2017年重庆市中考《4.5解直角三角形及其实际应用》课件
合集下载
中考数学总复习课件：二轮专题复习 解直角三角形的应用 (共29张PPT)
专题八 解直角三角形的应用
数学
解直角三角形的应用是中考必考题型，常在解答题中考查，其中所给角度均 为特殊角，涉及夹角、仰角、俯角、坡角等问题．常需添加辅助线，将所给 图形转化为直角三角形或矩形来解决．预计2018年仍会在解答题中出现．
【例1】(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程 ，由主
解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α＝39°， 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D′作 D′E′⊥AC 于点 E′. 3 ∵CD＝12 m，∠DCE＝60°，∴DE＝CD· sin60°＝12× 2 ＝6 3 m， 1 CE＝CD· cos60°＝12×2＝6 m．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC， DD′∥CE′，∴四边形 DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3 m． D′E′ 6 3 ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝ ≈0.81≈12.8 m， tan39° ∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7 m. 答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 m 才能保证教学楼的安全．
解：过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，∴∠ACO＝∠BCO＝90°， ∠AOC＝30° ，∠BOC＝45°.在 Rt△ACO 中，∵∠ACO＝90°， 1 ∠AOC＝30°，∴AC＝2AO＝40 m，OC＝ 3AC＝40 3 m． 在 Rt△BOC 中，∵∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝40 3 m． ∴OB＝ OC2＋BC2＝40 6≈40×2.45≈98(m)． 答：小华家到学校的距离大约为 98 m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2017· 十堰)如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到 达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？(参考数据： 3≈1.732)
数学
解直角三角形的应用是中考必考题型，常在解答题中考查，其中所给角度均 为特殊角，涉及夹角、仰角、俯角、坡角等问题．常需添加辅助线，将所给 图形转化为直角三角形或矩形来解决．预计2018年仍会在解答题中出现．
【例1】(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程 ，由主
解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α＝39°， 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D′作 D′E′⊥AC 于点 E′. 3 ∵CD＝12 m，∠DCE＝60°，∴DE＝CD· sin60°＝12× 2 ＝6 3 m， 1 CE＝CD· cos60°＝12×2＝6 m．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC， DD′∥CE′，∴四边形 DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3 m． D′E′ 6 3 ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝ ≈0.81≈12.8 m， tan39° ∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7 m. 答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 m 才能保证教学楼的安全．
解：过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，∴∠ACO＝∠BCO＝90°， ∠AOC＝30° ，∠BOC＝45°.在 Rt△ACO 中，∵∠ACO＝90°， 1 ∠AOC＝30°，∴AC＝2AO＝40 m，OC＝ 3AC＝40 3 m． 在 Rt△BOC 中，∵∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝40 3 m． ∴OB＝ OC2＋BC2＝40 6≈40×2.45≈98(m)． 答：小华家到学校的距离大约为 98 m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2017· 十堰)如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到 达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？(参考数据： 3≈1.732)
中考总复习课件-解直角三角形的应用课件
了解定义域和值域对于理解三 角函数的性质和应用非常重要 。
03
CATALOGUE
解直角三角形的应用
利用三角函数解决实际问题
计算角度
通过已知的边长和角度， 利用三角函数计算出未知 的角度。
计算距离
利用三角函数和已知的距 离、角度，计算出未知的 距离。
计算高度
在垂直问题中，利用三角 函数和已知的高度、角度 ，计算出未知的高度。
交流与合作。
反思总结
及时总结学习过程中的 收获和不足，调整学习 策略，提高学习效果。
实践应用
结合生活实例，引导学 生运用数学知识解决实 际问题，培养应用意识
。
02
CATALOGUE
解直角三角形的基本概念
锐角三角函数
锐角三角函数是解直 角三角形的基础，包 括正弦、余弦、正切 等。
掌握锐角三角函数的 概念和性质是解决相 关问题的关键。
解直角三角形的方法和 步骤
实际应用中的问题解决
学习收获和体会
掌握了直角三角形的基本性质和 解法，能够解决一些实际问题。
通过学习，对数学中的函数和几 何知识有了更深入的理解。
在解题过程中，学会了如何运用 数学模型和逻辑思维来解决问题
。
下一步学习计划
进一步巩固解直角三角形的知识 和方法，加强实际应用能力的训
04
CATALOGUE
解题技巧和策略
建立数学模型
总结
示例
在解决解直角三角形的问题时，首先 需要将实际问题抽象为数学模型，即 直角三角形。
如测量一个建筑物的高度，可以通过 测量建筑物的影子的长度，再利用相 似三角形的性质建立数学模型。
描述
通过测量、计算等手段，将实际问题 中的数据代入数学模型中，建立与问 题相关的直角三角形。
中考数学专题复习之 解直角三角形及其应用 课件
3．(2020·怀化)如图，某数学兴趣小组为测量一 棵古树的高度，在 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30°，然后向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处，测 得古树顶端 D 的仰角为 45°，且点 A、B、C 在同 一直线上，求古树 CD 的高度．(已知： 2≈1.414，
3≈1.732，结果保留整数)
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°－60°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°， ∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC， ∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60 km，
∵在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠DBC＝
60°，
sin ∠DBC＝CBDC，∴sin 60°＝C6D0 ，
解：由题意可知，AB＝20 米，∠DAB＝30°， ∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD 是等腰直角三角形，∴CB＝CD， 设 CD＝x，则 BC＝x，AC＝20＋x， 在 Rt△ACD 中， tan 30°＝CCDA＝ABC＋DCB＝20x＋x＝ 33，
解 得 x ＝ 10 3 ＋ 10≈10×1.732 ＋ 10 ＝ 27.32≈27，
即 CD＝27 米，
答：古树 CD 的高度为 27 米．
4．(2020·德州)如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30°，观测楼房底部 A 的俯角为 60°，求楼房的高度．
解：过 B 作 BE⊥CD 交 CD 于 E，
由题意得∠CBE＝30°，∠CAD＝60°， ∵在 Rt△ACD 中，
∴ CD ＝ 60×sin
60 ° ＝ 60×
3 2
＝
30
3
(km)>47 km，
2017中考数学复习--解直角三角形及应用课件
∠B＝90° －∠A；a＝b· tan A； b c＝ cos A a ∠B＝90° －∠A；b＝ ； tan A a c＝ sin A ∠B＝90° －∠A；a＝c· sin A； b＝c· cos A
温馨提示： 解直角三角形的思路可概括为 “有斜 斜边 用弦 正弦、 余弦， 无斜用切正切， 宁乘勿除， 取原避中”.
答案： B
6．如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔 船在南偏西 15°方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75°方向 以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处， 在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60°方向上，则 B，C 之 间的距离为( A．20 海里 B．10 3 海里 C ．20 2 海里 D．30 海里 )
考点一 解直角三角形 例 1 在直角三角形 ABC 中，已知∠C＝90° ，∠A ＝40°，BC＝3，则 AC＝( A．3sin 40° C ．3tan 40° ) D．3tan 50° B．3sin 50°
【点拨】∵∠B＝90° －∠A＝90° －40° ＝50° ， AC tan B＝ ，∴AC＝BC· tan B＝3tan 50° .故选 D. BC 【答案】 D
考点三 解直角三角形的应用 例 3 如图，一堤坝的坡角∠ ABC ＝62° ，坡面长 度 AB ＝ 25 米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固， 一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角 ∠ADB ＝50 °，则此时应将坝底向外拓宽多少米？ (结果保留到0.01 米)(参考数据：sin 62 ° ≈0.88 ，cos 62 °≈0.47 ，tan 50°≈ 1.20)
考点训练
1．已知在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠A ＝α ，AC ＝3，那么 AB 的长为( D ) 3 A．3sin α B．3cos α D. cos α AC 解析：在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos α＝ ， AB AC 3 ∴AB＝ ＝ .故选 D. cos α cos α 3 C. sin α
中考数学一轮复习第四章三角形第5节解直角三角形及其实际应用
l
未完继续
考点特训营
重难点突破
数学文化讲堂(四)
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
解直
角三
角形 的实 际应 用
3. 方向角：如图⑦所示，A点位于O点的北偏 东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向
4.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个 近似数精确到那一位.如：3.13精确到0.1或精确到十分位是3.1
重难点突破
数学文化讲堂(四)
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
图形
已知条件
所涉及关系式
iAB， AB长，
∠A
BG
iAB＝ A G AG2＋BG2＝AB2
tan∠CAF＝
CF
AF
AG＋GF＝AF CE＋EF＝CF
iBC， BC长，
∠A
BD
iBC＝ C D
BD2＋CD2＝BC2
E G ＝tan∠A
直角三角形的边角关系
解直角三角形的实际应用
考点特训营
重难点突破
数学文化讲堂(四)
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
在Rt△ABC中 ,∠C=90°,∠A为△ABC中
的一锐角，则有：
锐角三角函 数的定义(如
a ∠A的正弦：sinA=①___c _____
图①)
b
∠A的余弦：cosA=②___c _____
1. 仰角、俯角：如图⑤所示，当从低处观测高处的目标时，
解角角的直三形实 际应 用
视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目 标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角
2. 坡角、坡度：如图⑥所示，通常把坡面的铅垂高度h和水平 宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即i= h ;坡面与水平面的 夹角叫做坡角，记作α，则有i= h =tanα l
未完继续
考点特训营
重难点突破
数学文化讲堂(四)
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
解直
角三
角形 的实 际应 用
3. 方向角：如图⑦所示，A点位于O点的北偏 东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向
4.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个 近似数精确到那一位.如：3.13精确到0.1或精确到十分位是3.1
重难点突破
数学文化讲堂(四)
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
图形
已知条件
所涉及关系式
iAB， AB长，
∠A
BG
iAB＝ A G AG2＋BG2＝AB2
tan∠CAF＝
CF
AF
AG＋GF＝AF CE＋EF＝CF
iBC， BC长，
∠A
BD
iBC＝ C D
BD2＋CD2＝BC2
E G ＝tan∠A
直角三角形的边角关系
解直角三角形的实际应用
考点特训营
重难点突破
数学文化讲堂(四)
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
在Rt△ABC中 ,∠C=90°,∠A为△ABC中
的一锐角，则有：
锐角三角函 数的定义(如
a ∠A的正弦：sinA=①___c _____
图①)
b
∠A的余弦：cosA=②___c _____
1. 仰角、俯角：如图⑤所示，当从低处观测高处的目标时，
解角角的直三形实 际应 用
视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目 标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角
2. 坡角、坡度：如图⑥所示，通常把坡面的铅垂高度h和水平 宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即i= h ;坡面与水平面的 夹角叫做坡角，记作α，则有i= h =tanα l
2017年人教版九年级下册数学解直角三角形的应用3课件
能力，需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度
不变，迎水坡CD的坡度也不变。但是背水坡的
坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5(有关数据在图上
已注明)
(1)求加高后的堤底HD的长。
((342))设求若大每增堤方加长土部为310分00元的0米，横，计断需划多面付少给积方民土工加多上少去资？金？ M6 E
B 26 C
H
4 A
第15页，共18页。
D
M 66 E A A N G图① F H
DDD
图③
第16页，共18页。
图②
这节课你有哪些收获?
1 、将实际问题转化为数学模型－ －解直角三角形的问题
２、体会到数学与生活紧密联系， 生活离不开数学
第17页，共18页。
辉于的
的攀大
顶登道在
，成加功上就1是%的99灵%感的点。汗的人， ，只有水科学上
才不从
------马 克爱迪能达生畏艰
没 有
思 到险平
光勇坦
第18页，共18页。
第1页，共18页。
星期天，小华去图书超市购书，因他
所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯
AB段的长度 8 m，倾斜角为 30°，则二楼的高
度（相对于底楼）是______m
4
B
8
30°
A
C
第2页，共18页。
小华同学去坡度为1︰2的土坡 上种树，要求株距(相邻两树间的水平距 离)是4m，斜坡上相邻两树间的坡面距 离为_____m2 5
北
怎样解答
东
第9页，共18页。
“云娜” 台风中心从我县的正东方向 300km处向北偏西 3600 度方向移动，其他
数据不变，请问此时，我县会受到台风 影响吗？若受影响，则影响的时间有多 长？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二
直角三角形的实际应用
例 2 (2016天水)如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电 视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到 P处再测得 1 C的仰角为45°，已知OA＝200米，山坡坡度为 ， 3 1 (即tan∠PAB= )且O、A、B 3 在同一条直线上，求电视塔 OC的高度以及此人所在位置 点P的垂直高度．(测倾器的 高度忽略不计，结果保留根号)
练习1 (2016怀化)在Rt△ABC中，∠C＝90°， 4 sinA= , AC＝6 cm，则BC的长度为( C ) 5 A. 6 cm B. 7 cm
C. 8 cm D. 9 cm
BC 4 【解析】∵sinA＝ ＝ ，∴设BC＝ AB 5
4a，则AB＝5a，AC＝ (5a ) 2 (4a ) 2 ＝3a， ∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8 cm
(3)转化（将实际的数量关系转化为直角三角形中
元素间的关系）
(4)解题（灵活应用三角函数定义及有关关系、三
角形的有关公式、定理等） (5)答（注意单位）
重难点突破
直角三角形的边角关系
例 1 (2016连云港)如图，在△ABC中，∠C＝150°， 1 AC＝4，tanB＝ 8 (1)求BC的长；
(1)【思维教练】已知tanB、∠C、AC的值，要求BC
∠A的正弦：sin A=①
∠A的余弦：cos A=② ∠A的正切：tan A=③
a c b c a b
图表记忆 法（如图 ②，图③）
三角 函数
30° 45° 60°
1 2 2 sin ④ 2 2 ⑤ 2 1 3 2 ⑦ cos ⑥ 2 2 2
tan
3 ⑧1 3
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
规律记忆法：30°，45°，60°角的正弦值的分母 都是2，分子依次为1， 2 ，3；30°，45°，60°角 的余弦值是60°，45°，30°角的正弦值
已知条件
已知一直角边和 一锐角（a，∠A）
图形
解法
a ∠B=90°-∠A,c= a sin A b= sin A (或b= c2 a2 )
直角 三角 已知斜边和一个 形的 锐角（c，∠A） 边角 关系 已知两直角边 （ a， b） 已知斜边和一条 直角边（c，a）
∠B=90°-∠A,a=c sinA
【思维教练】要求OC的值，已知∠CAO＝60°，
AO＝200米，即可在Rt△AOC中，运用锐角三角函
数求解；要求点P的垂直高度，即可想到作辅助线 1 PE⊥AB，PF⊥CO，已知tan∠PAB＝ ，∠CPF＝ 3 45°，可通过CF＝PF列方程求解PE的值．
解：如解图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F， 在Rt△AOC中，AO＝200，∠CAO＝60°， ∴CO＝AO· tan60°＝ 200 3 . 设PE＝x，
练习2
(2016哈尔滨)如图，一艘轮船位于灯塔P的
北偏东60度方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，
轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P
PE 1 ∵tan∠PAB＝ ＝ ， 3 AE ∴AE＝3x.
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝200 3－x， PF＝OA＋AE＝200＋3x，
∵PF＝CF，
∴200＋3x＝200 3－x， 解得x＝( 50 3 －50)米． 答：电视塔OC高为 200 3米，点P的铅直高度为 ( 50 3 －50)米．
的值，需构造直角三角形，即过点A作AD⊥BC的延
长线于点D，因为BC＝BD－CD，所以只要求出BD、 CD的长即可求解，CD可以在Rt△ACD中求解，BD
可以在Rt△ABD中求解，而求BD的长，需先在
Rt△ACD中求出AD的长．
解：如解图①，过点A作AD⊥BC的延长线于点D， ∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，
b= c cosA(或b= c2 a2 ) a c= b2 a 2，由tanA= b 求∠A，∠B=90°-∠A
a c= c a ，由tanA= b 求∠A，∠B=90°-∠A
2 2
1.仰角、俯角：如图④所示，当从低处观测高处的 目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角，当 从高处观测低处的的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 2.坡角、坡度：如图⑤所示，通常把坡面的铅垂高 度h和水平宽度l的比叫坡度，用字母i表示；坡面 与水平面的夹角叫做坡角，记作 ，则有 i tan h
第四章 三角形
第五节 解直角三角形及其实际
应用
考点精讲
锐角三角函数的定义
锐角三角函数
特殊角的三角函数值记忆法 仰角、俯角 坡角、坡度 方向角
精确度 解直角三角形实际 应用题的一般步骤
解直角三 角形及其 直角三角形的边角关系 实际应用
解直接三角形的实际应用
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A为△ABC 中的一锐角，则有： 锐角三角函 数的定义 ∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
l
3.方向角：如图⑥所示，A点位于O点的北偏东 30°方向，而B点位于O点的南偏东60°方向 4.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个
近似数精确到哪一位.如3.1是精确到0.1或叫做精确
到十分位
5.解直角三角形实际应用题的一般步骤
(1)审题（注意仰角、俯角、坡度、水平距离、垂 直距离等概念定义） (2)画图（想办法构造直角三角形，必要的情况下 还要添加辅助线）
【思维教练】由(1)知∠ACD＝30°，要求tan15°的 值，可以想到构造以∠ACD为外角，AC为腰的等腰 三角形即可得到含15°角的直角三角形，从而根据锐 角三角函数的定义求解．
解：如解图②，在CB上截取CE＝CA＝4，则∠CEA
1 ＝∠CAE＝ ∠ACD＝15°， 2 AD 2 1 ∴tan15°= = = = 2 - 3 0.3 DE 4 + 2 3 2 + 3 ∴tan15°的值为0.3.
3 1 ∴AD= AC=2，CD=ACcos30 = 4 =2 3 2 2
在Rt△ABD中，
AD 1 ∵ tanB BD 8 2 1 = ∴ 2 3 + BC 8
∴BC=16- 2 3
(2)利用此图形求tan15°的值．
(精确到0.1.参考数据： 2 1.4, 3 1.7, 5 2.2 )