2016-2017学年福建省泉州市永春一中高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

2016-2017学年福建省泉州市永春一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为（）A．B．C．D．2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b23．（5分）已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．634．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．35．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．26．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形8．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）9．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和是S n，若[log2a n]是公差为﹣1的等差数列，且，那么a1的值是（）A．B．C．D．10．（5分）设实数x，y满足，则y﹣4|x|的取值范围是（）A．[﹣8，﹣6]B．[﹣8，4]C．[﹣8，0]D．[﹣6，0]11．（5分）一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为（）A．B．C．D．312．（5分）已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1） C．2﹣1 D．2（+1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）在等比数列{a n}中，a1a4a7=8，则a4=．14．（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为．15．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，且a1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？19．（12分）设数列{a n}满足：a1+++…+=2n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=a n，数列{a n b n}的前n项和为S n，求S n．20．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．21．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为S n，若对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．22．（10分）已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省泉州市永春一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：因式分解得：（x+1）（2x﹣3）＞0，∴不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为{}，故选：A．2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．63【解答】解：∵a1+a2=3，a3+a4=12，∴（a1+a2）q2=a3+a4，即q2=4，则a5+a6=（a3+a4）q2=12×4=48，故选：C．4．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：∵x＞1，∴=．当且仅当，即x=2时取等号故选：D．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．2【解答】解：∵A、B、C依次成等差数列∴B=60°∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB得：c=2=∴由正弦定理得：S△ABC故选：C．6．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形【解答】解：已知等式利用正弦定理，化简得：ba2cosA=ab2cosB，整理得：acosA=bcosB，即sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：C．8．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）【解答】解：存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2﹣2x+5）min．令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选：B．9．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和是S n，若[log2a n]是公差为﹣1的等差数列，且，那么a1的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵{log2a n}是公差为﹣1的等差数列∴log 2a n=log2a1﹣n+1∴∴∴故选：A．10．（5分）设实数x，y满足，则y﹣4|x|的取值范围是（）A．[﹣8，﹣6]B．[﹣8，4]C．[﹣8，0]D．[﹣6，0]【解答】解：满足不等式组的可行域如下图所示：由题意可知A的坐标由，A（2，2），此时y﹣4|x|=﹣6；B的坐标由得B（﹣4，8）．y﹣4|x|=﹣8，O（0，0）此时y﹣4|x|=0，D（0，4），此时y﹣4|x|=4，y﹣4|x|的取值范围是[﹣8，4]．故选：B．11．（5分）一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为（）A．B．C．D．3【解答】解：将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的三度：x、y、z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=3，可解得a2+b2=5∵ab≤（a2+b2）=，当且仅当a=b时取等号，则ab的最大值为．故选：C．12．（5分）已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1） C．2﹣1 D．2（+1）【解答】解：直接通分相加得==1﹣=1﹣因为a，b都是负实数，所以，都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值最小值为为2分母有最小值，即有最大值那么1﹣可得最小值最小值：2﹣2故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）在等比数列{a n}中，a1a4a7=8，则a4=2．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：∵a1a4a7=8，则=8，解得a4=2．故答案为：2．14．（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：作出不等式组对应的平面区域如图：则的几何意义为动点P（x，y）到原点距离，z的最大值，由图象可知当P位于点A时，距离最大，由，解得A（3，1），此时z max==．故答案为：．15．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为．【解答】解：∵tanA=，cosB=可得sinA=，cosA=，sinB=∴sinC=sin（180﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=注意到A、B均小于45度所以C应是钝角即C=135°所以最长边为c再由正弦定理代入就得到最短边为b=故答案为：16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，∴b n＞b n，+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b 2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，且a1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．）由a1，S2，S4成等比数列得S22=a1S4．化简得（2a1+d）2=a1（4a1+6d），又d=2，解得a1=1，故数列{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）得b n==﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．18．（12分）某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【解答】解：依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：，画出的平面区域如图．设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y，∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4），∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．19．（12分）设数列{a n}满足：a1+++…+=2n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=a n，数列{a n b n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足：a1+++…+=2n，n∈N*．∴当n=1时，a1=2；n≥2时，a1+++…+=2（n﹣1）．可得=2，∴a n=2n．当n=1时也成立，∴a n=2n．（2）b n=a n=2n，∴a n b n=n•2n+1，∴数列{a n b n}的前n项和为S n=22+2×23+3×24+…+n•2n+1，∴2S n=23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，∴﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2=（1﹣n）•2n+2﹣4，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4．20．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【解答】解：（1）∵，，由已知得：（1﹣cos（A+B））+=，即（1﹣cos（A+B））+=，4cos（A﹣B）=5cos（A+B），∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=．（2）==tanC=﹣tan（A+B）=﹣•=﹣（tanA+tanB）≤﹣•2=﹣，（当且仅当A=B 时等号成立），故的最大值为﹣．21．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为S n，若对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q（q＞0）．由题意，得，解得d=q=3．…（3分）∴a n=3n﹣2，．…（7分）（Ⅱ）．…（9分）∴S n=c1+c2+…+c n=2（31+32+…+3n）﹣2n=3n+1﹣2n﹣3．…（11分）∴．…（12分）∴3n+1＞3n﹣2+t恒成立，即t＜（3n﹣3n+3）min．令f（n）=3n﹣3n+3，则f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0，所以f（n）单调递增．故t＜f（1）=3，即常数t的取值范围是（﹣∞，3）．…（14分）22．（10分）已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵正实数a，b满足a+b=2．∴=（）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当=即a=b=1时取等号，∴的最小值m=2；（2）由不等式的性质可得f（x）=|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2当且仅当t=±1等号时成立，此时﹣1≤x≤1，∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．。