中考数学热点专题——立体图形的展开图

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立体图形的展开图课件PPT

立体图形的展开图课件
目录
• 立体图形基础 • 立体图形的展开过程 • 立体图形的展开图示例 • 立体图形展开图的实践应用 • 立体图形展开图的制作技巧
01
CATALOGUE
立体图形基础
立体图形的定义与分类
定义
立体图形是三维空间中具有大小和形状的空间几何体。
分类
常见的立体图形包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
圆锥体的展开图
总结词
圆锥体的展开图是一个扇形和一个圆形的组合。
详细描述
圆锥体的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的平面图形。扇形的半径等于圆锥体的高，弧长等于圆锥体的底面周长。圆形是圆锥体底面的展开形状。
球体的展开图
总结词
球体的展开图是一个完整的圆形。
详细描述
球体的展开图是一个完整的圆形，因为球体在任何方向上的形状都是相同的。这个圆形代表了球体的表面展开后的形状。
包装设计
包装盒的设计和制作需要利用立体几何的知识，如长方体、圆柱体等
。
艺术创作
立体图形在雕塑、绘画等艺术创作中也有广泛
应用。
02
CATALOGUE
立体图形的展开过程
展开图的定义与分类
01
02
03
展开图定义
将立体图形的表面沿某些棱边展开在同一个平面上的图形。
展开图分类
轴对称展开图、非轴对称展开图。
应用领域
包装、折纸艺术、建筑设计等。
展开图的绘制方法
手工绘制
使用直尺、圆规等工具，依据立体图形的尺寸和形状绘制展开图
。
软件绘制
使用CAD等绘图软件，通过输入立体图形的三维数据，生成展开图。

2020年中考数学必考考点专题27三视图与展开图(含解析)

专题13 三视图与展开图1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。

（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。

（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

3.展开图：平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。

【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．【答案】（18+2）cm2．【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．【例题3】（2019•江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．专题典型训练题一、选择题1.（2019广东深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）A．B． C．D．【答案】B【解析】立体图形的展开图B中图形符合“一四一”模型，是正方体的展开图．故选B．2.（2019•山东省济宁市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点是几何体的展开图。

2020年中考数学必考34个考点专题27：三视图与展开图(含解析)

专题13 三视图与展开图1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。

（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。

（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。

【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．【例题2】（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积专题知识回顾专题典型题考法及解析为．【答案】（18+2）cm2．【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．【例题3】（2019•江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．专题典型训练题一、选择题1.（2019广东深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）A．B．C．D．【答案】B【解析】立体图形的展开图B中图形符合“一四一”模型，是正方体的展开图．故选B．2.（2019•山东省济宁市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点是几何体的展开图。

常见几何体的表面展开图

常见几何体的外表展开图将一个几何体的外外表展开，就像掀开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不一样．那么咱们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的外表展开图是什么形状呢？(1)圆柱的外表展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．(2)圆锥的外表展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．(3)棱柱的外表展开图是两个完全一样的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)(4)正方体的平面展开图在讲义中、习题中会常常碰到让大伙儿识别正方体外表展开图的题目．下面列出正方体的十一种展开图，供大伙儿参考．例1 以下四张图中，通过折叠能够围成一个棱柱的是( )分析：由平面图围成一个棱柱，咱们能够动手实践操作，也能够展开丰硕的想像，但咱们最关键的是要抓住棱柱的特点，棱柱的平面图是由两个完全一样的多边形(且在平面图的双侧)和几个长方形组成的．解：正确答案选C．点评：专门要注意的是两个完全一样的多边形是棱柱的上下两个底面图形(棱柱展开后，这两个图形是位于展开图的双侧)，故不选D，另外定几个长方形，究竟是几个呢，它的个数确实是上下底多边形的边数，应选C．例2如以下图的平面图形是由哪几种几何体的外表展开的？(1) (2) (3)分析：找几何体的外表展开图，关键是看侧面和底面的形状．底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台．侧面是扇形的几何体是圆锥．侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱．解答：(1)圆锥；(2)圆柱；(3)圆台．例3如以下图，在正方体的两个相距最远的极点处停留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛能够从哪条最短的途径爬到苍蝇处?说明你的理由．分析：在解这道题时，正方体的展开图对解题有专门大的帮忙，由于作展开图有各类不同的方式，因此从蜘蛛到苍蝇能够用6种不同方式选择最短途径，而其中每一条途径都通过连结正方体2个极点的棱的中点．解：由于蜘蛛只能在正方体的外表爬行，因此只需作出那个正方体的展开图并用点标出苍蝇和蜘蛛的位置，依照“两点之间线段最短〞这一常识可知，连结这两个点的线段确实是最短的途径．点评：这种求最短路程是多少及求与棱的夹角是多少等问题，同窗们容易犯的错误是：用棱柱来计算路程，可求出的却不是最短的．通过对该节内容的学习，咱们必然要养成擅长观看，随时寻觅规律的良好适应，只有如此，才能把所学知识融会贯穿．。

专题27几何体的展开图最新中考真题精练(解析版)

专题27 几何体的展开图最新中考真题精练1．（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即是正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点作答．【详解】解∶由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，A.“心”、“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意；B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意；C.“金”与“题”相对，“榜”、“名”是相对的面，故符合题意；D.“马”、“到”、“成”、“功”四个字没有相对的面，故不符合题意；故选∶C．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，明确正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【分析】根据正方体展开图分析即可求解．【详解】根据正方体展开图分析，①的对面是⑤，不能裁掉①故选A【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．4．（2022·山东枣庄·中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（）A．青B．春C．梦D．想【答案】D【分析】根据正方体表面展开图相对面之间相隔一个正方形这一特点即可作答．【详解】在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想，与“点”字所在面相对的面上的汉字是：春，与“青”字所在面相对的面上的汉字是：梦，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，准确的找出每个面的相对面是解题的关键．5．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1B．2C．3D．46．（2022·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．强B．富C．美D．高【答案】D【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，即可求解．【详解】解：根据题意得：“盐”字所在面相对的面上的汉字是“高”，故选D【点睛】本题主要考查了正方体的平面展开图的特征，熟练掌握正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．7．（2022·广东广州·中考真题）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】A【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,故选：A．【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．8．（2022·江苏常州·中考真题）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．9．（2022·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【答案】C【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．10．（2022·湖北恩施·中考真题）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（）A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”【答案】D【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．11．（2022·山东临沂·中考真题）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，故选：D．【点睛】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．12．（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．圆锥【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，∴该几何体是四棱锥，故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．13．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】D选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A、B、C选项是一个正方体的表面展开图．故选：D．【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．14．（2022·湖南岳阳·中考真题）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．四棱柱【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．【详解】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键．15．（2022·河南·中考真题）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A．合B．同C．心D．人【答案】D【分析】根据正方体的展开图进行判断即可；【详解】解：由正方体的展开图可知“地”字所在面相对的面上的汉字是“人”；故选：D．【点睛】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．16．（2022·新疆·中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆锥D．圆柱【答案】C【分析】观察所给图形可知展开图由一个扇形和一个圆构成，由此可以判断该几何体是圆锥．【详解】解：∵展开图由一个扇形和一个圆构成，∴该几何体是圆锥．故选C．【点睛】本题考查圆锥的展开图，熟记圆锥展开图的形状是解题的关键．17．（2022·江苏宿迁·中考真题）下列展开图中，是正方体展开图的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，故选：C．【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．18．（2022·浙江金华·中考真题）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：∵AB为底面直径，∴将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，∵两点之间线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．19．（2022·四川遂宁·中考真题）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（）A．大B．美C．遂D．宁【答案】B【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“美”是相对面．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手．20．（2022·四川广元·中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．21．（2021·四川巴中·中考真题）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．【详解】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．22．（2021·广西百色·中考真题）下列展开图中，不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正方体的展开图特征解题．【详解】解：A.是正方体的展开图，故A不符合题意；B.是正方体的展开图，故B不符合题意；C.是正方体的展开图，故C不符合题意；D.不是正方体的展开图，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键．23．（2021·湖北荆门·中考真题）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A．传B．国C．承D．基【答案】D【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．24．（2021·辽宁大连·中考真题）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由该几何体的展开图可知该几何体是圆锥；故选D．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．25．（2021·广东深圳·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（）A．跟B．百C．走D．年【答案】B【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“建”字相对的面上的汉字是“百”．故选B．【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．26．（2021·广东·中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正方体的展开图．故选：C．【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．27．（2021·江苏扬州·中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱【答案】A【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．28．（2021·浙江金华·中考真题）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D 选项中的图不是它的表面展开图；故选D ．【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题29．（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．【答案】月【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．故答案为：月．【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．三、解答题30．（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD A B C D -¢¢¢¢（图1）．因为在平面AA C C ¢¢中，//CC AA ¢¢，AA ¢与AB 相交于点A ，所以直线AB 与AA ¢所成的BAA ¢Ð就是既不相交也不平行的两条直线AB 与CC ¢所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD A B C D -¢¢¢¢，求既不相交也不平行的两条直线BA ¢与AC 所成角的大小．（2）如图2，M ，N 是正方体相邻两个面上的点．①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是；②在所选正确展开图中，若点M 到AB ，BC 的距离分别是2和5，点N 到BD ，BC 的距离分别是4和3，P 是AB 上一动点，求PM PN +的最小值．【答案】（1）60°；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC ¢，则A BC ¢¢△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA ¢与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC ¢，∵//AC A C ¢¢，BA ¢与A C ¢¢相交与点A ¢，即既不相交也不平行的两条直线BA ¢与AC 所成角为BA C ¢¢Ð，根据正方体性质可得：A B BC A C ¢¢¢¢==，∴A BC ¢¢△为等边三角形，∴=60BA C ¢¢Ð°，即既不相交也不平行的两条直线BA ¢与AC 所成角为60°；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M ¢，连接NM ¢，与AB 交于点P ，连接MP ，则PM PN PN PM NM ¢¢+=+=，过点N 作BC 垂线，并延长与M M ¢交于点E ，。

立体图形的展开图全解课件

在选择立体图形展开图材料时，应注意材料的耐用性，以确保展开后的图形能够持久保存和使用。
考虑材料的可塑性
在选择立体图形展开图材料时，应考虑材料的可塑性，以便更好地实现展开效果。
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THANKS
导致操作失误。
正确使用工具展开立体图形源自要使用剪刀、刀片等工具，使用时应保持工具的锋利和稳定，避免因工具问题导致操作失误或安全事故。
注意个人防护
在展开立体图形时，应注意个人防护，如戴手套、口罩等，以防止操作过程中受伤或吸入有害物质。
注意精度问题
选择合适的材料
在展开立体图形时，应选择合适的材料，如纸张、布料等，以确保展开后的精度和效果。
来模拟真实情况。
日常生活
家电、家具、玩具等物品的设计和制造都需要考虑立体图形的结构和特点。
02
立体图形的展开过程
展开图的定义与分类
展开图定义
立体图形的表面在平面上展开后形成的图形。
展开图分类
轴对称展开图、非轴对称展开图。
应用领域
建筑设计、机械制造、包装设计等。
展开图的绘制方法
01
02
03
正方体展开图之“田”字型
该展开图由4个等腰三角形和1个正方形组成，也是正方体的另一种常见展开方式。
正方体展开图之“凹”字型
该展开图由3个相同的等腰三角形和1个矩形组成，是一种特殊的正方体展开方式。
长方体的展开图
长方体展开图之“L”型
01
该展开图由2个相同的等腰三角形和1个矩形组成，是长方体的
常见展开方式之一。
通过展开图，设计师可以预见包装在生产、组装和运输过程中可能遇到的问题，提前进行优化和改进。

初一数学立体图形的展开图含答案

初一数学立体图形的展开图中考要求例题精讲正方形展开图的知识要点：第一类：有6种。

特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类：有3种。

特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”第三类：仅有一种。

特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”正方形展开图的识别方法：1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。

模块一长方体的展开图长方体展开图【例1】下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．选项A，B，C经过折叠均能围成长方体，D两个底面在侧面的同一侧，缺少一定底面，所以不能表示长方体平面展开图．故选D．【答案】D【巩固】如图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为（）A．4 B．6 C．12 D．15【解析】由图可知，无盖长方体盒子的长是3，宽是2，高是1，所以盒子的容积为3×2×1=6．盒子的容积为3×2×1=6．故选B．【答案】B【巩固】下图是一个长方体纸盒的展开图，请把-5，3，5，-1，-3，1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数．【解析】根据题意，找到相对的面，把互为相反数的数字分别填入即可．【答案】如下图：正方体展开图【例2】下列图形中为正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．选项C可以拼成一个正方体．【答案】C【巩固】将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（）A．B．C．D．【解析】本题考查图形的展开与折叠中，正方体的常见的十余种展开图有关内容．可将这四个图折叠后，看能否组成正方形．A、出现了田字格，故不能；B、D、上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图；C、可以拼成一个正方体．故选C．【答案】C【例3】一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（）A．B．C．D．【解析】A，B，D折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，只有C是一个正方体的表面展开图．故选C．【答案】C【巩固】下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】A、B、C经过折叠均能围成正方体，D、折叠后第一行两个面无法折起来，不能折成正方体．【答案】D【巩固】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）A．B．C．D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．【答案】C．【例4】将如图正方体的相邻两面上各画分成九个全等的小正方形，并分别标上O、×两符号．若下列有一图形为此正方体的展开图，则此图为（）A、B、C、D、【解析】此题主要根据O、×两符号的上下和左右位置判断，可用排除法．由已知图可得，O、×两符号的上下位置不同，故可排除A、B；又注意到O、×两符号之间的空行有3列．【答案】C．【巩固】如图，哪一个是左边正方体的展开图（）A．B．C．D．【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D．【答案】故选D．【点评】学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．【例5】下面哪个图形不是正方体的展开图（）A．B．C．D．【解析】选项A，B，C折叠后都可以围成正方体，而D折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．【答案】D．【巩固】一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（）A．只有图①Ｂ．图①、图②Ｃ．图②、图③Ｄ．图①、图③【解析】图②，经过折叠后，没有上下底面，侧面是由5个正方形组成，与正方体的侧面是4个正方形围成不相符，所以不是无盖的正方体盒子的平面展开图．【答案】D．【巩固】如图，是一个正方体盒子（6个面）的侧面展开图的一部分，请将它补充完整．【解析】根据正方体的展开图特点补全即可，答案不唯一．正方体的展开图如下：（答案不唯一），最后一个图形不符合．【答案】略模块二圆柱、圆锥的侧面展开图圆柱体【例6】圆柱的侧面展开图形是（）A．圆Ｂ．矩形Ｃ．梯形D．扇形【解析】略【答案】B【巩固】如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在高柱的侧面上，过点M，P嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．因圆柱的展开面为长方形，MP展开应该是两直线，且有公共点M．故选A．【答案】A【例7】如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P．有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：【解析】根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，即可选择．注意P 点在展开图中长边的中点处，圆柱侧面沿NO 剪开，根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面是长方形，P 点在展开图中长边的中点处，金属丝是线段，且从P 点开始到M 点为止．故选②．【答案】②【巩固】底面直径为m 的圆柱体（如图），沿它的一条母线AB （也就是圆柱的高，且AB=h ）剪开展平，则圆柱侧面展开后的面积为．【解析】根据圆柱侧面积=底面周长×高计算即可．圆柱的侧面积=mh π．【答案】mh π圆锥体【例8】下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）A ．Ｂ．Ｃ． D ．【解析】根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．【答案】B【巩固】我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神州飞船．如图是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的立体图形．（火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高）（1）请你画出火箭的平面展开图，并标上字母．（2）写出平面图形中所有相等的量．【解析】结合圆柱和圆锥的侧面展开图的特征解题．（1）如右图．（2）OA OB =，CB ED AB ==，BE CD =，90B C D E ∠=∠=∠=∠=．【答案】同解析．模块二其他立体图形的展开图【例9】若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】选项D的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱锥，而是有一个三角形面与正方形面重合，故不能组合成原题目的立体图形．【答案】故选D．【巩固】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（）A、B、C、D、【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．由图中阴影部分的位置，首先可以排除B、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．【答案】故选A．【例10】下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，可排除C，D，而A不能围成立体图形，故可得答案．【答案】B．【巩固】下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】根据三棱柱的展开图的特点作答．A、是三棱柱的平面展开图；B、是三棱锥的展开图，故不是；C、是四棱锥的展开图，故不是；D、两底在同一侧，也不符合题意．故选A．【答案】A【例11】下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．【答案】故选D．【例12】如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）A 、B 、C 、D 、【解析】亲自动手具体操作，或根据三棱锥的图形特点作答．根据三棱锥的图形特点，可得展开图为B ．【答案】B ．【例13】哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？需剪几条棱才能得到如此形状的平面图？你是怎样数出来的？请总结其规律．【解析】侧面为五个长方形，底边为五边形，故原几何体为五棱柱．五棱柱能展成如图所示的平面图形．由五棱柱展开成平面图形，需要剪9条棱．因为五棱柱共有15条棱，7个面，展成平面图形时，7个面需有6条棱相连，共需留下6条棱不剪，所以需剪15-6=9（条）棱．总结规律：n 棱柱有n+2个面，3n 条棱，展成平面图形时，n+2个面需有n+1条棱相连，故应留下n+1条棱不剪，所以要把n 棱柱展成平面图形，共需剪3n-（n+1）=（2n-1）条棱．【答案】五棱柱；９；()3121n n n -+=-．【例14】下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．【解析】由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图解题．根据图示可知：①五棱锥；②圆柱；③三棱柱．【答案】①五棱锥②圆柱③三棱柱【巩固】图中四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．6个正方形能围成一个正方体，三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，6个长方形可以围成长方体．【答案】正方体；三棱柱；四棱锥；长方体．课后作业１. 下列各图形中，可以是一个正方体的平面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】选项A，C折叠后缺少一个底面，而B折叠后缺少一个侧面，所以可以是一个正方体的平面展开图的是D．【答案】故选D．２.把圆锥的侧面展开，会得到的图形是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，故选C．【答案】C３.如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（）A、B、C、D、【解析】根据圆柱的侧面展开图作答．圆柱体的侧面展开后得到的平面图形是矩形，上下两底是两个圆，故选B．【答案】B４.如图，四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的？画出相应的四种立体图形．【解析】根据四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥及其表面展开图的特点解答并作图．观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥．作图如下：【答案】同解析．【点评】本题考查了几何体的展开图，可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．初中数学.图形初步A级.第01讲.教师版Page 11 of 11。

正方体展开图及例题解析!

巧记口诀确定正方体表面展开图及例题解析一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，即另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1）（2）（3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（）解析：本题可用“识图巧排‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

A、D都有“凹”形结构，B 有“田”形结构，故应选C例2．（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.)解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。

正方体展开图16种口诀

正方体展开图16种口诀一、展开图的概念正方体是一种立体图形，它有六个面，每个面都是一个正方形。

展开图是将正方体展开成一个平面图形，使得每个面都能够呈现出来。

展开图有16种不同的排列方式，我们可以用口诀来记忆这些排列方式。

二、16种口诀1.上正下反，前正后反，左正右反，这是正方体的展开图排列方式之一。

2.上正下反，前正后反，左反右正，这是正方体的展开图排列方式之二。

3.上正下反，前反后正，左正右反，这是正方体的展开图排列方式之三。

4.上正下反，前反后正，左反右正，这是正方体的展开图排列方式之四。

5.上反下正，前正后反，左正右反，这是正方体的展开图排列方式之五。

6.上反下正，前正后反，左反右正，这是正方体的展开图排列方式之六。

7.上反下正，前反后正，左正右反，这是正方体的展开图排列方式之七。

8.上反下正，前反后正，左反右正，这是正方体的展开图排列方式之八。

9.左反右正，前正后反，上正下反，这是正方体的展开图排列方式之九。

10.左反右正，前正后反，上反下正，这是正方体的展开图排列方式之十。

11.左反右正，前反后正，上正下反，这是正方体的展开图排列方式之十一。

12.左反右正，前反后正，上反下正，这是正方体的展开图排列方式之十二。

13.左正右反，前正后反，上反下正，这是正方体的展开图排列方式之十三。

14.左正右反，前正后反，上正下反，这是正方体的展开图排列方式之十四。

15.左正右反，前反后正，上反下正，这是正方体的展开图排列方式之十五。

16.左正右反，前反后正，上正下反，这是正方体的展开图排列方式之十六。

三、口诀的用处这16种口诀可以帮助我们记忆正方体的展开图排列方式。

在解题时，我们可以根据这些口诀来确定展开图的排列方式，从而更加方便地计算正方体的表面积和体积。

口诀的使用可以提高我们的解题效率，确保我们能够正确地进行数学计算。

四、相关数学概念在学习正方体的展开图排列方式时，我们也需要了解一些相关的数学概念。

人教版数学七年级上册第四章4.1.1立体图形的展开图

谢谢聆听
激励大学生奋斗的励志句子
14. 磨练，使人难以忍受，使人步履维艰，但它能使强者站得更挺，走得更稳，产生更强的斗志。 11. 这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人手中。 10. 付出才会杰出;为别人创造价值，别人才愿意和你交往。 8. 穷不一定思变，应该是思富思变。 9. 用心观察成功者，别老是关注失败者。 10. 尽管这个世界破洞百出，但真的不用担心。每个破洞都会找到一个补洞的人。但是，如果我们轻易放弃我们该做的，世界同样也会放弃我们。最后连角落都不给我们躲藏了。
15. 竞争颇似打网球，与球艺胜过你的对手比赛，可以提高你的水平。 4. 靠山山会倒，靠水水会流，靠自己永远不倒。 15. 不要轻易用过去来衡量生活的幸与不幸!每个人的生命都是可以绽放美丽，只要你珍惜。 10. 让我们挥起沉重的铁锤吧!每一下都砸在最稚嫩的部位，当青春逝去，那些部位将生出厚晒太阳的茧，最终成为坚实的石，支撑起我们不再年轻但一定美丽的生命。
新知讲解
1
2
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6
7
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9
10
11
思考： 1．观察上面的11种正方体的展开图有没有什么规律？ 2．小组讨论这些正方体展开图可以分为几类？哪几号展开图
可以分为一类，为什么?
新知讲解
新知讲解
新知讲解
新知讲解
相对两面不相连来自上左下右隔隔
一一
蓝
行列
黄
新知讲解
巧记正方体的展开图口诀 :
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁，十一类图记分明；一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种；对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”．

初中数学《立体图形的展开图》PPT (公开课精品)

某些立体图形的展开图
动手实践
－－剪正方体纸盒
要求：
1、沿着正方体的棱剪开正方体，得到
它的平面展开图； 2、保持正方体每个面的完整。
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。（141）
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。（231）
Hale Waihona Puke 第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。 (222)
两底面不能相邻
4、如下图1－2－4所示的平面图形中不能围成三棱柱的是( B )
5、下列哪个平面图形沿虚线折叠不能围成正方体的是( B )
6. 如图是哪种几何体表面展开的图形 ( D ) A. 棱柱 B. 球 C. 圆柱 D. 圆锥 7、如图所示的展开图中是六棱锥展开图的是（ C ）
8、如图所示小明用胶滚沿从左到右将图案滚到墙上正确的是（ A ）
第四类，两排各三个，只有一种。
(33)
练一练
1、下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ C ）
（ A）
（B）
（C）
（ D）
2、下图中不是正方体的展开图的是（ D ）
（ A）
（B）
（C）
（ D）
练一练
3. 右图需再添上一个面，折叠后才能围成
一个正方体，下面是四位同学补画的情况
（图中彩色部分），其中正确的是（ B ）
1、今天学习了哪些立体图形的展开图？
2、你有什么收获与体会？
课后作业
一、思考与探究
1．圆柱与圆锥的展开图是否唯一？ 2．如果不唯一，有什么规律吗？
二、动手制作纸盒
2.圆锥的侧面展开图是扇形
圆锥展开后的图形有一个扇形和一个圆形
应用迁移，巩固提高

最新中考数学空间图形与几何初步知识点大全

最新中考数学空间图形与几何初步知识点大全几何图形立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.几种常见立体图形的展开图如下表：（1）不是所有的立体图形都可以展开，如球体就不能展开.（2）对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形. 正方体的表面展开图共有11种，如图所示.⑩⑨⑧⑦⑥⑤④③②①点拨在正方体的展开图中，相邻的两个正方形是正方体中相邻的两个，当正方体相对的两个面在展开图中的同行或同列时，中间隔一个正方形.⑪中考试题研究中考命题规律本将内容在中考中主要考查立体图形的识别及其平面展开图，通常以选择题和填空题的形式出现，有利于考查空间想象能力和动手操作能力.直线、射线与线段知能解读（1）基本事实：经过两点有一条直线，并且知能有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.（2）直线的表示方法：①可以用一个小写资本来表示，如图所示的直线可记作“直线l ”；②也可以用这条直线上的两个点来表示，如图所示的直线也可以记作“直线AB ”或“直线BA ”，其中,A B 为直线上的任意两个点.l（3）点与直线的关系：点A 在直线a 上，也可以说成直线a 经过点A （如图所示）；点B 不在直线b 上，也可以说成直线b 不过经点B ，或点B 在直线b 外（如图所示）.bOba（4）交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.如直线a 与直线b 相交于点O ，如图所示. 点拨（1）直线无粗细、没有端点、向两方无限延伸，不能度量.（2）直线基本事实中的“有且只有”有两层含义，“有”说明存在一条直线，即确定有一条；“只有”说明这条直线是“唯一”的.（3）两条不重合的直线最多有一个交点n 条直线相交最多有()12n n -个交点.（4）平面上的两条直线，有相交和不相交两种位置关系. 知能解读（二）射线与线段射线和线段都是直线的一部分.类似于直线的表示，我们可以用图所示的方式来表示线段AB （或线段BA ），其中A 、点B 是线段的端点.用图所示的方式来表示射线OA ，其中点O 是射线的端点.线段OA 或射线l线段AB 或线段alA O A Ba点拨（1）线段有长短（可以度量），但线段没有方向，表示线段的两个大写字母没有顺序.（2）表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面.（3）端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，所表示的射线也不同；只有端点相同，并且延伸方向也相同时，才是同一条射线.知能解读（三）直线、射线、线段的区别与联系两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.知能解读（五）两个重要概念（1）两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离.注意：距离线段的长度，不能仅说成线段，线段是一个几何图形.（2）线段的中点：如图所示，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M 叫作线段AB的中点.MA B点拨常用以下式子表示点M是线段AB的中点：①AM BM=；②1122AM AB BM AB⎛⎫==⎪⎝⎭或；③()22AB AM AB BM==或.知能解读（六）线段的画法及线段长短的比较（1）线段的画线：①用刻度尺测量后再画图；②借助直尺和圆规作图.例：如图所示，作一条线段，使其等于已知线段a.a作法：①先做一条射线AB；②用圆规量取已知线段a；③在射线AB上以A为圆心截取AC a=，则线段AC为所求线段，如图所示.这是第一个基本作图，应熟练掌握.（2）线段长短的比较.①叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，再看另一端的位置，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面来进行比较.②度量法：利用刻度尺，量出，每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面来进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的.方法技巧归纳方法技巧（一）直线、射线、线段的识别及表示方法识别时应根据它们各自的特征，“无始无终”的是直线，“有始有终”的是线段，“有始无终”的是射线.表示时注意射线端点必须在前.注意数射线的关键是找准端点，表示时端点要写在前面.方法技巧（二）关于直线和线段基本事实的应用关于直线的基本事实：两点确定的一条直线；关于直线的基本事实；两点之间，线段最短.这两条基本事实在实际生活中有广泛的应用，应注意识别.点拨本题是两个基本事实在生活中的应用，要注意学会将生活中的问题转化成数学问题，利用数学原理来解释.方法技巧（三）规律探究技巧在识别平面内直线分平面部分数，直线的交点个数，探究线段、射线或直线条数时，一般先从较简单的情形入手，通过发现其中的规律，然后加以总结.点拨（1）事实上，直线之间的交点个数越多，直线将平面分成部分就越多.（2）从简单情形入手，探索、发现、总结规律是常用的数学方法.方法技巧（四）线段的有关计算技巧求线段长度时，如果直接求解有困难，可采取设未知数建立方程的方法进行.点拨列方程进行机损是常用的方法，应注意掌握.点拨依据线段中点的定义和所分的两条线段相等，再根据线段和、差、倍、分关系求线段AD 的长.在解答此类问题时，既要结合图形分析已知线段和所求线段的位置关系，又要体会比较简捷的解题方法.易混易错辨析易混易错知识1.直线、射线、线段的表示法.区别：直线、射线和线段都可以用两个大写字母表示，但是它们的要求是不一样的，表示直线和线段的两个大写字母没有先后顺序，但表示射线的两个大写字母中端字母必须在前面.2.线段外一点和直线外一点易混淆.区别：线段外一点有两种情况，一是点在线段所在的直线上但在线段的两个端点的外部；二是点在线段所在直线的外部.而直线外一点只有一种情况，就是点在直线外.中考试题研究中考命题规律本讲内容在中考中主要考查两点确定一条直线及两点之间，线段最短的性质，线段的和、差级线段的中点等概念，对两点之间的距离也常涉及，常以填空题、选择题的形式出现，有时也计算题或探究题的形式出现.角知识解读（一）角的概念及表示方法1角的概念（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.（2）角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.（3）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部.注意角的大小只与开口大小有关，而与角的边的长短无关，因为角的两边是射线.2角的表示方法角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法：（1）用数字表示单独的一个角，如图所示的1,2,34,5,6,7∠∠∠∠∠∠∠等；EDA B7123456（2）用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图所示的,,,αβθγ∠∠∠∠等；（3）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一个顶点处只有一个角），如图1-30-1所示的,B C ∠∠等；γβαθO（4）用三个大写英文字母能表示出任一个角，如图所示的,,,,,BAD BAE BAC CAE CAD ABC ∠∠∠∠∠∠等，注意顶点字母必须写在中间.知能解读（二）角的比较（1）度量法：如图所示，用量角器量得40,30COD AOB ∠=︒∠=︒，所以COD AOB ∠<∠.D CO AB（2）叠合法：如图所示，把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，器重的一边也重合，并使这两个角的另一边都在重合的同侧，其大小关系就明显了，由图可知，COD AOB ∠<∠.CB (D )OA注意（1）角可以度量，可以比较大小，也可以参与运算.（2）用叠合法比较角的大小注意三点；①角的顶点重合；②角的一边重合；③另一边落在重合边的同侧. :知能解读（三）角的画法方法1：画一个角等于已知角，可用量角器先测定已知角的度数，再用量角器画与已知角相等的角.方法2：用圆规和直尺画一个角等于已知角. 例如：如图所示，已知AOB ∠.求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠.作法：（1）以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交,OA OB 于点MN ; （2）作射线O A ''，以O '为圆心，O M 长为半径作弧M C '，交O A ''于点M '；（3）以M '为圆心，MN 长为半径作弧，交弧M C ''于点N '；（4）过N '点作射线O B ''，则A O B '''∠即为所求. 注意方法2用圆规、直尺画角是基本作图，也在中考命题范围之内. 知能解读（四）角的和、差、倍、分（1）角的和、差如图①所示，如图将1∠与2∠的顶点重合，再将1∠的一边与2∠的一边重合，并使两个角的另一边分别在重合边的两侧，它们不重合的两边组成AOB ∠，这时就说AOB ∠是1∠与2∠的和，记作12AOB ∠=∠+∠.此时1∠是AOB ∠与2∠的差，记作12AOB ∠=∠-∠；2∠是AOB ∠与1∠的差，记作21AOB ∠=∠-∠.12ABO①（2）角的倍、分如图②所示，用上述方法将两个1∠拼在一起得到AOB ∠，这时就说AOB ∠是1∠的2倍，记作21AO B ∠=∠或1∠是AOB ∠的12，记作112AOB ∠=∠.类似地，将三个1∠拼在一起得到AOB ∠时，131,13AOB AOB ∠=∠∠=∠.11②知能解读（五）角平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.常用以下三类数学式子表示角的平分线：如图所示，①12∠=∠；②111222AOB AOB ⎛⎫∠=∠∠=∠ ⎪⎝⎭或；③()2122AOB AOB ∠=∠∠=∠或.O21C B A注意角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段.角平分线把一个角分成两个相等的角. 知能解读（六）角的度量单位及换算我们常用量角器度量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，把1度的角60等分，每一份就是1分的角，把1分的角60等分，每一份就是1秒的角.1度记作1︒，1分记作1'，1秒记作1''.160,160''''︒==，1360,1180=︒=︒周角平角.即：1160,160⎛⎫''︒==︒ ⎪⎝⎭；1160,160'⎛⎫'''''== ⎪⎝⎭.1180,1360=︒=︒平角周角.124==周角平角直角. 点拨（1）度、分、秒之间是60进制，这和计量时间的单位时、分、秒是一样的.（2）使用量角器时，注意量角器的零刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度、外刻度的读数.（3）以、度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.此外，还有其他度量角的单位制，如以弧度为基本度量单位的弧度制. 知能解读（七）互为余角和互为补角（1）如图两个角的和是90︒，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余数.锐角α的余角为90α︒-.（2）如果两个角的和是180︒，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角.角α的补角是180α︒-.（3）互余、互补的性质；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等. 注意（1）余角和补角是关于两个角的关系的概念，不能单独说哪一个角是余角或补角. （2）两个角互余或互补只是两个角的和为90︒或180︒，与位置无关.（3）两个角互余，则这两个角一定都是锐角.两个角互补，这两个角可能都是直角.也可能一个角是锐角，另一个角为钝角. 知能解读（八）用角度表示方向方位角是从正北或正南方向到目标方向所成的小于九十度的角.例：如图所示，OA 方向可表示为北偏西60︒南东方法技巧归纳方法技巧（一）角的识别和表示法角的识别关键是找角的顶点，再找角的两边，在表示角时，注意一个大写字母只能表示一个独立角，三个大写字母可以表示任意的角，而且要把表示顶点的字母写在中间. 点拨（3）中关键词是“只能”（即不能用另外的表示方法）二字，因此在找角时要按照要求去做.方法技巧（二）利用角平分线的定义求角的度数的方法角的平分线提供了角的相等或倍分关系，把这些关系与已知角联系起来，可以求出相关角的度数.在有关角的度数的计算题中，有些题目设有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论. 点拨根据解题的需要，角平分线的定义既可以写作两角相等的形式，也可以写作一个角是另一个角2倍的形式，还可以写作一个角是另外一个半的形式，应灵活选择.同时在计算中应注意“整体代入思想”的运用. 方法技巧（三）度、分、秒的换算把度换算成度、分、秒时要乘进率，而把度、分、秒转化为度时，要除以进率，换算时要逐级进行，不可越级转化.方法技巧（四）余角和补角的有关计算根据余角和补角的定义，锐角α的90,180αα=︒-=︒=余角补角.个别复杂些的问题，可列方程求解. 点拨本题求角度可以利用方程求解，可以直接设未知数，也可以间接设未知数. 点拨在计算有关余角、补角或与角度有关的问题时，多数用列方程的方法求解. 方法技巧（五）钟表上的角度问题我们知道，时钟（如图所示）是测量时间的工具，时间的长与短、多与少都可以通过指针的指向来判断.在几何中，机械时钟的指针还给了我们角的直观形象.在时钟的表盘上，分针每分钟转6︒，时针每小时转30︒，每分钟转0.5︒.知道这些关系，就可轻松解决时钟问题了. 点拨钟表中时针与分针的夹角问题可转化为行程与角的应用题，采用方程的思想来解决，使复杂的问题变得直观，易于解决.易混易错辨析易混易错只是 1.互余、互补概念混淆.互余、互补是指两个角之间的一种关系，若三个角的和等于90︒（或180︒），不能说这三个角互余（或互补）.2.角的换算单位与数的换算单位混淆.区别：角的换算单位之间的进率是60，而数的换算单位之间的进率是10.中考试题研究中考命题规律本讲知识在中考中重点考查角的分类，角的大小比较及有关计算，互余、互补等知识，利用角平分线以及角的和差进行角的计算，常以填空题、选择题的形式出现，今年来又出现了对角的个数的规律探究方面的考查.相交线、平行线知能解读（一）邻补角、对顶角的概念1邻补角如图所示，1∠和2∠有一条公共边OB ，它们的另一边互为反向延长线（1∠与2∠互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.O1432DCBA2对顶角定义：如图所示，1∠和3∠有一个公共顶点O ，并且1∠的两边分别是3∠的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.性质：对顶角相等. 注意对顶角的特征：①对顶角由两条直线相交形成，同时形成两对对顶角；②成对顶角的两个角有公共的顶点；③一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 知能解读（二）垂线的定义、性质1垂线的定义如图所示，直线AB 与CD 相交于点O ，当90BO C ∠=︒时，我们说直线AB 与直线CD 互相垂直，记作AB CD ⊥.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂直线.它们的交点叫作垂足.O DC BA2垂线的性质（1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直. 注意（1）应用以上性质必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过直线上一点与已知直线垂直的直线有无数条；（2）“过一点”中的一点可以是直线外一点，也可以是直线上一点；（3）“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中的垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 注意垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分. 知能解读（三）点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作到直线的距离. 注意距离是一个数量，而不是一个线段，所以点到直线的距离强调的是垂线段的长度. 区分两点间的距离与点到直线的距离，如下表：如图所示，直线AB CD 、被第三条直线EF 所截，构成八个角，简称“三线八角”.FEDCBA87654321（1）同位角：1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠，它们分别在直线,AB CD 的同一方，且在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角.（2）内错角：3∠与5∠，4∠与6∠，它们都在直线,AB CD 之间，并且分别在直线EF 两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角.（3）同旁内角：4∠与5∠，3∠与6∠，它们都在直线,AB CD 之间，又在直线EF 的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 注意（1）这三类角指的都是位置关系，而不是大小关系. （2）这三类角没有公共顶点，都是成对出现的. 知能解读（五）平行线的概念及平行公理1平行线的概念在同一平面内，直线a 与b 不相交时，我们说线a 与b 互相平行，记作a b .注意（1）平行线无论怎样延伸也不相交.（2）今后遇到线段、射线平行时，指线段、射线所在的直线平行. （3）在同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. 2平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 注意（1）以上结论所的是经过“直线外一点”，若经过直线上的一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了.（2）“有且只有”指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.推论：如图两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如果,ba ca ，那么bc （如图所示）.ab c知能解读（六）平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.知能解读（七）平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.知能解读（八）平行线间的距离（1）如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等.这个距离，叫作这两条平行线之间的距离.注意（1）对于平面内角的两条直线，只有平行线才有距离，两条相交直线不存在距离.（2）求两条平行线之间距离的方法：在两条平行线中的任意一条上取任意一点作另一条直线的垂线段，垂线段的长度是这两条平行线之间的距离，实际上是把求两条平行线间的距离转化为求一点到一条直线的距离.（3）区分“垂线段”与“距离”，前者是形，后者是量，垂线段的长度是距离.方法技巧归纳方法技巧（一）对顶角的识别方法识别对顶角应把握两个条件：一是有公共顶点；二是角的两边互为反向延长线.一般来说，两条直线相交，一定有对顶角产生.点拨对顶角的定义应注意四点：（1）对顶角由两条直线相交而成；（2）同时形成的有两对对顶角；（3）成对顶角的两个角有公共顶点；（4）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.方法技巧（二）垂直的定义及性质的应用进行有关角的计算时，一遇到垂直就应联想到相交所成的四个角都是90 .点拨解决与垂直有关的问题时，通常利用互余、互补关系，对顶角及同等角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等等条件来求解.方法技巧（三）同位角、内错角、同旁内角的识别要准确地识别这三类角，首先应对照基本图形，根据定义把握其位置特点，在遇到实际问题时要找出哪两条直线被哪一条直线所截，对于一些复杂图形有时还需要把图形分开来识别.识别方法如下：每对同位角、内错角和同旁内角的顶点都不相同，且有一边在同一条直线（截线）上，另一条边分别在另两条直线（被截线）上.方法技巧（四）平行线的判定与性质的综合运用当题目中出现平行线时，应考虑有关角相等或互补这些性质.点拨本例是平行线性质及判定的综合运用，这是与平行线有关问题的常见形式.先应用性质，求得角相等（或互补），再对角与角之间进行转化，得到新的角相等（或互补），从而说明又一组直线平行；或是先由一对角相等（或互补），推得两直线平行，再证新的一对角相等（或互补），进而得平行线.方法技巧（五）辅助平行线的妙用主要体现为求一些角的度数有困难时，通过作辅助线转化为同位角、内错角或同旁内角进行求解.点拨此题不能直接接触，需要添加与AB平行的直线EF，它为辅助线，用虚线画出.添加辅助线的目的使问题得以顺利解决.点拨在这里作辅助线不能过E点作EF AB CD，只能作其中一条直线的平行线，再说明它与另一条直线也平行.易混易错辨析易混易错知识1.互为补角与互为邻补角.区别：互补只强调两个角之间的数量关系，而互为邻补角不但要求两角和180 ，而且还从位置上要求两个角必须有公共顶点和一条公共边.联系：互为邻补角是互为补角的特殊情况.2.垂线段与点到直线的距离混淆.区别：垂线段是图形，而距离是线段的长度.3.在应用平行线的判定和性质时忽视条件.在利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补关系时，易忽略“两直线平行”这个前提条件.中考试题研究中考命题规律本讲内容是中学数学几何部分的基础内容，多以填空题和选择题以及简单的解答题形式出现，主要考查的内容有：对顶角性质的应用，应用垂直的定义讲行相关计算，同位角、内错角、同旁内角概念的考查以及平行的条件；与平行四边形、梯形、相似形（以后要讲的知识）相结合的综合题以及平行线的性质和判定在其他学科中的应用.。

初中数学立体图形的展开图

教学目标1．进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解立体图形可由平面图形围成，立体图形可展开为平面图形。

2．通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程，培养实验操作的能力，发展空间观念。

3．主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流。

教学流程一、创设问题情境，引导学生观察、设想、导入课题。

1．演示圆柱与圆锥的侧面展开图。

[复习立体图形的侧面可展开为平面图形。

]2．指出：在实际生活中常常需要了解整个立体图形展开的形状，如要包装一个长方体形状的物体，需要根据它的平面展开图来裁剪纸张。

引发问题：如何设计或制作我们常见的粉笔盒?3．引入课题：——§4．1立体图形的展开图。

二、学生通过直观感知、操作确认等实践活动，加强对图形的认识和滤受。

[实施开放式教学．让学生主动参与学习活动，经历和体验图形的变化过程，并引导学生在课堂活动过程中摩惜知识的生成、发展与变化。

]1．做一做：准备12个一样大小的三边都相等的三角形，用透明胶粘贴成如图1、图2、图3的三种形状，你能想像出哪一个可以折叠成多面体?动手做做看。

[让学生自由组合成小组进行操作活动，培养学生动脑猜想、动手操作实验的良好习惯及合作交流的精神。

] 提出问题：通过动手实践，你能感受或认识平面图形和立体图形的关系吗?设想沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个平面图形吗?引导学生概括出：多面体是由平面图形围成的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个平面图形。

由此介绍：图1实际上是由三棱锥展开而成的平面图形，我们把它叫做三棱锥的平面展开图。

[让学生自己概括出所感知的知识内容．有利于进行开放性学习，有利于学生在实践中感悟知识的生成过程，并能培养他们的语言表达能力。

]2．让学生先想一想：图4—7四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗?再试一试：把图4-7的四个图用纸复制下来，然后折一下，看看到底是什么图形?[让学生先猜想，再操作确认．培养学生主动探索、勇于实践的科学精神。

展开图—人教版九年级数学下册课件

可按所需焊成弯管。
E D
C B
A
E D
C
B A
E D
C B
A
（a）
（b）平板下料
（c）
三、不可展曲面表面的近似展开
不可展曲面近似展开的实质是：把不可展曲面分成若干较小的部分，然后将每一小部分表面看成是可展表面，从而进行近似的展开。
例如，球面的划分可有以下图示（a）、（b）、（c）等几种方法。下面，就以球面的展开为例说明近似展开的原理。
在展开图中, 扇形的圆心为圆锥的中心，扇形半径等于圆锥的素线长度 L，扇形的弧长等于圆锥底圆的圆周D.
设扇形角为θ,则有:
O。
展开图
θ D 则
θ
360°
2 L
D L
180°
圆锥台的表面展开图是两个同圆心的扇形面积相差的部分，如图所示，为圆锥台的两面投影及其展开图。
两面投影
展开图
3 斜口圆柱管的展开
（a）
（b）
（c）
1. 近似圆锥法
Ⅰ 在球面上作若干水 Ⅱ 平纬线，把球面进行若干等分，则每一小部分可近 Ⅲ 似看作一个圆锥，如图（a）、（b）所示。
（c）图所示为球的两面投影，可按此分别画出各个圆锥的展开图。
（a）（b）
（c）
圆锥的展开图是一个
Ⅱ
扇形，把各部分圆锥展开 Ⅲ 之后的形状，如图（d）所
图示为四棱台吸尘罩，若将其四根棱线延长交于一点S，则形成一个四棱锥面，即由四个全等的等腰三角形组成。要求其展开图，只需求出一个三角形的实形，再作处理即可。
方法及步骤（1）求取棱线真长（2）作等腰三角形（3）截取棱线实长（4）顺次连接各点
（1）求取棱线真长