2017_2018学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质创新应用课件新人教A版选修4_1

(2)连接 DE， ∵⊙O 切 BC 于 D， ∴∠BAD＝∠BDE. 由(1)可得∠BDE＝∠FAD， 又∵⊙O 内接四边形 AEDF， ∴∠BED＝∠DFA. ∴△BED∽△DFA. DE BE ∴ AF ＝DF. 又∵∠BAD＝∠CAD， ∴DE＝DF.∴DF2＝AF· BE.
一、选择题 1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于 C，PAB 交⊙O 于 A、B，则( A．∠MCB＝∠B C．∠PCA＝∠B B．∠PAC＝∠P D．∠PAC＝∠BCA )
理解教材新知
考点一
第 二 讲 四
把握热点考向 考点二
应用创新演练
四
弦切角的性质
弦切角定理 (1)文字语言叙述：
所夹的弧 所对的圆周角． 弦切角等于它___________
(2)图形语言叙述：
∠D 如图，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝_____.
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周
5．如图，AD 是△ABC 的角平分线， 经过点 A、D 的⊙O 和 BC 切于 D， 且 AB、AC 与⊙O 相交于点 E、F， 连接 DF，EF. (1)求证：EF∥BC； (2)求证：DF2＝AF· BE.
证明：(1)∵⊙O 切 BC 于 D，∴∠CAD＝∠CDF. ∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC.
[证明]
， AC ＝ BD (1)因为
所以∠BCD＝∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB. BC CD 故BE＝ BC ， 即 BC2＝BE· CD.
利用弦切角定理进行计算、 证明， 要特别注意弦切角所夹 弧所对的圆周角， 有时与圆的直径所对的圆周角结合运用， 同 时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．
1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线 EF 切⊙O 于 C，若∠BAC＝56° ，则∠ECA＝________.
解析：连接 BC， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠B＝90° －∠BAC＝90° －56° ＝34° . 又∵EF 与⊙O 相切于点 C，由弦切角定理，有∠ECA＝ ∠B＝34° .
证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线， 常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助 线创造条件．
4．如图，已知 MN 是⊙O 的切线，A 为切点， MN 平行于弦 CD， 弦 AB 交 CD 于 E.求证： AC2＝AE· AB.
证明：连接 BC. MN∥CD⇒∠MAC＝∠ACD MN切⊙O于A⇒∠MAC＝∠B ⇒∠ACD＝∠B ⇒△ACE∽△ABC ∠CAE＝∠CAB AC AE ⇒AB＝AC⇒AC2＝AB· AE.
答案：34°
2．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点 M 的切线， 求证： (1)如果 AB∥CD，那么 AM＝MB； (2)如果 AM＝BM，那么 AB∥CD.
证明：(1)∵CD 切⊙O 于 M 点， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A. ∴∠A＝∠B，故 AM＝MB. (2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B. ∵CD 切⊙O 于 M 点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.
⊥PB，垂足分别为 D，E，F. 求证：CD2＝CE· CF. [思路点拨] 连接CA、CB，∠CAP＝∠CBA、 → ∠CBP＝∠CAB
Rt△CAE∽Rt△CBD CE CD → ＝ → 结论 Rt△CBF∽Rt△CAD CD CF
[证明]
连接 CA、CB.
∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴∠CAP＝∠CBA， ∠CBP＝∠CAB. 又 CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， CA CE CB CF ∴CB＝CD，CA＝CD， CE CD ∴CD＝ CF ，即 CD2＝CE· CF.
角的度数等于它所对的弧的度数的一半， 圆心角的度数等于 它所对弧的来自百度文库数．
弦切角定理
[ 例 1]
AC ＝ (2010· 新课标全国卷 )如图，已知圆上的弧
，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： BD
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE· CD. [思路点拨] 利用弦切角定理．
解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
答案：C
2．如图，△ABC 内接于⊙O，EC 切⊙O 于 点 C.若∠BOC＝76° ， 则∠BCE 等于( A．14° C．52° B．38° D．76° )
解析：∵EC 为⊙O 的切线， 1 ∴∠BCE＝∠BAC＝ ∠BOC＝38° . 2 答案：B
3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于 C， AD⊥EF 于 D， AD＝2， AB＝6， 则 AC 的长为 A．2 C．2 3 ( B．3 D．4 )
3． 如图， 已知 AB 是⊙O 的直径， 直线 CD 与⊙O 相切于点 C， AC 平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
解：(1)证明：如图，连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠ADC＝90° ，即 AD⊥CD.
解析：连接 BC，则∠ACB＝90° ， 又 AD⊥EF，∴∠ADC＝90° ， 即∠ADC＝∠ACB， 又∵∠ACD＝∠ABC， ∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD· AB＝12，即 AC＝2 3.
(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. AD AC ∴ AC ＝AB， ∴AC2＝AD· AB. 5 ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝ . 2
运用弦切角定理证明比例式或乘积式
[例 2] 如图， PA， PB 是⊙O 的切线，
AB 上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF 点 C 在