人教新课标版数学高二选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》素质检测

第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若椭圆x 24＋y 2
m 2＝1(m >0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m 的值为( )
A ．5
B ．3
C ． 5
D ． 3
[答案] D
[解析] 解法一：由椭圆的焦点在x 轴上，可知4>m 2，∴0<m <2，故选D. 解法二：由题意得4－m 2＝1，∴m 2＝3，又m >0，∴m ＝ 3.
2．设P 是椭圆x 2169＋y 2
25＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于
( )
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13 [答案] A
[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22. 3．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2
m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )
A ．充分但非必要条件
B ．必要但非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 [答案] A
[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0， ∴方程x 2m －5＋y 2
m 2－m －6＝1表示双曲线．
若方程x 2m －5＋y 2
m 2－m －6＝1表示双曲线，则
(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m <－2或3<m <5，故选A.
4．(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近
线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A ．x 24－y 2
12＝1
B ．x 27－y 2
9＝1
C ．x 28－y 2
8＝1
D ．x 212－y 2
4
＝1
[答案] A
[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b
a
x ，
由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.
∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b
a x 的交点，
∴可求得A 点坐标为A (a ，b )． ∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝
OB 2＋AB 2＝
a 2＋
b 2＝
c ＝|OF |＝4，
∴△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23， ∴双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1，故选A.
5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2
b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、
m 为边长的三角形一定是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
[答案] B
[解析] 双曲线的离心率e 1＝
a 2＋
b 2
a
，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2
m
，由a 2＋b 2a ·m 2－b 2
m ＝1得a 2＋b 2＝m 2，故为直角三角形． 6．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4
没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
[答案] B
[解析] ∵直线与圆无交点，∴
4m 2＋n 2
>2，
∴m 2＋n 2<4，∴点P 在⊙O 内部， 又⊙O 在椭圆内部，∴点P 在椭圆内部， ∴过点P 的直线与椭圆有两个交点．
7．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
[答案] C
[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线x ＝－p 2，由|AB |＝2p ＝12，知p ＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝1
2
×12×6＝36.
8．过点(0,1)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 [答案] D
[解析] 过点(0,1)与双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共
点；过点(0,1)与双曲线相切的直线设为y ＝kx ＋1，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1
x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0，
当1－k 2≠0时，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＝0， ∴k ＝±2，故满足条件的直线有4条．
9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2
相切，则此双曲线的离心率等于( )
A ．2
B ．3
C ． 6
D ．9
[答案] B
[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝b
a x ，代入抛物线方
程y ＝x 2＋2整理得x 2－b
a
x ＋2＝0，
因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－b
a )2－8＝0，
即(b
a
)2＝8， ∴此双曲线的离心率e ＝c
a
＝
1＋(b a
)2＝
1＋8＝3.故选B.
10．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )
A ．线段
B ．直线
C ．圆
D ．椭圆
[答案] D
[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.
11．(2014·陕西工大附中四模)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，
过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支．．．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A ． 2
B ． 3
C ． 5
D ．7
[答案] D
[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，
|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，
∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，
由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e>1，∴e ＝c
a
＝7，故选D.
12．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A (3,1)是定点，则|PF |＋|PA |的最小值是( )
A ．2
B ．72
C ．3
D ．12
[答案] B
[解析] 如图，|PF |＋|PA |＝|PB |＋|PA |，
显然当A 、B 、P 共线时，|PF |＋|PA |取到最小值3－(－12)＝7
2
.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝______.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系． 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)
抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.
14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．
[答案] 1
2
[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. ∴椭圆离心率为c a ＝1
2
.
15．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．
[答案] x 22
＋y 2
＝1
[解析] ∵双曲线2x 2－2y 2＝1的离心率为2， ∴所求椭圆的离心率为
22
， 又焦点为(±1,0)，∴所求椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1.
16．椭圆的离心率等于33，且与双曲线x 216－y 2
9＝1有相同的焦距，则椭圆的标准方程是
________．
[答案] x 275＋y 250＝1或y 275＋x 2
50
＝1
[解析] 双曲线x 216－y 29＝1的焦距2c ＝10，∴c ＝5，又椭圆的离心率e ＝5a ＝3
3，∴a ＝53，
∴a 2＝75，b 2＝a 2－c 2＝50，
故椭圆的标准方程为x 275＋y 250＝1或y 275＋x 2
50
＝1.
三、解答题(本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；
(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x
2为渐近线的双曲线．
[解析] (1)∵双曲线x 216－y 2
4＝1的焦点为(±25，0)，
∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 2
20－a 2＝1(20－a 2>0) 又点(32，2)在双曲线上，
∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 2
8
＝1.
(2)椭圆3x 2
＋13y 2
＝39可化为x 213＋y 2
3
＝1，
其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
∵双曲线的渐近线为y ＝±1
2
x ，
∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2
a 2＝14
， ∴a 2＝8，b 2＝2，
即所求的双曲线方程为：x 28－y 2
2
＝1.
18．(本题满分12分)方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
[分析] 根据焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．
[解析]
∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴
x 21sin α＋y 2
－1
cos α
＝1. 又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1sin α
>0－1
cos α>0
1sin α<－1cos α
，即⎩⎨⎧
sin α>00<－cos α<sin α
，
∴2k π＋π2<α<2k π＋3π
4
(k ∈Z )．
故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π
4(k ∈Z )． 19．(本题满分12分)(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2
分别是椭圆E ：x 2＋
y 2
b 2
＝1(0<b <1)
的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．
(1)求|AB |.
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3.
(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝
1－b 2
设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，
x 2＋y 2
b 2＝1，
消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c
1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 2
1＋b 2
.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即4
3＝2|x 2－x 1|. 则8
9
＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2， 解得b ＝
2
2. 20．(本题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)、B (2,0)，|AD →
|＝2，AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12
AC →
，求点E 的轨迹方程．
[解析] 如图
设点E 的坐标为(x ，y )， ∵AE →＝12AC →＝12
(AB →＋AD →)，
∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E 为BD 的中点，连结OE ， 又O 为AB 的中点，∴OE ＝1
2AD ＝1.
即动点E 到定点O 的距离为定值1，
由圆的定义知，点E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．
[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E 到定点O 的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E 的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．
21．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，
离心率为3
5
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16
b 2＝1，∴b ＝4，
又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝9
25，∴a ＝5，
∴椭圆C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)，
设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝4
5(x －3)代入椭圆方程得
x 225＋(x －3)2
25＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－6
5
)． 22．(本题满分14分)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12
.
(1)试求动点P 的轨迹方程C .
(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝
42
3
时，求直线l 的方程． [解析] 设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·y x －2
＝－12，整理得x 22＋y 2
＝1.由于x ≠±2，
所以求得的曲线C 的方程为x 22
＋y 2
＝1(x ≠±2)．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1y ＝kx ＋1，消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.
解得x 1＝0，x 2＝－4k
1＋2k 2(x 1、x 2分别为M 、N 的横坐标)．
由|MN |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋k 2|
4k 1＋2k 2|＝4
3
2， 解得：k ＝±1.
所以直线l 的方程x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。