根据相关系数r的公式求出其值，再结合r的正负性与|r|的大小进行判断即可．解：（1）由题意得，，由公式求得，，故y关于x的线性回归方程为．（2），∴r＜0，∴说明x，y负相关，又|r|∈[0.75，1]，说明x，y相关性很强．∴可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．18．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．【分析】本题第（1）题先令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝，再利用公式b n＝即可计算出数列{b n}的通项公式，再计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．当n＝1时，b1＝S1＝，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝，∴数列{b n}是常数列，即b n＝，故a n＝，n∈N*．（2）由（1）知，，∴T n＝++…+＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝[﹣]＝﹣＝．19．将棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥D1﹣ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．（1）求证：OB∥平面ACD1；（2）求几何体ACB1A1D1的体积．【分析】（1）取AC中点为O1，连接OO1，B1D1，O1D1．在正方形A1B1C1D1中，由O 为A1C1的中点，得O为B1D1的中点，证明OO1∥BB1，OO1＝BB1，得四边形OO1B1B 为平行四边形，得到BO1∥D1O，BO1＝D1O．进一步得到四边形O1BOD1为平行四边形，则BO∥O1D1．再由线面平行的判定可得OB∥平面ACD1；（2）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求得，，，再由体积作差可得几何体ACB1A1D1的体积．【解答】（1）证明：取AC中点为O1，连接OO1，B1D1，O1D1．在正方形A1B1C1D1中，∵O为A1C1的中点，∴O为B1D1的中点．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，CC1∥BB1，CC1＝BB1，∴OO1∥CC1，OO1＝CC1，CC1∥BB1，CC1＝BB1．∴OO1∥BB1，OO1＝BB1，∴四边形OO1B1B为平行四边形，∴BO1∥B1O，BO1＝B1O，∴BO1∥D1O，BO1＝D1O．∴四边形O1BOD1为平行四边形，则BO∥O1D1．又BO⊄平面ACD1，O1D1⊂平面ACD1，∴OB∥平面ACD1；（2）解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴，．又，且，而，∴．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣2上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【分析】（1）由焦点坐标和离心率及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）有题意设T的坐标，由（1）得左焦点F的坐标，可得在TF的斜率，有题意可得PQ的斜率及方程，将直线PQ与椭圆联立求出两根之和，求出弦PQ的中点，及TF的中点，有题意可得中点相同，再求出四边形OPTQ的面积．解：（1）由已知得：，所以；又a2＝b2+c2，解得b＝1，所以椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）设T点的坐标为（﹣2，m），则直线TF的斜率，当m≠0时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是x＝my﹣1；当m＝0时，直线PQ的方程也符合x＝my﹣1的形式．由得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0．其判别式△＝4m2+4（m2+2）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即（x1，y1）＝（﹣2﹣x2，m﹣y2），所以解得m＝0，此时四边形OPTQ的面积．21．已知函数f（x）＝e x﹣x2+x．证明：（1）函数f（x）在R上是单调递增函数；（2）对任意实数x1，x2，若f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2＜0．【分析】（1）依题意可得f′（x）＝e x﹣x+1，f'″（x）＝e x﹣1，通过f'″（x）的单调性的分析，可求得f'（x）min＝f（0）＝2＞0，于是可证得函数f（x）在R上是单调递增函数；（2）利用（1）函数f（x）在R上是单调递增函数，设x1＜0＜x2，再构造函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝e x+e﹣x﹣x2（x＜0），利用导数分析其单调性即可证得x1+x2＜0成立．【解答】证明：（1）f′（x）＝e x﹣x+1，f'″（x）＝e x﹣1，令f'″（x）＞0，得x＞0，即函数f′（x）在区间（0，+∞）上单调递增；f''（x）＜0，得x＜0，函数f'（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减；所以f'（x）min＝f（0）＝2＞0，故函数f（x）在R上是单调递增函数；（2）因f（x1）+f（x2）＝2f（0）＝2，f（x）在R上是单调递增函数，不妨设x1＜0＜x2，构造g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝e x+e﹣x﹣x2（x＜0），g'（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，g''（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以y＝g'（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以g'（x）＜g'（0）＝0，所以y＝g（x）在（﹣∞，0）上单减，因x1＜0，g（x1）＝f（x1）+f（﹣x1）＞g（0）＝2＝f（x1）+f（x2），有f（﹣x1）＞f （x2）．由（1）知，f（x）在R上是单调递增函数，有﹣x1＞x2，即x1+x2＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系xOy．（1）求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；（2）求证：|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1转换为直角坐标方程为：y＝x﹣1，联立C与l的方程得；3x2﹣4x＝0，解得．由于AB中点为M，∴．证明：（2）由（1）利用两点间的距离公式的应用得：，∴．又设AB的垂直平分线代入C的方程得：，∴．∴|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|．（1）求不等式f（x）＜1的解集；（2）若存在实数x，使不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得存在实数x，不等式m2﹣3m＜[f（x）]max成立，由一次函数的单调性可得f（x）的最大值，结合二次不等式的解法可得所求范围．解：（1）f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|＝，当x≥1时，﹣x﹣7＜1解得x≥1；当﹣3＜x＜1时，﹣3x﹣5＜1解得﹣2＜x＜1；当x≤﹣3时，x+7＜1解得x＜﹣6．综上得x＜﹣6或x＞﹣2．∴不等式的解集为（﹣∞，﹣6）∪（﹣2，+∞）；（2）∵存在实数x，不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，∴存在实数x，不等式m2﹣3m＜f（x）成立．∴存在实数x，不等式m2﹣3m＜[f（x）]max成立．又f（x）＝，∴f（x）max＝f（﹣3）＝4，∴m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4．∴m的范围是（﹣1，4）．。

四川省资阳市两板中学2020年高二数学文模拟试卷含解析

四川省资阳市两板中学2020年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：D2. 设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为( )A．?x0∈R，x02+1＞0 B．?x0∈R，x02+1≤0C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x∈R，x2+1≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：?x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：?x0∈R，x02+1≤0．故选B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．3. 在平行四边形中，等于参考答案：A，故选.4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略5. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于()图21－1A．7 B．15C．31 D．63参考答案：D6. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)参考答案：D 7. 正方体，，，为别是，，的中点，则正方体过，，三点的截面图形是（）． A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形参考答案：D如图，过，，的截面是六边形，故选．8. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B 略9. 设单位向量和满足：与的夹角为，则与的夹角为（A ）（B ）（C ）（D ）参考答案：D 10. 已知（m 为常数）在区间[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是（）A. －37 B . －29 C. －5 D. 以上都不对参考答案：Af′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)．当－2<x<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－2,0)上为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上为减函数， f(0)为极大值且f(0)＝m ，∴f(x)max ＝m ＝3，此时f(2)＝－5，f(－2)＝－37. ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为－37.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为。

2020届四川省资阳高三三诊数学(文)试题解析

2020届四川省资阳高三三诊数学（文）试题绝密★启用前山东省普通高中2020年高中学业水平等级考试模拟数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I （） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}2,3答案：D先求出集合A ，再求交集得出结论. 解：解：由题意得集合()1,A =+∞，所以{}2,3A B ⋂=．故选：D. 点评：本小题主要考查函数定义域，交集运算等基础知识；考查运算求解能力，应用意识，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数22sin cos 33z i ππ=--，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B首先利用诱导公式将复数z 化简，再根据复数的几何意义判断即可；解：解：22sincos sin cos 3333z i i ππππππ⎛⎫⎛⎫=--=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sincos33i ππ=-+3122i =-+ 故复数z 在复平面内对应的点的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为于第二象限.故选：B. 点评：本题考查诱导公式的应用、复数的几何意义的应用，属于基础题. 3．“1x >”是“2log 0x >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C 解：2log 01x x >∴>∴Q “1x >”是“2log 0x >”的充要条件，选C.4．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭答案：B由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 解：解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π，图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π，所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B. 点评：本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥答案：D利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 解：解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面，选项B 中m ，n 还可能异面，选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α．故选：D. 点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.6．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．8答案：C作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.解：解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 点评：本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.7．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 答案：C3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.解：解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+.因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 点评：本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34答案：B基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 解：解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 点评：本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 答案：C由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 解：解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 点评：本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（） A ．2 B 3C ．2D ．3答案：B设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，aby c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由16PF OP =，列出相应方程，求出离心率.解：解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得223a c =，所以离心率==ce a故选：B. 点评：本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．11．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（） A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦答案：C由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，进而得出结论. 解：解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，即2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=，则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件．故选：C. 点评：本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③答案：B由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论.解：解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，代入抛物线C 的方程，有2480y my --=．设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确．将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 点评：本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．二、填空题13．已知平面向量(),2a m =r ，()1,3b =r ，且()b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r 的夹角的大小为________．答案：4π由()b a b ⊥-r r r ，解得4m =，进而求出2cos ,2a b =r r .解：解：因为()b a b ⊥-r r r，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以22224,21,32cos ,24213a b ⋅==+⋅+r r ，所以向量a r 与b r 的夹角的大小为4π．都答案为：4π. 点评：本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．答案：30根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 解：根据直方图知第二组的频率是0.040100.4⨯=，则样本容量是802000.4=，又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+⨯=，则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530⨯=．故答案为：30 点评：本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题. 15．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________．答案：210-试题分析：因344ππα<<,故,所以，,应填2【考点】三角变换及运用．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．当0x >时，()2f x x '<，则不等式()()22141f x f x >+-的解集是_________．答案：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭令()()2g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，由()()20g x f x x ''=-<，知()g x 在()0,∞+上递减，于是在(),0-∞上递增，由2(2)(1)41f x f x >+-，得出(2)(1)g x g >，进而列出不等式求解即可.解：解：令()()2g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，由()()20g x f x x ''=-<，知()g x 在()0,∞+上递减，于是在(),0-∞上递增．由2(2)(1)41f x f x >+-得()()()222211f x x f >--，即(2)(1)g x g >，于是有21x <，解得1122x -<<．故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查函数图象和性质、导数等基本知识，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．三、解答题17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：()1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？()2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．答案：()1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；()2815. ()1由题得250 5.556 5.0249K =≈>，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率. 解：解析：()1由题得()222004040804050 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()34,B B ，共15个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，共8个．所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率815P =．点评：本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 满足11a =，公差0d >，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，35b a =．()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ()2若数列{}n c 满足3121123nn nc cc c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ．答案：()121n a n =-，13n n b -=；()23nn S =.()1由11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =.进而求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =，当2n …时，由3121123n n n c c c c a b b bb ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，可得123n n c -=⋅，进而求出前n 项和n S ．解：解：()1由题意知，11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =．所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．数列{}n b 的公比3q =，其通项公式13n n b -=．()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =．当2n ≥时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n cc c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得1nn n nc a a b +=-，所以123n n c -=⋅．故13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩所以{}n c 的前n 项和231323232323n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()131332313n n-⎡⎤⨯-⎢⎥=+=-⎢⎥⎣⎦，2n ≥．又1n =时，1113S a ==，也符合上式，故3nn S =.点评：本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；()2是否存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAE D PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案：()1证明见解析；()2 2.()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2由PF FC λ=u u u ru u u r，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=，继而得出λ的值. 解：解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以AD AB =．因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=，所以AD ⊥平面PBE ．又//AD BC ，所以BC ⊥平面PBE ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBE ．()2由PF FC λ=u u u r u u u r，知()1FC PC λ+=．所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=，所以，2λ=．即存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAE D PFB V V --=，此时2λ=．点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．20．已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A在椭圆C 上，点B 在直线y =上的点，且OA OB ⊥．()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切； ()2求AOB V 面积的最小值．答案：()1证明见解析；()2 1.()1由题意可得椭圆C 的方程为2212x y +=，由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，分类讨论当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆221x y +=相切；()2由()1知，AOB V 的面积为112S OA OB =⋅… 解：解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=．由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，当OA 的斜率为0时，OA =OB =，于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212x y +=联立得()22122k x +=，所以22212Ax k =+，222212A k y k =+，从而2222212k OA k +=+．而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B在y =上，故x =，从而2222OB k =+，于是22111OAOB+=．此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．综上，直线AB 与圆221x y +=相切．()2由()1知，AOB V 的面积为2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥，上式中，当且仅当0k =等号成立，所以AOB V 面积的最小值为1．点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．21．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x …时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围．答案：（1）见解析；（2）[1,)e -+∞.（1）对()f x 求导，令()ln 1xg x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=，即得证；（2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00110x a x ++-…时，转化()n 20mi 0001()f x f x x x a x ==++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解.解：（1）由题意()ln 1xf x e x a '=-+-，令()ln 1xg x e x a =-+-，则1()xg x e x'=-，知()g x '为(0,)+∞的增函数，因为(1)10g e '=->，1202g '⎛⎫=<⎪⎝⎭，所以，存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=．所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数，当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．故00x t =，于是有0010x e x -=，即001x e x =，所以有00ln 0x x +=，证毕．（2）由（1）知，()ln 1xf x e x a '=-+-的最小值为0011x a x ++-， ①当00110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数，所以()020min 0000001()ln xf x f x e x x x a x x a x ==-+=++， 2000000011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…，由（1）中0112x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()1f x >．故0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…满足题意．②当00110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x xf x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（）若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数，所以()f x 的最小值为()2f x ．注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…，所以201x <„，即210x -≥，又()()()22222222222222ln ln ln 11xxxxf x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+()()22111x x e =--+，而210x e ->，所以()()221111xx e --+>，即()21f x >．由于在0112x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭．（ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=，所以201x x >>，所以由（）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …时，()1f x …恒成立，故舍去．故00111e a x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭„满足条件．综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞．点评：本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，且AOB V 为正三角形．（1）求点A ，B 的极坐标；（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值．答案：（1）A 2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，B 2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）12+. （1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C 的方程，可得点M在以122Q ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上，所以||BM 的最大值为1||2BQ +，即得解. 解：（1）因为点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，AOB V 为正三角形，所以点A 在曲线(0)6πθρ=>上．又因为点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，所以点A 的极坐标是2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，从而，点B 的极坐标是2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭．（2）由（1）可知，点A的直角坐标为，B的直角坐标为1)- 设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C的方程，有1cos ,211sin ,22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即点M在以122Q ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上．||BQ ==所以||BM 的最大值为11||22BQ += 点评：本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．答案：（1）{|12}x x -剟；（2）见解析. （1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可；（2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x af x a+--+„，222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可.解：（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，于是原不等式化为|21||23|6x x ++-„，若21x <-，则21(23)6x x ----„，解得112x -<-„；若1322x -剟，则21(23)6x x --+-„，解得1322x -剟；若32x >，则21(23)6x x ++-„，解得322x <„．综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟．（2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+„．又()22222232232323x a x a a a a aaa ++++-+--=-+…，由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以222232323x a x a a a a ++++--+…．又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…，第 21 页共 21 页于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．点评：本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.。

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