2012—2018高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)

2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编
立体几何
一、选择题
【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）
【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂
直的半径．若该几何体的体积是28π
，则它的表面积是（）3
A ．17πB．18πC．20πD．28π
【2016，11】平面过正方体A BCD ABC D 的顶点A，∥平面
1 1 1 1 CB D ，平面ABCD m ，
1 1
平面ABB1A1 n，则m,n所成角的正弦值为（）
A ．
3
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
1
3
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长
为8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的体
积约为1．62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )
A ．14 斛B．22 斛C．36 斛D．66 斛
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=( ) B
A ．1 B．2 C．4 D．8
【2015，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A ．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A ．6 B．9 C．12 D．15
【2012，8】平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面的距离为 2 ，则此球的体积为（）
A ． 6 B．4 3 C．4 6 D．6 3
【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别
为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积
为8 的正方形，该圆柱的表面积为
A. 12 π
B. 12π
C. 8 π
D. 10π
【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应
点
为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对
应点为B，则在此圆柱侧面上，从
M到N 的路径中，最短路径
的长度
为
A. 2
B.
C. 3
D. 2
【2018，10】在长方形ABCD-A 1B1C1D1 中，AB=BC=2 ，AC 1 与平面BB 1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积
为
A. 8
B. 6
C. 8
D. 8
二、填空题
【2017 ，16】已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA 平面SCB，SA AC ，SB BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为_______．【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积
为______．
三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且BAP CDP 90 ．（1）证明：平面PAB 平面PAD ；（2）若PA PD AB DC，APD 90 ，且四棱锥
P ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积．
【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC 的侧面是直角三角形，PA 6 ，顶点P 在平面ABC 内
的正投影为点 D ，D 在平面PAB内的正投影为点 E ．连结PE 并延长交AB 于点G ．（1）求证：G 是AB 的中点；
（2）在题图中作出点 E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
P
E
A
G D C
B
【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面BED；
(Ⅱ)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E- ACD
的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积．
【2014,19】如图，三棱柱ABC A1B1C1 中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O ，且AO 平面BB1C C .
1
（1）证明：1C AB;
B
（2）若A C , CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱ABC A1B1C1 的高.
AB
1
【2013，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝ 6 ，求三棱柱ABC－A1B1C1 的体积．
【2012，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC=BC=1
2
AA1，D是棱AA1
的中点．
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．A1C1
B1
D
C
B
A
【2018，18】如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA。

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积。

解析
一、选择题
【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）
【解法】选A．由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．
【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几
何体的体积是28π
，则它的表面积是（）．3
A．17πB．18πC．20πD．28π
解析：选A．由三视图可知，该几何体是一个球截去球的1
8
，设球的半径为R，则
7428π
3
R，
π
833
解得R2．该几何体的表面积等于球的表面积的7
8
，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的
1
4
，
所以该几何体的表面积为
71
22
S4π23π214π3π17π．故选A．84
【2016，11】平面过正方体A BCD A BC D的顶点A，∥平面
1111CB D，平面ABCD m，11
平面ABB1A1n，则m,n所成角的正弦值为（）
A．
3
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
1
3
解析：选A．解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面，
即平面AEF，即研究AE与AF所成角的正弦值，易知EAF，所以其正弦值为
3
3
2
．故选A．
E
D
A
C
B
F
D1A1
C1 B1
解法二（原理同解法一）：过平面外一点A作平面，并使∥平面C BD ，不妨将点A变换成B ，作
1 1
使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面A BD ，如图所示，即研究A B 与BD 所成角
1 1
的正弦值，易知ABD ，所以其正弦值为
1 3
3
2
．故选
A．
D
A
C B
D1
A1
C1 B
1
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书
中有如下问题
：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的
米各位多少？”已知 1 斛米的体积约为1．62 立方尺，圆周率约
为3，估算出
堆放的米有( ) B
A ．14 斛B．22 斛C．36 斛D．66 斛
1 16
解：设圆锥底面半径为r，依题23r 8 r ，所以米堆的体积
4 3
为1 1 16 320
2
3 ( ) 5
4 3 3 9
，故堆放的米约为
320
9
÷1．62≈2，2故选B．
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=( ) B
A ．1 B．2 C．4 D．8
解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积2+πr ×2r+ πr2+2r ×2r =5πr2+4r 2= 16+20 π，
为2πr
解得r= 2，故选
B．
【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )B
A ．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
B
解：几何体是一个横放着的三棱柱．故选
【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π
解析：选A．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V 半圆柱＝1
2
2
π×2×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π．故选A．
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A ．6 B．9 C．12 D．15
【解析】由三视图可知，该几何体为
A
三棱锥A-BCD ，底面△BCD 为
底边为6，高为 3 的等腰三角形，
侧面ABD ⊥底面BCD，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为B D
O
1 1
V ( 6 3) 3 9 ，故选择B．
3 2
C
【2012，8】8．平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面的距离为 2 ，则此球的体积为（）
A ． 6 B．4 3
C．4 6 D．6 3
【解析】如图所示，由已知O A ，
1 1
OO1 2 ，
在R t OO1 A中，球的半径R OA 3 ，
所以此球的体积
4
3
V R 4 3 ，故选择B．3
【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．
【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由
等腰三角形及底边上的高构成的平面图形．故选
D．
【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别
为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积
为8 的正方形，该圆柱的表面积为 B
【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应
点
为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对
应点为B，则在此圆柱侧面上，从
M到N 的路径中，最短路径
的长度
为 B
A. 2
B.
C. 3
D. 2
【2018，10】在长方形ABCD-A 1B1C1D1 中，AB=BC=2 ，AC 1 与平面BB 1C1C 所成的角为30°，则该长方
体的体积
为 C
A. 8
B. 6
C. 8
D. 8
二、填空题
【2017 ，16】已知三棱锥
S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面
SCA 平面SCB，SA AC ，SB BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为_______．
【解析】取SC的中点O ，连接O A, OB ，因为SA AC, SB BC ，所以OA SC, O B SC，
因为平面SAC 平面S B C，所以OA 平面S B C，设O A ，r
1 1 1 1
3
V S OA 2r r r r ，所以
A SBC SBC
3 3 2 3 1
3
3
r 9 r 3，
所以球的表面积
为 4 r2 36 ．
【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积
为π，则球O 的表面积
为______．
答案：
9
2
π
解析：如图，
设球O 的半径为R，则AH＝2R
3
，OH＝
R
3
．又∵πE·H2＝π，∴EH＝1．∵在Rt△OEH
中，R2＝
2＝π，∴EH＝1．∵在Rt△OEH 中，R2＝
R 3 2
2
+1
，∴R
2＝9
2＝9
8
．∴S 球
＝
4πR ．
2＝9π
2＝9π
2
【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面
积是这个球面面积的 3 16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．
【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由
2
3 2
πr
4πR ，知
16
2
3 2
r R ．
4
根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的 点，因此 PB QB ．
设 PO
x ， QO
y ，则 x y 2R ．
又 △PO B ∽△ BO Q ，知
2
2
r O B
xy ．
即
2
3 2
xy r
R ．
4
由
及 x
y 可得
3 R x
R, y
．
2
2
则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为
1 3
．
1 故答案为
3
． 三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥
P ABCD 中， AB ∥ CD ，且 BAP CDP 90 ．
（ 1）证明：平面 PAB 平面 PAD ；（ 2）若 PA
PD AB
DC ， APD
90 ，且四棱锥
8 P ABCD 的体积为
3
，求该四棱锥的侧
面积． 【解法】（1）
BAP CDP
90 ，
A B A ,P C D D P
又
AB ∥ CD
AB
DP
又 AP 平面 PAD ， DP 平面 PAD ，且 AP
DP P AB 平面 PAD
AB 平面 PAB ，所以 平面 PAB
平面 PAD
（2）由题意：设PA PD AB DC=a，因为APD90，所以PAD为等腰直角三角形即AD=2a
取AD中点E，连接PE，则
2
PE a，PE AD．
2
又因为平面PAB平面PAD
所以PE平面ABCD
因为AB平面PAD，AB∥CD 所以AB AD，CD AD
又AB DC=a
所以四边形ABCD为矩形
所以
11218
3
V AB AD PE a2a a a P ABCD
33233
即a2
11
S=223+226=6+23
侧
22
【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内
的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E．连结PE并延长交AB于点G．（1）求证：G是AB的中点；
（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
P
E
A
G D C
B
解析：（1）由题意可得△ABC 为正三角形，故PA PB PC 6 ．
因为P 在平面ABC 内的正投影为点 D ，故PD 平面ABC ．
又AB 平面ABC ，所以AB PD．
因为D 在平面PAB 内的正投影为点 E ，故DE 平面PAB ．
又AB 平面PAB ，所以AB DE ．
因为AB PD ，AB DE ，PD DE D ，PD , DE 平面PDG ，所以AB 平面PDG ．又PG 平面PDG ，所以AB PG ．
因为PA PB，所以G 是A B 的中点．
（2）过E 作E F∥BP交PA于F，则F 即为所要寻找的正投影．
P
F
E
A
C
D
G
B
理由如下，因为PB PA，PB∥EF ，故EF PA．同理EF PC ，又PA PC P ，PA, PC 平面PAC ，所以EF 平面PAC ，
故F即为点E 在平面PAC 内的正投影．
所以
1
V S△DE
D PEF PEF
3
1
6
PF EF DE ．
在△PDG 中，PG 3 2 ，D G 6 ，P D 2 3，故由等面积法知DE 2 ．
由勾股定理知PE 2 2 ，由△PEF 为等腰直角三角形知PF EF 2，故
4 V ．
D PEF
3
【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面BED；
(Ⅱ)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E- ACD 6
的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
3
解：(Ⅰ) ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．
∵ABCD 为菱形，∴BD⊥AC，
∴AC⊥平面BED ，又AC 平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．⋯6分(Ⅱ)设A B=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°可得，
AG=GC=
3
2
x，GB=GD=
x
2
．在RtΔAEC 中，可得EG= 3
2 x．
∴在RtΔEBG 为直角三角形，可得BE=
2
2
x．⋯9分
∴
1 1 6 6
3
V AC GD BE x ，解得x =2．
E ACD
3 2 2
4 3
由BA=BD=BC 可得AE= ED=EC= 6 ．
∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 的面积均为5．
所以三棱锥E-ACD 的侧面积为3+2 5 ．⋯12 分
18．解析（1）因为BE 平面ABCD ，所以BE AC ．
又ABCD 为菱形，所以AC BD ．
又因为BD BE B ，BD ，BE 平面BED ，
所以AC 平面BED ．又AC 平面AEC ，所以平面AEC 平面BED ．（2）在菱形ABCD 中，取AB BC CD AD 2x，
又ABC 120 ，所以AG GC 3x ，BG GD x ．
在△AEC 中，AEC 90 ，所以
1
EG AC 3x ，
2
所以在Rt △EBG 中，BE EG 2 BG2 2x，
所以
1 1 6 6
3
V 2x 2x sin120 2x x ，解得x 1 ．
E ACD
3 2 3 3
在Rt△EBA ，Rt△EBC ，Rt△EBD 中，可得AE EC ED 6．
所以三棱锥的侧面积
1 1
S 2 2 5 6 6 3 2 5
．
2 2
【2014,19】如图，三棱柱A BC A1B C 中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O ，且AO 平
1 1
面BBC C
1 .
1
（1）证明：1C AB;
B
（2）若AC AB1 , CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱ABC A1B1C1 的高. 证明：(Ⅰ)连接
B C1，则O 为B1
C 与BC1 的交点，
∵AO⊥平面BB1C1C. ∴AO⊥B1C，⋯2分
因为侧
面BB1C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，⋯4分
∴BC1⊥平面ABC1，∵AB 平面ABC1，
故B1C⊥AB. ⋯6分
(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连结A D，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，又BC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线
为AD，作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC. ⋯9分
∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1 为等边三角形，又BC=1，可得OD=
3
4
，
由于AC⊥AB1，∴
1 1
OA B C ，∴
1
2 2
2 2 7
AD OD OA ，
4
由OH·AD=O·D OA，可得OH=
21
14
，又O 为B1C 的中点，所以点B1 到平面ABC 的距
离为
21
7
，所以三棱柱ABC-A1B1C1 的高高为
21
7。

⋯12
分
另解(等体积法
)：∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1 为等边三角形，又BC=1，
可得BO=
3
2
，由于AC⊥AB1，∴
1 1
OA B C ，∴AB=1，AC=
1
2 2
2
2
，⋯9
分
则等腰三角形ABC 的面积为1 2 2 7
2 2
1 ( )
2 2 4 8
，设点B1 到平面ABC 的距离为d，
由V B1-ABC=V A-BB1C 得
7 3 1 21
d ,解得d ，
8 4 2 7
所以三棱柱ABC-A1B1C1 的高高为21
7。

⋯12
分
【2013，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝ 6 ，求三棱柱ABC－A1B1C1 的体积．
证明：(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．
因为CA＝CB，所以OC⊥AB．
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB．
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C．
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C．
(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1＝3．
2＝OC2＋2
1
故OA1⊥OC．
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
△ABC
＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝ S
又△ABC的面积S△ABC×OA1＝3．
【2012，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC=BC=的中点．1
2
AA1，D是棱AA1
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【解析】（1）在Rt DAC中，AD AC，A
1
C1B1得：ADC45，
同理：A1DC145CDC190，D
C
B 得：DC1DC．
A
由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1AC C，
所以BC平面ACC A．
11
又D C平面ACC1A1，所以DC1BC
1
而DC BC C，所以DC平面BDC．
1
又D C平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．
1
（2）由已知AC=BC=1
2
AA1，D是棱AA1的中点，
设AA12a，AC BC AD a，则
1
23
V a2a a．ABC A B C
111
2
由（1），BC平面A CC A，所以BC为四棱锥B ACC1D的高，
11
所以
111
3
V(3a a)a a．
B AC
C D
1
322
因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为
1
33
a a
V V
1
2
ABC A B C B ACC D
1111
11 V a
3
B AC
C D
1
2
．
【2011，18】如图所示，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，
PD底面ABCD．
（1）证明：PA BD；
（2）若PD AD1，求棱锥D PBC的高．
【解析】（1）因为DBA60，AB2AD，由余弦定理得BD3AD，
从而222
BD AD AB，故BD AD，又PD底面ABCD，可得BD PD．
所以BD平面PAD，故PA BD．
（2）如图所示，作DE PB，垂足为E．已知PD底面ABCD，则PD BC．
由（1）知BD AD，又BC∥AD，所以BC BD．
故BC平面PBD，BC DE，则DE平面PBC．
因为AD1，AB2，DAB60，
所以BD3，又PD1，所以PB2．
根据DE PB PD BD，得3
DE，即棱锥D PBC的高为
2
3
2
．
【2018，18】如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA。

（3）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（4）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积。