【真卷】2015年北京市顺义区高考数学一模试卷(理科)及答案

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2015年北京市高考数学试卷(理科)及答案

2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．23．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值=0+2×1=2．∴z最大值故选：D．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）．故选：B．4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC =2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．6．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B 不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．=25﹣r x r，【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1所求x3的系数为：=40．故答案为：40．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a 的值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．【解答】解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．【解答】解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m的关系整体求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．【分析】（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k，…，a1都是3的倍数；﹣2从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥2时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．。

2015年北京高考数学(理科)卷

2015年北京高考数学（理科）真题本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】i （2－i ）＝1＋2i2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12-，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z ＝4． 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示故输出结果为（－4，0）4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m β∥”是“αβ∥”的必要条件．若“m β∥”，“αβ∥”不一定成立，反例如下图所示．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是俯视图侧(左)视图A．2 B．4 C．2+ D ．5 【答案】C 【解析】例题图形如下图所示：过P 点做AB 的垂线交AB 于点D ，12222112,1,,12.2ABC PBC PAC PAB S S S BC PC PB PA PD S =⨯⨯=======∴=⨯所以表面积222S =++6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 【解析】当d ＞0，∴ a 1a 3＝（a 2－d ）（a 2＋d ）＝a 22－d 2 ∵ a 22＞a 22－d 2 ∴2a7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】如图，x ＝1时，f （x ）＝log 2（x ＋1）∴ f （x ）≥log 2（x ＋1）解集为（－1，1]，需要注意，log 2（x ＋1）定义域不包含－1，故选C ．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D 【解析】A ．问的是纵坐标最大值．B ．消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油C ．此时甲走过了80千米，消耗8升汽油D ．80km/h 以下丙“燃油效率”更高，更省油所以选择D ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】()52x +中3x 的项为32352C x 所以系数为40．10．已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．【解析】0y +=所以有ba-=，有双曲线的方程2221x y a -=得b ＝1，且a ＞0.所以 a =．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为．【答案】1 【解析】点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚对应的直角坐标系为点(1‚，极坐标方程()cos sin 6ρθθ+=对应的直角坐标方程为60x -=，根据点到直线的距离公式1361.2d +-==．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】由余弦定理可得2222536163cos ,22564b c a A bc +-+-===⨯⨯由正弦定理和二倍角公式可得，sin 22sin cos 322cos 2 1.sin sin 43A A A a A C C c ==⨯=⨯⨯=13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC = ．若MN xAB yAC =+，则x =；y =．【答案】11,26x y ==- 【解析】12()23112611,.26MN AN AMAB AC AC AB AC x y =-=+-=-∴==-14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】① －1；② 1/2≤a ＜1或a ≥2【解析】 ①当a ＝1时，2x a -＞－1． 4（x －1）（x －2）＝4（x －1.5）2－1≥－1 当x ＝1.5时最小为－1．② 若函数()2x h x a =-在x ＜1时与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，(1)20x h a =->，所以0＜a ＜2，函数()()()42g x x a x a =--有一个交点，所以2a ≥1且a ＜1，所以1/2≤a ＜1 若函数()2x h x a =-与x 轴没有交点，()()()42g x x a x a =--有两个交点，当a ≤0，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍）；当h （1）＝2－a 时，a ≥2，g （x ）的两个交点为x 1＝a ，x 2＝2a 都是满足题意的，综上所述，a 的取值范围是1/2≤a ＜1或a ≥2三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】【解析】（1）2()cos 2221cos sin 2sin cos sin()4x x xf x x x x x x π=-===+-∴ f （x ）的最小周期T ＝2π/1＝2π．（2）∵ －π≤x ≤0 ∴ 3444x πππ-≤+≤∴1sin()4x π-≤+≤∴1()0f x -≤≤∴()f x 在区间[π0]-，上的最小值为1--． 16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37；（2）1049；（3）a ＝11或a ＝8. 【解析】（1）13173(14)7C P t C ≥==（2）当a ＝25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天共4人；乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天共3人；乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天共2人；乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天共1人；乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不合题意．所以符合题意的甲、乙选择方式共：4＋3＋2＋1＝10种所有甲、乙组合情况共117749C C ⨯=．因为任何组合情况都是等可能的，故10().49P t t =乙甲>（3）a ＝11或a ＝8. 根据数据平移和调整顺序不影响方差易得． 17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】【解析】（1） ∵ △AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点 ∴ AO ⊥EF又 ∵ 平面AEF ⊥平面EFCB ，且平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ∴ AO ⊥平面EBCF ∴ AO ⊥BE（2）取CB 的中点D ，连接OD如图分别以OE ，OD ，OA 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系(0,0,),(,0,0),(2,,0)A E a B(,0,),=(2,,0)AE a EB a =-设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =平面AEB 的法向量2(,,)n x y z(2))0ax a x a y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩所以21,1)n =-所以F —AE —B二面角的余弦值1212cos n n n n θ==因为F —AE —B 二面角为钝二面角，所以余弦值为（3）由（1）知AO ⊥面FEBC∴ AO ⊥BE若BE ⊥平面AOC 仅需BE ⊥OC由（2）得=(2,,0)EB a -=(2,,0)OC -=0EB OC ，解得a ＝2（舍）或43a =．18．（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】【解析】（1）()1ln1xf x x +=-，x ∈（－1，1），()22'1f x x =-，()()'02,00f f ==，所以切线方程为y ＝2x ．（2）原命题等价于()()301,203x x f x x ⎛⎫∀∈-+> ⎪⎝⎭，设函数()()()3ln 1ln 123x F x x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭()422'1x F x x=-，当()01x ∈，时，()'0F x >，函数F （x ）在()01x ∈，上是单调递增的， ()()00F x F >=，因此()()301,23x x f x x ⎛⎫∀∈>+ ⎪⎝⎭，（3）()()()()3342221ln ,01131()ln 0,011322'()1,0111x x k x x x x x t x k x x x kx k t x k x x x x⎛⎫+>+∈ ⎪-⎝⎭⎛⎫+⇔=-+>∈ ⎪-⎝⎭+-=-+=∈--，，，∴ [0,2]'()0k t x ∈≥，，函数()t x 是单调递增，()(0)0t x t =>显然成立．当k ＞2时，令402'()0,(0,1)k t x x-==∈()(0)0t x t =<由此可知k 的最大值为2． 19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>过()01P ，， ∴ b 2＝1离心率c e a ====∴ a =∴ 椭圆方程为2212x y +=∵ ()()01,P A m n ，，． ∴ 直线PA 的方程为11n y x m--=，直线PA 与x 轴交于M ，令y ＝0，则 ,,011M m m x M n n ⎛⎫=∴ ⎪--⎝⎭．（2）∵ ()()01,P B m n -，， ∴ 直线PB 的方程为11n y x m+-=-，直线PB 与x 轴交于N ，令y ＝0，则 1N mx n=+． ∴ ,01m N n ⎛⎫⎪+⎝⎭ 设Q （0，y 0）00001tan ,(1)(1)tan ,1mm n OQM y n y y n y ONQ m mn-∠==-+∠==+∵ ,OQM ONQ ∠=∠∴ tan tan ,OQM ONQ ∠=∠ ∴ 00(1),(1)n y m n y m+=- ∴ 2220222,12m m y m n===- ∴ 02y =± ∴ 存在点(0,2)Q ，使,OQM ONQ ∠=∠．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…．记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）M ＝{6，12，24}；（2）略；（3）8．【解析】（1）a 1＝6，a 2＝12，a 3＝24，a 4＝2×24－36＝12，∴M ＝{6，12，24}．（2）用反证法证明a 1是3的倍数．否则若a 1不是3的倍数，用归纳法证明所有的a n 都不是3的倍数．n ＝1时，a 1不是3的倍数，假设n ＝k 时，a k 不是3的倍数，对于n ＝k ＋1，a k ＋1＝2a k 或2a k －36都不是3的倍数，则所有的a n 都不是3的倍数，这与{a n }中存在一个数是3的倍数矛盾．因此a 1是3的倍数，于是a 2＝2a 1或2a 1－36是3的倍数，以此类推，所有的a n 都是3的倍数．（3）M 的元素个数的最大值为8．首先，M 中的元素都不超过36，由a 1≤36，易得a 2≤36，类似可得a n ≤36．其次，M中的数最多除了前面两个数外，都是4的倍数．因为第二个数肯定是偶数，由a n定义可知第三个数及其后面的数肯定是4的倍数．再次，M中的数除以9的余数，由定义式可知，a n＋1与2a n除以9的余数一样．①若a n中有3的倍数，由（2）可知，所有的a n都是3的倍数，所以，a n除以9的余数为3，6，3，6，…或者6，3，6，3，…，或0，0，0，…，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项最多4项．②a n中没有3的倍数，则an都不是3的倍数，对于a3除以9的余数，只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从a3起，a n除以9的余数，只能是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，…不断6项循环的（可能是从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，7，5且是4的倍数（≤36）只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前面两项最多8项．易知，a1＝1时，M＝{1，2，4，8，16，32，28，20}项数为8，所以M的元素最多个数为8．。

15年高考真题——理科数学(北京卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．复数()2i i -=（）（A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i -- 2．若,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）32 （D ）2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）（A ）()2,2- （B ）()4,0- （C ）()4,4- （D ）()0,8-4．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）（A）2+ （B）4+（C）2+ （D ）56．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）（A ）若120a a +>，则230a a +> （B ）若130a a +<，则120a a +<（C ）若120a a <<，则2a > （D ）若10a <，则()()21230a a a a -->7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（）（A ）{}|10x x -<≤ （B ）{}|11x x -≤≤（C ）{}|11x x -<≤ （D ）{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同俯视图侧(左)视图速度下的燃油效率情况。

下列叙述中正确的是（）（A ）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米（B ）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多（C ）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油（D ）某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二．填空题：共6题，每小题5分，共30分。

北京市顺义区2015届高三第一次统一练习(一模)理科综合试题

顺义区2015届高三第一次统练理科综合能力测试本试卷共12页,共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题６分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.汞离子对生物膜具有破坏作用。

植物被汞污染后，不会．．直接影响叶肉细胞A．吸收K+ B. 水的光解 C．CO2固定 D．蛋白质加工2. 下图是人体完成膝跳反射的反射弧模式图，相关叙述中正确的是A．兴奋传到b上某一点时此处膜电位会变成外正内负B．递质以主动运输的方式穿过突触前膜进入突触间隙C．兴奋在结构b和结构c处的传递速度一定相同D．当膝跳反射进行时兴奋在d上的传导是单向的3. 下列关于某人免疫细胞结构及功能的叙述，不．正确．．的是A. 效应T细胞能裂解靶细胞但不能直接清除靶细胞中抗原B. 浆细胞与效应T细胞中的基因和mRNA均存在差异性C. 记忆B细胞接受抗原的刺激后可以迅速增殖和分化D. 吞噬细胞既参与非特异性免疫又参与特异性免疫4. 在某人工饲养的线虫种群中，存在着一定比例的不能产生成熟精子的突变型雄虫。

有学者分别观察了一定数量的野生型雄虫与突变型雄虫的存活率，结果如下图所示。

下列相关推断中最合理的是A. 野生型雄虫比突变型雄虫的平均寿命长B. 野生型线虫与突变型线虫应分属两个物种C. 在第15-20天时线虫的出生率小于死亡率D. 野生型雄虫在生殖期间的死亡风险比较高5.下列有关高中生物实验操作的叙述中，正确的是A. 家庭制作果酒时选用的葡萄要用清水简单冲洗B. 观察洋葱根尖有丝分裂时根尖解离后用酒精漂洗C. 检测脂肪的实验中花生子叶切片染色后用清水漂洗D. 植物组织培养时切成小块的胡萝卜消毒后用蒸馏水冲洗6．下列物质对应的用途不正确．．．的是A B C D物质Fe2O3 NH3Si Na2O用途作红色涂料制硝酸作半导体材料作供氧剂7．下列氧化物中，能与水反应生成酸的是A．SiO2B．NO C．SO3D．Al2O38．下列说法正确的是A．液态油通过催化加氢可制得人造脂肪B．饱和(NH4)2SO4溶液可使蛋白质变性C．糖类和蛋白质的组成元素相同D．石蜡油经分馏可以获得乙烯9．已知16S、52Te位于同一主族。

2015年高考理科数学北京卷(含详细答案)

2015年高考理科数学北京卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i(2i)-=（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- 2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．(22)-，B ．(40)-，C ．(44)--，D ．(08)-，4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂.“m β∥”是“αβ∥”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4C．2+D ．5 6．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则2123()()0a a a a -->7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式2()log (1)f x x +≥的解集是A ．{|10}x x -<≤B ．{|11}x x -≤≤C ．{|11}x x -<≤D ．{|12}x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.9．在52x +（）的展开式中，3x 的系数为________（用数字作答）. 10．已知双曲线22210x y a a-=>（）0y +=，则a =________. 11．在极坐标系中，点π23（）‚到直线cos 6ρθθ=（）的距离为________. 12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=________.13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+，则x =_______；y =_______.14．设函数2 14()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩（）≥‚‚‚ ①若1a =，则()f x 的最小值为__________；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos222x x x f x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．俯视图侧(左)视图--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）16．（本小题满分13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立.从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点.（Ⅰ）求证：AO BE ⊥；（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值；（Ⅲ）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值.18．（本小题满分13分）已知函数1()ln1xf x x+=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(01)x ∈，时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3xf x k x >+对(01)x ∈，恒成立，求k 的最大值.19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0) x ya b a bC +=>>：，点(01)P ，和点()A m n ，(0)m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨-⎩， ≤，，＞，12n =（，，）…. 记集合*{|}n M a n =∈N .（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值.O FECBA数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】2i(2i)2i i 12i -=-=+，故选A ．【提示】利用复数得运算法则解答．【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】D 【解析】如图，当01x y ==，，max 2z =，故选D ．【提示】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，即可求出z 取得的最大值．【考点】简单线性规划 3.【答案】B【解析】依题意得：02021s t x y k =====，，，，， 2222240403s t x y k s t x y k =-==-===-==-==，，，，，，，，结束，输出(4)-，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到x y k ，，的值，当3k =时满足条件3k ≥，退出循环，输出(4)-．【考点】程序框图4.【答案】B 【解析】m β∥不能推出αβ∥，因为αβ、可能相交，只要m 和αβ、相交即可得到m β∥；而αβ∥，m α⊂∴m β、没有公共点，∴m β∥，即αβ∥能得到m β∥，∴“m β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件，故选B ．【提示】m β∥并得不到αβ∥，根据面面平行得判定定理，只有α内得两相交直线都平行于β，而αβ∥，并且m α⊂，显然能得到m β∥，这样即可找出正确选项．【考点】必要条件，充分条件与充要条件得判断 5.【答案】C【解析】由三视图知，OA ⊥面ABC，AB AC == E 为BC 中点，211EA EC EB OA ====，，， ∴AE BC BC OA ⊥⊥，12222ABC S =⨯⨯=△，112OAC OAB S S ===△△，122BCO S =⨯=△∴2S =+C ．【提示】根据三视图可判断直观图为：PA ⊥面ABC ，AB AC =，E 为BC 中点，211EA EC EB OA ====，，，BC AEO ⊥面，AC OE =特点，计算边长，求解面积．【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】C【解析】∵若120a a +>，则120a d +>，2312320a a a d d d +=+>>，时，结论成立，即A 不正确；若120a a +<，则120a d +<，2312320a a a d d d +=+<<，时，结论成立，即B 不正确；{}n a 是等差数列，120a a <<，∴1322a aa +=>C 正确；若10a <，则22123)()(0a a a a d ---<=，即D 不正确．故选C ．【提示】对选项分别进行判断，即可得出结论．【考点】等差数列的性质 7.【答案】C【解析】由题可知：由已知()f x 的图象，在此坐标系内作出2log (1)y x =+的图象，如图满足不等式2()log (1)f x x ≥+的x 范围是11x -<≤；所以不等式2()log (1)f x x ≥+的解集是(]1,1-，故选C ．【提示】在已知坐标系内作出2log (1)y x =+的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【考点】指数函数和对数函数不等式的解法 8.【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，所以A 错；由图知，当以40km/h 的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以80km/h 行驶1小时耗油8升，故C 错；在限速80km/h ，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选D ．【提示】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【考点】函数的图象与图象变化第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】40【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为：5152r r rr T C x -+=，当3r =时，系数为3255424402C ⨯=⨯=．数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）故答案为40．【提示】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x 的指数为3，求出r ，然后求解所求数值．【考点】二项式定理的应用 10.【答案】3【解析】双曲线2221x y a -=的渐近线方程为，所以x y a =±，解得1aa =．【提示】运用双曲线的渐近线方程为x y a =±，结合条件可得1aa 的值．【考点】双曲线的简单性质 11.【答案】1【解析】点π2,3P ⎛⎫⎪⎝⎭化为P，直线方程为660x x =⇒+-=，所以点到直线方程的距离为212d ===．【提示】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．【考点】简单曲线的极坐标方程 12.【答案】1【解析】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，1625361cos =58C +-=⨯，2536163cos =2564A +-=⨯⨯，∴sin 8C =，sin 4A =，∴222sin 22sin cos 24253616901sin sin 263090A A A a b c a C C c bc +-+-===⨯==g ．【提示】利用余弦定理求出cos cos C A ，，即可得出结论．【考点】余弦定理，二倍角的正弦，正弦定理 13.【答案】12x =【解析】由已知得到111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以1126x y ==-，．【提示】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量AB AC uu u r uuu r、表示，然后利用平面向量基本定理得到值．【考点】平面向量的基本定理及其意义 14.【答案】min ()1f x =-[)1,12,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】①当1a =时，21,1()4(1)(2),1x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，当1x <时，1()1f x -<<，当1x ≥时，min 311()41222f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以min ()1f x =-；②当0a ≤时，()f x 没有两个零点，当01a <<时，1x <时，220log 0x aa x -=⇒=<，()f x 有一个零点；而1x ≥时，12()0,2f x x a x a =⇒==；当21a ≥，即12a ≥时，()f x 恰有两个零点，所以当112a ≤<时，()f x 恰有两个零点；当12a ≤<时，1x <时，220log 1x aa x -=⇒=<，()f x 有一个零点；而1x ≥时，1()0f x x a =⇒=，22x a =，()f x 有两个零点，此时()f x 有三个零点；当2a ≥时，1x <时，无零点；1x ≥时，有两个零点，此时()f x 有两个零点．综上所述[)1,12,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【提示】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分情况讨论，求出符合()f x 有两个零点的并集．【考点】函数的零点，分段函数的应用三、解答题15.【答案】（Ⅰ）2πT = （Ⅱ）12--【解析】（Ⅰ）()cos )f x x x -x x =πsin()42x =+-，则周期2π2π1T==．（Ⅱ）∵π0x -≤≤，∴3πππ444x -≤+≤，∴π1sin()42x -≤+≤，∴1()0f x -≤≤，∴()f x 在区间[π0]-，上的最小值为1--．【提示】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简()f x ，再由正弦喊话说的周期，即可得到所求（Ⅱ）由x 的范围，可得π4x +的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值 16.【答案】（Ⅰ）37（Ⅱ）1049（Ⅲ）11a =或18a =【解析】（Ⅰ）记甲康复时间不小于14天为事件A ．则3()7P A =，所以甲康复时间不小于14天的概率为37．（Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件B ．16y =-所以()7749P B==⨯．（Ⅲ）由于A组为公差为1的等差数列，所以当11a=或18a=时，B组也为公差为1的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于a的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有11a=或18a=两个值．【提示】（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得．（Ⅱ）设“甲的康复时间比乙的康复时间长”为事件B，列出基本时间空间表，由表即可求得()P B．（Ⅲ）由方差的公式可得．【考点】古典概型及其概率公式，概率的加法公式和方差17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）5-（Ⅲ）2a=【解析】（Ⅰ）证明：AEF∵△为等边三角形，O为EF中点，AO EF∴⊥又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF I平面EFCB EF=，AO∴⊥平面EFCB，AO BE∴⊥．（Ⅱ）以O为原点建立如图坐标系：∴(,0,0)E a，(,0,0)F a-，)A，),0)B a-，()EA a=-uu r，(2),0)EB a a=--uur平面AEF的法向量(0,1,0)m=u r；设平面AEB的法向量(,,)n x y z=r，则00n EA xxn EB⎧⎧=-=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩r uu rgr uu rg，取1,1)n=-r，cos,||||m nm nm n==u r ru r r gu r rg∴又∵二面角F AE B--为钝角，∴二面角F AE B--的余弦值为．（Ⅲ）BE∵⊥平面AOC，BE OC∴⊥，(),0)OC a=--uuu r，2(2)))0BE OC a a a=----=uur uuu rg，解得2a=（舍去）或43a=．【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO BE⊥．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F AE B--的余弦值．（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值．【考点】空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解18.【答案】（Ⅰ）2y x=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）k最大值为2【解析】：（Ⅰ）()ln(1)ln(1)f x x x=+--，11()11f xx x-'=-+-1111x x=++-，又()0f x=，所以，切线方程为02(0)y x-=-，即2y x=．（Ⅱ）3322()()2ln(1)ln(1)233F x f x x x x x x x=--=+----，211()2211F x xx x'=+--+-222(1)(1)(1)xx x=-++-22222(1)(1)1x xx-+-=-4221xx=-，又因为01x<<，所以()0F x'>，所以()F x在(0,1)上是增函数，又(0)0F=，故()(0)F x F>，所以3()3xf x k x⎛⎫>+⎪⎝⎭．（Ⅲ）31ln(0,1)13x xk x xx⎛⎫+>+∈⎪-⎝⎭，，设21()ln()0,(0,1)13x xt x k x xx+=-+>∈-，422222()(1)(0,1)11kx kt x k x xx x+-'=-+=∈--，[0,2]k∈，()0t x'≥，函数(x)t是单调递增，()(0)t x t'>显然成立．当2k>时，令()0t x'=()0t x'=，得42(0,1)kx-=∈，()(0)0t x t<=，显然不成立，由此可知k最大值为2．【提示】（Ⅰ）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程（Ⅱ）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立（Ⅲ）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围【考点】切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）19.【答案】（Ⅰ）C 的方程为2212x y +=,01m M n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭（Ⅱ）存在，点Q的坐标为(【解析】（Ⅰ）由题意知1b =，c a =，又222a b c =+，解得1a b c ===，所以C 的方程为2212x y +=．PA 的斜率1PA n k m-=，所以PA 方程11n y x m -=+，令0y =，解得1m x n =-，所以,01m M n ⎛⎫⎪-⎝⎭．（Ⅱ）(,)B m n -，同（Ⅰ）可得,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，1tan QM OQM k ∠=，tan QN ONQ k ∠=，因为OQM ONQ ∠=∠所以1QN QM k k =g ，设(,0)Q t ，则111m m n nt t -+--=即2221m t n =-，又A 在椭圆C 上，所以2212m n +=，即2221m n =-，所以t =(Q 使得OQM ONQ ∠=∠．【提示】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质得出2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩求解即可．（Ⅱ）求解得出,01m M n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，运用图形得出OQM ONQ ∠=∠，故1Q N Q M k k =g ，设(,0)Q t ，代入整理得2221m t n =-，又2212m n +=，则2221m n=-根据m ，n 的关系整体求解．【考点】直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题20.【答案】（Ⅰ）6,1{2,24}M = （Ⅱ）见解析（Ⅲ）集合M 的元素个数的最大值为8【解析】（Ⅰ）若16a =，由于12,18(1,2,)236,18n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩，{|}n M a n =∈*N ．故集合M 的所有元素为6，12，24，即6,1{2,24}M = （Ⅱ）若存在(1,2,,)i a i n =是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当18i a ≤时，126i i a a k +==，1i a +也是3的倍数；当18i a >时，1236636i i a a k +=-=-，1i a +也是3的倍数．综上，1i a +是3的倍数，依次类推，当n i ≥时，n a 是3的倍数；若存在(2,3,,)i a i n =是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当118i a -≤时，1322i i a k a -==g ，因为1i a *-∈N ，所以1i a -也是3的倍数；当18i a >时，1363622i i a k a -+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g ，因为1i a -∈*N ，所以1i a -也是3的倍数；．综上，1i a -是3的倍数，依次类推，当n i <时，n a 是3的倍数；所以原结论成立．（Ⅲ）当11a =时，将11a =代入1218(1,2,)23618n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩，，，依次得到2，4，8，16，32，28，20，4，所以当9n ≥时，6n n a a -=，此时{1,2,4,8,16,20,28,32}M =，共8个元素．由题意，3a 可取的值有14a ，1436a -，1472a -，14108a -共4个元素，显然，不论1a 为何值，3a 必为4的倍数，所以34(1,2,,9)a k k ==，①当3{4,8,16,20,28,32}a ∈时，{4,8,16,20,28,32}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有8个元素； ②当3{12,24}a ∈时，{12,24}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有4个元素； ③当336a =时，36n a =(3)n ≥，此时M 最多有3个元素；所以集合M 的元素个数的最大值为8．【提示】（Ⅰ）16a =，利用12,18(1,2,)236,18n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩可求得集合M 的所有元素为6，12，24．（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由12,18(1,2,)236,18n n n nn a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩，可归纳证明对任意n n k a ≥，是3的倍数．（Ⅲ）分1a 是3的倍数与1a 不是3的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值．【考点】数列递推关系的应用，分类讨论思想与等价转化思想及推理，运算能力。

2015年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

17．（14 分）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB，EF∥ BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O 为 EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值；（Ⅲ）若 BE⊥平面 AOC，求 a 的值．
≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）；（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在点 Q，
使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．
（n=1，2，…），记
集合 M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素；（Ⅱ）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数；（Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．
19．（14 分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，点 P（0，1）和点 A（m，n）（m
绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
数学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1．（5 分）复数 i（2﹣i）=（）
A．1+2i

2015顺义区高三一模数学(理)试题及答案

顺义区2015届高三第一次统一练习数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|320}A x x x =-+=，{21}B =--，，1，2，则AB =.{21}A --， .{1}B -，2 .{1}C ，2 .{2}D -，-1，1，22.在复平面内，复数2(12)i +对应的点位于.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 3.2πϕ=“”是“曲线sin()y x ϕ=+关于y 轴对称”的.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件4.当5n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为.2A .4B .7C .11D5.若441x y+=，则x y +的取值范围是.[0,1]A .[1,0]B -.[1,)C -+∞ .(,1]D -∞-6.若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则其渐近线方程为.2A y x =± .4B y x =± 1.2C y x =± 1.4D x ±7.若,x y 满足42400kx y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最小值为8-，则k 的值为 1.2A - 1.2B .2C - .2D8.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+，给出下列命题①(2014)(2015)0f f +-=； ②函数()f x 在定义域上是周期为2的函数；③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点；④函数()f x 的值域为(1,1)-.其中正确的是.A ①，② .B ②，③ .C ①，④ .D ①，②，③，④二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.已知圆的极坐标方程为6sin ρθ=，圆心为M ，点N 的极坐标为(6,)6π，则||MN =10．设向量(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=11.已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为 12. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB //DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5,6AB AD BC AE ====，则BE =DC =13. 如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 __________种（用数字作答）.14.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω+>∈又12()2,()0f x f x =-=且12||x x -的最小值等于π.则ω的值为三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知b B ==, 2B A π-=.(I)求a 的值; (II)求cos C 的值.16.（本小题满分13分）某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（I ）设X 表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求X 的分布列；（II ）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率. 17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，12,1,2PA PD BC AD CD =====（I ）求证：PQ AB ⊥；（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（III ）求二面角P QB M --的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数22()ln f x a x ax x =+-.（I ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（II ）设22()()g x a x f x =-，且函数()g x 在点1x =处的切线为l ，直线l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1.求证：无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方.19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=：（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.20.（本小题满分13分）已知二次函数()y f x =的图象的顶点坐标为1(1,)3--，且过坐标原点O .数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈在二次函数()y f x =的图象上.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2n T tn ≥对n N *∈恒成立，求实数t 的取值范围；（III ）在数列{}n a 中是否存在这样一些项：123,,,,,k n n n n a a a a 123(1n n n =<<,)k n k N *<<<∈，这些项都能够构成以1a 为首项，(05,)q q q N *<<∈为公比的等比数列{},k n a k N *∈？若存在，写出k n 关于k 的表达式；若不存在，说明理由.顺义区2015届高三第一次统练数学试卷答案（理科）一、CBAD DCBC二、9.，25414. 12三、15.解解:(I)在ABC ∆中,因为2B A π-=,所以2B A π=+,即2B ππ<<, …….............................................................2分所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭..........................................4分(3=-== ...........................................5分由正弦定理,sin sin a bA B =得sin 3sin b A a B===. ...........................7分(II)因为2B A π-=,即2B A π=+,所以B 为钝角,A 为锐角. 由(I)可知,sin A =,所以cos 3A ==. ...........................................9分又sin B B ==, ...........................................10分所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ ...........................................11分cos cos sin sin 3A B A B=-+⎛=+ ⎝⎭=.........................................12.........................................13分分.16.解（I ）设A 表示事件“作物产量为300kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题意知()0.3,()0.6.P A P B == ...........................................1分因为利润=产量⨯市场价格-成本所以X 的所有可能的取值为30068001000,300108002200,50068002200,500108004200.(1000)()()0.50.60.3(2200)()()()()0.50.40.50.60.5(4200)()()0.50.40.2P X P A P B P X P A P B P A P B P X P A P B ⨯-=⨯-=⨯-=⨯-====⨯===⋅+⋅=⨯+⨯===⋅=⨯=...........................................6分所以X 的分布列为...........................................7分（II ）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为(2200)(1000)(4200)(1000)(4200)(2200)0.31.P X P X P X P X P X P X =⋅=+=⋅=+=⋅==..........................................13分 17.（I ）证明：在PAD ∆中，,PA PD Q =为AD 中点.所以PQ AD ⊥ ...........................................1分因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD底面ABCD AD =所以PQ ⊥底面ABCD ...........................................3分又AB ⊂平面ABCD所以PQ AB ⊥. ...........................................4分（II ）解：在直角梯形ABCD 中，AD //1,,2BC BC AD Q =为AD 中点所以所以四边形BCDQ 为平行四边形因为AD DC ⊥ 所以AD QB ⊥由（I ）可知PQ ⊥平面ABCD所以，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，.Q xyz -如图.则(0,0,0),(1,0,0),(1Q A P C -(1,0,0),D B -所以(0,(1,0,PB CD PD ===-u u r u u u r u u u r...........................................6分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =则0,0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩亦即0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得0.x y ==所以(3,0,1)n =- ...........................................8分设直线PB 与平面PCD 所成角为α，则2sin |cos ,|||||n PBn PB n PB α⋅=<>== 所以PB 与平面PCD ...........................................10分（III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系因为,AQ PQ AQ BQ ⊥⊥ 所以AQ ⊥平面PQB即QA 为平面PQB 的法向量，且(1,0,0).QA = ...........................................11分因为M 是棱PC 的中点所以点M的坐标为1(,222-又QB =设平面MQB 的法向量为(,,).m x y z = 则00m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即010222x y z =⎨-++=⎪⎩ 令1,z =得0x y =所以(3,0,1)m = ........................... ...........................................13分所以3cos ,||||OA m QA m OA m ⋅<>==由题知，二面角P QB M --为锐角所以二面角P QB M --的余弦值为2................ ...........................................14分 18.（I ）解：22()ln f x a x ax x =+-222121()2(1)(21)(0)a x ax f x a x a x x ax ax x x+-'=+-=+-=>............... ...........................................2分所以，0a >时，()f x 与()f x '的变化情况如下：因此，函数()f x 的单调递增区间为1(,)2a+∞；单调递减区间位1(0,).2a............... ...........................................6分（II ）证明：22()()ln g x a x f x x ax =-=-1()g x a x'=- 所以(1)1g a '=- 所以l 的斜率为1l k a=-............... ...........................................7分因为l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1所以直线l '的方程为(1)1y a x =-+ ............... ...........................................8分令()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <(,0)a R x ∀∈∀> ............... ...........................................9分而11()1x h x x x -'=-=............... ...........................................10分当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '< 所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减从而当1x =时，()h x 取得最大值(1)2h =-即在(0,)+∞上，()h x 取得最大值(1)2h =- ............... ...........................................12分所以()20(,0)h x a R x ≤-<∀∈∀>因此，无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方. ......................................13分19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c == 故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分（II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2- 设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B AAB B AB Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+ 由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mx m -+-=所以||AB == 又原点O 到直线AB的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)2m m +-≤= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大.分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形, 所以，四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为分20.解（I ）由题意可知211()(1).33f x x =+- 所以221112(1)().3333n S n n n n N *=+-=+∈............... ...........................................1分当2n ≥时，221121221[(1)(1)].33333n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-= 当1n =时111a S ==适合上式所以，数列{}n a 的通项公式为21()3n n a n N *+=∈................ ...........................................4分（II ）因为1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈ 所以12n n T b b b =+++1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++-由（I ）可知，数列{}n a 是以1为首项，公差为23的等差数列. ① 当2,n m m N *=∈时，21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++-213435221212224222()()()44()33211(812)(26).99m m m mm a a a a a a a a a a a a a a mm m n n -+=-+-++-+=-+++=-⨯⨯=-+=-+② 当21,n m m N *=-∈时，21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==-- 222211(812)(16163)9911(843)(267).99m m m m m m n n =-++++=++=++所以221(26),91(267),9n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩............... ...........................................7分要使2n T tn ≥对n N *∈恒成立，2015年顺义高三一模数学(理科)试卷第11页(共11页) 只要使221(26)(9n n tn n -+≥为正偶数）恒成立. 即使16(2)9t n -+≥对n 为正偶数恒成立，故实数t 的取值范围是5(,].9-∞- ............... ...........................................9分（III ）由213n n a +=知，数列{}n a 中每一项都不可能是偶数. ① 如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{},k n a k N *∈，此时{}k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a . ② 当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a .当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{},k n a k N *∈，则11,n a = 1121311,3,.32k k k k n k n n a n -+-==== 所以存在满足条件的数列{}k n a ，且31().2k k n k N *-=∈ ............... ...........................................13分。

2015北京高考数学真题(理科)及答案

2015北京高考数学真题（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．23．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n ∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【解答】原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．【解答】作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．3．【解答】模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）．故选：B．4．【解答】m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．5．【解答】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．6．【解答】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．7．【解答】由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．8．【解答】对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．二、填空题（每小题5分，共30分）9．【解答】（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3的系数为：=40．故答案为：40．10．【解答】双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．11．【解答】点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．12．【解答】∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．13．【解答】由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．14．【解答】①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．三、解答题（共6小题，共80分）15．【解答】（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．16．【解答】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．17．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．18．【解答】（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．19．【解答】（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）20．【解答】（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥2时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．。

2015顺义一模(理)答案

顺义区2015届高三第一次统练数学试卷答案（理科）一、CBAD DCBC 二、9.10. 11. -30 12.360 13.4，25414. 12三、 15.解解:(I)在ABC ∆中,因为2B A π-=,所以2B A π=+,即2B ππ<<, …….............................................................2分所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭..........................................4分(=-== ...........................................5分由正弦定理,sin sin a bA B =得sin 3sin b A a B===. ...........................7分(II)因为2B A π-=,即2B A π=+,所以B 为钝角,A 为锐角. 由(I)可知,sin 3A =,所以cos A ===. ...........................................9分又sin 33B B ==-, ...........................................10分所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ ...........................................11分 (12)分cos cos sin sin 33333A B A B =-+⎛⎫=--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=...........................................13分16.解（I ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为 6元/kg ”，由题意知()0.3,()0.6.P A P B == ...........................................1分因为利润=产量⨯市场价格-成本所以X 的所有可能的取值为30068001000,300108002200,50068002200,500108004200.(1000)()()0.50.60.3(2200)()()()()0.50.40.50.60.5(4200)()()0.50.40.2P X P A P B P X P A P B P A P B P X P A P B ⨯-=⨯-=⨯-=⨯-====⨯===⋅+⋅=⨯+⨯===⋅=⨯=...........................................6分所以X 的分布列为...........................................7分（II ）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为(2200)(1000)(4200)(1000)(4200)(2200)0.31.P X P X P X P X P X P X =⋅=+=⋅=+=⋅== ...........................................13分17.（I ）证明：在PAD ∆中，,PA PD Q =为AD 中点.所以PQ AD ⊥ ...........................................1分因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD =所以PQ ⊥底面ABCD ...........................................3分又AB ⊂平面ABCD所以PQ AB ⊥. ...........................................4分（II ）解：在直角梯形ABCD 中，AD //1,,2BC BC AD Q =为AD 中点所以所以四边形BCDQ 为平行四边形因为AD DC ⊥ 所以AD QB ⊥由（I ）可知PQ ⊥平面ABCD所以，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，.Q xyz -如图.则(0,0,0),(1,0,0),(1Q A P C -(1,0,0),D B -所以3,0),(3)PB CD PD ===-uur uuu r uuu r...........................................6分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =则0,0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩亦即0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得0.x y ==所以(3,0,1)n =- ...........................................8分设直线PB 与平面PCD 所成角为α，则2sin |cos ,|4||||n PB n PB n PB α⋅=<>== 所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为4...........................................10分（III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系因为,AQ PQ AQ BQ ⊥⊥ 所以AQ ⊥平面PQB即QA 为平面PQB 的法向量，且(1,0,0).QA = ...........................................11分因为M 是棱PC 的中点所以点M的坐标为1(,,222-又QB =设平面MQB 的法向量为(,,).m x y z =则00m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即010222x y z =⎨-++=⎪⎩ 令1,z =得0x y ==所以(3,0,1)m = ........................... ...........................................13分所以3cos ,||||OA m QA m OA m ⋅<>==由题知，二面角PQB M --为锐角所以二面角P QB M --的余弦值为2................ ...........................................14分 18.（I ）解：22()ln f x a x ax x =+-222121()2(1)(21)(0)a x ax f x a x a x x ax ax x x+-'=+-=+-=>............... ...........................................2分所以，0a >时，()f x 与()f x '的变化情况如下：因此，函数()f x 的单调递增区间为1(,)2a+∞；单调递减区间位1(0,).2a............... ...........................................6分（II ）证明：22()()ln g x a x f x x ax =-=-1()g x a x'=- 所以(1)1g a '=- 所以l 的斜率为1l k a =-............... ...........................................7分因为l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1所以直线l '的方程为(1)1y a x =-+ ............... ...........................................8分令()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <(,0)a R x ∀∈∀> ............... ...........................................9分而11()1x h x x x -'=-=............... ...........................................10分当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减从而当1x =时，()h x 取得最大值(1)2h =-即在(0,)+∞上，()h x 取得最大值(1)2h =- ............... ...........................................12分所以()20(,0)h x a R x ≤-<∀∈∀>因此，无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方. ......................................13分19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分（II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B AAB B AB Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+ 由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mx m -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB的距离为d = 所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大................ ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为 ............... ...........................................14分20.解（I ）由题意可知211()(1).33f x x =+- 所以221112(1)().3333n S n n n n N *=+-=+∈............... ...........................................1分当2n ≥时，221121221[(1)(1)].33333n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-= 当1n =时111a S ==适合上式所以，数列{}n a 的通项公式为21()3n n a n N *+=∈................ ...........................................4分（II ）因为1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈ 所以12n n T b b b =+++1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++-由（I ）可知，数列{}n a 是以1为首项，公差为23的等差数列. ① 当2,n m m N *=∈时，21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++-213435221212224222()()()44()33211(812)(26).99m m m m m a a a a a a a a a a a a a a m m m n n -+=-+-++-+=-+++=-⨯⨯=-+=-+② 当21,n m m N *=-∈时，21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==-- 222211(812)(16163)9911(843)(267).99m m m m m m n n =-++++=++=++所以221(26),91(267),9n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩............... ...........................................7分要使2n T tn ≥对n N *∈恒成立，只要使221(26)(9n n tn n -+≥为正偶数）恒成立.即使16(2)9t n-+≥对n 为正偶数恒成立，故实数t 的取值范围是5(,].9-∞-............... ...........................................9分（III ）由213n n a +=知，数列{}n a 中每一项都不可能是偶数. ① 如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{},k n a k N *∈，此时{}k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a . ② 当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a .当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{},k n a k N *∈，则11,n a = 1121311,3,.32k k k k n k n n a n -+-====所以存在满足条件的数列{}k n a ，且31().2k k n k N *-=∈ ............... ...........................................13分。

北京市顺义区2015届高三第一次统一练习数学理试题缺答案

顺义区2015届高三第一次统一练习数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，，则2{|320}A x x x =-+={21}B =--，，1，2A B = .{21}A --，.{1}B -，2.{1}C ，2.{2}D -，-1，1，22.在复平面内，复数对应的点位于2(12)i +第一象限第二象限第三象限第四象限.A .B .C .D 3. 是“曲线关于轴对称”的2πϕ=“”sin()y x ϕ=+y 充分而不必要条件必要而不充分条件.A .B 充分必要条件既不充分也不必要条件.C .D 4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值5n =S 为.2A .4B .7C .11D 5.若，则的取值范围是441x y+=x y +.[0,1]A .[1,0]B - .[1,)C -+∞.(,1]D -∞-6.若双曲线，则其渐近线方程为22221x y a b -= .2A y x =±.4B y x =±1.2C y x =±1.4D x ± 7.若满足且的最小值为，则的值为,x y 42400kx y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，5z y x =-8-k 1.2A -1.2B .2C -.2D8.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当()f x R 0x ≥(1)()f x f x +=-[0,1)x ∈时，，给出下列命题2()log (1)f x x =+①； ②函数在定义域上是周期为2的函(2014)(2015)0f f +-=()f x 数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为.y x =()f x ()f x (1,1)-其中正确的是①，② ②，③ ①，④ ①，②，③，④.A .B .C .D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，6sin ρθ=M N (6,)6π则||MN =10．设向量，若，则实数(2,2)a b ==- ()()a b a b λλ+⊥- λ=11.已知无穷数列满足：.则数列的前项和的最{}n a 1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈{}n a n 小值为12. 如图，在圆内接四边形中，//，过点作圆的切线与的延长线交ABCD AB DC A CB 于点.若，则E 5,6AB AD BC AE ====BE =DC =13. 如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有__________种（用数字作答）.14.已知函数又且()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈12()2,()0f x f x =-=的最小值等于.则的值为12||x x -πω三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在中,角所对的边分别为,已知, .ABC ∆,,A B C ,,a b c b B ==2B A π-=(I)求的值;a (II)求的值.cos C 16.（本小题满分13分）某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为元，此作物的市场价格和这块地800上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（I ）设表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求的分布列；X X （II ）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，平面P ABCD -ABCD AD BC AD DC ⊥底面，为的中点，是棱的中点，PAD ⊥ABCD Q AD M PC 12,1,2PA PD BC AD CD =====（I ）求证：；PQ AB ⊥（II ）求直线与平面所成角的正弦值；PB PCD （III ）求二面角的余弦值.P QB M --18.（本小题满分13分）已知函数.22()ln f x a x ax x =+-（I ）当时，求函数的单调区间；0a >()f x （II ）设，且函数在点处的切线为，直线//，且在22()()g x a x f x =-()g x 1x =l l 'l l '轴上的截距为1.求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.y a ()g x l '19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=，（I ）求椭圆的离心率；C （II ）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一C P 1-P 12,l l C 交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点的对称点分别为,A B 12,l l ,A B O ,求四边形的面积的最大值.,M N ABMN 20.（本小题满分13分）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前()y f x =1(1,3--O {}n a n项和为，点在二次函数的图象上.n S (,)()n n S n N *∈()y f x =（I ）求数列的通项公式；{}n a （II ）设，数列的前项和为，若对1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈{}n b n n T 2n T tn ≥恒成立，求实数的取值范围；n N *∈t （III ）在数列中是否存在这样一些项：{}n a 123,,,,,k n n n n a a a a 123(1n n n =<<，这些项都能够构成以为首项，为公比的,)k n k N *<<<∈ 1a (05,)q q q N *<<∈等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.{},k n a k N *∈k n k。

2015年北京市高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式得乘除运算．专题：数系得扩充与复数．分析：利用复数得运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数得运算；关键就是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y得最大值为（）A．0B．1C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式得解法及应用．分析：作出题中不等式组表示得平面区域，再将目标函数z=x+2y对应得直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示得平面区域，得到如图得三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y得最大值，着重考查了二元一次不等式组表示得平面区域与简单得线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示得程序框图，输出得结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法与程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到得x，y，k得值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构得程序框图，正确写出每次循环得到得x，y，k得值就是解题得关键，属于基础题．4．（5分）（2015•北京）设α，β就是两个不同得平面，m就是直线且m⊂α，“m∥β“就是“α∥β”得（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件得判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行得判定定理，只有α内得两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m与α，β得交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m与β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”就是“α∥β”得必要不充分条件．故选B．点评：考查线面平行得定义，线面平行得判定定理，面面平行得定义，面面平行得判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件得概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥得三视图如图所示，则该三棱锥得表面积就是（）A．2+B．4+C．2+2D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体得各个面得特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面得垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥得表面积就是2，故选：C ．点评：本题考查了空间几何体得三视图得运用，空间想象能力，计算能力，关键就是恢复直观图，得出几何体得性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n }就是等差数列，下列结论中正确得就是（） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则若a 1+a 2＜0， C ．若若0＜a 1＜a 2，则a 2 D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞0考点：等差数列得性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a 1+a 2＞0，则2a 1+d ＞0，a 2+a 3=2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正确；若a 1+a 2＜0，则2a 1+d ＜0，a 2+a 3=2a 1+3d ＜2d ，d ＜0时，结论成立，即B 不正确；{a n }就是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2=a 1+a 3＞2，∴a 2＞，即C 正确；若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）=﹣d 2＜0，即D 不正确．故选：C ．点评：本题考查等差数列得通项，考查学生得计算能力，比较基础． 7．（5分）（2015•北京）如图，函数f （x ）得图象为折线ACB ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）得解集就是（）A ． {x|﹣1＜x ≤0}B ． {x|﹣1≤x ≤1}C ． {x|﹣1＜x ≤1}D ． {x|﹣1＜x ≤2}考点：指、对数不等式得解法．专题：不等式得解法及应用．分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）得图象，利用数形结合得到不等式得解集．解答：解：由已知f（x）得图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）得图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）得x范围就是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）得解集就是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式得解集；用到了图象得平移．8．（5分）（2015•北京）汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确得就是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数得图象与图象变化．专题：创新题型；函数得性质及应用．分析：根据汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶得距离比5小得很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙得燃油效率高于乙得燃油效率，故D正确．点评：本题考查了函数图象得识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5得展开式中，x3得系数为40（用数字作答）考点：二项式定理得应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式得通项公式，利用x得指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5得展开式得通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3得系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理得应用，二项式系数得求法，考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）得一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线得简单性质．专题：圆锥曲线得定义、性质与方程．分析：运用双曲线得渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a得值．解答：解：双曲线﹣y2=1得渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线得方程与性质，主要考查双曲线得渐近线方程得求法，属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6得距离为1．考点：简单曲线得极坐标方程．专题：坐标系与参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线得距离公式距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线得距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线得距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．考点：余弦定理；二倍角得正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查余弦定理，考查学生得计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．考点：平面向量得基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量得三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．解答：解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理得运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一得实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）得最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a得取值范围就是≤a＜1或a≥2．考点：函数得零点；分段函数得应用．专题：创新题型；函数得性质及应用．分析：①分别求出分段得函数得最小值，即可得到函数得最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a得范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）得两个交点为x1=a，x2=2a，都就是满足题意得，综上所述a得取值范围就是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数得问题，以及函数得零点问题，培养了学生得转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值．考点：两角与与差得正弦函数；三角函数得周期性及其求法；三角函数得最值．专题：计算题；三角函数得求值；三角函数得图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式与两角与得正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说得周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x得范围，可得x+得范围，再由正弦函数得图象与性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）得最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式与两角与得正弦公式，同时考查正弦函数得周期与值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，她们服用某种药物后得康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人得康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出得人记为甲，B 组选出得人记为乙．（Ⅰ）求甲得康复时间不少于14天得概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间得方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件A i为“甲就是A组得第i个人”，事件B i为“乙就是B组得第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲得康复时间比乙得康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P （C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差得公式可得．解答：解：设事件A i为“甲就是A组得第i个人”，事件B i为“乙就是B组得第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲得康复时间不少于14天”等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”∴甲得康复时间不少于14天得概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲得康复时间比乙得康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间得方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率得加法公式与方差，属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF得中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a得值．考点：二面角得平面角及求法；直线与平面垂直得判定；直线与平面垂直得性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直得性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直得性质，结合向量法即可求a得值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF得中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC得中点G，连接OG，∵EFCB就是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图得空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB得法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF得法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B得余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线与平面垂直得判定以及二面角得求解，建立坐标系利用向量法就是解决空间角得常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k得最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中得应用．专题：导数得综合应用．分析：（1）利用函数得导数求在曲线上某点处得切线方程．（2）构造新函数利用函数得单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数得单调性求参数k得取值范围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k得最大值为2．点评：本题主要考查切线方程得求法及新函数得单调性得求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）得离心率为，点P（0，1）与点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C得方程，并求点M得坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上就是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q得坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线得综合问题；椭圆得标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线得定义、性质与方程；圆锥曲线中得最值与范围问题．分析：（I）根据椭圆得几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m得关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）与点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA得方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线得方程，位置关系，数形结合得思想得运用，运用代数得方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M得所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素就是3得倍数，证明：M得所有元素都就是3得倍数；（Ⅲ）求集合M得元素个数得最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M得所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素就是3得倍数，所以不妨设a k就是3得倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n就是3得倍数；（Ⅲ）分a1就是3得倍数与a1不就是3得倍数讨论，即可求得集合M得元素个数得最大值．解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M得所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素就是3得倍数，所以不妨设a k就是3得倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n就是3得倍数．如果k=1，M得所有元素都就是3得倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1就是3得倍数；于就是a k 就是3得倍数；﹣1类似可得，a k﹣2，…，a1都就是3得倍数；从而对任意n≥1，a n就是3得倍数；综上，若集合M存在一个元素就是3得倍数，则集合M得所有元素都就是3得倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1就是正整数，a2=，所以a2就是2得倍数．从而当n≥3时，a n就是2得倍数．如果a1就是3得倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n就是3得倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M得元素个数不超过5．如果a1不就是3得倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不就是3得倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M得元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M得元素个数得最大值为8．点评：本题考查数列递推关系得应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y得最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5分）（2015•北京）执行如图所示得程序框图，输出得结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015•北京）设α，β就是两个不同得平面，m就是直线且m⊂α，“m∥β“就是“α∥β”得（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•北京）某三棱锥得三视图如图所示，则该三棱锥得表面积就是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）（2015•北京）设{a n}就是等差数列，下列结论中正确得就是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C．若若0＜aD．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 1＜a2，则a27．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）得图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）得解集就是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•北京）汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确得就是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5得展开式中，x3得系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）得一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6得距离为．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）得最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a得取值范围就是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，她们服用某种药物后得康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人得康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出得人记为甲，B 组选出得人记为乙．（Ⅰ）求甲得康复时间不少于14天得概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间得方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF得中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a得值．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k得最大值．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）得离心率为，点P（0，1）与点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C得方程，并求点M得坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上就是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q得坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M得所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素就是3得倍数，证明：M得所有元素都就是3得倍数；（Ⅲ）求集合M得元素个数得最大值．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的• 1 •复数 i 2 _i 二 A. 1 2i 【答案】A【解析】试题分析： ( )B . 1 -2i C. —1 2i D. _1_2ii (2 -i )=1 2i考点：复数运算_^x _y w 0 ,2.若 x , y 满足 x y w 1, x 》0 ,则z = x - 2y 的最大值为（A . 0 --x 1 z ，令 Z= 0 , 2 2 作直线y 2 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A. （—2 , 2 ）B. （-4 , 0 ）C. （-^4，B . 1 D . 2【答案】【解析】试题分析: x ，在可行域中作平行线，得最优解（0,1）,此时直线的截距最大， Z 取得最小值2. C 3【答案】B【解析】试题分忻：运行程序：^ = 1,_^ = 1,-^ = 0,s = 1-1 = Ojt = 1 + 1 =k = i> + 1 = 1 ■ >■ }. "> 3 ■■ 1、满足，s = —2f f = 2! x = —2j y = 2、k = 2、因天 2A3 、-4, y = O t Jc = 5因再3工3満足’输出(Tj)考点：程序框图【答案】B【解析】试题分析：因为：•，■-是两个不同的平面， m 是直线且m? :•.若“ m //「’，则平面:-、■- 二〃：，反过来若二〃：，m 二：；，则有m // ：,则“ m // ： ”是:-// 1 ”的必要而不充分条件考点：1.空间直线与平面的位置关系； 2.充要条件.5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）4. 设：•，一：是两个不同的平面, A. 充分而不必要条件 m 是直线且m?、£ ." m //「■ ”是“用//「■ ”的B .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件可能相交也可能平行，不能推出A. 2 5 B . 4 5 C. 2 25 D . 5【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC丄平面ABC取AB棱的中点D,连接CD PD,有PD丄ABCD丄AB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,1 1PD - ■■ 5, S AB^=— 2 2 = 2,, S PAB = q 2 ：：订5 = \ 5 , AC = BC =、，5，S PAC 二S PBC = 2 ' 5 1- ~2，三棱锥表面积3表=2；'5 2.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6. 设:a n ?是等差数列.下列结论中正确的是（）A.若a! a20，则a2a30 B .若a a3=0，则a a, <0C. 若o ::: a :::比，贝U a^ . a1a3 D .若Q ::: 0，贝U a^ a v n： a? - a^ - 0【答案】C【解析】试題分析:先分析四个答案支，A举一反例％ = 2., a2 = -1^勺=-4 ! + a, >0而冬+叫<0 »A错:宅E举同样反例％= 2, a2 = -13 s3 = 一4 , + a <0 ,而珂+冬>0：3错误，下电»■对匚进行研究，3 :是誓差数列，若0<坷 y 则耳> 3设公畫対右则d > 0,数仪吞项均为正，由于衬-爲可=（爲+ d）「-祜q + 2d）=吉:+迢孑+护-$ - 2辱=d1> 0,则曙> 气毎a % >石玄、选c.考点：1.等差数列通项公式；2•作差比较法7.如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f X > log2x 1的解集是（）：x|-1 < x < 1 C. ?x|-1：：x < 1? D .、x|-1：：x < 2?A. 、x|—1：：x< 0? B【解析】"y试题分析；如图所示，把硒数尸=Log, J的團象向左平移一十单位得到y =I OS/J +1）的图象x = 1时两图象相交*不等式的解为-1 < r < 1,用集合表示解集选C考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解； 3.对图象的理解.。

2015北京高考数学(理科)答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学试题答案与解析1.解析()2i 2i 2i i 12i -=-=+.故选A.2.解析不等式组表示的可行域如图所示因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2.故选D.3.解析运行程序的过程如下：0s =，2t =，0x =，2y =，1k =；2s =-，2t =，2x =-，2y =，2k =；4s =-，0t =，4x =-，0y =，3k =；结束.所以输出的结果为()4,0-.故选B.4.解析根据面面平行的性质，若两个面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行；根据面面平行的判定，若一个平面的两条相交直线分别平行另一个平面.才能推出面面平行，所以“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件.故选B.5.解析三视图对应的立体图形如图所示，12222ABC S =⨯⨯=△，AC BC==，1122ACP BCP S S===△△，AP BP ==ABP △是以AB 为底的等腰三角形，高122ABP S=⨯=△综上所述，表面积22S =+=+故选C.PCBA6.解析依题意，{}n a 是等差数列，若120a a +>，并不能推出230a a +>；故选项A 不正确.对于B 选项，若130a a +<，并不能推出120a a +<；故选项B 不正确.对于C 选项，若120a a <<，则210d a a =->，()()22213222a a a a a d a d -=--+=()2222220a a d d --=>，因此2a >C 正确.对于D 选项，若10a <，则()()221230a a a a d --=-…，并不能推出()()21230a a a a -->.故选C.7.解析函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出()y f x =及()2log 1y x =+的图像，如图所示.可知()()2log 1f x x +…的解集为(]1,1-.故选C.8.解析通过图像逐一研究.对于A 选项，由图可得，乙图纵坐标的最大值大于5，故选项A 不正确；对于B 选项，由图可得，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故选项B 不正确；对于C 选项，由图可得，甲车以80km /h 的速度行驶，其“燃油效率”为10km /L ，若甲车行驶1小时，消耗8升汽油，故选项C 不正确；对于选项D ，对于机动车最高限速80km /h ，相同条件下，丙车比乙车更省油.故选D.9.解析()52x +展开式的通项公式()515C 2,0,1,2,,5r r rr T x r -+== ，3x 的系数为325C 240=.10.解析依题意，双曲线()22210x y a a-=>的渐近线方程为x y a =±，则1a -=，得3a =. 11.解析极坐标中的点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中的点为(，极坐标方程()cos 6ρθθ=对应的直角坐标系方程为60x -=，根据点到直线的距离公式13612d +-==. 12.解析在ABC △中，sin 22sin cos sin sin A A A C C =，由正弦定理得sin sin A aC c=，由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=. 13.解析在ABC △中，点M 满足2AM MC = ，点N 满足BN NC =，则()111111323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=- ，因此12x =，16y =-.CB14.解析（1）若1a =，()()()21,1,412, 1.x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩….函数()f x 的值域为[)1,-+∞，因此()f x 的最小值为1-. （2）依题意，函数()21x y a x =-<至多有一个零点.若函数()f x 恰有两个零点，则有两种情形：① 函数2xy a =-在(),1-∞上无零点，则0a …或2a …，当0a …时，函数()()()42f x x a x a =--在[)1,+∞上无零点；当2a …时，函数()()()42f x x a x a =--在[)1,+∞上有两个零点，故2a …；② 函数2xy a =-在(),1-∞上有1个零点，则02a <<，此时函数()()()42f x x a x a =--在[)1,+∞上恰有一个零点，故121a a <⎧⎨⎩…，解得112a <…. 综上，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.15.解析（1）()1cos cos 222222x x x f x x x -==+-=πsin 42x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）当π0x -剎?时，3πππ444x -+剟，π1sin 42x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟，函数()f x 在区间[]π,0-的最小值为1--. 16. 解析（1）设甲的康复事件为ξ，则()3147P ξ=…，即甲的康复时间不少于14天的概率为37. （2）设乙的康复事件为η，集合{}10,11,12,13,14,15,16A =，{}12,13,14,15,16,17,25B =，则选取病人的基本事件空间为(){},,A B ξηξη∈∈，共49个基本事件，其中符合题意的基本事件为：()13,12，()14,12，()14,13，()15,12，()15,13，()15,14，()16,12，()16,13，()16,14，()16,15，共10个，从而()1049P ξη>=.（3）可以看出A 组7个连续的正整数，B 组为12至17共6个连续的正整数和a ，从而11a =或18时，两组离散程度相同，即方差相等.17. 解析（1）因为AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO EF ⊥，又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF 平面EFCB =EF ，AO ⊂平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB ，所以AO BE ⊥.（2）取BC 的中点为D ，连接OD ，因为四边形EBCF 是等腰梯形，所以OD EF ⊥. 以O 为原点OE ，OD ，OA ，为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，如图所示，则()A ，(),0,0E a，)()2,0B a -，所以(),03A E a a =，)()2,0BE a a =--，设平面AEF 的法向量为m ，显然()0,1,0=m ，设平面ABE 的法向量为(),,x y z =n ，则有00AE BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即())0220ax a x a y ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，所以)1,1=-n .所以二面角F AE B --的余弦值的绝对值为cos ,⋅==m n m n m n ，又因为二面角F AE B --为钝二面角，则二面角F AE B --的余弦值为5-. （3）由（1）知AO BE ⊥，若BE ⊥平面A O C ，只需BE OC ⊥即可，由（2）知)()2,0BE a a =--，)()2,0OC a =--，0BE OC ⋅= ，得()()222320a a ----=，解得2a =（舍）或43a =. 18. 解析（1）由题可知函数()f x 的定义域是()1,1-，则()221f x x'=-，()02f '=，()00f =，从而曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =.（2）构造辅助函数证明不等式.设()()323x g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()00g =，()()4222222111x g x x x x '=-+=--，当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增，从而()()00g x g >=，即()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对任意()0,1x ∈恒成立.（3）构造函数()()31ln ,0,113x x P x k x x x ⎛⎫+=-+∈ ⎪-⎝⎭，又()00P =，若()0P x >对()0,1x ∀∈恒成立，则()00P '…，又()()()4222212111k x P x k x x x --'=-+=--，即()020P k '=-…，得2k …，又当2k =时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立，因此k 的最大值为2.19. 解析（1）因为2c e a ==，所以2b a =，又点()0,1P 在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，则1b =，a =C 的方程为2212x y +=，直线PA 的方程：11n y x m -=+，令0y =，可得1mx n =-，所以点M 的坐标是,01m n ⎛⎫⎪-⎝⎭. （2）点B 与A 关于x 轴对称，所以(),B m n -，直线PB 的方程：11n y x m--=+，令0y =，所以可得1m x n =+，则,01m N n ⎛⎫⎪+⎝⎭，因为OQM ONQ ∠=∠，所以tan tan OQM ONQ ∠=∠，所以OM OQ OQ ON=，即2OQ OM ON =，因为2222111m m m OQ OM ON n n n ==⋅=-+-，又点()(),0A m n m ≠在椭圆C 上，所以2212m n +=，即2212m n -=，所以22222m OQ m ==，得(0,Q .20. 解析（1）6，12，24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩…，可归纳证明对任意n k …，n a 是3的倍数.如果1k =，则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >，因为12k k a a -=或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数，或1236k a --是3的倍数，于是1k a -是3的倍数.类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数.从而对任意1n …，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数.（3）由136a …，*1a ∈N ，11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…，可归纳证明()362,3,n a n = ….因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…，所以2a 是2的倍数.从而当3n …时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（2）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数，因此当3n …时，{}12,24,36n a ∈，这时，M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数n ，n a 不是3的倍数，因此当3n …时，{}4,8,16,20,28,32n a ∈，这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.。

2015年北京高考理科试题-完整版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

⼀一、选择题共8⼩小题，每⼩小题5分，共40分。

在每⼩小题列出的四个选项中，选出符合题⺫⽬目要求的⼀一项。

（1）复数(2)i i−=(A)1+2i (B)1−2i(C)-1+2i (D)-1−2i（2）若,x y满足1x yx yx−≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为(A)0 (B)13(C) (D)22（3）执行如图所示的程序框图，输出的结果为(A) (-2,2) (B) (-4,0)(C) (-4,-4) (D) (0,-8)（4）设,αβ是两个不同的平面，m是直线且.mα⊂“//mβ”是“//αβ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A)2+5(B)4+5 (C)2+2 5(D)5（6）设{} n a 是等差数列。

下列结论中正确的是 (A) 若12+ >0a a ，则23+ >0a a(B) 若13+ <0a a ，则12+ <0a a(C) 若12 0<<a a ，则213a a a >(D) 若1 <0a ，则2123()()0a a a a −−>（7）如图，函数() f x 的图像为折线ACB ，则不等式2()log (1)f x x ≥+的解集是(A) {}10x x −<≤ (B) {}11x x −≤≤ (C) {}11x x −<≤ (D) {}12x x −<≤ （8）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程。

下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。

下列叙述中正确的是(A) 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米(B) 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多(C) 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油(D) 某城市机动车最高限速80千米/小时。

[历年真题]2015年北京市高考数学试卷(理科)

2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）若x,y满足,则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．23．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2,2）B．（﹣4,0）C．（﹣4,﹣4）D．（0,﹣8）4．（5分）设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0,则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0,则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2,则a2D．若a1＜0,则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（5分）如图,函数f（x）的图象为折线ACB,则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分,共30分）9．（5分）在（2+x）5的展开式中,x3的系数为（用数字作答）10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0,则a=．11．（5分）在极坐标系中,点（2,）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=．13．（5分）在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=．14．（5分）设函数f（x）=,①若a=1,则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点,则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题,共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π,0]上的最小值．16．（13分）A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间（单位:天）记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组；12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点．（Ⅰ）求证:AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC,求a的值．18．（13分）已知函数f（x）=ln,（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证,当x∈（0,1）时,f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0,1）恒成立,求k的最大值．19．（14分）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的离心率为,点P（0,1）和点A（m,n）（m≠0）都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程,并求点M的坐标（用m,n表示）；（Ⅱ）设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ？若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足:a1∈N*,a1≤36,且a n+1=（n=1,2,…）,记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6,写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解:原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选:A．【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x,y满足,则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值．【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,当l经过点B时,目标函数z达到最大值=0+2×1=2．∴z最大值故选:D．【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2,2）B．（﹣4,0）C．（﹣4,﹣4）D．（0,﹣8）【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下；x=1,y=1,k=0时,s=x﹣y=0,t=x+y=2；x=s=0,y=t=2,k=1时,s=x﹣y=﹣2,t=x+y=2；x=s=﹣2,y=t=2,k=2时,s=x﹣y=﹣4,t=x+y=0；x=s=﹣4,y=t=0,k=3时,循环终止,输出（x,y）是（﹣4,0）．故选:B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,是基础题目．4．（5分）（2015•北京）设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β,根据面面平行的判定定理,只有α内的两相交直线都平行于β,而α∥β,并且m⊂α,显然能得到m∥β,这样即可找出正确选项．【解答】解:m⊂α,m∥β得不到α∥β,因为α,β可能相交,只要m和α,β的交线平行即可得到m∥β；α∥β,m⊂α,∴m和β没有公共点,∴m∥β,即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【分析】根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EA=EB=1,OA=1,:BC⊥面AEO,AC=,OE=判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积．【解答】解:根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EC=EB=1,OA=1,∴可得AE⊥BC,BC⊥OA,运用直线平面的垂直得出:BC⊥面AEO,AC=,OE=∴S△ABC =2×2=2,S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2,故选:C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观图,得出几何体的性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0,则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0,则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2,则a2D．若a1＜0,则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论．【解答】解:若a1+a2＞0,则2a1+d＞0,a2+a3=2a1+3d＞2d,d＞0时,结论成立,即A不正确；若a1+a3＜0,则a1+a2=2a1+d＜0,a2+a3=2a1+3d＜2d,d＜0时,结论成立,即B不正确；{a n}是等差数列,0＜a1＜a2,2a2=a1+a3＞2,∴a2＞,即C正确；若a1＜0,则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0,即D不正确．故选:C．【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础．7．（5分）（2015•北京）如图,函数f（x）的图象为折线ACB,则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象,利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解:由已知f（x）的图象,在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象,如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,以及图象,分别判断各个选项即可．【解答】解:对于选项A,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升,故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米,故A 错误；对于选项B,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最小,故B错误,对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,里程为80千米,燃油效率为10,故消耗8升汽油,故C错误,对于选项D,因为在速度低于80千米/小时,丙的燃油效率高于乙的燃油效率,故D 正确．【点评】本题考查了函数图象的识别,关键掌握题意,属于基础题．二、填空题（每小题5分,共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中,x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式,利用x的指数为3,求出r,然后求解所求数值．【解答】解:（2+x）5的展开式的通项公式为:T r=25﹣r x r,+1所求x3的系数为:=40．故答案为:40．【点评】本题考查二项式定理的应用,二项式系数的求法,考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0,则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±,结合条件可得=,即可得到a的值．【解答】解:双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±,由题意可得=,解得a=．故答案为:．【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中,点（2,）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．【分析】化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．【解答】解:点P（2,）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为:1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=1．【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论．【解答】解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,∴cosC==,cosA==∴sinC=,sinA=,∴==1．故答案为:1．【点评】本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=﹣．【分析】首先利用向量的三角形法则,将所求用向量表示,然后利用平面向量基本定理得到x,y值．【解答】解:由已知得到===；由平面向量基本定理,得到x=,y=；故答案为:．【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用,一个向量用一组基底表示,存在唯一的实数对（x,y）使,向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=,①若a=1,则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点,则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【分析】①分别求出分段的函数的最小值,即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a,g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）,分两种情况讨论,即可求出a 的范围．【解答】解:①当a=1时,f（x）=,当x＜1时,f（x）=2x﹣1为增函数,f（x）＞﹣1,当x＞1时,f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1,当1＜x＜时,函数单调递减,当x＞时,函数单调递增,故当x=时,f（x）min=f（）=﹣1,②设h（x）=2x﹣a,g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时,h（x）=与x轴有一个交点,所以a＞0,并且当x=1时,h（1）=2﹣a＞0,所以0＜a＜2,而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点,所以2a≥1,且a＜1,所以≤a＜1,若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时,与x轴没有交点,则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点,当a≤0时,h（x）与x轴无交点,g（x）无交点,所以不满足题意（舍去）,当h（1）=2﹣a≤0时,即a≥2时,g（x）的两个交点满足x1=a,x2=2a,都是满足题意的,综上所述a的取值范围是≤a＜1,或a≥2．【点评】本题考查了分段函数的问题,以及函数的零点问题,培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力,属于中档题．三、解答题（共6小题,共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π,0]上的最小值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式,化简f（x）,再由正弦函数的周期,即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围,可得x+的范围,再由正弦函数的图象和性质,即可求得最小值．【解答】解:（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣,则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0,可得﹣≤x+≤,即有﹣1,则当x=﹣时,sin（x+）取得最小值﹣1,则有f（x）在区间[﹣π,0]上的最小值为﹣1﹣．【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式,同时考查正弦函数的周期和值域,考查运算能力,属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间（单位:天）记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组；12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,由题意可知P（A i）=P（B i）=,i=1,2,••,7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”,由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,易得P（C）=10P（A4B1）,易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．【解答】解:设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,由题意可知P（A i）=P（B i）=,i=1,2,••,7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时,A,B两组病人康复时间的方差相等．【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及概率的加法公式和方差,属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点．（Ⅰ）求证:AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC,求a的值．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质,结合向量法即可求a的值【解答】证明:（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点,∴AO⊥EF,∵平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G,连接OG,∵EFCB是等腰梯形,∴OG⊥EF,由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB,∵OG⊂平面EFCB,∴OA⊥OG,建立如图的空间坐标系,则OE=a,BG=2,GH=a,（a≠2）,BH=2﹣a,EH=BHtan60°=,则E（a,0,0）,A（0,0,a）,B（2,,0）,=（﹣a,0,a）,=（a﹣2,﹣,0）,设平面AEB的法向量为=（x,y,z）,则,即,令z=1,则x=,y=﹣1,即=（,﹣1,1）,平面AEF的法向量为,则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC,则BE⊥OC,即=0,∵=（a﹣2,﹣,0）,=（﹣2,,0）,∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0,解得a=．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln,（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证,当x∈（0,1）时,f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0,1）恒成立,求k的最大值．【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论,利用新函数的单调性求参数k的取值范围．【解答】解答:（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0,所以曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明:令g（x）=f（x）﹣2（x+）,则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=,因为g'（x）＞0（0＜x＜1）,所以g（x）在区间（0,1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0,x∈（0,1）,即当x∈（0,1）时,f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知,当k≤2时,f（x）＞对x∈（0,1）恒成立．当k＞2时,令h（x）=f（x）﹣,则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=,所以当时,h'（x）＜0,因此h（x）在区间（0,）上单调递减．当时,h（x）＜h（0）=0,即f（x）＜．所以当k＞2时,f（x）＞并非对x∈（0,1）恒成立．综上所知,k的最大值为2．【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型,难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的离心率为,点P（0,1）和点A（m,n）（m≠0）都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程,并求点M的坐标（用m,n表示）；（Ⅱ）设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ？若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由．【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（,0）,N（,0）,运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ,=,求解即可得出即y Q2=x M•x N,+n2,根据m,m的关系整体求解．【解答】解:（Ⅰ）由题意得出解得:a=,b=1,c=1∴+y2=1,∵P（0,1）和点A（m,n）,﹣1＜n＜1∴PA的方程为:y﹣1=x,y=0时,x M=∴M（,0）（II）∵点B与点A关于x轴对称,点A（m,n）（m≠0）∴点B（m,﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N,∴N（,0）,∵存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q（0,y Q）,∴tan∠OQM=tan∠ONQ,∴=,即y Q2=x M•x N,+n2=1y Q2==2,∴y Q=,故y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q（0,）或Q（0,﹣）【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程,位置关系,数形结合的思想的运用,运用代数的方法求解几何问题,难度较大,属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足:a1∈N*,a1≤36,且a n+1=（n=1,2,…）,记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6,写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．【分析】（Ⅰ）a1=6,利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6,12,24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k是3的倍数,由a n+1=（n=1,2,…）,可归纳证明对任意n≥k,a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论,即可求得集合M的元素个数的最大值．【解答】解:（Ⅰ）若a1=6,由于a n+1=（n=1,2,…）,M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6,12,24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k是3的倍数,由a n+1=（n=1,2,…）,可归纳证明对任意n≥k,a n是3的倍数．如果k=1,M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1,因为a k=2a k﹣1,或a k=2a k﹣1﹣36,所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；,…,a1都是3的倍数；类似可得,a k﹣2从而对任意n≥1,a n是3的倍数；综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36,a n=（n=1,2,…）,可归纳证明对任意n≥k,a n ＜36（n=2,3,…）因为a1是正整数,a2=,所以a2是2的倍数．从而当n≥2时,a n是2的倍数．如果a1是3的倍数,由（Ⅱ）知,对所有正整数n,a n是3的倍数．因此当n≥3时,a n∈{12,24,36},这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数,由（Ⅱ）知,对所有正整数n,a n不是3的倍数．因此当n≥3时,a n∈{4,8,16,20,28,32},这时M的元素个数不超过8．当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有8个元素．综上可知,集合M的元素个数的最大值为8．【点评】本题考查数列递推关系的应用,突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力,属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有:changq；qiss；742048；wkl197822；sdpyqzh；刘长柏；whgcn；双曲线；沂蒙松；lincy；maths；雪狼王；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

2015年北京卷(理科数学)含答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数【A 】 A ．B ．C ．D ．2．若，满足则的最大值为【D 】A ．0B ．1C ．D ．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为【B 】A ．B ．C ．D ．()i 2i -=12i +12i -12i -+12i --x y 010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，2z x y =+32()22-，()40-，()44--，()08-，4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的【B 】A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是【C 】A ．B ．C ．D ．5 6．设是等差数列. 下列结论中正确的是【C 】αβm m α⊂m β∥αβ∥俯视图侧(左)视图24+2+{}n aA ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则 7．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是【C 】A ．B ．C ．D ．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是【D 】A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <<2a >10a <()()21230a a a a -->()f x ACB ()()2log 1f x x +≥{}|10x x -<≤{}|11x x -≤≤{}|11x x -<≤{}|12x x -<≤9．在的展开式中，的系数为 40 ．（用数字作答）10．已知双曲线，则．11．在极坐标系中，点到直线的距离为1 ．12．在中，，，，则1．13．在中，点，满足，．若，则；．14．设函数①若，则的最小值为1；①若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ≤ a <1 或 a ≥ 2 ．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数．(①) 求的最小正周期； (①) 求在区间上的最小值．解：（I ）因为所以的最小正周期为2()52x +3x ()22210x y a a-=>0y +=a =π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚()cos6ρθθ=ABC △4a =5b =6c =sin 2sin AC=ABC △M N 2AM MC =BN NC=MN x AB y AC =+x =12y =16()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥1a =()f x ()f x a 122()cos 222x x xf x =()f x ()f x [π0]-，()sin cos )22f x x x =--sin()4x π=+()f x π（Ⅱ）因为，所以当，即时，取得最小值。

2015年高考理科数学北京卷(含详细答案)

是“∥”的（）
无A．充分而不必要条件
--------------------
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
效数学试卷第1页（共18页）
1
211
正(主)视图侧(左)视图
俯视图
A．25B．45C．225D．5
6．设{a}是等差数列.下列结论中正确的是（）
n
A．若aa0，则aa0B．若aa0，则aa0--------在绝密★启用前
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
--------------------2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学（理科）
此
--------------------本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.
9．在（2x）的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）.
10．已知双曲线x2y2（a0）的一条渐近线为3xy0，则a________.
a2
11．在极坐标系中，点（2‚π
12．在△ABC中，a4，b5，c6，则sin2A
13．在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则x
_______；y_______.
2xa‚x1‚
14．设函数（x）
4(xa)(x2a)‚x≥1.
①若a1，则f(x)的最小值为__________；
②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

高考数学顺义区2015届高三第一次统练答案(理科)

顺义区2015届高三第一次统练数学试卷答案（理科）一、CBAD DCBC 二、9.10. 11. -30 12.360 13.4，25414. 12三、 15.解解:(I)在ABC ∆中,因为2B A π-=,所以2B A π=+,即2B ππ<<, …….............................................................2分所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭..........................................4分(=-== ...........................................5分由正弦定理,sin sin a bA B=得sin 3sin b A a B ===. ...........................7分(II)因为2B A π-=,即2B A π=+,所以B 为钝角,A 为锐角. 由(I)可知,sin A =,所以cos 3A ===. ...........................................9分又sin B B ==, ...........................................10分所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ ...........................................11分 (12)分cos cos sin sin 33333A B A B =-+⎛⎫=-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=...........................................13分16.解（I）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题意知()0.3,()0.6.P A P B==...........................................1分因为利润=产量⨯市场价格-成本所以X的所有可能的取值为30068001000,300108002200,50068002200,500108004200.(1000)()()0.50.60.3(2200)()()()()0.50.40.50.60.5(4200)()()0.50.40.2P X P A P BP X P A P B P A P BP X P A P B⨯-=⨯-=⨯-=⨯-====⨯===⋅+⋅=⨯+⨯===⋅=⨯=...........................................6分所以X的分布列为...........................................7分（II）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为(2200)(1000)(4200)(1000)(4200)(2200)0.31.P X P X P X P XP X P X=⋅=+=⋅=+=⋅==...........................................13分17.（I）证明：在PAD∆中，,PA PD Q=为AD中点.所以PQ AD⊥...........................................1分因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD I底面ABCD AD=所以PQ⊥底面ABCD...........................................3分又AB⊂平面ABCD所以PQ AB⊥............................................4分（II）解：在直角梯形ABCD中，AD//1,,2BC BC AD Q=为AD中点所以所以四边形BCDQ为平行四边形因为AD DC⊥所以AD QB ⊥由（I ）可知PQ ⊥平面ABCD所以，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，.Q xyz -如图.则(0,0,0),(1,0,0),3),(3,0),Q A P C -(1,0,0),3,0).D B -所以3,3),(0,3,0),(1,0,3)PB CD PD =-=-=--u u r u u u r u u u r (6)分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =r则0,0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即30,30x z ⎧=⎪⎨--=⎪⎩亦即03y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得3,0.x y ==所以(3,0,1)n =r...........................................8分设直线PB 与平面PCD 所成角为α，则2sin |cos ,|4||||n PB n PB n PB α⋅=<>==r u u u rr u u u r r u u u r所以PB 与平面PCD 2...........................................10分（III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系因为,AQ PQ AQ BQ ⊥⊥ 所以AQ ⊥平面PQB即QA u u u r 为平面PQB 的法向量，且(1,0,0).QA =u u u r...........................................11分因为M 是棱PC 的中点所以点M 的坐标为133(2-又3,0)QB =u u u r设平面MQB 的法向量为(,,).m x y z =u r则00m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r 即301330222x y z =⎨-++=⎪⎩ 令1,z =得3,0x y ==所以(3,0,1)m =u r........................... ...........................................13分所以3cos ,2||||OA m QA m OA m ⋅<>==u u u r u ru u u r u r u u u r 由题知，二面角P QB M --为锐角所以二面角P QB M --3................ ...........................................14分 18.（I ）解：22()ln f x a x ax x =+-222121()2(1)(21)(0)a x ax f x a x a x x ax ax x x+-'=+-=+-=>............... ...........................................2分所以，0a >时，()f x 与()f x '的变化情况如下：因此，函数()f x 的单调递增区间为1(,)2a+∞；单调递减区间位1(0,).2a............... ...........................................6分（II ）证明：22()()ln g x a x f x x ax =-=-1()g x a x'=- 所以(1)1g a '=- 所以l 的斜率为1l k a =-............... ...........................................7分因为l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1所以直线l '的方程为(1)1y a x =-+ ............... ...........................................8分令()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <(,0)a R x ∀∈∀> ............... ...........................................9分而11()1xh x x x -'=-=............... ...........................................10分当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减从而当1x =时，()h x 取得最大值(1)2h =-即在(0,)+∞上，()h x 取得最大值(1)2h =- ............... ...........................................12分所以()20(,0)h x a R x ≤-<∀∈∀>因此，无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方. ......................................13分19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分（II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+ 由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mx m -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB的距离为d = 所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)2m m +-≤= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大................ ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为 ............... ...........................................14分20.解（I ）由题意可知211()(1).33f x x =+- 所以221112(1)().3333n S n n n n N *=+-=+∈............... ...........................................1分当2n ≥时，221121221[(1)(1)].33333n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-= 当1n =时111a S ==适合上式所以，数列{}n a 的通项公式为21()3n n a n N *+=∈................ ...........................................4分（II ）因为1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈ 所以12n n T b b b =+++L1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++-L由（I ）可知，数列{}n a 是以1为首项，公差为23的等差数列. ① 当2,n m m N *=∈时，21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++-L213435221212224222()()()44()33211(812)(26).99m m m m m a a a a a a a a a a a a a a m m m n n -+=-+-++-+=-+++=-⨯⨯=-+=-+L L② 当21,n m m N *=-∈时，21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==--222211(812)(16163)9911(843)(267).99m m m m m m n n =-++++=++=++所以221(26),91(267),9n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩............... ...........................................7分要使2n T tn ≥对n N *∈恒成立，只要使221(26)(9n n tn n -+≥为正偶数）恒成立. 即使16(2)9t n-+≥对n 为正偶数恒成立，故实数t 的取值范围是5(,].9-∞-............... ...........................................9分（III ）由213n n a +=知，数列{}n a 中每一项都不可能是偶数. ① 如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{},k n a k N *∈，此时{}k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a . ② 当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a .当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{},k n a k N *∈，则11,n a =1121311,3,.32k k k k n k n n a n -+-====所以存在满足条件的数列{}k n a ，且31().2k k n k N *-=∈ ............... ...........................................13分。

(试题)2015年北京市高考理科数学试题

2015 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理） (北京卷)
本试卷共5 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。

（1）复数i (2- i)=
（A）1+ 2i （B）1-2i
（C）-1+ 2i （D）-1- 2i
（2）若x ，y 满足则z= x+ 2 y的最大值为
（A）0 （B） 1
（C）（D） 2
（3）执行如图所示的程序框图，输出的结果为
（A）(-2,2)
（B）(-4,0)
（C）(- 4, - 4)
（D）(0, -8)
（4）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m∥β”是“α∥β”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
（B）4+
（A）2+
（C）2+2
（6）设{ a n }是等差数列，下列结论中正确的是。

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