海淀区2014-2015学年度高三第一学期期中试卷(文)-含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文） 2014.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,1}A =，{|02}B x x =∈<<R ，则A B =（ ）（A ）{0}（B ）{1}（C ）[0,1]（D ）(0,1)（2）若等比数列{}n a 满足153a a a =，则3a =（ ） （A ）1（B ）1- （C ）0或1 （D ）1-或1（3）设132a =，3log 2b =，cos100c =，则（ ） （A ）c b a >> （B ）a c b >> （C ）c a b >>（D ）a b c >>（4）已知点(1,0), (0,1)A B -，向量(1,1)=a ，那么（ ） （A ）AB =a（B ）AB ∥a（C ）AB ⊥a（D ）AB ≠a（5）已知函数2()f x ax x =+（a 为常数），则函数(1)f x -的图象恒过点（ ）（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,1)（D ）(1,0)（6）设,a b ∈R ，则“1a b >>”是“22a b a b -<-”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）函数π1()sin 12f x x x=-+在区间(0,4)内的零点个数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值（D ）当3n =时，nS 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知角α的终边过点(1-，则tan α=______．（10）已知(1i)(1i)2a +-=（i 为虚数单位），则实数a 的值为_____．（11）已知两个单位向量,a b 的夹角为60︒，且满足()t ⊥-a b a ，则实数t 的值是________.（12）已知函数21, 10,()1(), 01,2x x x x f x x ⎧++-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤则((0))f f =_______；()f x 的最小值为 .（13）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品浓度达到最大.（14）已知全集1234{,,,}U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若1a A ∈，则2a A ∈； ②若3a A ∉，则2a A ∉； ③若3a A ∈，则4a A ∉.则集合A = ___________.（用列举法表示）三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）已知函数π()sin sin()3f x x x =-+. （Ⅰ）求4π()3f 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）设数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，且123,1,1a a a --是等比数列{}n b 的前三项.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1,3,cos 3AD CD B ===. （Ⅰ）求△ACD 的面积；（Ⅱ）若BC =AB 的长.（18）（本小题满分14分）已知函数131)(23+-=ax x x f . （Ⅰ）若函数)(x f 的图象关于点(0,1)对称，直接写出a 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间；（Ⅲ）若()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立，求a 的最大值.DCBA已知数列{}n a 满足22a =，n S 为其前n 项和，且(1)(1,2,3,)2n n a n S n +==. （Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）求证：1(2)1n n na a n n -=≥-； （Ⅲ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.已知函数()y f x =，x D ∈，设曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为y kx m =+. 如果对任意的x D ∈，均有： ①当0x x <时，()f x kx m <+； ②当0x x =时，()f x kx m =+； ③当0x x >时，()f x kx m >+， 则称0x 为函数()y f x =的一个“ʃ -点”. （Ⅰ）判断0是否是下列函数的“ʃ -点”：①3()f x x =； ②()sin f x x =.（只需写出结论）（Ⅱ）设函数2()ln f x ax x =+. （ⅰ） 若12a =，证明：1是函数()y f x =的一个“ʃ -点”；（ⅱ） 若函数()y f x =存在“ʃ -点”，直接写出a 的取值范围.海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）B （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10）1 （11）2 （12）12；12（13）2 （14）23{,}a a 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）4π4π4ππ()sin sin()03333f =-+=. ……………… 3分 （Ⅱ）π()sin sin()3f x x x =-+ππsin (sin cos cos sin )33x x x =-+ ……………… 5分11πsin (sin )sin sin()223x x x x x x =-=-=-. ……………… 9分 函数sin y x =的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z ， 由πππ2π2π()232k x k k --+∈Z ≤≤， ……………… 11分 得π5π2π2π()66k x k k -+∈Z ≤≤. 所以 ()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]()66k k k -+∈Z . ……………… 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知：2131,2a a d a a d =+=+. ……………… 2分 因为 123,1,1a a a --成等比数列，所以 2213(1)(1)a a a -=-. ………………4分因为 11a =，所以 22d d =.若0d =，则210a -=，与123,1,1a a a --成等比数列矛盾. 所以 0d ≠.所以 2d =. ……………… 7分 所以 1(1)21n a a n d n =+-=-. ………………9分 （Ⅱ）因为221112b a b a -==，111b a ==， ……………… 11分 所以 等比数列{}n b 的首项为1，公比为2.所以 1(12)2112n n n T ⨯-==--. ……………… 13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）因为 2D B ∠=∠，cos B =， 所以 21cos cos 22cos 13D B B ==-=-. ……………… 3分 因为 (0,π)D ∠∈，所以sin D == ……………… 5分 因为 1,3AD CD ==，所以 △ACD的面积11sin 1322S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯=……………… 7分 （Ⅱ）在△ACD 中，2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=.所以AC = ……………… 9分 因为BC =sin sin AC ABB ACB=∠， ……………… 11分 所以sin(π2)sin 22sin cos AB AB AB B B B B ====-所以 4AB =. ……………… 13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）a 的值是0. ……………… 2分 （Ⅱ）2()2f x x ax '=-. ……………… 4分 当0a =时，()0f x '≥，)(x f 在(,)-∞+∞内单调递增； 当0a >时，由()0f x '<得：02x a <<；当0a <时，由()0f x '<得：20a x <<. ……………… 7分 综上所述，当0a =时，无递减区间；当0a >时，)(x f 的单调递减区间是(0,2)a ； 当0a <时，)(x f 的单调递减区间是(2,0)a . （Ⅲ）因为 ()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立，即32103x ax -≥在区间),3[+∞上恒成立. 所以 13a x ≤在区间),3[+∞上恒成立. ………………10分 因为 3x ≥， 所以113x ≥. ……………… 11分 所以 1a ≤. ……………… 13分 所以 若()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立，a 的最大值为1. ……………… 14分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由题意知：2232a S =，即21232aa a +=. 所以 212a a =. ……………… 2分 因为 22a =，所以 11a =. ……………… 3分 （Ⅱ）证明： 因为 (1)(1,2,3,)2n n a n S n +==，所以 11(11)2n n a n S ---+=（2n ≥）. ……………… 4分因为 1n n n a S S -=-， ……………… 6分 所以 1(1)2n n n n a na a -+-=，即1(1)n n n a na --=.因为 2n ≥， 所以 11n n na a n -=-. ……………… 8分 （Ⅲ）数列{}n a 是等差数列.理由如下： ………………9分 由（Ⅱ）得： 1(2,3,4,)1n n a a n n n -==-. 所以11(2)na a n n==≥，即(2)n a n n =≥. ……………… 11分 由（Ⅰ）知：11a =，所以 (1)n a n n =≥.所以 数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. ……………… 13分（20）（共14分）解：（Ⅰ） ①0是3()f x x =的“ʃ -点”；②0不是()sin f x x =的“ʃ -点”. (2)分 （Ⅱ）当12a =时，21()ln 2f x x x =+.其定义域为(0,)+∞，1'()f x x x=+（0x >）. （ⅰ）因为 '(1)2f =，1(1)2f =.所以 ()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)2y x -=-，即 322y x =-. ……………… 4分令 2313()()(2)ln 2222g x f x x x x x =--=+-+. 则 21(1)'()2x g x x x x-=+-=. ……………… 5分因为 0x >，所以 2(1)'()x g x x-=≥0.第 11 页 共 11 页 所以 函数()g x 是(0,)+∞上的增函数. ……………… 7分所以 当01x <<时，()(1)0g x g <=，即3()22f x x <-；当1x =时，()(1)0g x g ==，即3()22f x x =-；当1x >时，()(1)0g x g >=，即3()22f x x >-. 所以 1是函数()y f x =的 “ʃ -点”. ……………… 10分（ⅱ）若函数()y f x =存在“ʃ -点”，则a 的取值范围是0a >.……………… 14分。