浙江省台州市高三数学期末质量评估试题 理 新人教A版

第 1 页 共 13 页台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．Ⅰ 选择题部分（共50分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n k k kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．若,31cos =α则=α2cos （A ）31（B ）31-（C ）97（D ）97-2．在复平面内，复数ii-1对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．“322<<x ”是“2<x ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=-=R y x y x y x A ,,149),(22，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=-=R y x y x y x B ,,123),(，则B A 中元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3第 2 页 共 13 页5. 若如图的程序框图输出的4=y ，可输入的x 的值的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）46．设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面， 下列命题中正确的是（A ）若m ∥α，β⊥n ，n m ⊥，则α⊥β （B ）若m ∥α，β⊥n ，n m ⊥，则α∥β （C ）若m ∥α，β⊥n ，m ∥n ，则α⊥β （D ）若m ∥α，β⊥n ，m ∥n ，则α∥β7. 设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,4,,2x y x y x y 则||4x y -（A ）[]6,8--（B ）]4,8[-（C 8. 已知右图是下列四个函数之一的图象，这个函数是（A ）11ln)(-+=x x x f （B ）11ln )(+-=x x x f（C ）1111)(-++=x x x f （D ）1111)(--+=x x x f9．有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2语翻译也可做韩语翻译. 要从中选5人分别接待5韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（A ）900（B ）800 （C ）600 （D ）50010．已知01221212222)a x a x a x a x a b ax n n n n n+++++=+-- （（*N n ∈，常数0>>b a ）.设n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则下列关于正整数n 的不等式中，解集是无限集的是 （A ）n n R T <（B ）n n R T 1.1> （C ）n n T R 9.0< （D ）n n T R 99.0>24x y =-第 3 页 共 13 页CO Ⅱ 非选择题部分（共100分）二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分. 将答案直接答在答题卷上指定的位置） 11．要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可将函数x y 2sin =的图象向右平移 个单位． 12. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ．13．“如果数列{}n a ()0>n a 是等比数列，那么{}n a lg 必为等差数列”，类比这个结论，可猜想：如果数列{}n b 是等差数列， 那么 ．14．一个袋中有大小、质地相同的标号为3,2,1的三个小球.某人做如下游戏：每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球3次.若拿出球的标号是奇数,则得1分,否则得0分，则3次所得分数之和的数学期望是 ．15．已知点P 是椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 的一个交点，21,F F 是椭圆的左右焦点，则=∠21cos PF F ．16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若kx x f -)(有三个零点，则k 的取值范围为 ．17．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点D C ,OB OA ,上，且.BD OC =若1=OA ，120AOB ︒∠=，则MC 的取值范围是 ．三、解答题（本题共5题，共72分；要求写出详细的演算或推理过程）18．（本题满分14分）已知函数()x x x x f cos cos sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在△ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，S 为△ABC 的面积. 若21)(=A f ，32=a ，=S 32，求c b ,. 俯视图 （第12题） （第17题）第 4 页 共 13 页19．（本题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足：1,2121==a a ，)2(4111≥-=-+n a a a n n n ；nn n b a 2=（*N n ∈）.（Ⅰ）计算321,,b b b ，并求数列{}n b ，}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对于任意的3>n ，都有12345n a a a a a a ++>+++．20．（本题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，CB CA CP ,, 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平面α∥BC ，且α分别交PC PB ,于N M ,，交AC AB ,的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：⊥EF 平面PAC ；（Ⅱ）若BE AB 2=，求二面角N DM P --的余弦值.21.（本题满分15分）如图，在y 轴右侧的动圆⊙P 与⊙1O ：1)1(22=+-y x 外切，并与y 轴相切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）过点P 作⊙2O ：1)1(22=++y x 的两条切线，分别交y 轴于B A ,两点，设AB 中点为()m M ,0.求m 的取值范围.22.（本题满分15分） 已知函数.)1ln()(xx x f +=（Ⅰ）证明：若,1≥x 则 ()ln 2f x ≤；（Ⅱ）如果对于任意,0>x px x f +>1)(恒成立，求p 的最大值.第20题1台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题 数 学（理）答题卷 2012.01一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填入下表内）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．________________________ 12．________________________ 13．14．________________________ 15． 16． 17． 三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）2请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效3请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效45台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题理科数学答案及评分标准一、 选择题 DBABD CBCAD 二、 填空题 11．6π 12．316 {}13.10n b 为等比数列 14. ２ 15．13- 16．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 17． 31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦说明：第11题可填)(6N k k ∈+ππ中的任何一个值；第13题的数列可以填{}nba )1,0(≠>a a 中的任意一个.三、 解答题 18题 （Ⅰ）()x x x x f cos cos sin 3)(-=22cos 12sin 23x x +-=212cos 212sin 23--=x x 即=)(x f 21)62sin(--πx ，…………………………………………………………………4分 所以，)(x f 的最小正周期为π，最大值为.21………………………………………………6分（Ⅱ）由21)(=A f 得1)62sin(=-πA ，又,0π<<A 3π=A ， ………8分由32=a ，=S 32利用余弦定理及面积公式得(2222cos ,31sin 23b c bc bc ππ⎧+-⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………12分 解之得2,4==c b 或.4,2==c b …………………………………………………………14分 19题（Ⅰ）.7,4,1321===b b b …………………………………………………………3分 将n n n b a ⋅=21，11121+++⋅=n n n b a ，11121---⋅=n n n b a 代入1141-+-=n nn a a a 中化简得： n n n b b b 211=++-可见，数列{}n b 是等差数列． …………………………………………5分 由4,121==b b 知其公差为3，故.23-=n b n …………………………………………………………………………………6分nn n n n a n a 223232-=⇒-=． …………………………………………………………7分6（Ⅱ）设数列}{n a 的前n 项和为.n S 则nn n S 22327242132-++++=， 132223253242121+-+-+++=n n n n n S ，……………………………9分 相减可得：23111113333222222231[1()]13242.12212n n n n n n S n +-+-=++++---=+-- nn n S 2434+-=，………………………………………………………………………12分 可见，对于任意的*N n ∈，总有.4<n S 但2819321>=++a a a ，故当3>n 时.232154a a a a a a n ++<<+++ ……………………………………………………14分20题（Ⅰ）证明：由AC BC PC BC ⊥⊥,可知： ⊥BC 平PAC ；…………………………3分 又因为平面α∥BC ，平面AEF 过BC 且与平面α交于EF ，所以EF ∥BC ．……6分 故⊥EF 平面PAC ． ……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）以CP CB CA ,, 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，并设2=BC .则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)2,0,0(P ;设平面PAB 的法向量),,(1111z y x n =， 由01=⋅PA n ，01=⋅PB n 可求得)1,1,1(1=n ，……………………………………………10分 )1,0,1(D ,)0,3,1(-E ,).0,0,1(-F设平面DEF 的法向量),,(2z y x n =，由02=⋅DE n ，02=⋅FE n 可得)2,0,1(2-=n ，……………………………13分 .1515==二面角N DM P --的余弦值为.1515…………………………………………14分7注：几何解法相应给分. 21题（Ⅰ）由题意，点P 到点)0,1(的距离等于它到直线1-=x 的距离，故Γ是抛物线，方程为x y 42=(0≠x )．………………………………………………………………………5分注：由1)1(22+=+-x y x 化简同样给分；不写0≠x 不扣分.（Ⅱ）设),4(2t t P （0≠t ），切线斜率为k , 则切线方程为)4(2t x k t y -=-，即042=-+-kt t y kx ．…………………………6分由题意，1)1(22=++y x 的圆心)0,1(-到切线的距离11422=+-+-kkt t k ，……………………………………………………………………8分两边平方并整理得：01)4(8)8(22222=-++-+t k t t k t t ．……………………9分该方程的两根21,k k 就是两条切线的斜率，由韦达定理：)8()4(822221++=+t t t t k k ． ①……………………………………………………………………………………………11分另一方面，在)4(21t x k t y -=-，)4(22t x k t y -=-中令0=x 可得B A ,两点的纵坐标1214k t t y -=，2224k t t y -=，故)(8221221k k t t y y m +-=+=， ②……………………………………………………………………………………………13分 将①代入②，得842+=t tm t t 84+= ，………………………………………………14分 故m 的取值范围是.0,2222≠≤≤-m m ……………………………………15分822题（Ⅰ）函数x x x f )1ln()(+=的导函数为2/)1ln(1)(xx x xx f +-+=， …………1分在[)+∞,0上考虑函数)1ln(1)(x xxx g +-+=，由011)1(1)(2/≤+-+=x x x g ， 可知)(x g 单调递减，结合0)0(=g ，当0>x 时，)(x g 0<，所以，0)(/<x f ，xx x f )1ln()(+=在()+∞,0单调递减 ．…………………………………………………3分 2ln )1(=f ，∴若,1≥x 则 .2ln )(≤x f …………………………………………………………………5分（Ⅱ） 要使得对任意,0>x px x f +>1)(即px xx +>+1)1ln(恒成立，首先由熟知的不等式x x <+)1ln(知0<p …………………………………………………………………7分 令2)1ln()(px x x x h --+=，则只要0)(>x h 恒成立．………………………………8分 以下在[)+∞,0上考虑)(x h .xpp x px px xx h +++-=--+=1)212(22111)(/．………………………………………10分这里0<p ，故若012>+p ，则在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-p p 212,0内，0)(/<x h ，)(x h 单调递减，但,0)0(=h 所以在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-p p 212,0内，0)(<x h ，这与题意不符；…………………12分 反之，若012≤+p ，则当0>x 时恒有0)(/>x h ，)(x h 单调递增，但,0)0(=h 所以对任意,0>x 0)(>x h ，也就是px xx +>+1)1ln(恒成立. …………………………………14分 综上所述，使得对任意,0>x px x f +>1)(恒成立的最大的.21-=p …………………15分9。