第三节曲面及其方程选编

y2 a2

z2 a2

1
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
球面
于是有：
椭球面
特殊化
旋转椭球面
x2 a2

y2 b2

z c
2 2
1
沿y轴方向伸缩 b 倍
a
x2 a2

y2 a2

z2 c2
1
特殊化
球面
沿z轴方向伸缩 c 倍 a
x2 y2 z2 a2.
30
（三）抛物面 （椭圆抛物面、双曲抛物面） (1) 椭圆抛物面
F ( x, y, z) 0有下述关系:
S
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程; O
y
x
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么,方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
2
曲面及其方程
凡三元方程都表示空间一曲面
错,如 x2 y2 z2 1 是一个三元方程,
(D) yOz平面上曲线(z a)2 y2绕x轴旋转所得曲面.
15
曲面及其方程
三、柱面 (cylindrical surface )
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为 柱面.
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
动直线L称为柱面的 母线.
母
准线
线
LC
16
曲面及其方程
但不表示任何曲面. 注
x x(u, v) 曲面的参数方程为 y y(u, v)
z z(u, v)
3
曲面及其方程
M1M2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
以下给出几例常见的曲面. 例 建立球心在点M0( x0 , y0 , z0 )、半径为R的
总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
10
曲面及其方程
例 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
8
曲面及其方程
f ( x2 y2, z) 0 即为yOz坐标面上的已知曲线f ( y, z) 0 绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程. 同理, yOz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0
9
曲面及其方程
球 面 方 程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点, | MM0 | R
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特殊 球心在原点的球面方程
x2 y2 z2 R2
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
圆锥面方程


M1(0, y1 , z1 )
z x2 y2 cot O
x
y
O
y
x
M(x, y,z)
11
曲面及其方程
圆锥面方程 z x2 y2 cot
即 z2 a2 ( x2 y2 ) (a cot )
a 1时, cot 1
4
即 圆锥面方程 z 2 x 2 y2 (用得较多)
yOz面上直线方程为 y z cot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
把椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而得到．
方程可写为
x2 y2 a2

z2 c2
1
再把旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 b 倍，便得椭
球面：
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
a
29
(2)
a b c,
x2 a2
如:球面、某些柱面(圆柱面、抛物柱面、 双曲柱面等) 都是二次曲面.
相应地平面被称为 一次曲面.
20
曲面及其方程
研究的方法：
（1）截痕法： 即用坐标面和平行于坐标面的 平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌. （2）伸缩变形法.
21
（一）椭圆锥面
x2 a2

z2 c2

1
椭圆柱面
母线平行于x轴
例
x2 a2

y2 b2

1
双曲柱面
母线平行于z轴
x2 2 pz 抛物柱面 母线平行于y轴
19
曲面及其方程
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
ax2 by2 cz2 exy fyz gzx lx my nz q 0 即为二次曲面. 其中a, b, c, e, f , g, l, m, n,q均为常数.
x2 a2

y2 z2 1 c2
旋 转
双
绕z轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2
1
曲 面
13
曲面及其方程
(2)
yOz坐标面上的椭圆ay22

z2 c2
1 绕y轴和z轴;
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2
1
球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y2 2 pz 绕z轴.
围成的长方体内.
26
曲面及其方程
x02 a2

y02 b2

z012
c2

1
先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：
x2

a
2

y2 b2
1
x2

a
2

z2 c2
1
y2

b2

z2 c2

1
z 0
y 0
x 0
这些截痕都是椭圆.
再用平行于xOy面的平面 z z1(0 | z1 | c)
将点M ( x1 , y1 )变为点M '( x2 , y2 ), 则有：
x2 x1 , y2 y1
故F
(
x2
,
1

y2 )

0
点M’( x2 ,
y2
)的轨迹C
'的方程为F
(
x,
1

y)
0
24
如椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
可看成：
把圆锥面
x2 y2 a2

z2
沿y轴方向伸缩 b 倍而成。 a
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
此曲线称 母线.
轴
为方便, 常把曲线所在 平面取作坐标面, 旋转轴取 作坐标轴.
母线
7
曲面及其方程
旋转过程中的特征： 如图 设 M ( x, y, z), M1(0, y1 , z1 ), f ( y1, z1 ) 0
(1) z1 z
去截这个曲面,所得截痕的方程是
x2

a
2

y2 b2
1
z12 c2
z z1
这些截痕也都是椭圆. 27
曲面及其方程
x12
a2

y12 b2

z2 c2

1
同理, 与平面 x x1, y y1的截痕也是 椭圆.
椭圆截面的大小 随平面位置的变化而变化.
z z
y
O
O
x
y
x
28
椭球面的几种特殊情况：
z
例 讨论方程 x2 y2 R2的图形.
M
解 在xOy面上, x2 y2 R2表一个圆C. C
现在空间直角坐标系中讨论问题.
设点
M1
(
x
,
y
,0)
在圆C上,
过点
M1
(
x,
y
x
,0)
作平行z轴的直线L, 对任意z,点 M ( x, y, z)

OM1


L
y
的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,沿曲线C,

y2 b2

z2
（当a b时为 圆锥面）
用截痕法讨论：
z
0
x
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆锥面的顶点.
y
22
与平面 z t的交线为椭圆.
x2
y2

(at
)2

(bt )2
1
z t
t 当 变动时，这种椭
第三节 曲面及其方程
(surface)
曲面方程的概念 旋转曲面(surface of revolution) 柱面 (cylindrical surface ) 二次曲面(quadratic surface)
1
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义 如果曲面S 与三元方程 z F(x, y,z) 0
2 3

2


y

12


z

4 3

2

116 9
5
曲面及其方程
研究空间曲面有 两个基本问题
(1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面)
(2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
14
曲面及其方程
选择题
方程 (z a)2 x2 y2 表示( B ). (A) xOz平面上曲线 (z a)2 x2绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线z a x 绕z轴旋转所得曲面； (C) yOz平面上直线 z a y 绕y轴旋转所得曲面；
圆的中心都在 z 轴上.
且当 t 从大到小并变为0时，这族椭圆由
大到小缩为一点。
23
用伸缩变形法讨论：
若在xo平y面上，把点 M (x, y) 变为M '( x, y)，
从而把点 M 的轨迹 C 变为 M ' 的轨迹 C ' ，称为
把图形C 沿y 轴方向伸缩 倍变成图形C ' 。
若C : F ( x, y) 0 M ( x1, y1 ) C
(2) 点M到z轴的距离 d
z
(0, 0 , z1 ) Pd
M1(0, y1, z1 )
M(x, y, z)
C : f ( y,z) 0
O
y
x
x2 y2 | y1 |
将 z1 z, y1 x2 y2代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f ( x2 y2 , z) 0
x2 y2 a2 b2 z
用截痕法讨论：
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
31
与平面 z t (t 0) 的交线为椭圆.
x2 y2

a
2t

b2t

1
当 t 变动时，这种椭
圆的中心都在 z 轴上.
z t
用伸缩变形法讨论：
xoy 面上抛物线
旋转抛物面
x2 a2 z
绕z轴旋转
x2 a2

y2 a2

z
椭圆抛物面
沿y轴方向伸缩 b 倍 a
x2 y2 a2 b2 z.
32
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
x2 y2 a2 b2 z
xo
y
x2 y2 a2 b2 z
25
曲面及其方程
（二） 椭球面(椭圆面) (ellipsoid)
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
(a 0,b 0,c 0)
由方程可知
x2 a2
1,
y2 b2

1,
z2 c2
1,
即
| x | a, | y | b, | z | c,
这说明椭球面包含在由平面 x a, y b, z c
平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标都满足此方程,此曲面称为圆柱面.
在空间,x2 y2 R2 就是圆柱面方程.
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,
母线平行于z轴的柱面.
17
曲面及其方程
柱 面
z
举
例
O
x
y2 2x
y
抛物柱面
z
平面
O
y
x
y x
y2 2 x表示母线平行于z y x 表示母线平行于z轴
轴的柱面, 其准线是xOy面 的柱面, 其准线是xOy面上
上的抛物线 y2 2x.
的直线 y x.
18
曲面及其方程
从柱面方程看柱面的特征：
只含x, y而缺z的方程F ( x, y) 0,在空间 直角坐标系中表示平行于z轴的柱面, 其准线 为xOy面上的曲线C. （其他类推）
实
y2 b2
z
y x2 z2 cot 即 y2 cot 2 ( x2 z2 )

O
y
a2( x2 z2 ) (a cot ) x
12
曲面及其方程
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
(1)
双曲线
x2 a2

z2 c2
1 分别绕x轴和z轴;
绕x轴旋转
4
曲面及其方程
例 求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为1：2的点 的全体所组成的曲面方程.
解 设M ( x, y, z)是曲面上任一点, | MO | 1 | MM0 | 2
x2 y2 z2
1
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x 22 y 32 z 42 2
所求方程

x