2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷(3月)含答案解析

2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）一、填空（本大题共54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x=5，则实数m=．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石．3．已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2=．4．在的二项式展开式中，x3的系数是，则实数a=．5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则•（+）=．6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是．7．已知M是球O半径OP的中点，过M做垂直于OP的平面，截球面得圆O1，则以圆O1为大圆的球与球O的体积比是．8．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是．9．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．10．如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有种（用数字作答）．11．定义H n=为数列{a n}的均值，已知数列{b n}的均值，记数列{b n﹣kn}的前n项和是S n，若S n≤S3对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是．12．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若对于任意的实数x不等式f（x）≥2恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，则所有满足条件的m的组成的集合是．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．已知两点O（0，0），Q（a，b），点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，P n+2是线段P n P n+1的中点，则点P n的极限位置应是（）A．（，）B．（）C．（）D．（）14．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）=，若|α﹣β|的最小值为，则函数的单调递增区间为（）A．[﹣+2kπ，π+2kπ]，k∈Z B．[﹣+3kπ，π+3kπ]，k∈ZC．[π+2kπ， +2kπ]，k∈Z D．[π+3kπ， +3kπ]，k∈Z15．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若m⊊α，n⊊β，m∥n，则α∥βC．若m，n是异面直线，m⊊α，m∥β，n⊊β，n∥α，则α∥βD．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β16．若点P是△ABC的外心，且++λ=，∠C=120°，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．﹣1 D．1三、解答题（本大题满分76分）17．如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=，四边形ABCD是正方形．（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．（2）求四面体EABC的体积．18．一栋高楼上安放了一块高约10米的LED广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C处测得广告屏顶端A处的仰角为31.80°．再向大楼前进20米到D处，测得广告屏顶端A处的仰角为37.38°（人的高度忽略不计）．（1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E处多远？已知视角∠AMB（M为观测者的位置，B为广告屏底部）越大，观看得越清晰．19．已知双曲线C经过点（2，3），它的渐近线方程为y=±x，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等．（1）求双曲线C和椭圆C1的方程；（2）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．（1）求函数h（x）的反函数；（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），求实数a的取值范围；（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得无穷数列{a n}满足=，则称数列{a n}为“段差比数列”，其中常数k、d、t分别叫做a n+1段长、段差、段比，设数列{b n}为“段差比数列”．（1）已知{b n}的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d、t，若{b n}是等比数列，求d、t的值；（2）已知{b n}的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、1，其前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在首项为b，段差为d（d≠0）的“段差比数列”{b n}，对任意正整数n都有b n=b n．若存在，写出所有满足条件的{b n}的段长k和段比t组成的有序+6数组（k，t）；若不存在，说明理由．2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空（本大题共54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x=5，则实数m=﹣2．【考点】矩阵变换的性质．【分析】由题意，D x==5，即可求出m的值．【解答】解：由题意，D x==5，∴m=﹣2，故答案为﹣2．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为168石．【考点】简单随机抽样．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×≈168石，故答案为：168．3．已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2=z2=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设复数z2=a+bi（a，b∈R），求出z1z2，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设复数z2=a+bi（a，b∈R），z2=，z1∵|z2|=3，z1z2是正实数，∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．4．在的二项式展开式中，x3的系数是，则实数a=4．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：在的二项式展开式中，通项公式==，T r+1令﹣9=3，解得r=8．∴=，解得a=4．故答案为：4．5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则•（+）=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把转化为含有的式子求解．【解答】解：如图，∵BD=2DC，∴=．∴•（+）===．故答案为：3．6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是b＞﹣1．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于A、B的不等式，通过A∩B≠∅”，求出b的范围即可．【解答】解：A={x|}={x|x＞﹣1}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}=（﹣3，b）或（b，﹣3），由“A∩B≠∅”，得b＞﹣1，故答案为：b＞﹣1．7．已知M是球O半径OP的中点，过M做垂直于OP的平面，截球面得圆O1，则以圆O1为大圆的球与球O的体积比是．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，设出圆M的半径，球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出半径关系，然后可求以圆O1为大圆的球与球O的体积比．【解答】解：由题意，设出圆M的半径r，球的半径R，由勾股定理得R2=r2+（）2，r=R．∴以圆O1为大圆的球与球O的体积比是．故答案为：．8．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件（a，b）的个数n=4×4=16，再利用列举法求出函数y=a x+b 的图象经过第三象限的情况，由此能求出函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率．【解答】解：从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，基本事件（a，b）的个数n=4×4=16，∵函数y=a x+b的图象经过第三象限有：①当a=3、b=﹣1时，②当a=3、b=﹣2时，③当a=4、b=﹣1时，④当a=4、b=﹣2时，⑤当a=，b=﹣2 时，⑥当a=，b=﹣2 时，共6种情况，∴函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是p=．故答案为：．9．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是[2+2，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x（x＞0），则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，解得：x≥2+2，则m+n的取值范围为[2+2，+∞）．故答案为[2+2，+∞）．10．如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有10种（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分析可得必须先取1或4，据此分2种情况讨论，分别列举2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分2种情况讨论：若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法；若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法；则一共有6+4=10中不同的取法；故答案为：10．11．定义H n=为数列{a n}的均值，已知数列{b n}的均值，记数列{b n﹣kn}的前n项和是S n，若S n≤S3对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是[，] ．【考点】数列的求和．【分析】由题意，b1+2b2+…+2n﹣1b n=n•2n+1，b1+2b2+…+2n﹣2b n﹣1=（n﹣1）•2n，从而求出b n=2（n+1），可得数列{b n﹣kn}为等差数列，从而将S n≤S5对任意的n （n∈N*）恒成立化为b5≥0，b6≤0；从而求解．【解答】解：由题意，H n==2n+1，则b1+2b2+…+2n﹣1b n=n•2n+1，=（n﹣1）•2n，b1+2b2+…+2n﹣2b n﹣1则2n﹣1b n=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n=（n+1）•2n，则b n=2（n+1），对b1也成立，故b n=2（n+1），则b n﹣kn=（2﹣k）n+2，则数列{b n﹣kn}为等差数列，故S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为：b5≥0，b6≤0；即，解得，≤k≤，故答案为：[，]．12．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若对于任意的实数x不等式f（x）≥2恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，则所有满足条件的m的组成的集合是{} ．【考点】绝对值三角不等式．【分析】根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，解得：a≤﹣或a≥，∵数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，故=5，解得：m=，∴实数m 的集合是{}．故答案为{}．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．已知两点O （0，0），Q （a ，b ），点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，P n +2是线段P n P n +1的中点，则点P n 的极限位置应是（ ）A ．（，）B ．（） C ．（） D ．（）【考点】中点坐标公式；极限及其运算．【分析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．【解答】解：∵点P n 的位置应是（∴点P n 的极限位置应是（）．故答案选C ．14．已知函数f （x ）=sin （ωx ﹣）+（ω＞0），且f （a ）=﹣，f （β）=，若|α﹣β|的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）A ．[﹣+2kπ，π+2kπ]，k ∈Z B ．[﹣+3kπ，π+3kπ]，k ∈ZC ．[π+2kπ， +2kπ]，k ∈ZD ．[π+3kπ，+3kπ]，k ∈Z【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f （a ）=﹣，f （β）=求出α、β的值，再根据|α﹣β|的最小值求出ω的值，写出f （x ）的解析式，从而求出f （x ）的单调增区间．【解答】解：函数f （x ）=sin （ωx ﹣）+（ω＞0），且f （a ）=﹣，f （β）=，∴f （α）=sin （ωα﹣）+=﹣，可得ωα﹣=2k 1π﹣，k 1∈Z ，解得：α=，k 1∈Z ；f （β）=sin （ωβ﹣）+=，可得ωβ﹣=k 2π，k 2∈Z ，解得：β=，k 2∈Z ；∵|α﹣β|的最小值为，∴|α﹣β|=||=|2k 1﹣k 2﹣|≥，k 1∈Z ，k 2∈Z ，可解得：ω≤|2k 1﹣k 2﹣|，k 1∈Z ，k 2∈Z ，取k 1=1．k 2=2，可得ω=；∴f （x ）=sin （x ﹣）+，由2kπ﹣≤x ﹣≤2kπ+，k ∈Z ，解得3kπ﹣≤x ≤3kπ+π，k ∈Z ；∴函数f （x ）的单调递增区间为：[3kπ﹣，3kπ+π]，k ∈Z ．故选：B ．15．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB ．若m ⊊α，n ⊊β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ，n 是异面直线，m ⊊α，m ∥β，n ⊊β，n ∥α，则α∥βD ．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，α与γ相交或平行；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D 中，α与β相交或平行．【解答】解：由m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故A错误；在B中，若m⊊α，n⊊β，m∥n，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m，n是异面直线，m⊊α，m∥β，n⊊β，n∥α，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中，平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．16．若点P是△ABC的外心，且++λ=，∠C=120°，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．﹣1 D．1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=120°，可得||=||=||=R，∠APB=120°．由于++λ=，可得+=﹣λ．两边做数量积可得（+）2=λ22，展开相比较即可得出λ．【解答】解：如图所示，∵++λ=，∴+=﹣λ．，∴（+）2=λ22，展开为2+2+2||||cos∠APB=λ2||2．∵点P是△ABC的外心，∠C=120°，∴||=||=||=R，∠APB=120°．∴2R2﹣R2=λ2R2，化为λ2=1．∵++λ=，∴λ=﹣1．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=，四边形ABCD是正方形．（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．（2）求四面体EABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，从而BC⊥AB，再上BC⊥面ABE，知BC⊥BE，从而得到四面体EABC是鳖臑．（2）AE是三棱锥A﹣BCE的高，求出正方形ABCD的边长，由此能求出四面体EABC的体积．【解答】解：（1）∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，∵四边形ABCD是正方形有，∴BC⊥AB，∴BC⊥面ABE，又BE⊂面ABE，∴BC⊥BE，∴四面体EABC是鳖臑．（2）由（1）得AE是三棱锥A﹣BCE的高，设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，BE==，EC=，在Rt△BEC中，EC2=BE2+BC2，即（）2=x2+x2﹣1，解得x=2，∴，∴四面体EABC的体积=．18．一栋高楼上安放了一块高约10米的LED广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C处测得广告屏顶端A处的仰角为31.80°．再向大楼前进20米到D处，测得广告屏顶端A处的仰角为37.38°（人的高度忽略不计）．（1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E处多远？已知视角∠AMB（M为观测者的位置，B为广告屏底部）越大，观看得越清晰．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）由正弦定理可得AD=≈101.2，即可求大楼的高度；（2）tanα=tan（∠AME﹣∠BME）==≤，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，∠ACD=31.80°，∠ADE=37.78°，∠CAD=5.98°，CD=20，由正弦定理可得AD=≈101.2，∴AE=ADsin∠ADE≈62m；（2）设∠AMB=α，，EM=x，x＞0，tan∠AME=，tan∠AME=，tanα=tan（∠AME﹣∠BME）==≤当且仅当x=≈57m时，tanα取得最大值，此时α也最大．19．已知双曲线C经过点（2，3），它的渐近线方程为y=±x，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等．（1）求双曲线C和椭圆C1的方程；（2）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】（1）双曲线C和椭圆C1的方程为：3x2﹣y2=λ，则λ=3×22﹣32=3．设椭圆C1的方程；椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点（±2，0）即即可得b、c、a（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上，设D（a，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．要使∠ADF=∠BDF，即直线AD、BD的斜率互为相反数，即，求得a【解答】解：（1）双曲线C和椭圆C1的方程为：3x2﹣y2=λ，则λ=3×22﹣32=3．∴双曲线C的方程为．设椭圆C1的方程；椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等，∴椭圆C1的短轴长为2b=2，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点（±2，0），即c=2，∴a=，椭圆C1的方程为：；（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，∵F（﹣2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上，设D（a，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．∴．∵∠ADF=∠BDF，∴直线AD、BD的斜率互为相反数，即，k=0时恒成立．k≠0时，a=；∴存在定点D（﹣，0），使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF．20．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．（1）求函数h（x）的反函数；（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），求实数a的取值范围；（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】反函数；指数函数的图象与性质．【分析】（1）由题意可得：e x=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），联立解得：g（x），h（x）．由y=，化为：（e x）2﹣2ye x﹣1=0，e x＞0，解得e x=y+．可得h﹣1（x）．（2）φ（x）=g（x﹣1），函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），转化为：函数g（x）在[﹣2，2]上满足：g（2a）＞g（﹣﹣1），由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数，可得|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a范围．（3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0，令t=e x﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，不等式转化为：t2+2﹣at≥0，a≤t+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：e x=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），联立解得：g（x）=，h（x）=．由y=，化为：（e x）2﹣2ye x﹣1=0，e x＞0，解得e x=y+．∴h﹣1（x）=ln（x∈R）．（2）φ（x）=g（x﹣1），函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），转化为：函数g（x）在[﹣2，2]上满足：g（2a）＞g（﹣﹣1），由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数，∴|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a∈∪．（3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0，令t=e x﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，不等式转化为：t 2+2﹣at ≥0，∴a ≤t +，∵t +≥2，当且仅当t=时取等号．∴a ≤2．21．若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、d 、t （d ，t ∈R ），使得无穷数列{a n }满足a n +1=，则称数列{a n }为“段差比数列”，其中常数k 、d 、t 分别叫做段长、段差、段比，设数列{b n }为“段差比数列”．（1）已知{b n }的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d 、t ，若{b n }是等比数列，求d 、t 的值；（2）已知{b n }的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、1，其前3n 项和为S 3n ，若不等式对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在首项为b ，段差为d （d ≠0）的“段差比数列”{b n }，对任意正整数n 都有b n +6=b n ．若存在，写出所有满足条件的{b n }的段长k 和段比t 组成的有序数组（k ，t ）；若不存在，说明理由． 【考点】数列的应用．【分析】（1）{b n }的前4项依次为1，1+d ，t （1+d ），t （1+d ）+d ，先求出t ，再代入验证，可得结论；（2）由{b n }的首项、段长、段比、段差，⇒b 3n +2﹣b 3n ﹣1=（b 3n +1+d ）﹣b 3n ﹣1=（qb 3n +d ）﹣b 3n ﹣1=[q （b 3n ﹣1+d ）+d ]﹣b 3n ﹣1=2d=6，⇒{b 3n ﹣1}是等差数列，又b 3n ﹣2+b 3n ﹣1+b 3n =（b 3n ﹣1﹣d ）+b 3n ﹣1+（b 3n ﹣1+d ）=3b 3n ﹣1，即可求S 3n ，从而求实数λ的取值范围；（3）k 取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，），（3，），（3，﹣1），（6，）．【解答】解：（1）{b n }的前4项依次为1，1+d ，t （1+d ），t （1+d ）+d ， 由前三项成等比数列得（1+d ）2=t （1+d ）， ∵1+≠0，∴t=1+d ，那么第2，3，4项依次为t ，t 2，t 2+t ﹣1，∴t 4=t （t 2+t ﹣1），∴t=±1． t=1时，d=0，b n =1，满足题意；t=﹣1时，d=﹣2，b n =（﹣1）n ﹣1，满足题意；（2）∵{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b 3n +2﹣b 3n ﹣1=（b 3n +1+d ）﹣b 3n ﹣1=（qb 3n +d ）﹣b 3n ﹣1=[q （b 3n ﹣1+d ）+d ]﹣b 3n ﹣1=2d=6，∴{b 3n ﹣1}是以b 2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b 3n ﹣2+b 3n ﹣1+b 3n =（b 3n ﹣1﹣d ）+b 3n ﹣1+（b 3n ﹣1+d ）=3b 3n ﹣1，∴S 3n =（b 1+b 2+b 3）+（b 4+b 5+b 6）+…+（b 3n ﹣2+b 3n ﹣1+b 3n ）=3（b 2+b 5+…+b 3n ﹣1）=3[4n +]=9n 2+3n ，…∵，∴，设c n =，则λ≥（c n ）max ，又c n +1﹣c n =，当n=1时，3n 2﹣2n ﹣2＜0，c 1＜c 2；当n ≥2时，3n 2﹣2n ﹣2＞0，c n +1＜c n ， ∴c 1＜c 2＞c 3＞…，∴（c n ）max =c 2=14，… ∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（3）k 取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，），（3，），（3，﹣1），（6，）．2017年3月15日。