(含答案)离散型随机变量及其分布列
第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精练)(含答案解析)
第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）A 夯实基础B 能力提升C 综合素养A 夯实基础一、单选题（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）1．下表是离散型随机变量X 的概率分布，则常数a 的值是（）X 3456P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．12（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））2．已知随机变量X 的分布列为()24kP X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（）A ．1124B ．712C ．23D ．1324（2022·江苏淮安·高二期末）3．已知随机变量X 满足()224E X -=，()224D X -=，下列说法正确的是（）A ．()()1,1E X D X =-=-B ．()()1,1E X D X ==C ．()()1,4E X D X =-=D ．()()1,1E X D X =-=（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为()01p p <<，实验次数为随机变量X ，若X 的数学期望() 1.39E X >，则p 的取值范围是（）A ．()0,0.6B ．()0,0.7C ．()0.6,1D ．()0.7,1（2022·安徽滁州·高二期末）5．已知随机变量X 的分布列为：X12Pab则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c （[,,0,1)a b c ∈），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）A ．13B ．112C ．12D ．16（2022·山东东营·高二期末）7．设01m <<，随机变量的分布列为：ξ0m1P3a 13213a -则当m 在()0,1上增大时（）A ．()D ξ单调递增，最大值为12B ．()D ξ先增后减，最大值为13C ．()D ξ单调递减，最小值为29D ．()D ξ先减后增，最小值为16（2022·全国·高二课时练习）8．设0a >，若随机变量ζ的分布列如下表：ζ－102Pa2a3a则下列方差中最大的是（）A ．()D ζB ．()D ζC ．()21D ζ-D ．()21D ζ-二、多选题（2022·全国·高二课时练习）9．设离散型随机变量X 的概率分布列为X1-0123P110151101525则下列各式正确的是（）A ．()1.50P X ==B ．()11P X >-=C ．()2245P X <<=D ．()3010P X <=（2022·全国·高二课时练习）10．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X 为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ．()35E X =D ．()3275D X =三、填空题（2022·安徽·歙县教研室高二期末）11．随机变量ξ的分布列如下表，则()5()D X E X +=___________.X012p0.40.2a（2022·广东佛山·二模）12．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合46⨯公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：X0123456>6P0.150.10.250.20.150.10.050则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.四、解答题（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）13．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在A处投一球，以后都在B处投，已知甲同学在A处投篮的命中率为14，在B处投篮的命中率为45，求他初赛结束后所得总分X的分布列．（2022·福建省福州第二中学高二期末）14．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.B能力提升（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）15．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率1323方案B代金券金额0100概率1212抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次.记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X的分布列和数学期望()E X.（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））16．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）C 综合素养（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和32p -，其中304p <<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考答案：1．C【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .【详解】由11112626a a ++++=，解得19a =.故选：C.2．A【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：()()()()24511152452424P X P X P X P X ++<≤==+=+===．故选:A 3．D【分析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：()()()222241E X E X E X -=-+=⇒=-,()()()22441D X D X D X -==⇒=,故选：D 4．B【分析】先得到X 的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X 的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】由题意得，X 的所有可能取值为1,2,3，()()()()()()221,3111,1P p X p P P X p p p X p p ====---==-=-，所以()()()221213133E X p p p p p p =⨯+⨯-+⨯-=-+，令()233 1.39E X p p =-+>，解得0.7p <或 2.3p >，又因为01p <<，所以00.7p <<，即p 的取值范围是()0,0.7.故选：B 5．A【分析】由随机变量X 的分布列，求出()D X 的值，并根据二次函数的性质求出最大值．【详解】解：由题意可得1a b +=，()21E X a b b =+=+，则()()()22211]21]D X b a b b b b ⎡⎡=-+⨯+-+⨯=-+⎣⎣，当12b =，()D X 有最大值为14．故选：A ．6．B【分析】根据期望公式可得31a b +=，利用基本不等式求乘积的最大值即可.【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3101a b c ⨯+⨯+⨯=，故31a b +=，又[,,0,1)a b c ∈，故3a b +≥，解得112ab ≤，当且仅当3a b =，即11,62a b ==时等号成立.故选：B.7．D【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【详解】由题知1211333a a -++=，解得1a =，所以11()0333m m E ξ+=++=所以()222111111()()(1)333333m m m D m ξ+++=⨯+-⨯+-⨯222213(1)[()]9924m m m =-+=-+由二次函数性质可知，()D ξ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当12m =时，()D ξ有最小值16.故选：D 8．C【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.【详解】由题意，得231a a a ++=，则16a =，所以1115()1026326E ζ=-⨯+⨯+⨯=，()11171026326E ζ=⨯+⨯+⨯=，所以22215151553()10266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2221717172910266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5353214()4369D D ζζ-==⨯=，()()292149D D ζζ-==，即()21D ζ-最大，故选：C.9．AC【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.【详解】由概率分布列可得()1.50P X ==，故A 正确；()19111010P X >-=-=，故B 错误；()()22435P X P X <<===，故C 正确；()()110P X P X <0==-1=，故D 错误．故选：AC 10．BD【分析】由题知X 的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.【详解】解：根据题意，X 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，()0246210C C 10C 3P X ===，()1146210C C 2481C 4515P X ====，()2046210C C 622C 4515P X ====所以，X 的概率分布列为：X12P13815215所以，()8412415155E X +===，()222414842320125351551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，BD 选项正确，AC 选项错误.故选：BD ．11．20【分析】由概率和为1求出a ，先求出()E X 和()D X ，进而求出()51D X +.【详解】由0.40.21,0.4a a ++==得，所以()10.220.41E X =⨯+⨯=，()210.240.4 1.8E X =⨯+⨯=，()22()()(())0.8,5125()250.820D XE X E X D X D X =-=+==⨯=故答案为：2012．390【分析】先求出()E X ，再用2.6150⨯，即可求出答案.【详解】()0.10.50.60.60.50.3 2.6E X =+++++=，则2.6150390⨯=故答案为：390.13．分布列见解析.【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =，()45P B =，则()34P A =，()15P B =，X 的可能取值为：0，2，3，4.所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146245545525P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()134P X ==，()34412445525P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X234P310062514122514．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，()0.2E Y =【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】（1）解：依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，所以(1)(10.6)0.50.2P X =-=-⨯=，(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X ==⨯+-⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X1-01P0.20.50.3（2）解：依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2(2)(1)(1)0.20.04P Y P X P X =-==-⨯=-==，(1)(1)(0)220.20.50.2P Y P X P X =-==-⨯=⨯=⨯⨯=，2(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X ===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X ===⨯=⨯=⨯⨯=，2(2)(1)(1)0.30.09P Y P X P X ===⨯===，所以Y 的分布列为Y2-1-012P0.040.20.370.30.09所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．15．(1)0.00075a =(2)1200人(3)分布列答案见解析，()90E X =【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于1000元的频率，再乘以2000可得结果；（3）分析可知随机变量X 的可能取值为0、50、100、200，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由题意可得()2000.0002520.00050.00120.001251a ⨯⨯++⨯++=，解得0.00075a =.（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于1000元的频率为()2000.000250.00050.0010.001250.3⨯+++=，于是估计该度假区2000名游客中消费金额低于1000元的人数为20000.61200⨯=人.（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于1000元的概率为35，不低于1000元的概率为25，获赠的代金券金额X 的可能取值为0、50、100、200，则()221105210P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()31150535P X ==⨯=，()21232213100C =53525P X ⎛⎫==⨯+⋅ ⎪⎝⎭，()22112005210P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X50100200P1101535110所以，()113105010020090105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)方案一：分布列见解析，数学期望为1.300；方案二：分布列见解析，数学期望为1.192；(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）方案一中每组的化验次数为1、11，则概率为100.997、1010.997-；方案二中每组的化验次数为1、9，则概率为80.997、810.997-.根据定义列分布列，求期望即可.（2）先求对应方案的组数，用“总化验次数=组数⨯期望”评估即可（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11，∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=，∴ξ的分布列为：ξ111P0.9700.030()10.970110.030 1.300E ξ=⨯+⨯=．设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9，8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：η19P0.9760.024∴()10.97690.024 1.192E η=⨯+⨯=．（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次．∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．17．(1)甲；(2)23p =，ξ的分布列见解析，()233144E ξ=.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，列方程求解；先确定进入决赛的人数ξ的取值，依次求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯=，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P p p p p ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭，3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，1324p ∴<<，23139941616P p P ⎛⎫∴=--+<= ⎪⎝⎭，12P P >，∴甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，1916P =，212P =，2332P p p =-+，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，()()()1231231232911172P P P P P P P P P P ∴=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，2229139139132911116221622162272p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯--++⨯-⨯-++-⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又1324p << ，∴23p =；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为2323253239P ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，设进入决赛的人数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，()91570111162972P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()91591591511111111116291629162932P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()29272P ξ==，()91553162932P ξ==⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：ξ123P77211322972532()711295233012372327232144E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.。
离散型随机变量及其分布列
【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．
【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
练习：
1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ＝________.
【解析】设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个．∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P ＝P(ξ＝1)＝ .【答案】
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】P(X＝3)＝ ＝ .【答案】
分布列及其性质的应用
设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P .
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
高中数学--离散型随机变量及其分布列
高中数学--离散型随机变量及其分布列1．若随机变量X 的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )A.12 B.13 C.14D.16 【解析】 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13.【答案】 B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )A.19 .16 C.13D.14【解析】 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.【答案】 C3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )A ．25B ．10C ．7D ．6 【解析】 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.【答案】 C4．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 235．(2012·安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。
试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率； (2)设m ＝n ，求X 的分布列．【解】 (1)X ＝n ＋2表示两次调题均为A 类型试题，概率为n m ＋n ×n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)m ＝n 时，每次调用的是A 类型试题的概率为P ＝12，随机变量X 可取n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝(1－p )2＝14，P (X ＝n ＋1)＝2p (1－p )＝12，P (X ＝n ＋2)＝p 2＝14，所以X 的分布列为课时作业【考点排查表】1．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )A ．1 B.12 C.13D.15【解析】 设X 的分布列为：即“X ＝0”表示试验失败，“X 设失败的概率为p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，因此选C.【答案】 C2．若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α) 【解析】 由分布列性质可有：P (x 1≤X ≤x 2)＝P (X ≤x 2)＋P (X ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)． 【答案】 B3．已知离散型随机变量X 的分布列为则k 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3【解析】 由分布列性质有k n ＋k n ＋…＋kn ＝1，得k ＝1.【答案】 B4．今有电子原件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )A.C 35C 350 B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350D.C 15C 245＋C 25C 245C 350【解析】 不出现二级品的结果数为C 345， 不出现二级品的概率为C 345C 350，∴出现二级品的概率为1－C 345C 350.【答案】 C5．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100【解析】 超几何分布恰有6个红球则有4个白球，结果数为C 680C 420， ∴恰有6个红球的概率为C 680C 420C 10100.【答案】 D6．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2) C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)【解析】 由超几何分布知P (ξ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n 【答案】 D 二、填空题7．随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，…，则a 的值为________．【解析】 由 ∞k ＝1P (X ＝k )＝1，即 a ⎣⎡⎦⎤23＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＋ (1)∴a 231－23＝1，解得a ＝12.【答案】 128．若离散型随机变量X 的分布列为常数c ＝______.【解析】 由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13.【答案】 139．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________.【解析】 相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝136＋236＋336＝16. 【答案】 16三、解答题10．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34，遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：(1)ξ的分布列；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．【解】 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示事件“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”，则P (A k )＝34(k ＝1,2,3,4)，且A 1，A 2，A 3，A 4独立．故P (ξ＝0)＝P (A 1)＝14；P (ξ＝1)＝P (A 1·A 2)＝34×14＝316；P (ξ＝2)＝P (A 1·A 2·A 3)＝(34)214＝964；P (ξ＝3)＝P (A 1·A 2·A 3·A 4)＝(34)314＝27256；P (ξ＝4)＝P (A 1·A 2·A 3·A 4)＝(34)4＝81256.从而ξ有分布列：(2)P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－81256＝175256.即停车时最多已通过3个路口的概率为175256.11．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解】 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是(2)设“取出的3A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. 12．一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球； ①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 分布列；(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．【解】 (1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．②随机变量X 的取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 35C 310＝112；P (X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512；P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512；P (X ＝3)＝C 35C 310＝112.故X 的分布列为：(2)证明：设袋中有n 由题意得y ＝25n ，所以2y ＜n,2y ≤n －1，故y n －1≤12.设“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ， 则P (B )＝25·n －y n －1＋35·y n －1＋25·y －1n －1＝25＋35×y n －1≤25＋35×12＝710. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．四、选做题13．(2012·全国新课标高考)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列； (2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤5时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，(n ≤15)，80， (n ≥16).(n ∈N )(2)①X 可取60,70,80P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7 X 的分布列为②购进17y ＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.76．4＞76得：应购进17枝．。
数学选修2-3讲义：第2章2.12.1.1 离散型随机变量含答案
2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.会用离散型随机变量描述随机现象．(难点)教材整理离散型随机变量阅读教材P40练习以上部分，完成下列问题．1．随机变量(1)定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．()【解析】(1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.(3)√因为由随机变量的定义可知，该说法正确．(4)√因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．(5)√因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．【答案】(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√随机变量的概念【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．【解】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】(1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．【答案】(1)B(2)C离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【精彩点拨】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【解】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．“三步法”判定离散型随机变量1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．2．由条件求解随机变量的值域．3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．【解】(1)(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．随机变量的可能取值及试验结果[探究问题]1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？【提示】 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？【提示】 X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？【提示】 “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【精彩点拨】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【解】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．【解】(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D．【答案】 D2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是()A第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标【解析】{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.【答案】 C3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．【答案】94．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．【解析】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．【答案】0,1,2,35．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.【解】(1)X的可能取值为1,2,3， (10)X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12.X＝2表示(1,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．X的可能取值为2,4,6,8,10,12.。
离散型随机变量及其分布列
p2
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基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
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所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
高三数学考点-离散型随机变量及其分布列
10．6离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①________________________；②________________________.3．常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)随机变量X的分布列为(0<p<1)则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，则称X服从二项分布，记为____________．(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．自查自纠1．(1)随机变量(2)一一列出2．(1)概率分布列(2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n②i＝1np i＝13．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p)(3)C k M C n－kN－MC n N超几何分布某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解：X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.故选C.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A.1110 B.155C．110 D．55解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝155.故选B.已知X的分布列为X－101P1216a设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．解：由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13，所以E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.故填23.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布列为________．解：依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2. 则P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，故X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.3故填X 0 1 2 P0.10.60.3类型一 随机变量的概念与性质(1)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(Ⅰ)2X ＋1的分布列； (Ⅱ)|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X ＋1的分布列：2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(Ⅱ)|X －1|的分布列：|X －1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3(2)随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)＝____________，公差d 的取值范围是____________． 解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.故填23；⎣⎡⎦⎤－13，13. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1np i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________．解：由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .所以P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，因此n ＝10.故填10.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； (3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12A 33＝13；P (X ＝3)＝A 22A 33＝13.所以X 的分布列是X 12 3 P13 13 13(2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫23k －1×13，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234. 故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P13294278811681(3)因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235－k，其中k ＝0，1，2，3，4，5.【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 故随机变量X 的分布列为X 12 3 4 P1143737114故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望是E (X ) ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质∑i ＝1np i ＝1验证．2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25解：X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( )解：A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0；C 中∑i ＝13P (ξi )＝15＋25＋35＝65>1.故选D.3．(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23解：X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P (X ＝2)＝A 1n －m A 2mA 3n ＝（n －m ）A 2m A 3n.故选D.5．设ξξ－1 0 1 P121－2qq 2则q 的值为( ) A ．1 B ．1±22C ．1＋22 D ．1－22解法一：由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22. 解法二：由1－2q ≥0q ≤12，可排除A 、B 、C ，故选D. 6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)解：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B. 7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝____________． 解：ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310.故填310. 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元．解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．故填4 760.9．某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X 表示其中参加大赛的男生人数，求X 的分布列． 解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 5C 410(k ＝0，1，2，3，4)．所以P (X ＝0)＝C 05C 45C 410＝142，P (X ＝1)＝C 15C 35C 410＝521，P (X ＝2)＝C 25C 25C 410＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521，P (X ＝4)＝C 45C 05C 410＝142，所以X 的分布列为10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是15.(1)试确定a 、b 的值；(2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解：由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a )人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则P (A )＝4＋a 30＝15，解得a ＝2，所以b ＝30－24－a ＝4.所以a 的值为2，b 的值为4.(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为C k 15C 3－k 15，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为：P (ξ＝k )＝C k 15C 3－k15C 330，(k ＝0，1，2，3)，ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝C 015C 315C 330＝13116，P (ξ＝1)＝C 115C 215C 330＝45116，P (ξ＝2)＝C 215C 115C 330＝45116，P (ξ＝3)＝C 315C 015C 330＝13116，所以ξ的分布列为P13116 45116 45116 13116Eξ＝0×13116＋1×45116＋2×45116＋3×13116＝174116＝32.11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列； (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大． 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.由题意知ξ的可能值为0，1，2，3， 故有P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫253＝8125；P (ξ＝1)＝C 13×35×⎝⎛⎭⎫252＝36125； P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫352×25＝54125；P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫353＝27125.ξ的分布列为ξ0 1 2 3或P (ξ＝i )＝C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭⎫253－i ，i ＝0，1，2，3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ＝2)＝C 23·p 2·(1－p )＝－3p 3＋3p 2，0<p <1，由P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)知，在⎝⎛⎭⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎫23，1上P 为减函数，所以当p ＝23时，P 取得最大值．又p ＝C 1n ·C 12C 2n ＋2＝4n （n ＋1）（n ＋2）＝23，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2. 所以当n 取1或2时，P 最大．。
专题06 离散型随机变量及其分布列、数字特征(解析版)
06离散型随机变量及其分布列、数字特征知识点1随机变量(1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．随机变量的取值X(ω)随着随机试验结果ω的变化而变化．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称之为离散型随机变量．(2)表示：随机变量通常用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，例如x，y，z．知识点2离散型随机变量的分布列的定义(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x i，…，x n，我们称X取每一个值x i 的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布图．知识点3离散型随机变量的分布列的性质(1)p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．知识点4离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，X x 1x 2…x n Pp 1p 2…p n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝i ii 1nx P =∑为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)方差：称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝i 1n=∑(x i －E (X ))2p i 为随机变量X的方差，有时也记为Var (X )，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )．(3)均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．(4)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值E (X )的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．知识点5均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中X 是随机变量，a ，b 是常数，随机变量X 的均值是E (X )，方差是D (X )．则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)．知识点6分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．知识点7均值与方差的四个常用性质(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数．(2)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)．(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(4)若X1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝E (X 1)·E (X 2)．考点1离散型随机变量分布列的性质(1)求a的值；(2)求；(3)求X．【答案】(1)由分布列的性质，得＋＋＋＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115．(2)＝＋＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45．(3)X＝＋＋＝115＋215＋315＝25．【总结】离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．【变式1-1】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1，2，3，C为常数，则P(X<3)＝__________．【答案】89【解析】随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1，2，3，∴C2＋C6＋C12＝1，即6C＋2C＋C12＝1，解得C＝43，∴P(X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝43＝89．【变式1-2】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0．20．10．10．3m(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．【解析】(1)由分布列的性质知，0．2＋0．1＋0．1＋0．3＋m＝1，得m＝0．3．首先列表为：X012342X＋113579从而Y＝2X＋1的分布列为：Y13579P0．20．10．10．30．3(2)列表为：X01234|X－1|10123∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0．1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0．2＋0．1＝0．3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0．3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0．3．故η＝|X－1|的分布列为：η0123P0．10．30．30．3(3)首先列表为：X01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为：ξ014916P0．20．10．10．30．3【变式1-3】设随机变量X的分布列如下：X12345P 112161316p则p为()A.1 6B.13C.14D.112【答案】C【解析】由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.【变式1-4】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P 121－q q－q2则q等于()A．1 B.22或－22C．1＋22D.2 2【答案】D【解析】1－q＋q－q2＝1，1－q≤12，q－q2≤12，解得q＝22.【变式1-5】(多选)设随机变量ξ的分布列为ak(k＝1,2,3,4,5)，则()A．a＝115B．ξ＝15C．ξ＝215D．P(ξ＝1)＝310【答案】AB【解析】对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为ak(k＝1,2,3,4,5)，∴P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝115，故A正确；对于B，易知ξ3×115＝15，故B正确；对于C，易知ξ＝115＋2×115＝15，故C错误；对于D，易知P(ξ＝1)＝5×115＝13，故D错误．【变式1-6】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为()A.13B.23C.13或23D．－13或－23【答案】A【解析】≤9a 2－a ≤1，≤3－8a ≤1，a 2－a ＋3－8a ＝1，解得a ＝13.【变式1-7】离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P X 的值为()A.23B.34C.45D.56【答案】D【解析】因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以X P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.【变式1-8】若随机变量X 的分布列如下表，则mn 的最大值是()X 024Pm0.5n A.116B.18C.14D.12【答案】A【解析】由分布列的性质，得m ＋n ＝12，m ≥0，n ≥0，所以mn ＝116，当且仅当m ＝n ＝14时，等号成立．【变式1-9】随机变量X 的分布列如下：X －101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______，公差d 的取值范围是______．【答案】23－13，13【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.考点2求离散型随机变量的分布列【例2】双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能．在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者．第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组．之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵，败者被淘汰(已经败两场)，胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰．最后一轮，由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过，记为A)对阵负者组最终获胜的选手(败过一场，记为B)，若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军．某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛．第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局．(1)设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列．【分析】(1)先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可；②由题意可得ξ∈{3，4，5，6，7}，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列．【解析】(1)8人平均分成四组，共有C28C26C24C22A44种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为A35，所以P(A)＝A35C28C26C24C22A44＝4 7．(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为23×13×13＋13×23×13＝427．②若甲在第一轮获胜，ξ∈{3，4，5，6，7}．当ξ＝3时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即P(ξ＝3)＝13×13＝19．当ξ＝4时，有两种情况：(ⅰ)甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为23×23×23＝827；(ⅱ)甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为C12·23×13×13＝427，所以P (ξ＝4)＝827＋427＝49．当ξ＝5时，有两种情况：(ⅰ)甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为23×23×13＝427；(ⅱ)甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为C12·23×13×23×13＝881；所以P (ξ＝5)＝427＋881＝2081．当ξ＝6时，有两种情况：(ⅰ)甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为23×132＝881；(ⅱ)甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为133×13＝8243；所以P (ξ＝6)＝881＋8243＝32243．当ξ＝7时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即P (ξ＝7)＝134＝16243．所以ξ的分布列为：ξ34567P194920813224316243【总结】离散型随机变量分布列的求解步骤【变式2-1】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列．【解析】(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2．3．(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ．由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199，P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199．P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199．∴X 的分布列为：X 012P8319910019916199【变式2-2】(多选)设离散型随机变量X 的分布列为X 01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有()A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2【答案】ACD【解析】因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确；由已知可得E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．考点3求离散型随机变量的均值与方差【例3】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ)．【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3－14－－16－＝124．则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512．(2)ξ可能取值为0，40，80，120，160，则P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124．所以，随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124∴E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80，D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003．【总结】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ全部的可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E (ξ)，由方差的定义求D (ξ)．【变式3-1】据有关权威发布某种传染病的传播途径是通过呼吸传播，若病人(患了某种传染病的人)和正常人(没患某种传染病的人)都不戴口罩而且交流时距离小于一米90%的机率被传染，若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流时距离小于一米时60%的机率被传染，若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距离小于一米时30%的机率被传染上，若病人和正常人都带口罩且交流距离大于一米时不会被传染．为此对某地经常出入某场所的人员通过抽样调查的方式对戴口罩情况做了记录如下表：男士女士戴口罩不戴口罩戴口罩不戴口罩甲地40203010乙地10304515假设某人是否戴口罩互相独立(1)求去甲地的男士带口罩的概率，用上表估计所有去甲地的人戴口罩的概率．(2)若从所有男士中选1人，从所有女士中选2人，用上表的频率估计概率，求戴口罩人数X 的分布列和期望．(3)上表中男士不戴口罩记为“ξ＝0”，戴口罩记为“ξ＝1”，确定男士戴口罩的方差为Dξ，和女士不戴口罩记为“η＝0”，戴口罩记为“η＝1”确定女士戴口罩的方差为Dη．比较Dξ和Dη的大小，并说明理由．【解析】(1)设“去甲地的男士带口罩”为事件M ，则P (M )＝4040＋20＝23，设“去甲地的人戴口罩”为事件N ，则P (N )＝40＋3040＋20＋30＋10＝710，(2)设“男士带口罩”为事件A ，则P (A )＝40＋1040＋20＋10＋30＝12，设“女士带口罩”为事件B ，则P (B )＝30＋4530＋10＋45＋15＝34，所有男士中选1人，从所有女士中选2人，戴口罩人数X ＝0，1，2，3，P (X ＝0)＝12×14×14＝132，P (X ＝1)＝12×14×14＋12×34×14＋12×14×34＝732，P (X ＝2)＝12×34×14＋12×14×34＋12×34×34＝1532，P (X ＝3)＝12×34×34＝932分布列为：X123P1327321532932E (X )＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2(3)E (ξ)＝0×12＋1×12＝12，D (ξ)＝(0－12)2×12＋(1－12)2×12＝14，E (η)＝0×14＋1×34＝34，D (η)＝(0－34)2×14＋(1－34)2×34＝316．100名男士中有50人戴口罩，50人不戴口罩，100名女士中有75人戴口罩，25人不戴口罩，从数据分布可看出来女士戴口罩的集中程度要好于男士，所以其方差偏小．【变式3-2】已知X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为()A ．73B ．4C ．－1D ．1【答案】A【解析】∵E (X )＝－12＋16＝－13，∴E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73．【变式3-3】已知离散型随机变量X 的分布列为X 012P0．51－2qq 2则常数q ＝________．【答案】1－22【解析】由分布列的性质得0．5＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22(舍去)．【变式3-4】设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a k，k ＝1，2，3，则a 的值为__________．【答案】2713【解析】因为随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a k，k ＝1，2，3，所以根据分布列的性质有a ·13＋a 2＋a 3＝1，所以a ＋19＋＝a ×1327＝1，所以a ＝2713．【变式3-5】已知随机变量X 的分布列如下：X －101P121316若Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为________．【答案】73【解析】E (X )＝－12＋16＝－13，则E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.【变式3-6】若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________．【答案】0【解析】因为P (X ＝c )＝1，所以E (X )＝c ×1＝c ，所以D (X )＝(c －c )2×1＝0.【变式3-7】(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的均值E (X )等于()A.32B.53C.74D.95【答案】A【解析】由题意知，X 的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有C 35种，当X ＝1时，取法有C 24种，即P (X ＝1)＝C 24C 35＝35；当X ＝2时，取法有C 23种，即P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，取法有C22种，即P (X ＝3)＝C 22C 35＝110；∴E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【变式3-8】已知随机变量X ，Y 满足Y ＝2X ＋1，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差D (Y )等于()A.59B.209C.43D.299【答案】B【解析】由分布列的性质，得a ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋1×13＋2×12＝43，所以D (X )×16＋×13＋×12＝59，又Y ＝2X ＋1，所以D (Y )＝4D (X )＝209.【变式3-9】已知m ，n 为正常数，离散型随机变量X 的分布列如表：X －101Pm14n若随机变量X 的均值E (X )＝712，则mn ＝________，P (X ≤0)＝________.【答案】11813【解析】＋n ＋14＝1，－m ＝712，＝112，＝23，所以mn ＝118，P (X ≤0)＝m ＋14＝13.【变式3-10】(2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1000)积分246概率141214表2购买虚拟商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率13141416(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．【解析】(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为14×＋12×16＝14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：X 345P25310310E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.考点4均值与方差在决策中的作用【例4】2021年3月5日李克强总理在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t 元；制造商为制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表：维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．(1)求X 的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t 定在什么范围？【分析】(1)由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列．(2)根据(1)所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围．【解析】(1)由题意得，X ＝0，1，2，3，4，5，6，P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×15×2＝125，P (X ＝2)＝110×25×2＋15×15＝325，P (X ＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝1150，P (X ＝4)＝310×15×2＋25×25＝725，P (X ＝5)＝310×25×2＝625，P (X ＝6)＝310×310＝9100，∴X 的分布列为X 0123456P110012532511507256259100(2)选择方案一：所需费用为Y 1元，则X ≤2时，Y 1＝5000，X ＝3时，Y 1＝6000；X ＝4时，Y 1＝7000；X ＝5时，Y 5＝8000，X ＝6时，Y 1＝9000，∴Y 1的分布列为Y 150006000700080009000P1710011507256259100E (Y 1)＝5000×17100＋6000×1150＋7000×725＋8000×625＋9000×9100＝6860，选择方案二：所需费用为Y 2元，则X ≤4时，Y 2＝6230；X ＝5时，Y 2＝6230＋t ；X ＝6时，Y 2＝6230＋2t ，则Y 2的分布列为Y 262306230＋t 6230＋2t P671006259100E (Y 2)＝6230×67100＋(6230＋t )×625＋(6230＋2t )×9100＝6230＋21t50，要使选择方案二对客户更合算，则E (Y 2)<E (Y 1)，∴6230＋21t50<6860，解得t <1500，即t 的取值范围为[0，1500)．【总结】利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．【变式4-1】直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有56是“年轻人”．(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为710，15，110；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，310，110．针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．参考数据：独立性检验临界值表α0．150．100．0500．0250．010x α2．0722．7063．8415．0246．635其中，χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】(1)由图1知，“年轻人”占比为45．5%＋34．5%＝80%，即有200×80%＝160(人)，“非年轻人”有200－160＝40(人)，由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30．1%＋19．2%＋10．7%＝60%，即有200×60%＝120(人)，“不常使用直播销售用户”有200－120＝80(人)．“经常使用直播销售用户的年轻人”有120×56＝100(人)，“经常使用直播销售用户的非年轻人”有120－100＝20(人)．∴补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户10020120不常使用直播销售用户602080合计16040200于是a ＝100，b ＝20，c ＝60，d ＝20．∴χ2＝200×（100×20－60×20）2120×80×160×40＝2512≈2．083>2．072，即有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关．(2)若按方案一，设获利X 1万元，则X 1可取的值为300，－150，0，X 1的分布列为：X 1300－1500p71015110E (X 1)＝300×710＋(－150)×15＋0×110＝180(万元)，D(X1)＝(300－180)2×710＋(－150－180)2×15＋(0－180)2×110＝1202×710＋3302×15＋1802×110＝35100若按方案二，设获利X2万元，则X2可取的值为500，－300，0，X2的分布列为：X2500－3000p 35310110E(X2)＝500×35＋(－300)×310＋0×110＝210(万元)，D(X2)＝(500－210)2×35＋(－300－210)2×310＋(0－210)2×110＝2902×35＋5102×310＋2102×110＝132900∵E(X1)<E(X2)，D(X1)<D(X2)，由方案二的均值要比方案一的均值大，从获利角度来看方案二更大，故选方案二．由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一．【变式4-2】某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P (Y ＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P (Y ＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y 的均值为E (Y )＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E (X )>E (Y )，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．【变式4-3】为加快某种病毒的检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和均值E (X )；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的均值为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【解析】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次，所以总检测次数为20.②由题意，X 可以取20,30，P (X ＝20)＝111，P (X ＝30)＝1－111＝1011，则X 的分布列为X 2030P1111011所以E (X )＝20×111＋30×1011＝32011.(2)由题意，Y 可以取25,30，两名感染者在同一组的概率为P 1＝C 120C 22C 398C 5100＝499，不在同一组的概率为P 1＝9599，则E (Y )＝25×499＋30×9599＝295099>E (X )．【变式4-4】(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：表一工序第一工序第二工序第三工序概率0.50.750.8表二等级一等品二等品三等品利润2385(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．【解析】(1)由题意可知，η的所有可能取值为23,8,5，产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3，产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2，所以η的分布列为η2385P0.30.50.2E (η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响，理由如下：在改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为23－x,8－x,5－x ，＋19x 0.75×0.8＝0.3＋x15，二等品的概率为10.75×0.8＝0.5－x15，三等品的概率为10.2，所以E (ξ)－x )－x )＋0.2×(5－x )＝6.9－0.3x ＋2315x －115x 2＋4－0.5x －815x ＋1152＋1－0.2x ＝11.9，因为E (ξ)＝E (η)，所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响．1．(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：X 12345Pm0．10．2n0．3若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则()A ．m ＝0．1B ．n ＝0．1C ．E (Y )＝－8D ．D (Y )＝－7．8【答案】BC【解析】由E (X )＝1×m ＋2×0．1＋3×0．2＋4×n ＋5×0．3＝3得m ＋4n ＝0．7，又由m ＋0．1＋0．2＋n ＋0．3＝1得m ＋n ＝0．4，从而得m ＝0．3，n ＝0．1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0．3×(1－3)2＋0．1×(2－3)2＋0．1×(4－3)2＋0．3×(5－3)2＝2．6，所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23．4，故D 选项错误．2．已知随机变量ξ的分布列如下表，D (ξ)表示ξ的方差，则D (2ξ＋1)＝___________．ξ012pa1－2a14【答案】2【解析】由题意可得：a ＋1－2a ＋14＝1，解得a ＝14，ξ012p141214所以E (ξ)＝0×14＋1×12＋2×14＝1，D (ξ)＝14(0－1)2＋12×(1－1)2＋14×(2－1)2＝12，D (2ξ＋1)＝22D (ξ)＝2．3．京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响．下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60莲石路(L 1)的频率0．10．20．30．20．2阜石路(L 2)0．10．40．40．1的频率若甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)(1)甲、乙两人应如何选择各自的路径？(2)按照(1)的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B1表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1，2，用频率估计相应的概率，则有P(A1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P(A2)＝0．1＋0．4＝0．5，P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；P(B1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8，P(B2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9，P(B1)<P(B2)，所以乙应选择路径L2；(2)用A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲，乙在各自的时间内到达火车站，由(1)知P(A)＝0．6，P(B)＝0．9，且A，B相互独立，X的取值是0，1，2，P(X＝0)＝P(A－B－)＝0．1×0．4＝0．04，P(X＝1)＝P(A－B＋A B－)＝0．4×0．9＋0．6×0．1＝0．42，P(X＝2)＝P(AB)＝0．9×0．6＝0．54，所以X的分布列为：X012P0．040．420．54E(X)＝0×0．04＋1×0．42＋2×0．54＝1．5．4．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出n(n∈N*且n≥4)瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以a1，a2，a3，…，a n表示第一次排序时被排在1，2，3，…，n的n种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋．．．＋|n－a n|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取n＝4研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．(1)直接写出X的可能取值，并求X的分布列和数学期望；(2)若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．【解析】(1)X的可能取值为0，2，4，6，8P(X＝0)＝1A44＝124，。
高中数学--离散型随机变量及其分布列..
【思路点拨】
(1)总取法为 C3 10，关键是求出三个小球
上的数字各不相同有多少取法；(2)先确定 X 的求值，再确定 X 取每个值的概率；(3)由计分范围确定 X 的范围，利用的结 论求概率．
【尝试解答】 (1)法一：“一次取出的 3 个小球上的数
1 1 1 C3 C 5 2C2C2 2 字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)＝ ＝ . C3 3 10
ξ P
1 5 31
2 10 31
3 10 31
4 5 31
5 1 31
5 10 10 5 1 80 从而 E(ξ)＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝ . 31 31 31 31 31 31
∴共有 8C2 3对相交棱．
2 8×3 4 8C3 ∴P(ξ＝0)＝ 2 ＝ ＝ . C12 66 11 4 【答案】 11
• 1.离散型随机变量 • （1）随机变量：将随机现象中试验（或观 数 测）的每一个可能的结果都对应于一个 ， 这种对应称为一个随机变量，通常用大写 X Y 的英文字母如 、 来表示. • （2）离散型随机变量 一一列出 • 所有取值可以 的随机变乓球， 其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球 来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个 数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则 P(X1 ＝4)的值为( ) 27
A. 220 B. 55 27 C. 220
1 C2 27 3C9 故 P(X＝4)＝ 3 ＝ . C12 220
•
袋中装着标有数字1,2,3,4,5 的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个 小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取 出的可能性都相等，用X表示取出的3个小 球上的最大数字，求： • (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概 率； • (2)随相变量X的分布列； • (3)计分介于20分到40分之间的概率．
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
2.1.2 离散型随机变量的分布列
ξ
2
3
4
5
6
7
8
1 1 3 1 3 1 1 P(ξ) 16 8 16 4 16 8 16
变 式 训 练
2．将一颗骰子掷两次，求两 次掷出的最大点数ξ的分布列．
变 式 训 练
解：将一颗骰子连掷两次共出现 6×6＝36(种)等可能 的基本事件，其最大点数 ξ 可能取的值为 1 1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝ ，用(x，y)表示第一枚骰子点数 36 为 x，第二枚骰子点数为 y，则 ξ＝2 包含三个基本事 3 1 件 (1,2)，(2,1)， (2,2)，则 P(ξ＝ 2)＝ ＝ .同理可求 36 12 5 7 9 1 P(ξ＝ 3)＝ ， P(ξ＝ 4)＝ ， P(ξ＝ 5)＝ ＝ ，P(ξ＝ 36 36 36 4 11 6)＝ . 36
自 测 自 评
2．如果 ξ 是一个离散型随机变量，那么下 列命题中假命题是( D )
A． ξ 取每个可能值的概率是非负实数 B． ξ 取所有可能值的概率之和为 1 C．ξ 取某 2 个可能值的概率等于分别取其 中每个值的概率之和 D． ξ 取某 2 个可能值
的概率大于分别取其中每个值的概率之和
自 测 自 评
c c c c 解析：由 P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3，可知 ＋ ＋ 2 6 12 k1＋k 4 1 4 c ＝1， 解得 c＝ .故 P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝1)＝1－ ＝1－ × ＝ 3 2 2 3 1 ，故选 C. 3 答案：C
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2
一个正四面体玩具的四个面分
别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷 两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，
求ξ的分布列．
解： ξ 的可取的值为 2,3,4,5,6,7,8. 将这个玩具连续抛掷两次， 所以可能事件总 数有 4×4＝16 个，根据古典概率的计算公 1 2 1 式得 P(ξ＝ 2)＝ ， P(ξ＝ 3)＝ ＝ ，P(ξ＝ 16 16 8 3 4 1 3 4)＝ ，P(ξ＝5)＝ ＝ ，P(ξ＝6)＝ ，P(ξ 16 16 4 16 2 1 1 ＝7)＝ ＝ ， P(ξ＝8)＝ . 16 8 16 所以，所求的 ξ 的分布列为：
离散型随机变量及其分布列 2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册人教A版
探究
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要 的抛掷次数.
解：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”， 样本空间Ω2={h，th, tth , ttth , ......} Y={1,2,3,4,5,......}
总结
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与 之对应．变量X，Y有如下共同点：
(1)取值依赖于样本点; (2)所有可能取值是明确的．
总结
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯 一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量(random variable). 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型 随机变量(discrete random variable)．通常用大写英文字母表示随 机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值， 例如x，y，z.
等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的 分布列，以及P(X ≥ 4).
例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个 等级，每个等级对应的分数和人数如示.
等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
为X的概率分布列, 简称分布列.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
第五节 离散型随机变量及其分布列
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值.（
）
答案：（1）×
（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.
（
）
答案：（2）√
（3）超几何分布的总体里只有两类物品.
（
）
答案：（3）√
（4）从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝｜X－1｜的分布列.
目录
（2）解 ①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
从而2X＋1的分布列为
目录
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
10
1
5
1
10
1
5
2
5
则下列各式正确的是
2
5
（
）
4
5
A.P（ξ＜3）＝
B.P（ξ＞1）＝
2
C.P（2＜ξ＜4）＝
5
D.P（ξ＜0.5）＝0
目录
解析：C
1
1
1
1 3
1 2 3
北师大版数学【选修2-3】练习：2.1 离散型随机变量及其分布列(含答案)
第二章 §1一、选择题1．若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中a ＝( )A.12 B.16 C.56 D ．0[答案] B[解析] 根据随机变量的分布列的性质可得a ＝1－12－16－16＝16.2．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P (ξ＝－2)＝14，P (ξ＝3)＝12，P (ξ＝5)＝112，则P (ξ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18 [答案] C[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P (ξ＝－2)＋P (ξ＝0)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝1，所以14＋P (ξ＝0)＋12＋112＝1.解得P (ξ＝0)＝16.3．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<ξ<52)的值为( )A.23B.34C.45D.56 [答案] D[解析] 因为P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，因为P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________，P (6<ξ≤14)＝________.[答案] 23 23[解析] 因为P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＋…＋P (ξ＝16)＝1，且P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)，所以P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)＝112，则P (ξ>8)＝P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＋…＋P (ξ＝16)＝112×8＝23.P (6<ξ≤14)＝p (ξ＝7)＋P (ξ＝8)＋…＋P (ξ＝14)＝112×8＝23.5．设随机变量ξ的分布列为则m ＝________，η＝ξ[答案] 14[解析] 首先由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝1，得m ＝14.再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．三、解答题6．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路． (1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率； (2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析] (1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为A 3443＝38.(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 13·3243＝2764，P (ξ＝2)＝C 23·343＝964，P (ξ＝3)＝C 3343＝164.所以ξ的分布列为1．已知离散型随机变量X 的分布列为则k 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由分布列的性质可知nkn＝1，∴k ＝1.2．设离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝k 15，k ＝1,2,3,4,5，则P (12<X <52)等于( )A.12 B.19 C.16 D.15[答案] D[解析] P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15.3．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X ，则“X ＝5”表示的试验结果为( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前5次均未击中目标[答案] C[解析] 本题易错选为A ，其实“X ＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23[答案] C[解析] 设ξ的分布列为则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p . ∴由p ＋2p ＝1得p ＝13.应选C.5．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X 的概率分布列的一组数是( ) A ．0,0,0,1,0 B ．0.1,0.2,0.3,0.4 C ．p,1－p (p 为实数)D.11×2，12×3，…，1(n －1)·n ，1n (n ∈N ＋) [答案] C[解析] 随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A 、B 显然满足性质，适合．C 中，设p ＝3，显然1－p ＝－2<0不满足非负性．D 中有11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n ＋1n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n ＝1，故选C.[点评] 在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解． 二、填空题6．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则m 的值为________[答案] 0.1[解析] 由分布列的性质(2)，可得m ＋0.3＋32m ＋0.45＝1，解得m ＝0.1.[点评] 根据概率分布求参数的值(范围)，是离散型随机变量的分布列的性质的重要应用之一，主要是根据分布列的性质列出方程，通过解方程求出参数即可．7．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)(c 为常数)，k ＝1,2,3，则P (0.5<ξ<2.5)＝________.[答案] 89[解析] 由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，得c ＝43，P (0.5<ξ<2.5)＝1－P (ξ＝3)＝1－433×4＝89. 三、解答题8．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k5)＝ak ，(k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)P (110<X <710)．[分析] 分布列有两条重要的性质：P i ≥0，i ＝1,2，…；P 1＋P 2＋…＋P n ＝1利用这两条性质可求a 的值．(2)(3)由于X 的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X ≥35或110<X <710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条件各概率之和即可．[解析] (1)由a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1得a ＝115.(2)因为分布列为P (X ＝k 5)＝115k (k ＝1、2、3、4、5)解法一：P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.解法二：P (X ≥35)＝1－[P (X ＝15)＋P (X ＝25)]＝1－[115＋215]＝45.(3)因为110<X <710，只有X ＝15、25、35时满足，故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25. [点评] 随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R 中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．9．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X 的分布列．[分析] 用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数，易知X 有0,1,2三个可能取值，随机变量对应的随机事件可用Δ＝b 2－4c 与0的大小表示．[解析] 由题意，X 的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b ，c )|b ，c ＝1,2，…，6}，元素总个数为36.X ＝0对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c <0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为17； X ＝1对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为2； X ＝2对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c >0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为17. 由此可知，P (X ＝0)＝1736，P (X ＝1)＝118，P (X ＝2)＝1736，故X 的分布列为[点评] 验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．10．(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：。
高考数学(理)一轮规范练【61】离散型随机变量及其分布列(含答案)
课时规范练61离散型随机变量及其分布列课时规范练第93页一、选择题1.设随机变量X的概率分布列如下表所示:X012P aF(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)=( )A. B. C. D.答案:D解析:∵a+=1,∴a=.∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=.2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为X -101P 1-2qq2则q等于( )A.1B.1±C.1-D.1+答案:C解析:由+1-2q+q2=1,得q2-2q+=0,q=,∴q=1+>1(舍去)或q=1-.3.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草,则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A. B. C. D.答案:C解析:从5只羊中选两只羊,有=10种选法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有·=6种选法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为.4.设随机变量ξ的分布列由P(ξ=i)=C·确定,i=1,2,3,则C的值为( )A. B. C. D.答案:B解析:∵P(ξ=i)=C·,∴P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=C·=C·=1,∴C=.5.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤ξ≤n)等于( )A.(1-a)(1-b)B.1-a(1-b)C.1-(a+b)D.1-b(1-a)答案:C解析:由分布列的性质得P(m≤ξ≤n)=P(ξ≥m)+P(ξ≤n)-1=(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b),故选C.6.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是( )A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)答案:C解析:X服从超几何分布P(X=k)=,故k=4.二、填空题7.设随机变量X的概率分布列为X1234P m则P(|X-3|=1)=.答案:解析:由+m+=1,得m=.∴P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)=.8.对于下列分布列有P(|ξ|=2)=.ξ-202P a c答案:解析:P(|ξ|=2)=P(ξ=2)+P(ξ=-2)=a+c=1-.9.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为;若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员的概率为.相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644答案:9解析:由自由职业者64人抽取4人可得,每一个个体被抽入样的概率为,则公务员应当抽取32×=2人,教师应当抽取48×=3人,由此可得调查小组共有2+3+4=9人.从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员的概率为P=.三、解答题10.若随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,求P的值.解:P=P(X=1)+P(X=2)=.而P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a=1,∴a=.∴P=a.11.某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;(2)从合唱团中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率;(3)从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.解:根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10,50,40.(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3.(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率P0=.(3)随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为12.为迎接6月6日的“全国爱眼日”,某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),如图,若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”.(1)写出这组数据的众数和中位数;(2)从这16人中随机选取3人,求至少有2人是“好视力”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记X表示抽到“好视力”学生的人数,求X的分布列及数学期望.解:(1)由题意知众数为4.6和4.7,中位数为4.75.(2)设A i(i=0,1,2,3)表示所选3人中有i个人是“好视力”,至少有2人是“好视力”记为事件A,则P(A)=P(A2)+P(A3)=.(3)X的可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多,故X近似服从二项分布B.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为X0123P故X的数学期望E(X)=3×.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
离散型随机变量及其分布列
故 X 的分布列为
X
2
3
P
1 4
3 4
X 的数学期望为 E(X)＝2×14＋3×34＝141.
X 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名 男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求X的分布列．
解：依题意，随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(X＝k)＝Ck6CC41440－k(k＝0,1,2,3,4)． ∴P(X＝0)＝CC06C14044＝2110，P(X＝1)＝CC16C14034＝345，
P(X＝2)＝CC26C14024＝37，P(X＝3)＝CC36C14014＝281， P(X＝4)＝CC46C14004＝114，∴X 的分布列为
考题 (2011·湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如
下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3
频数
1595
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设 某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若 发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频 率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分 布列和数学期望．
【解】 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为 0
件)＋P(当天商品销售量为 1 件)
＝210＋250＝130.
(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3. P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为 1 件”)＝250＝14； P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为 0 件”)＋P(“当天商 品销售量为 2 件”)＋P(“当天商品销售量为 3 件”)＝210＋ 290＋250＝34.
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列如果随机试验每一个可能结果e ，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X ，Y…表示。
如果随机变量X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称X 为离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ，，，...21，其相应的概率为n p p p ，，，...21，记：)...2,1()(n i p x X P i i ，，===或把上式列成下表:上表或上式称为离散型随机变量X 的概率分布列(简称X 的分布列).离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)n i p i ，，，，...210=≥;(2)1...21=+++n p p p 【例题1】全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下:现从该班中任选一名学生，用X 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X 的分布列.【例题2】设随机变量X 的分布列为4,321)1()(，，，=+==k k k c k X P ，其中c 为常数，求2521(＜＜X P 的值。
【练习】1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X;(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X;(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.2.用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分别说明下列随机事件的含义.(1){X=8};(2){1<X≤10};(3){X≥1};(4){X<1}3.离散型随机变量X的分布列如下表所示，求p的值4.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求X>4的概率.两点分布如果随机变量X 只取值0或1，且其概率分布是)1,0(1)0(,)1(∈-====p p X P p X P ，则称随机变量X 服从两点分布，记作：)1(~p B X ，两点分布又称0-1分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布，例如，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量米描述。
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《离散型随机变量及其分布》练习题一、选择题：1.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是：( B ) A.5)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C2.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是( D )A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 3.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: ( A ) A ．40243B ．1027C ．516D ．102434.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率)(B A P 等于: ( A ) A ．9160 B 21 C 185 D 216915.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ（ ） A.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k6.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是( C ) A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 7.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: ( D ) A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 8.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C9.右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，的概率是( B ) A.454 B.361 C.154 D.158二、填空题：10、设~(2,),~(3,)X b p Y b p ，如果5{1}9P X ≥=，则(1)P Y ≥=_____1927____ 11.如果在一次试验中，某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事发生偶数次地概率为解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）12.设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则=>)8(ξP ，)146(≤<ξP =13.有一射击时击中目标的概率为0.7，记4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则)1(≥ξP = 14.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 6三、解答题：15.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：16.设自动生产线在调整后出现废品的概率为0.1p =，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 表示在两次调整之间生产的合格品数，求 （1） X 的概率分布；（2）{5}P X ≥；（3）在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少？解：（1）{}X k =表示这k 次全生产了合格品，第1k +次生产了废品，所以这是几何分布的问题，{}(1)0.10.9k k P X k p p ==-=⨯，0,1,2,k = ；（2）5550.9{5}0.10.90.10.910.9kk P X ∞=≥=⨯=⨯=-∑；（3）设数量不少于n ，则由题意知{}0.6P X n ≥=，所以有{}1{}0.4P X n P X n <=-≥=所以10.10.910.9n nn k -=⨯=-∑，因而有10.90.4n -=，解得5n =。
17.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？解：（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =． 18.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均不影响.(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率；(2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列.解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B .(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯= . (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+ 2111114.3233399=⨯+⨯=+=112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++ =9412221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+ 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=19.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列（不要求写出计算过程）.分析一：X 的所有可能取值为1，2，3．313221)1(=⨯==X P ; 2121313221)2(=⨯+⨯==X P ;613121)3(=⨯==X P .分析二：共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1：在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在情形⑥之下，A 直接感染了三个人．解：随机变量X 的分布列是：20.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q 2的值；（2）求随机变量ξ的分布列（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=0.25，()0.75P A =，P (B )= q 2，2()1P B q =-．根据分布列知：ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03，所以210.2q -=，q 2=0.8．（2）当ξ=2时，P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75q 2(21q -)×2=1.5q 2(21q -)=0.24．当ξ=3时，P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01， 当ξ=4时，P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48， 当ξ=5时，P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24．所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．21.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，－2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ=== 20(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-==． 故ξ的分布列为：（2）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为：()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤．依题意，E (x )≥4.73，即4.76－x ≥4.73，解得x≤0.03．所以三等品率最多为3％．。