第二章 2.2 2.2.2 等差数列的性质
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质
∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1.
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8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
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解：设这四个数依次为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题设知
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
解析：经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2
＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝
39－6＝33.
答案：D
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[例 2]
b＋c a＋c a＋b 1 1 1 已知a，b，c成等差数列，求证： a ， b ， c
也成等差数列． [思路点拨] 欲证三个数成等差数列，只需证中间一项是另
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[一点通]
a＋c 三数 a， c 成等差数列的条件是 b＝ 2 b，
(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中 项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
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4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，(a＋1)2，a＋3，则
该数列的通项公式是
am－an (2)等差数列{an}中，公差 d＝ (m，n∈N*)． m－n
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(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成 的数列仍成等差数列． (5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的
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[例3]
(12分)四个数成递增等差数列，中间两数的
和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] 四个数成等差数列，且中间两数的和
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
等差数列的性质(52张PPT)课件
第二章 2.2 第2课时
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[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应 注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练 1 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
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第二章 2.2 第2课时
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课堂 互 动 探 究
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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第二章 2.2 第2课时
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典例导悟
类型一 等差数列的性质及应用 [例 1] 已知等差数列{an}， (1)若 a2＋a3＋a25＋a26＝48，求 a14； (2)若 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差 d.
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第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
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第二章 2.2 第2课时
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解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
数列知识点总结及例题讲解
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
2019-2020学年高中数学第二章数列2.2等差数列第二课时等差数列的性质及简单应用
解:设某单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元 时,售价依台数成等差数列{an},则an=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式an≥440,800-20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于18时,每台售价为(800-20n)元, 在台数大于或等于18时,每台售价440元. 到乙商场购买,每台售价为800×75%=600(元). 又(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以,当n<10时,600n<(80020n)n; 当n=10时,600n=(800-20n)n;当10<n<18时,(800-20n)n<600n; 当n≥18时,440n<600n. 所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时, 到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.
an=
1 6
(n+1)(n+2).…………………12
分
方法技巧 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不 等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决.
即时训练2-1:已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式;
方法技巧
(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进 而解决问题,是处理等差数列问题的最基本方法. (2)巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程. (3)通项公式的变形形式an=am+(n-m)d(m,n∈N*),它又可变形为d= am an ,应注意把握,并学会应用.
初中数学知识归纳等差数列的性质与计算
初中数学知识归纳等差数列的性质与计算等差数列是初中数学中的基本概念之一，本文将对等差数列的性质与计算进行归纳总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项为an=a+(n-1)d。
2. 等差数列的性质2.1 公差公差是等差数列中相邻两项之间的差值。
对于等差数列an=a+(n-1)d，d即为公差。
公差可以为正、负、零，正表示数列递增，负表示数列递减，零表示数列的所有项相等。
2.2 通项公式等差数列的通项公式是指可以通过首项和公差计算出数列的任意一项的公式。
设首项为a，公差为d，第n项为an，则通项公式为an=a+(n-1)d。
2.3 前n项和公式等差数列的前n项和公式指的是可以通过首项、公差和项数计算出数列前n项和的公式。
设首项为a，公差为d，项数为n，前n项和为Sn，则前n项和公式为Sn=(2a+(n-1)d)n/2。
2.4 数列长度等差数列的长度指的是数列中的项数。
设首项为a，公差为d，项数为n，则数列的长度即为n。
3. 等差数列的计算3.1 求任意一项已知等差数列的首项a和公差d，要求第n项an，可以使用通项公式an=a+(n-1)d进行计算。
3.2 求前n项和已知等差数列的首项a、公差d和项数n，要求前n项和Sn，可以使用前n项和公式Sn=(2a+(n-1)d)n/2进行计算。
3.3 求项数已知等差数列的首项a、公差d和前n项和Sn，要求项数n，可以通过前n项和公式Sn=(2a+(n-1)d)n/2求解方程，解得项数n。
4. 等差数列的应用4.1 连续整数连续整数是一种特殊的等差数列，其中的公差为1。
例如，1，2，3，4，5就是一个连续整数的等差数列。
4.2 等差中项等差中项是指等差数列中位于首项和末项之间的数。
设首项为a，末项为l，中项为m，则m=(a+l)/2。
4.3 等差数列的性质应用等差数列的性质可以应用于解决一些实际问题，例如物理、经济等领域的变化规律。
等差数列的推理与证明
等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。
二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。
3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。
四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。
4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。
五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。
总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。
在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。
习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。
本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。
1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。
二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。
2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。
2.2.2-等差数列的性质ppt课件
故数列的通项公式为an＝21－2n.
解法二：a8－a5＝5－11＝3d⇒d＝－2，
a5＝a1＋4d⇒a1＝19，
故an＝21－2n.
栏
点评：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d
目 链
中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中 接
任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求
接
(2)已知数列{an}为等差数列，且an＝3n＋2，则数列{3an}的第n 项为：_____9_n_＋__6_____.
基础
梳理 5．(1)等差数列{an}的等间隔项组成的数列为__等__差__数__列____．
(2)已知{an}为等差数列，且其公差为d，则{a2n－1}是 ___等__差__数__列_，其公差为：__2_d___.
栏
6．(1)若{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且cn＝an＋bn，dn
目 链
＝an－bn，则___{c_n_}_与__{d_n_}_也__为__等_差__数__列______．
接
(2)已知数列{an}与{bn}为等差数列，an＝2n－1，bn＝3n＋2， 则an＋bn＝__5_n_＋__1__，为__等__差_数__列____，an－bn＝_－__n_－__3__，为等差 数列．
(2)在等差数列{an}中，an＝2n－1，则a3＋a5＝ __1_4___，a2＋a6＝___1_4__，可知a3＋a5___＝___a2＋a6.
基础
梳理
3．(1)设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则 _______________a_m_＋_a_n_＝__a_p_＋__a_q ____________________________．
高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案
等差数列第一课时 等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一 定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二 等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一 学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2， 所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6， 令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由． 解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时 等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列， 则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元， 则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ， 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置． 解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列， 公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)； 第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。
同步讲义必修五等差数列的性质题型总结
§2.2.2 等差数列的性质学习目标1. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2. 能运用等差数列的性质解决有关问题.知识点一等差数列的性质梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n ＝2p，则a n＋a m＝2a p.知识点二由等差数列衍生的新数列梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)题型分析类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.跟踪训练1数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A.0B.3C.8D.11类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？跟踪训练2若数列{a n}满足a1＝15,3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.类型三 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式.引申探究1.在例3中，不难验证a 1＋a 4＋a 7＝a 2＋a 4＋a 6，那么，在等差数列{a n }中，若m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，m ，n ，p ，q ，r ，s ∈N *，是否有a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s ？2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值.1. 在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A.3B.－6C.4D.－32. 在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A.32B.－32C.35D.－353. 等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A.3B.－3C.32D.－324. 下列说法中正确的是( )A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ,2b ,2c 成等差数列5. 在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )A.a n ＝34n －234B.a n ＝－5－32(n －1)C.a n ＝－5－34(n －1)D.a n ＝54n 2－3n一、选择题1. 已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A.12B.8C.6D.42. 设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A.－182B.－78C.－148D.－823. 下面是关于公差是d (d ＞0)的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3 D.p 1，p 44. 在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.105. 若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( )A.0B.1C.2D.1或26. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( )A.45B.75C.180D.3007. 已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B.±3 C.－33D.－ 3 8. 若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于( ) A.1 B.34 C.12 D.38二、填空题9. 设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.10. 若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.11. 在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为________.三、解答题12. 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0.13. 看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一. 请用所学数学知识对此给出简要的说明.四、探究与拓展14. 若等差数列{a n}满足a n＋1＋a n＝4n－3，则{a n}的通项公式为__________________.15. 正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＋1＝a n＋a n.(1)数列{a n}是否为等差数列？说明理由；(2)求a n.。
等差数列的应用
等差数列的应用等差数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
用数学符号表示，如果一个数列满足an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，则这个数列就是等差数列。
等差数列具有以下几个性质：(1) 首项和末项的和等于中间任意两项的和；(2) 等差数列的前n项和可以表示为Sn=n(a1+an)/2；(3) 当等差数列的公差为正数时，数列是递增的；当公差为负数时，数列是递减的。
2. 2.1. 数学中的等差数列应用等差数列在数学中有广泛的应用。
例如，在代数学中，等差数列可以用于解决一元二次方程的相关问题。
在数列求和的问题中，等差数列的性质可以帮助我们简化求和的过程，得到更加简洁的表达式。
2.2. 物理中的等差数列应用在物理学中，等差数列也有重要的应用。
例如，当我们研究物体的运动时，等差数列可以帮助我们描述物体在每个时间段内的位移变化情况。
在力学中，等差数列可以用于解决加速度等问题，帮助我们更好地理解物体在运动中的行为。
2.3. 经济学中的等差数列应用等差数列在经济学中也有一定的应用。
例如，当我们分析一项投资项目的收益时，可以使用等差数列来表示每个时间段内的收益情况。
在经济增长的研究中，等差数列可以帮助我们定量地描述经济的发展变化。
2.4. 应用数学中的等差数列应用等差数列在应用数学中也扮演着重要的角色。
例如，在概率论和统计学中，等差数列可以用于解决一些离散事件的计数问题。
在数据分析中，等差数列可以帮助我们更好地理解和描述数据的变化趋势。
总结：等差数列作为一种常见的数学概念，具有许多重要的应用。
它在数学、物理、经济学以及应用数学等领域都有广泛的应用。
通过学习等差数列的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它，解决实际问题。
因此，了解等差数列的应用是数学学习中的重要一环。
1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
双 基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合 作 探 究 • 攻 重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序 号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合 作 探 究 • 攻 重
可知aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时 分
层
作
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新 知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合 作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预 习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝ ，18，
达 标 • 固
新
双
知 合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，
高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5
a1n为等差数列
由等差数列 通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， 4分
∴an1＋1－a1n＝12，
6分
即a1n是首项为a11＝12，公差为d＝12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： • ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列； • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列； • ③ 列{．an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数 的2)列等若差{{paa数nn}＋，列q{．bbnn}}(分p，别q是是公常差数为)是pdd11公＋，差qdd22为的_等__差__数__列__，__则_
• 【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得 它们的通项公式分别为：
• an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， • 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. • 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
• 【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的 项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个 数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几 项．
•
利用等差数列的定义巧设未知量，可
以 的简项化数计n为算奇．数一时般，地可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋
2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，
a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a
人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》(第2课时)教案
2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。
设计流程如下:
四、教学过程：。
2.2《等差数列(2)》
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又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC， cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC， ∴sinAsinC＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]． ∴－12[cos23π－cos(A－C)]＝34. ∴14＋12cos(A－C)＝34.
第二章 2.2 第2课时
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(1)等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则 a10＝________； (2)已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则 a8 的值是 ________． [答案] (1)7 (2)22 [解析] (1)设公差为 d，∴a8－a2＝6d＝3， ∴d＝12.∴a10＝a8＋2d＝6＋1＝7， (2)∵a2＋a8＝a4＋a6＝26， ∴a8＝26－a2＝26－4＝22.
第二章 2.2 第2课时
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等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝
187，求 a1 和 d．
[分析] 由等差数列的性质及 4＋7＝5＋6 可将条件式 a4 ＋a5＋a6＋a7＝56 化为 a4 与 a7 的关系式．
第二章 2.2 第2课时
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[解析] 设四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则：aa－ －3dda＋＋ad－ ＝d4＋ 0 a＋d＋a＋3d＝26
① ②
由①，得 a＝123.代入②，得 d＝±32.
若关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 和 x2－x＋b＝0(a≠b)的 4 个
数学试讲教案《等差数列》
数学试讲教案《等差数列》第一章：等差数列的概念1.1 引入等差数列通过现实生活中的例子，如购物找零、运动员百米赛跑等，引导学生思考数列的概念。
引导学生发现这些例子中的数列都具有一个共同的特征，即每一项与前一项的差是一个常数。
1.2 等差数列的定义给出等差数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都是一个常数，这个常数称为公差，数列中的每一项称为等差数。
强调等差数列的重要特征：公差的恒定性。
1.3 等差数列的表示方法引导学生使用通项公式和前n项和公式来表示等差数列。
解释通项公式中的首项、公差、项数等概念。
第二章：等差数列的性质2.1 等差数列的项数与项的关系引导学生发现等差数列的项数与项之间存在一定的关系。
证明等差数列的项数n与首项a1、公差d、第n项an之间的关系。
2.2 等差数列的求和公式引导学生推导等差数列的前n项和公式。
解释前n项和公式中的首项、公差、项数等概念。
2.3 等差数列的通项公式引导学生推导等差数列的通项公式。
解释通项公式中的首项、公差、项数等概念。
第三章：等差数列的应用3.1 等差数列的求和问题通过实际问题，引导学生运用等差数列的求和公式解决问题。
强调求和公式的应用条件和注意事项。
3.2 等差数列的通项问题通过实际问题，引导学生运用等差数列的通项公式解决问题。
强调通项公式的应用条件和注意事项。
3.3 等差数列的实际应用通过现实生活中的例子，如人口增长、利息计算等，引导学生运用等差数列解决实际问题。
强调等差数列在实际应用中的重要性和广泛性。
第四章：等差数列的性质与判定4.1 等差数列的性质引导学生发现等差数列的性质，如对称性、单调性等。
证明等差数列的性质并解释其含义。
4.2 等差数列的判定给出等差数列的判定条件。
引导学生运用判定条件判断一个数列是否为等差数列。
第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列与函数的关系引导学生探究等差数列与函数之间的关系。
解释等差数列的通项公式与函数的关系。
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2－1.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 21，前 三项之积为 231，求数列{an}的通项公式． 解：∵a1＋a2＋a3＝21， ∴3a2＝21，∴a2＝7. 又∵a1a2a3＝231， ∴a1a3＝33.
a1＋a3＝14 ∴ a1a3＝33 a1＝3 ，解得 a3＝11 a1＝11 或 a3＝3
4－1.已知数列{an}中 列，则 a11 等于( B )
A．0 7 C．3
1 为等差数 a3＝2，a7＝1，又数列 an＋1
1
1 10 1．在等差数列{an}中，已知 d＝－3，a7＝8，则 a1＝____.
2．在－1,7 之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则 1,3,5 这三个数分别是______. 10 3．在等差数列{an}中，若 a3＝50，a5＝30，则 a7＝____.
4．如果数列{an}是等差数列，则( B ) A．a1＋a8<a4＋a5 C．a1＋a8>a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
1－1.已知数列{an}是等差数列，若 a1－a5＋a9－a13＋a17＝ 117，求 a3＋a15 的值． 解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234. 等差数列性质的基本应用 例2：已知等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝45， 求数列{an}的通项公式．
5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12 的值 是( A ) A．15 C．31 B．30 D．64
难点
等差数列的性质
(1)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (2)若{an}是等差数列，且 m＋n＝2k(k、m、n∈N*)，则 am ＋an＝2ak. a 2a (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公 差为 2d. (4)若{an}是等差数列且公差为 d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数 列，公差为 4d. (5)若{an}、{bn}都是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
a1＝19 ，∴ d＝－2
，
∴a3＋a6＋a9＝3a1＋15d＝27.
a1＋a4＋a7＝39 解法二： a2＋a5＋a8＝33
① ， ②
②－①，得 3d＝－6， ∴a3＋a6＋a9＝a2＋a5＋a8＋3d＝33－6＝27. 等差数列的运算常用两条思路：①根据已 知条件，寻找、列出两个方程，确定a1、d，然后求其他；②利 用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am＋ an＝ak＋al＝2as.
思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解 方程组． 解：∵a5＋a6＋a7＝15， ∴3a6＝15，a6＝5.
a5＋a7＝10 ∴ a5a7＝9 a5＝1 ，解得 a7＝9 a5＝9 或 a7＝1
.
当 a5＝1，a7＝9 时，d＝4， 通项公式 an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19； 当 a5＝9，a7＝1 时，d＝－4， 通项公式 an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29.
.
a1＝3 又∵该数列单调递增，∴ a3＝11
.
∴d＝a2－a1＝4. ∴an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.
等差数列性质的综合应用 例 3：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求 a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17，
等差数列的运算 例 1：等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33， 求 a3＋a6＋a9 的值． 思维突破：可利用已知条件求出a 和d，也可利用等差数列 性质整体代换．
a1＋a4＋a7＝39 解法一：∵ a2＋a5＋a8＝33
，
3a1＋9d＝39 ∴ 3a1＋12d＝33
例 4：一梯子上窄下宽，最高一级宽 40 cm，最低一级宽 80 cm，中间还有 9 级，各极的宽度构成等差数列，求中间各级的 宽度． 错因剖析：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有 11 级， 40 cm 是第 1 级，80 cm 的是第 11 级的宽度． 正解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知得a1＝40，a11＝80，n＝11，由通项公式得a11＝a1＋10d， 即80＝40＋10d，解得d＝4. 因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64， a8＝68，a9＝72，a10＝76.
a2·a5＝52 解 a2＋a5＝17
a2＝4 ，得 a5＝13
a2＝13 或 a5＝4
，
a5－a2 4－13 a5－a2 13－4 ＝ 3 ＝3 或 d＝ ＝ 3 ＝－3. ∴d＝ 5－2 5－2
3－1.(1)(2010 3 1.(1)(2010 年重庆)在等差数列{an} ) {a }中，a1＋a9＝10，则 a a 10 a5 的值为( A ) A．5 B．6 C．8 D．10 (2)(2010 年全国)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那 么 a1＋a2＋…＋a7＝( C ) A．14 B．21 C．28 D．35