高考大题专攻练 12 函数与导数(B组) 理 新人教版

高考大题专攻练 12.函数与导数(B组)
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1.已知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x(其中a∈R).
(1)若x=0为f(x)的极值点,求a的值.
(2)在(1)的条件下,解不等式f(x)>(x-1).
【解析】(1)因为f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x,
所以f′(x)=[2ax+(a-1)2]e x+[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x
=[ax2+(a2+1)x+a]e x.
因为x=0为f(x)的极值点,所以由f′(0)=ae0=0,
解得a=0,
检验,当a=0时,f′(x)=xe x,
当x<0时,f′(x)<0,
当x>0时,f′(x)>0,
所以x=0为f(x)的极值点,故a=0.
(2)当a=0时,不等式f(x)>(x-1)(x2+x+1)⇔(x-1)e x>(x-1),整理得(x-1)>0,
即或
令g(x)=e x-,
h(x)=g′(x)=e x-(x+1),h′(x)=e x-1,
当x>0时,h′(x)=e x-1>0,
当x<0时,h′(x)=e x-1<0,
所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以h(x)>h(0)=0,即g′(x)>0,
所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0;
故e x->0⇔x>0;
e x-<0⇔x<0,
所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1}.
2.已知函数f(x)=lnx-e x+ax，其中a∈R，令函数g(x)=f(x)+e x+1.
(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程.
(2)当a=-e时，证明：g(x)≤-1.
(3)试判断方程|g(x)|=+是否有实数解，并说明理由.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=lnx-e x+x的导数为f′(x)=-e x+1，即有f(x)在x=1处的切线斜率为2-e，切点为(1，1-e)，
可得f(x)在x=1处的切线方程为y-(1-e)=(2-e)(x-1)，即为y=(2-e)x-1.
(2)当a=-e时，g(x)=f(x)+e x+1=lnx-ex+1，
g′(x)=-e，由g′(x)=0，可得x=，
当x>时，g′(x)<0，g(x)递减；
当0<x<时，g′(x)>0，g(x)递增.
可得g(x)在x=处取得最大值，且为-1.即有g(x)≤-1.
(3)方程|g(x)|=+没有实数解.
理由：由(2)知，g(x)max=-1，即|g(x)|≥1，
设h(x)=+，x>0，h′(x)=，
令h′(x)=0，可得x=e，
由0<x<e可得h′(x)>0，h(x)递增；
x>e时，可得h′(x)<0，h(x)递减.
即有h(x)在x=e处取得最大值，且为+<1，即h(x)<1，即|g(x)|>h(x)，可得|g(x)|>+.故方程|g(x)|=+没有实数解.。