高三数学一轮复习知识点归纳与总结：定积分与微积分的基本定理

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【高三理数一轮】2.12 定积分与微积分基本定理

旗开得胜
2．12 定积分与微积分基本定理
[知识梳理]
1．定积分的概念
旗开得胜2．定积分的几何意义
3．定积分的性质
4．微积分基本定理
5．定积分的应用
(1)定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为S.
6．定积分应用的两条常用结论
(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成
的曲边梯形的面积S ＝⎠⎜
⎛a
b
|f (x )|d x .( ) (2)若⎠⎜
⎛a
b
f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．教材衍化
答案
D。

高考数学复习：定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用

的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个

高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理

a
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同．当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a

c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.

第019讲总复习：定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。

【知识络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数），（2）[]1212()()()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，（3）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0bb f x dx -=⎰；若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用要点三、微积分基本定理如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()baF x .因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正，在x 轴下方的面积积分时，取负.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰；2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰；3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π)cos (sin dx x x ；（2）dx xx x ⎰+-212)1(；（3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x， ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+xxx e x e ，∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰；【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。

定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解

定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。

高三一轮第三章3.3 定积分与微积分基本定理

思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.
多维探究
题型二定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1－x|dx；
解 ʃ 20|1－x|dx＝ʃ 10(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx ＝x－12x210＋12x2－x21 ＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1. (4)ʃ 21e2x＋1xdx；解 ʃ 21e2x＋1xdx＝ʃ 12e2xdx＋ʃ 121xdx ＝ 12e2x21＋ln x21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2－x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2＋1x－1 1dx＝__1__. 解析 ʃ e2＋1x－1 1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝ln e－ln 1＝1.
为__2__3_－__2_3π__.
解析令 2sin x＝1，得 sin x＝12，
当 x∈[0，π]时，得 x＝6π或 x＝56π，
5π
所以所求面积S＝
6 π
(2sin x－1)dx
6
5π
＝(－2cos x－x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) ＝7－3t＋ 25 (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续

高考数学一轮总复习 2.13定积分与微积分基本定理

而
－x2－2x
dx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图象应为
1 4
个
圆，于是得m＝－1，故选A.
A．S＝1(x2－x)dx 0
B．S＝1(x－x2)dx 0
C．S＝1(y2－y)dy 0
D．S＝1(y－ y)dy 0
答案 B
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3.1 －x2＋2xdx＝________. 0 ppt课件
解析 1 －x2＋2x dx表示y＝－x2＋2x 与x＝0，x＝1及y＝0所围 0
成的图形的面积．
0
0
1
解析 ∵2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx，
0
0
1
∴2f(x)dx＝2f(x)dx－1f(x)dx＝－1－1＝－2.
1
0
0
答案－2
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5．由直线x＝－
π 3
，x＝
π 3
，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭
图形的面积为( )
1 A.2
B．1
3 C. 2
D. 3
解析
S＝－π3 π3cosxdx＝20π3cosxdx＝2sinx
第二章函数、导数及其应用
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第十三节定积分与微积分基本定理(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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高考明方向 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义.
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备考知考情从近几年的高考试题来看，对本节内容要求较低，定积分的简单计算与应用是高考的热点，题型均为小题，难度中低档，主要考查微积分基本定理进行定积分的计算，利用定积分的几何意义求平面图形的面积.

定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结

定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121ii ax x x x x n x b 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1()n n i i S f x ξ==∆=∑ 1()ni i b af n ξ=-∑，当x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限．需要注意以下几点：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()b af x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()b af x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质性质1 1ba dxb a =-⎰.性质2 ()()(0)b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）.性质3 1212[()()]()()b b ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰推广2 121()()()()kb c c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰，或记为()()ba bf x dx F x a==⎰ ()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型1 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．例计算()12-1sin x x dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1 ()421dx x=⎰ A.-2ln 2 B. 2ln 2 C.-ln2 D. ln 2变式2 ()1(2)x e x dx +=⎰B 1e -. C.e D. +1e变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()100001f x dx f x x =≤≤⎰，则0x 的值为．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（）A.2ln 22+B. 2ln 21-C.2ln2D. 2ln 21+ 例根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）()402x dx -⎰；（2）1-⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()4020x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．（1）()402x dx +⎰；（2）024x dx --⎰；（3）100sin xdx π⎰；（4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．例由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（） A.112 B.14 C.13 D.712解析由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ．变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（） A.23 B.13 C.12 D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题 1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（）A. -2B.163- D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π-3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（）A.34B.45C.56D.不存在 4.222,,sin xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b <<5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（）A,１ B. ２ C.21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（）A,12 B.１ C.33 7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为．8.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()22|1x |dx --=⎰ ．1-y xO图3-161110.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰；（２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；（３）11dx ⎰；（４）20cos 2x dx π⎰；（５）20cos 2cos sin x dx x xπ-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。

(山东专用)高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理(含解析)

（山东专用）高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理（含解析）一、【知识精讲】1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba)＝F (b )－F (a ). [微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、【典例精练】考点一定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2) （2012【答案】 (1)π 【解析】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2) 【解法小结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 考点二定积分的几何意义角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2) （2013请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：．【答案】 (1)π4＋1 【解析】 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛11－x 2d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)从而得到如下等式：答案角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】（2014 ）A ．2 D ．4 【答案】D【解法小结】 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系). 考点三定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).【答案】 (1)C (2)342【解析】(1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).【解法小结】定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【思维升华】1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛ab f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛a b |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛ab f (x )d x的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. 【易错注意点】1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负. 三、【名校新题】1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1【答案】C【解析】 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.2.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m【答案】A【解析】 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m). 3.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y【答案】A【解析】两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝⎛⎭⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .4.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【解析】由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .5.(2019届江西九江高三第一次十校联考)M=dx,T=sin 2xdx,则T 的值为( )A. B.- C.-1 D.1【答案】 A【解析】先求出M=6.(2019届山东日照一中第二次质量达标检测)在函数y=cos x,x∈的图象上有一点P(t,cos t),若该函数的图象与x轴、直线x=t,围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图象大致是( )【答案】 B【解析】因为g（t）==，所以图像是B.7.(2019届吉林长春实验中学上学期期中,6)设f(x)=则f(x)dx等于( )A. B. C. D.0【答案】 A【解析】原式=8.(2018山东菏泽第一次模拟)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则dx=( )A.36πB.C.D.25π【答案】 C【解析】可求出a=5,由定积分的几何意义知：所求定积分为半径为5的半圆的面积，为.9.（荆州市2019届高三联考）已知函数234567()1234567x x x x x xf x x=+-+-+-+，若函数()(3)h x f x=-的零点都在区间(,)(,,)a b a b a b Z <∈内，当b a -取最小值时，(21)bax dx -⎰等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】：B 【解析】234562326326()1(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=-+--++=--++，可知当1x ≤时，()0f x '>成立，又2345624232()11(1)(1)1(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=--++-+=+--+，可知当1x >时，()0f x '>成立，所以对任意R x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 只有一个零点，(0)10f =>，111111(1)0234567f -=------<，所以()f x 的零点位于区间(1,0)-，所以函数 ()(3)h x f x =-的零点位于区间(2,3)，即2,3a b ==，所以32(21)(21)bax dx x dx -=-⎰⎰322()624x x =-=-=10.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________.【答案】-3【解析】 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.11.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 【答案】49【解析】封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.12.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.【答案】π2＋43【解析】 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 13.(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.【答案】π(e－1)【解析】类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe yd y＝πe y ⎪⎪⎪1＝π(e－1).14.(2019届安徽皖南八校第一次联考)用min{a,b}表示a,b 两个数中的最小数,设f(x)=min ,则由函数f(x)的图象,x 轴,直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】+ln 2【解析】S=.15.(2019届江西新余第四中学月考)由x=-,x=,y=0,y=cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】【解析】因为函数y=在上为偶函数，所以所求面积S=216.（黄山市普通高中2019届高三“八校联考”）二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则0axdx =⎰________．【答案】【解析】由题意可求出a=0axdx =⎰=。

高考数学一轮复习专题：定积分的概念与微积分基本定理

1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)微积分基本定理中的F (x )是唯一的．( × )(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( ) A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21 ＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1(2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.(2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D.3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.命题点2 求平面图形的面积例3 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．答案 4－ln 3解析由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.题型三定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433， ∴F (x )做的功为43 3 J.4．利用定积分求面积典例由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．错解展示解析所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23.答案 23现场纠错解析如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2 d x 的值为( )A.14B.π4C.12D.π2 答案 B解析 ʃ101－x 2 d x 的几何意义为以(0,0)为圆心，以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π，所以ʃ101－x 2d x ＝π4. 3．(2016·南昌模拟)若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析由题意知ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2. 4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m m S m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案－4解析因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4. 10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.*13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解由题意，F (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x≤1，则xF (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)．答案 A2．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛2－1f (x )d x 等于( )．A ．3B ．4C.72D.92解析 f (x )＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴⎠⎛2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )． A.13B.43 C ．2D.83解析由导函数f ′(x )的图象可知函数f (x )为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，由f (0)＝0，得c ＝0.f ′(x )＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有⎩⎨⎧ 2a ×(－1)＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛0－2(－x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43. 答案 B4．已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )．A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A 5．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ；④∫π20cos 2x2cos x －sin xd x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e1x d x ＝ln x e 1＝1， ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0， ③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1， ④∫π20cos 2x2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12B.16C.14D.13解析依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.答案 D 二、填空题7．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )．答案 0.18 J8．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案 32－ln 29．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若⎠⎛k 3f (x )d x ＝403(k <2)．则k ＝________. 解析 ⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1.答案 0或－110．设f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且⎠⎛12f (－x )d x ＝m ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析因为f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪13x 3－⎭⎪⎫12x 221＝56＝m 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1.答案 1三、解答题11．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx ⎪⎪⎪10＝12a ＋b . ∴12a ＋b ＝5.①又⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2⎪⎪⎪1＝13a ＋12b . ∴13a ＋12b ＝176.②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， ∴⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x d x＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21＝4＋3ln 2.12．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为 x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.13．在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.14. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)． (1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝3x 2－3x ，y ＝3tx得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x 1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫t ＋1[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋⎠⎛2t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t ＋12x 2－x 3t ＋1＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3－3t ＋12x 22t ＋1 ＝(t ＋1)3－6t ＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x ＋1)3－6x ＋2，x ∈R ，则h ′(x )＝3(x ＋1)2－6.因为m ≠4，则点A (1，m )不在曲线y ＝h (x )上．过点A 作曲线y ＝h (x )的切线，设切点为M (x 0，y 0)，则3(x 0＋1)2－6＝x 0＋13－6x 0＋2－mx 0－1，化简整理得2x 30－6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根．设g (x 0)＝2x 30－6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x 20－6.由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1；由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值；当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值．因此，关于x 0的方程2x 30－6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是⎩⎨⎧g －1>0，g1<0，即⎩⎨⎧m ＋4>0，m －4<0，即－4<m <4.故实数m 的取值范围是(－4,4)．。

统考版2022届高考数学一轮复习第三章3.3定积分与微积分基本定理学案理含解析

第三节定积分与微积分基本定理【知识重温】一、必记6个知识点 1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎜⎛ab f(x)d x.在⎠⎜⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做②________，③________叫做被积式．2．定积分的几何意义3.定积分的性质(1)⎠⎜⎛a b kf(x)d x ＝⑧________(k 为常数)．(2)⎠⎜⎛ab [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⑨________.(3)○10________＝⎠⎜⎛a c f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛ab f(x)d x ＝⑪________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．5．定积分与曲线梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎜⎛ab f(x)d x.(2)S ＝⑫________. (3)S ＝⑬________.(4)S ＝⎠⎜⎛a b f(x)d x －⎠⎜⎛a b g(x)d x ＝⎠⎜⎛ab [f(x)－g(x)]d x.6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s ＝⑭________；(2)W ＝⑮________. 二、必明4个易误点1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上连续，则⎠⎜⎛a b f(x)d x ＝⎠⎜⎛ab f(t)d t.( )(2)若⎠⎜⎛ab f(x)d x<0，则由y ＝f(x)，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(3)若f(x)是偶函数，则⎠⎜⎛-a a f(x)d x ＝2⎠⎜⎛0a f(x)d x.( )(4)若f(x)是奇函数，则⎠⎜⎛-aa f(x)d x ＝0.( )二、教材改编2.⎠⎜⎛01(e x ＋3x 2)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋13．22ππ-⎰(1＋cos x)d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2三、易错易混4．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 35.⎠⎜⎛-11 e |x|d x 的值为________．考点一定积分的计算[自主练透型] 1．计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛122x d x ；(2)⎠⎜⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x.2．利用定积分的几何意义计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛011－(x －1)2d x ；(2)⎠⎜⎛-55 (3x 3＋4sin x)d x.悟·技法求定积分的4大常用方法考点二定积分的几何意义[互动讲练型][例1] [2021·某某某某中学第二次调研]如图，阴影部分是由曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3及x轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为________．悟·技法利用定积分求平面图形面积的4步骤 (1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·某某统考]过点(－1,0)的直线l 与曲线y ＝x 相切，则曲线y ＝x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．考点三定积分在物理中的应用[互动讲练型][例2] [2021·某某瓦房店四校联考]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m /s )，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m )是( )A ．(1＋25ln 5)mB .⎝⎛⎭⎪⎫8＋25ln 113mC ．(4＋25ln 5)mD ．(4＋50ln 2)m悟·技法定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v(t)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎜⎛ab v(t)d t.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F(x)所做的功是W ＝⎠⎜⎛ab F(x)d x.[变式练]——(着眼于举一反三)2．以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A .1603mB .803mC .403mD .203m第三节定积分与微积分基本定理【知识重温】①[a ，b ] ②积分变量 ③f (x )d x ④x ＝a⑤x ＝b ⑥x ＝a ⑦x ＝b ⑧k ⎠⎜⎛a b f(x)d x ⑨⎠⎜⎛a b f 1(x)d x ±⎠⎜⎛a b f 2(x)d x ⑩⎠⎜⎛ab f(x)d x ⑪F(b)－F(a)⑫－⎠⎜⎛ab f(x)d x⑬⎠⎜⎛ac f(x)d x －⎠⎜⎛cb f(x)d x ⑭⎠⎜⎛ab v(t)d t ⑮⎠⎜⎛ab F(x)d x 【小题热身】1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．解析：⎠⎜⎛01(e x ＋3x 2)d x ＝(e x ＋x 3)⎪⎪⎪⎪10＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C .答案：C3．解析：因为(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，所以22ππ-⎰(1＋cos x)d x ＝(x ＋sin x)⎪⎪⎪⎪π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2.答案：D4．解析：由题意知S ＝33ππ-⎰cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＝ 3.答案：D5．解析：11-⎰e |x|d x ＝01-⎰e －x d x ＋1⎰e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪⎪ 0－1＋e x ⎪⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e )]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.答案：2e －2 课堂考点突破考点一1．解析：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎜⎛122x d x ＝2⎠⎜⎛121x d x ＝2ln x ⎪⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x)′＝cos x ，所以⎠⎜⎛0πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎜⎛132x d x ＋⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪31＋1x⎪⎪⎪⎪31＝223. 2.解析：(1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎜⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14.故⎠⎜⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2)设y ＝f(x)＝3x 3＋4sin x ，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin (－x)＝－(3x 3＋4sin x)＝－f(x)，所以f(x)＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数．所以05-⎰(3x 3＋4sin x)d x ＝－⎠⎜⎛05(3x 3＋4sin x)d x. 所以55-⎰(3x 3＋4sin x)d x ＝05-⎰3x 3＋4sin x)d x ＋⎠⎜⎛05(3x 3＋4sin x)d x ＝0. 考点二例1 解析：易求得曲线y ＝2x 2和圆x 2＋y 2＝3在第一象限的交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32，作直线OA ，则直线OA 的方程为y ＝3x ，如图．则直线OA 与抛物线y ＝2x 2所围成的图形的面积S 1＝0(3x －2x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x 2－23x 3⎪⎪⎪⎪ 320＝32×34－23×338＝38，易知扇形AOB 的圆心角为π3，则扇形AOB 的面积S 2＝12×π3×3＝π2，所以阴影部分的面积S ＝S 2－S1＝π2－38.答案：π2－38变式练1．解析：因为y ＝x 的导数为y ′＝12x ，设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，即切线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为⎠⎜⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋1)－x d x ＋12×1×12＝(14x 2＋12x －23x 32)⎪⎪⎪10＋14＝13. 答案：13考点三例2 解析：由7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4或t ＝－83(不合题意，舍去)，故汽车经过4 s 后停止，在此期间汽车行驶的路程为⎠⎜⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪⎪ 40＝4＋25ln 5(m )．答案：C变式练2．解析：由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎜⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪⎪20 ＝80－803＝1603(m )．答案：A。

一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件

0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx

专题定积分与微积分基本定理知识点

考点 1 3 定积分与微积分基本定理一、定积分1.曲边梯形的面积(1) 曲边梯形：由直线x=a 、x=b(a 和)、y=0和曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①).(2) 求曲边梯形面积的方法与步骤：① 分割：把区间［a , b ］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②);② 近似代替：对每个小曲边梯形以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②);③ 求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④ 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积.2 .求变速直线运动的路程3 .定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续，用分点 a=X o vx i v ・・y x i?i <X i V-y x n =b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，在 n n b a 每个小区间［X i?1,x ］上任取一点&(i=1,2,…n)，作和式f( J Xf( i )；当n ^x 时，上述和式i 1i 1nb无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间［a,b ］上的定积分，记作f(x)dx ，即a⑵在:f(x)dx 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b ］叫做f (x) dx = limnf ( i ).积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.4．定积分的性质定积分的性质( 3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形 ABCD 的面积等于曲边梯形 AEFD 与曲边梯形 EBCF 的面积的和.5. 定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时，定积分bf(x)dx 的几何意义是由a直线x=a , x=b(a 电,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分 ).(2) 一般情况下，定积分 b f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、曲线f(x)以及a直线 x=a ， x=b 之间的曲边梯形面积的代数和 (图②中阴影部分所示 )，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.6. 定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论) 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则 ( 1 ) S f x dx ；( 2) S f x dx ；aa1)2) 3)bb kf x dx k faa ba [ f (x) g(x)]dxbax dx (k 为常数)；bb f (x)dx g(x)dx ；aaf (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx (其中 a<C<b).注】b b bf x dxg x dx [ f x g x ]dx .aaa二、微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间［a,b ］上的连续函数，且F ’x)=f(x),那么a f (x)dx=F(b)?F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便，我们常把F(b)?F(a) 记作 F (X )|：，即 b f(x)dx =F(x)|a =F(b)?F(a).学科*网a【注】常见的原函数与被积函数的关系0).n1. cosxdx(3) Sc b f x dx f x dx ； (4) S a c(1)(2)(3)(4)(5)(6)bbCdx Cx|a (C 为常数)；ab1仆n 」1n 1 .b z八x dxx |a (n 1);an 1bbsin xdxcosx|a ；a bbcosxdx sin x |a ; ab1.dxaxIn X |： (b a 0)； e x I ：；(7)b a xdxax a|b (|a(aln a0,a 1)；(8)2 .若n4sin x acosx dx二，则实数2a 等于3 •直线y 4x 与曲线y x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为B • 4.2C • 2D . 4a b1 22xdx 3 4 •定义ad be ，女口1 42 32，那么1c d3 41 2A • 6B • 326 • （ 2015年高考湖南卷）°（X 1）dx曲线yx 2与直线yx 所围成的封闭图形的面积为•如图，点A 的坐标为（1,0）,点C 的坐标为（2,4）,函数f （x ）=x 2若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于•C •-2log 23 , blog 1 2, c 32 D •1 0，则 ix 5 •设实数ansin xcA • ba cB •b c a C • a b cD•a c b7 • （ 2015年高考天津卷）8 • （ 2015年高考福建卷）3。

高考数学第一轮知识点总复习第四节定积分与微积分基本定理

答案：2
11.一条水渠横断面为抛物线型，如图，渠宽AB=4 m，渠深CO=2 m， 12.当水面距地面0.5 m时，求水的横断面的面积.
解析：如图,建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p>0), 把点(2,2)代入抛物线得2p=2,∴x2=2y, 将点(x,1.5)代入得x=±3,
S 3 (1.5 1x2 )dx
dx
2 (4 x2 )dx
3 (x2 4)dx
0
0
2
(4x
1 3
x3 )
|02
(1 3
x3
4x) |32
23 . 3
题型三定积分的几何意义
【例3】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积. (1)y=0,y= x,x=2; (2)y=x-2,x=y2.
分析先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算.
【例4】列车以72 km/h的速度行驶，当制动时，列车获得加速度为a=0.4 m/s2,问:列车应在进站前多少秒的时候，以及离车站多远处开始制动? 分析因为列车停在车站时速度为0,故应先求出速度的表达式之后, 令v=0,求出t,再根据v和t应用定积分求出路程.
解列车的初速度v0=72 km/h=20 m/s.
2
xdx
2 x2dx
21 dx
1
x
1
1
1x
x2 2
|12
x3 3
|12
ln
x |12
3 2
7 3
ln 2
ln 2 5 . 6
(4)设y= 16 6，x 则x(2x-3)2+y2=25(y≥0).
∵ 3 16 6x表示x2半dx径为5的圆的四分之一的面积, 2