等差数列及其前n项和

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知识清单
考点一 等差数列及其性质
1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它相邻前面一项的差是同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常 用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1) d,n∈N*. 3.等差中项
所以S1·S4=S22 ,
即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,
因为a1=- 1 ,
2
所以- 1 (-2+6d)=(-1+d)2,
2
即d2+d=0,解得d=0或d=-1.
又因为d≠0,所以d=-1,故选A.
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方法 2 等差数列的判定与证明
1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*). 2.解选择题、填空题时,可用通项法或前n项和法直接判断. (1)通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是 等差数列; (2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数), 则{an}为等差数列.
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考点二 等差数列前n项和公式
1.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,则其前n项和Sn=
n(a1
2
an
)
或Sn=③
na1+
n(n 1)
2 d.
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=d 2n2+a1
d 2
n.
非零数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是n的二次函
1 对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值,若不存在,请说明理由.
cmcm1
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解析
(1)证明:∵bn+1-bn=
2 2an1
1
-
2 2an 1
=
2
1
2 1 4an
1
- 2 = 4an -
2an 1 2an 1
2 =2,∴数列{bn}是公差为2的等差数列,
2an 1
又b1=
2 2a1
数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B2≠0).
3.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最
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小值. 4.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
(1)若{an}是等差数列,则
Sn n
也是等差数列,其首项与{an}首项相同,其
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例1 (2017广东惠州第二次调研考试,7,5分)设{an}是首项为-1 ,公差为d
2
(d≠0)的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则d= ( A )
1
1
1
A.-1 B.- 2 C. 8 D. 2
解题导引
解析
Sn=na1+
n(n 2
1)
d,因为S1,S2,S4成等比数列,
不等式法—当Sn最大时,有
Sn Sn
S n 1 , Sn1
(n≥2,n∈N*),解此不等式组确定n的
范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)
例3 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,当n取何值时,
Sn取得最大值?并求出它的最大值.
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解析 解法一:∵a1=20,S10=S15,
1
+
1 n
n
1
2
=2×
1
1 2
n
1
1
n
1
2
<3.
要使得Tn<
1 cmcm1
对于n∈N*恒成立,只要3≤
1 cmcm1
,即
m(m 4
1)
≥3,
解得m≥3或m≤-4,且m为正整数,故m的最小值为3.
思路分析 (1)利用递推公式可得出bn+1-bn为一个常数,从而证明数列
{bn}是等差数列,可得到等差数列{bn}的通项公式,进而得到{an}的通项
S偶 n 1
(4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为
an bn
=
S2n1 T2n1
.
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方法技巧
方法 1 有关等差数列运算的求解技巧
1.等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证 明,都可围绕a1和d进行. 2.对于等差数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1, d.如果再给出第三个条件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题, 这体现了用方程思想解决问题的思路. 3.注意设元技巧,减少运算量.如果三个数成等差数列,一般可设为a-d,a, a+d;如果四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
解法二:同解法一求得d=- 5 .
3
∴Sn=20n+
n(n 2
1)
·
5 3
=-5
6
n2+125
6
n
=-
5 6
n
25 2
2
+
3
125 24
.
∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn取最大值,且最大值为S12=S13=130.
∴10×20+ 10 9d=15×20+ 1514d,∴d=- ,5
2
2
3
∴an=20+(n-1)×
5 3
=-
5n+
3
65,
3
∴a13=0,∴当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0,
∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+
12
11 2
×
5 3
=130.
ab
如果① A= 2 ,那么A叫做a与b的等差中项.
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4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+② (n-m)d (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}是等差数列. (5)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数 列.
公式;(2)利用(1)的结论,利用“裂项求和”即可得到Tn,要使得Tn<
1 cmcm1
对于n∈N*恒成立,只要3≤ 1 ,即 m(m 1) ≥3,解不等式即可.
cmcm1
4
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方法 3 等差数列前n项和的最值问题
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法: 二次函数法—当公差d≠0时,将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法,借 助函数的单调性及数形结合,使问题得解 通项公式法—求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最 小)值
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例2 (2017山东淄博淄川中学4月模拟,19)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1
1
- 4an ,其中n∈N*.
(1)设bn=
2 2an
1
,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;
(2)设cn=
4an n 1
,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<
公差是{an}公差的
1 2
.
(2)若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,
则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成④ 等差 数列.
(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质
(i)若项数为2n,则S偶-S奇=nd, S奇 = an .
S偶 an1
(ii)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, S奇 = n .
1
=2,∴bn=2+(n-1)×2=2n.
∴(2)2由n=(12)a可n2得1,c解n=得4ann=2nn12n=12. ,
n1 n
∴cncn+2=
2 n
×
n
2
2
=2
1 n
n
1
2
,
∴数列{cncn+2}的前n项和为
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Tn=2
1
1 3
+
1 2
1 4
+
1 3
1 5
+…+
n
1 1
n
1