9.11(2)平方差公式

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平方差公式

平方差公式（a+b）^2 = a^2 + b^2 + 2ab这个公式在代数中非常重要，不仅可以用于计算平方差，还可以推导出其他重要的数学公式。

现在我们来详细介绍一下这个公式。

首先，我们来看一下这个公式的由来。

首先，我们考虑两个数a和b的平方和，即a^2+b^2、我们可以将这个平方和展开，得到以下形式：a^2+b^2=a*a+b*b接下来，我们来考虑如何将这个平方和表示成平方差的形式。

我们可以利用二项式的展开来实现这个目标。

我们知道，任何一个二元一次多项式可以展开为(a+b)^2的形式，也可以展开为(a-b)^2的形式。

具体展开的方法是利用二项式定理，将(a+b)^2和(a-b)^2展开。

首先，我们来展开(a+b)^2这个二元一次多项式：(a+b)^2=(a+b)*(a+b)根据二项式定理，该式可以展开为：(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2再进行一次简化，得到：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2接下来，我们来展开(a-b)^2这个二元一次多项式：(a-b)^2=(a-b)*(a-b)根据二项式定理，该式可以展开为：(a-b)^2 = a^2 - ab - ba + b^2再进行一次简化，得到：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2通过比较展开后的式子，我们可以发现：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2可以看出，这两个展开式的形式非常相似，只是正负号不同。

这就表明，两个数的平方差可以表示为一个平方和与一个平方差的形式。

根据上述的推导结果，我们可以得出这样一个结论：a^2-b^2=(a+b)*(a-b)这个等式就是平方差公式的具体形式。

利用这个公式，我们可以快速计算任意两个数的平方差。

例如，我们要计算9^2-5^2的结果。

根据平方差公式，可以得到：9^2-5^2=(9+5)*(9-5)=14*4=56因此，9^2-5^2的结果为56除了计算平方差，平方差公式还可以推导出其他一些重要的数学公式。

平方差公式

平方差公式◎ 平方差公式的定义表达式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。

◎ 平方差公式的知识扩展平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，特点：两数和与它们差的乘积等于这两数的平方差。

（1）左边是两项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是乘方中两项的平方差。

注：（1）公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式；（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

◎ 平方差公式的特性特点：（1）左边是两项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是乘方中两项的平方差。

注：（1）公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式；（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

◎ 平方差公式的知识对比常见错误:平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。

注意事项:1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

◎ 平方差公式的教学目标1、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。

2、经历两数和乘以这两数的差的整式乘法运算探索平方差公式的过程。

3、在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。

4、培养学生观察、归纳、概括的能力。

◎ 平方差公式的考试要求能力要求：应用课时要求：100考试频率：必考分值比重：5。

平方差公式知识讲解

平方差公式知识讲解a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式对于初中和高中等级的数学非常重要，在解决各种代数方程、因式分解和证明等问题时经常被使用。

下面，我将详细讲解平方差公式的用法和推导过程。

首先，我们来讲解平方差公式的用法。

例如，我们希望将一个二次多项式x²-4分解为两个因式的乘积。

根据平方差公式，我们可以将这个式子进行变形：x²-4=(x+2)(x-2)通过平方差公式，我们将二次多项式x²-4分解为(x+2)(x-2)的形式，这样便可以更简单地进行计算和分析。

除了因式分解，平方差公式还可以用于解决各种代数方程。

通过利用平方差公式，我们可以将一个复杂的方程转化为一个更简单的二次方程，从而更容易求解。

接下来，我们来详细推导平方差公式。

我们先从右侧的等式(a+b)(a-b)入手进行推导：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)= a² - ab + ab - b²=a²-b²通过上述推导，我们得到了平方差公式。

此外，我们还可以通过几何方法来理解平方差公式。

考虑一个正方形的对角线，将其分为两段，其中一段的长度为a，另一段的长度为b。

根据勾股定理，这个正方形的面积可以表示为a²+b²。

然而，我们也可以将这个正方形的面积另外表示为一个矩形和一个小正方形的面积之和。

其中，矩形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a-b)。

因此，我们可以得到(a+b)(a-b)=a²-b²。

通过几何的解释，我们可以更加直观地理解平方差公式的原理和作用。

总结起来，平方差公式是解决代数方程、因式分解和证明等数学问题中非常有用的工具。

通过平方差公式，我们可以将一个多项式分解为两个因式的乘积，并且可以通过平方差公式将一个复杂的方程转化为一个更简单的二次方程。

通过几何的解释，我们可以直观地理解平方差公式的原理和意义。

平方差公式课件

07
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总结与回顾
本节课的主要内容回顾
平方差公式的推导过程
平方差公式与实际生活的联系
平方差公式的形式和应用
需要进一步理解的问题
如何根据题目选择合适的公式进行解答
对于一些变形公式，如何正确理解和使用
下节课预告
将介绍新的数学概念和公式，如完全平方公式和平方差公式的扩展形式
习题与解答
习题一
总结词：简单基础
详细描述：本题主要考察平方差公式的简单应用，适合基础薄弱的同学练习。
习题二
总结词：中等难度
详细描述：本题涉及平方差公式的变形和组合，需要学生具备一定的思维能力和计算能力。
习题三
总结词：较难
VS
详细描述：本题综合考察了学生的数学能力和思维深度，需要学生灵活运用平方差公式和其他数学知识。
平方差公式课件
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目录
• 引言 • 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用 • 平方差公式的扩展与推广 • 习题与解答 • 总结与回顾
01
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引言
课程背景
平方差公式是数学中基础且重要的公式之一，它描述了两个数的平方差与这两个数之间的关系。在代数、几何和三角学中，平方差公式都有广泛的应用。
在几何中的应用
证明勾股定理求几何图形的面积和体积
通过平方差公式，我们可以证明勾股定理，了解三角形三边的关系。
利用平方差公式，我们可以计算一些几何图形的面积和体积，例如矩形、梯形、圆等。
在三角函数中的应用
01 02 03 04
三角恒等式的证明
通过平方差公式，我们可以证明一些三角恒等式，例如两角和与差的余弦、正弦公式等。

数学平方差公式

数学平方差公式数学平方差公式是用于求解两数平方之差的公式。

它在代数学中起着重要的作用，并且在许多数学问题的解答中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将学习数学平方差公式的定义、推导过程以及一些实际应用。

首先，让我们来看一下数学平方差公式的定义。

数学平方差公式可以表示为：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2其中，a和b是任意实数。

该公式可以用于计算数a和b的平方之差。

接下来，我们将推导数学平方差公式的过程。

假设我们有两个实数a和b，我们想要求解它们的平方之差。

我们可以首先将公式(a + b) * (a - b)展开，得到：(a + b) * (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba是相等的，我们可以将它们合并，得到：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2这就是数学平方差公式。

接下来，让我们通过一些实际应用来展示数学平方差公式的用途。

首先，数学平方差公式在因式分解中起着重要的作用。

当我们需要因式分解一个平方差时，数学平方差公式可以帮助我们简化计算过程。

例如，假设我们想要因式分解x^2 - 4，我们可以使用数学平方差公式来得到：x^2 - 4 = (x + 2) * (x - 2)通过使用数学平方差公式，我们可以将平方差分解为两个因子的乘积，这可以帮助我们更快地解决问题。

另一个应用是在计算几何中。

当我们需要计算两点之间的距离时，数学平方差公式可以帮助我们简化计算过程。

假设我们有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用数学平方差公式来计算它们之间的距离。

距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)通过将平方差公式应用于坐标差的平方和，我们可以快速计算出两点之间的距离。

最后，数学平方差公式还有其他许多实际应用。

它可以在代数学和几何学中用于求解方程、证明定理以及解决各种数学问题。

总结起来，数学平方差公式是一个用于求解两数平方之差的有用工具。

《平方差公式》PPT教学课件

(是)
（2）(-2a+b)(-2a-b) (是)
（3）(-a+b)(a-b)
(否)
（4）(a+b)(a-c)
(否)
例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2y )( 3x-2y）（2）（-7+2m2 )(-7-2m2 ）（3）（x-1)(x+1)(x2+1）
解：（1）（3x+2y)(3x-2y） =（3x）2-（2y）2 =9x2-4y2
=1002 - 22
=10000-4
=9996
例2计算： 1.102 ×98
2. y 2y 2 y 1y 5
解：2.原式=y2–22- (y2+5y-y-5)
=y2–4 – (y2+4y-5) =y2–4 –y2-4y+5 =-4y+1
注：合并同类项，化到最简。
随堂练习
1. a 3ba 3b
都未添括号。
拓展应用
1.利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1)(1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
1.什么是平方差公式？ 2.运用公式要注意：（1）要符合公式特征才能运用平方差公式；（2）有些例子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。
2.利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a
b
a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3 a (-3)2-a2

平方差公式ppt课件

1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.

例3 计算：
【点拨】（1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)

公式法之平方差公式

公式法之平方差公式平方差公式，又称差平方公式，是数学中常用的一个公式，可以用来计算两个数的平方差。

平方差公式可以简化计算，提高计算的效率。

平方差公式表述为：两个数的平方差等于两个数的和乘以两个数的差。

假设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a+b)(a-b)也可以使用符号表示为：(a+b)²-(a-b)²具体的推导过程如下：首先，我们可以展开(a+b)²和(a-b)²。

根据乘法公式，(a+b)²可以展开为：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab+ b²同样地，(a-b)²可以展开为：(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²接下来，我们要计算这两个展开式的差：(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)通过去括号运算，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²合并同类项，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = 4ab也就是说，两个数的平方差等于4倍两个数的乘积。

这就是平方差公式的具体推导过程。

平方差公式的应用非常广泛。

比如，我们可以利用平方差公式来简化计算多项式的乘法或除法运算。

另外，平方差公式也常常用来证明一些数学定理或解析几何问题。

在物理学中，平方差公式也常常用来分析物体的运动变化。

除了平方差公式，还有其他一些类似的公式，比如平方和公式和立方差公式。

平方和公式用来计算两个数的平方和，立方差公式用来计算两个数的立方差。

平方差公式ppt课件

平方差公式ppt课件
目录
• 引言 • 平方差公式的定义与形式 • 平方差公式的证明方法 • 平方差公式的扩展形式 • 平方差公式的应用举例 • 总结与回顾
01
引言
课程背景与目标
01
课程背景
02
课程目标
本课程是面向初中学生的数学课程，旨在帮助他们理解并掌握平方差公式及其应用。
通过本课程，学生将能够理解平方差公式的推导过程，掌握其结构特点，并能够在计算中运用该公式。
02
01
其中，a和b是任意实数，可以是整数、有理数或无理数。
平方差公式的应用范围
平方差公式在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种与平方差有关的问题。
例如，在代数、几何、三角函数等领域中，平方差公式都可以发挥重要的作用。
此外，在物理、化学等其他学科中，平方差公式也有着广泛的应用。
03
平方差公式的证明方法
平方差公式的应用前景展望
01
在代数运算中的应用
02
在几何图形中的应用
03
在实际生活中的应用
04
在数学竞赛中的应用
THANKS
平方差公式的重要性
01
0203基础数来自概念提高计算效率培养逻辑思维
平方差公式是初中数学中的一个基础概念，是后续学习多项式、因式分解等知识的基础。
掌握了平方差公式，可以大大提高学生的计算效率，特别是在处理一些多项式的乘法或乘方运算时。
学习平方差公式的过程，也是培养学生逻辑思维和推理能力的过程，对于学生数学素养的提高非常有帮助。
归纳法证明
总结词
归纳法证明是平方差公式证明中最为直观和简洁的方法。
详细描述
通过将平方差公式左边展开，与右边进行比较，发现两者相等，从而证明了平方差公式的正确性。

平方差公式课件

平方差公式课件平方差公式课件在数学学科中，平方差公式是一个非常重要的公式，它在代数运算中经常被使用。

平方差公式的推导和应用是数学教学中的一大难点，因此，为了帮助学生更好地理解和掌握这个公式，教师们常常会使用课件来进行讲解和演示。

一、平方差公式的定义和推导平方差公式是指两个数的平方差可以表示为两个数的和与差的乘积。

具体地说，对于任意两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式的推导可以通过展开式来完成。

首先，我们将(a + b)(a - b)展开：(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)接着，我们可以使用分配律进行进一步的展开：= a^2 - ab + ab - b^2由于中间的两项-ab和ab相互抵消，所以最终的结果为：= a^2 - b^2这就得到了平方差公式的推导过程。

二、平方差公式的应用平方差公式在代数运算中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用情况。

1. 因式分解平方差公式可以用于因式分解，特别是在分解差的平方时非常有用。

例如，对于一个二次多项式a^2 - b^2，我们可以利用平方差公式将其分解为两个一次多项式的乘积：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)这样，我们就可以简化计算，得到更简洁的表达式。

2. 解方程平方差公式在解方程中也有着重要的应用。

特别是在二次方程的求解过程中，平方差公式可以帮助我们将方程转化为两个一次方程。

例如，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果我们能够将其转化为(x + p)(x + q) = 0的形式，那么我们就可以通过平方差公式得到方程的解。

3. 计算平方根平方差公式还可以用于计算平方根。

特别是在计算非完全平方数的平方根时，平方差公式可以帮助我们简化计算。

例如，对于一个非完全平方数n，我们可以通过平方差公式将其表示为一个完全平方数的差：n = a^2 - b^2然后，我们可以利用平方差公式求解出n的平方根。

平方差公式

9.11 平方差公式教学目标1、经历平方差公式的探求过程，理解平方差公式意义，知道平方差公式与多项式乘法法则的关系。

2、熟悉平方差公式的特征，掌握平方差公式及其简单运用。

教学重点及难点1、理解平方差公式的结构特征。

2、会运用公式进行简便计算。

教学过程1、复习与引入（1）复习之前学过多项式与多项式相乘，让学生用文字语言描述多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（2）运用之前学过的多项式相乘的运算法则，计算下列各题。

①()()11-+x x②()()a a 212-1+③()()y x y x 2323-+观察：这些算式有什么规律？运算的结果又有什么规律？归纳学生的回答，给出标准的定义：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即()()22b a b a b a -=-+ 这个公式叫做平方差公式。

注意：公式中的b a 、可以是任意的数或者代数式。

2、探索与研究根据图形中的面积关系来说明平方差公式分析：求图1的阴影部分面积时，第一种方法是利用大正方形减去小正方形的面积，即22b a -第二种方法就是将图1的图形进行切割后做一个拼接，变成图2的形状，然后用长方形面积公式求解即：()()b a b a -+因为2种方法求得的阴影部分面积应该相等，所以就验证了平方差公式的正确性。

让学生思考,能不能通过其他的图形切割与拼接的方法来求阴影部分的面积。

（给出提示，按图示方法切割）分析：一共可以有三种拼接方法，根据各自拼成的图形的面积计算公式，都可以验证平方差公式。

3、练习请同学们先观察以下题目，口答出公式中的b a ,现在各是什么，然后运用平方差公式口答出结果。

（1）()()y x y x -+22（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x 31213121 （3）()()y x y x 33--+-（4）()()55---b b分析：（1）、（2）题中，在应用平方差公式时，寻找与公式结构中的b a 、所对应的部分时，不要遗漏字母前的系数。

平方差公式知识讲解

平方差公式知识讲解设a和b是任意实数，我们希望推导出a²-b²的表达式。

首先，我们可以展开(a+b)²，根据二项式定理可以得到：(a + b)² = a² + 2ab + b²接下来，我们将上式两侧都减去2ab，得到：(a + b)² - 2ab = a² + 2ab + b² - 2ab化简右侧的2ab - 2ab得到：(a + b)² - 2ab = a² + b²然后，我们发现左侧的(a + b)² - 2ab就是(a - b)²，所以上式可以进一步化简为：(a-b)²=a²-b²这就是平方差公式的表达式，即任意实数a和b的平方之差可以表示为(a+b)(a-b)。

接下来，我们可以通过一个例子来说明平方差公式的应用。

例：求证2²-1²=(2+1)(2-1)首先，将左侧展开计算：2²-1²=4-1=3然后，计算右侧的乘积：(2+1)(2-1)=3*1=3我们发现，左右两侧的结果相等，验证了平方差公式的正确性。

例1：化简代数式x² - y² + 4xy - 4yx利用平方差公式，我们可以将x²-y²表示为(x+y)(x-y)。

将上式中的x²-y²替换得到：(x + y)(x - y) + 4xy - 4yx继续化简得到：(x + y)(x - y) + 4(xy - yx)注意到xy - yx = 0，所以最终化简结果为：(x+y)(x-y)例2：求解方程x²-6x+9=0通过观察，我们可以发现x²-6x+9实际上是一个平方形式，可以写成(x-3)²。

所以，方程可以进一步变形为：(x-3)²=0通过平方根定理，我们知道方程的解是x-3=0，即x=3这些例题展示了平方差公式的使用。

《数学平方差公式》课件

02
CATALOGUE
平方差公式的推导
平方差公式的推导过程
平方差公式是通过多项式乘法、因式分解和代数恒等式推导出来
的。
首先，将平方差公式左边表示为两个多项式的乘积，然后进行因式分解，得到两个一次多项式的
乘积。
最后，利用代数恒等式，将平方差公式右边表示为两个一次多项
式的乘积。
平方差公式的证明
01
02
03
04
证明平方差公式，可以通过数学归纳法和完全平方公式进行
证明。
首先，利用数学归纳法证明公式对任意正整数n都成立。
然后，利用完全平方公式将公式右边展开，得到一个完全平
方项和一个常数项的和。
最后，通过代数运算化简得到公式左边。
平方差公式的理解
平方差公式是一种代数恒等式，表示两个数的平方差等于它们的差的平方。
平方差公式的其他变种形式
平方差公式与完全平方公式结合
将平方差公式与完全平方公式结合，可以用于解决一些复杂的数学问题，如求值、化简等。
平方差公式应用于三角函数
将平方差公式应用于三角函数，可以用于求三角函数的值、化简三角函数表达式等。
05
CATALOGUE
总结与回顾
总结平方差公式的知识点
平方差公式的内容
解决几何问题
平方差公式可以用来解决一些几何问题，例如计算角度、线段长度等。
平方差公式在实际问题中的应用
金融计算
在金融领域中，平方差公式可以用来计算复利、折现等金融数值
。
统计学
在统计学中，平方差公式可以用来计算方差、标准差等统计数值。
物理学
在物理学中，平方差公式可以用来计算位移、速度、加速度等物理量。

9.11 平方差公式解析

a ba b
从几何角度：
a b
2
2
a
a
b
b
两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.
a ba b a b 即：
2
2
练习: (利用平方差公式口答)
(1) (x+y)(x-y)= x2-y2
(2) (x-4)(x+4)=
x2-16
(3) (p+q)(p-q)= p2-q2
计算（能用公式的用公式计算）：
(1) x 1 1 x
1 1 2 ( a b) (b a ) 2 2
3 a 2b 2b a 4 x 5 a b a b
6 c b b
2 2 2
y x y
计算
(1) ( －3X＋2)(－3X－2)
解:原式 = (-3x)2－22 = 9x2－4
a
b
-3x
2
(2) ( －3X－2)(3X－2)
解:原式 = (-2)2－(3x)2 = 4－9x2
a b
-2 3x
(3) (2－3X)(3X＋2)
解:原式 = 22－(3x)2 = 4－9x2
a b
2 3x
2 30.2 29.8
符合什么条件才可以简便计算？
例3：计算: (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2) (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解 : (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 = a2(a2-b2)+a2b2 = a4- a2 b2+a2b2 = a4 (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) = (2x)2-25)-(4x2-6x) = 4x2-25-4x2+6x = 6x-25

9.11(2)平方差公式

2 2
2 2
例1 计算
（1）
102 98
相同项2 - 相反项2
解：原式 (10010000 4 9996
例1 计算
（2） 30.2 29.8
2
相同项2 - 相反项2
解：原式 (30 0.2)(30 0.2)
9.11 平方差公式（2）
平方差公式
1. 文字语言叙述：
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
2. 符号语言：
(a b)(a b) a b
2
2
两数和两数差这两数的平方差
计
2
算：
相同项2 - 相反项2
2
（1） (1 3xy)(1 3xy)
解：原式 1 (3xy) 1 9 x2 y 2 . （2） (2a b)(2a b) 解：原式 (b) (2a) b 4a .
怎样计算呢？
（2） 2a 7b2a 7b 4a 5b 4a 5b
平方差公式可以简化运算
本节课是平方差公式的进一步应用 1．运用平方差公式简便计算．
（1）特殊两数的乘法运算（2）整式的运算
2．注意：正确寻找 “相同的数或式”， “相反的数或式”
练习册习题9.11 第4、5题
平方差公式
多项式的乘法
怎样运算？
=2x2+xy–14xy–7y2+y2–(16x2–25y2) =2x2+xy–14xy–7y2+y2–16x2+25y2 = –14x2–13xy +19y2
例题2 计算：解：原式 =4a2–49b2 –(16a2–25b2) =4a2–49b2–16a2+25b2 = –12a2–24b2

乘法公式之平方差公式

乘法公式之平方差公式平方差公式是一种与乘法相关的数学公式，用于计算两个数的平方之差。

它的应用领域非常广泛，例如在代数、几何、物理等方面都有广泛的运用。

在这篇文章中，我们将详细介绍平方差公式，并给出一些实际问题的例子来说明它的应用。

平方差公式的数学表达式如下：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。

平方差公式可以通过展开左边的乘法式，然后合并项得到右边的表达式。

这个公式起到了将两个数的平方之差转化为两个数的乘积的作用，方便了计算和运算。

平方差公式的证明可以通过配方法来完成。

我们将上述公式左边的乘法式进行展开：(a+b)*(a-b)=a*a-a*b+b*a-b*b由于乘法满足交换律，所以可以简化为：a*a-a*b+a*b-b*b再次合并相同项，得到：a*a-b*b这正是右边公式的表达式，证明了平方差公式的正确性。

接下来，让我们通过一些实际问题的例子来说明平方差公式的实际应用。

例子1：假设小明家的房子面积为40平方米，房子的长和宽相差5米，问房子的长和宽各是多少米？解：设房子的长为x米，宽为x-5米。

根据题意，可以列出方程：x*(x-5)=40应用平方差公式展开上式：x^2-5x-40=0我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法解这个一元二次方程，求得房子的长和宽分别为10米和5米。

例子2：公司在去年和今年的年度销售额分别为100万和120万。

问今年的销售额比去年增长了多少百分比？解：设去年的销售额为a万，今年的销售额为b万。

根据题意，可以列出方程：(b-a)*(b+a)=20应用平方差公式展开上式：b^2-a^2=20我们可以求解这个二元一次方程，得到b=110万。

今年的销售额比去年增长了10%。

通过以上两个例子，我们可以看到平方差公式在实际问题中的应用。

它可以帮助我们将复杂的运算转化为简单的乘法运算，方便了计算和解题。

除了上述例子，平方差公式在代数中的运用也非常广泛。

例如，在因式分解中可以使用平方差公式将二次多项式进行因式分解。

9.11平方差公式-教案

实验中学数学教案
左边两个二项式中有一项是完全相同的，有一项只有符号不同。

其结果是完全相同的一项的平房减去只有符号不同的一项的平方。

新课探索三
根据图形的面积来说明平方差公式。

22))((b a b a b a -=-+
新课探索四例题1 计算：
（1）)2)(2(y x y x -+；（2）)3
1
21)(3121(
y x y x -+；（3）)3)(3(y x y x --+-.
课内练习一计算：
（1）)52)(52(-+x x ；（2）)21)(21(a a +-；
（3）)21
31)(2131(b a b a -+；
（4）)3
1
21)(3121(22-+x x
新课探索五
例题2 计算：
（1）)14)(14(+---a a ；（2）)32)(32(n m n m ++-；
根据图形的面积，进一步理解平方差公式，培养数形结合的数学思想。

尝试运用平方差公式进行计算。

学生板演
通过练习，巩固对平方差公式形状的掌
握。

（1）看清各题是否符合平方差公式的特点；（2）结果等于完全相同的一项的平方减去只有符号不同的一项
式相乘，并且这两个二项式中的一项相同，另一项互为相反数，那么它们的积就等于这两项的平方差。

完成知识目标2
1．教学时可以引导学生适当的划线，寻找或区分公式的a 、b 两项；
2．应注意该例题的。

平方差公式的结构特点

平方差公式是代数中的一个基本恒等式，其结构特点是两个平方项相减，可以表示为：
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
这个公式揭示了两个平方数相减可以分解为两个括号的乘积，其中一个括号内包含两个数的和，另一个括号内包含这两个数的差。

平方差公式的特点如下：
1. 对称性：公式中a 和b 是对称的，即可以互换位置而不改变等式的正确性。

2. 分解因式：平方差可以分解为两个一次因式的乘积，这在解方程或简化表达式时非常有用。

3. 非负性：a^2 和b^2 作为平方项总是非负的，因此平方差a^2 - b^2 的结果可能是非正的，取决于a 和 b 的相对大小。

4. 差的性质：公式体现了差的性质，即两个数的平方之差等于这两个数的和与差的乘积。

5. 零的特例：当a = b 或a = -b 时，平方差为零，因为a^2 - a^2 = 0 或a^2 -a^2 = 0 。

这也说明了平方差公式中的两个因子可以有公共因数。

平方差公式在数学的许多领域都有应用，包括代数运算、因式分解、求解二次方程以及在几何中解决与正方形面积相关的问题。

平方差公式的常见变形

平方差公式的常见变形1.完全平方差：完全平方差公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a - b)² =a² - 2ab + b²。

在这种形式下，我们可以将一个差的平方写成两个数的平方差，并通过平方差公式进行简化。

例如：(a - b)² = a² - 2ab + b²= (a² + b²) - 2ab这种变形主要用于简化计算差的平方。

2.立方差：立方差公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a - b)³ = a³ -3a²b + 3ab² - b³。

在这种形式下，我们可以将一个差的立方写成四个数的立方和，并通过立方和公式进行简化。

例如：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³= (a³ + b³) - 3ab(a - b)这种变形主要用于简化计算差的立方。

3.平方和：平方和公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a + b)² = a² +2ab + b²。

在这种形式下，我们可以将一个和的平方写成三个数的平方和，并通过平方和公式进行简化。

例如：(a + b)² = a² + 2ab + b²= (a² + b²) + 2ab这种变形主要用于简化计算和的平方。

4.立方和：立方和公式是平方差公式的一种变形，基本形式为(a + b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³。

在这种形式下，我们可以将一个和的立方写成四个数的立方和，并通过立方和公式进行简化。

例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³= (a³ + b³) + 3ab(a + b)这种变形主要用于简化计算和的立方。