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某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。

从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。

现有一客户需要
15 根 290mm、28 根 315mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管。

为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过 4 种，使
用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10 增加费用，
依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生
产 5 根产品）。

此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不
能超过 100mm。

为了使总费用最小，应如何下料？
二、基本假设
1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm 的钢管。

2、假设每次切割都准确无误。

3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。

5、假设钢管余料价值为0.
6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。

7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。

三、符号说明
符号意义
x i 表示按照第i 种切割模式（i 1,2,3, 4 ）切割的原料钢管
的根数
r1i第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm 钢管的数量
r2 i 第 i 种切割模式下每根原料钢管生产315mm 钢管的数量r3i 第 i 种切割模式下每根原料钢管生产350mm 钢管的数量r4 i 第 i 种切割模式下每根原料钢管生产455mm 钢管的数量P 生产钢管过程所需要增加的总费用
N 所需钢管的总根数
根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即：
min P=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4
总根数最少：
min N=x1+x2+x3+x4
假设条件 x1>=x2>=x3>=x4 (4-1)
满足客户需求的约束条件为 :
r11x1+r12x2+r13x3+r14x4 ≥ 15 (4-2)
r21x1+r22x2+r23x3+r24x4 ≥ 28 (4-3)
r31x1+r32x2+r33x3+r34x4 ≥ 21 (4-4)
r41x1+r42x2+r43x3+r44x4 ≥ 30 (4-5)
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超
过1850mm，也不能少于 1750mm（余料不能大于 100mm），于是1750≤15r11+28r21+21r31+30r41 ≤ 1850 (4-6) 1750≤15r12+28r22+21r32+30r42 ≤ 1850 (4-7) 1750≤15r13+28r23+21r33+30r43 ≤ 1850 (4-8) 1750≤15r14+28r24+21r34+30r44 ≤ 1850 (4-9)
最后，加上非负整数约束：
xi，rji ∈Z+ ，i=1,2,3,4 j=1,2,3,4 (4-10)
于是，问题归结为在在约束条件（4-2）～（4-10）下，求xi 和r1i，r2i，r3i，r4i（ i=1,2,3）使目标（ 4-1）达到最小。

显然这是线性整数
规划模型。

model:
min=0.1* x1+0.2* x2+0.3* x3+0.4* x4;
r11* x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;
r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;
r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;
r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;
x1+x2+x3+x4>=19;
x1+x2+x3+x4<=22;
x1>=x2;
x2>=x3;
x3>=x4;
@gin(x1)；@gin(x2)；@gin(x3)；@gin(x4);
@gin(r11)；@gin(r12)；@gin(r13)；@gin(r14);
@gin(r21)；@gin(r22)；@gin(r23)；@gin(r24);
@gin(r31)；@gin(r32)；@gin(r33)；@gin(r34);
@gin(r41)；@gin(r42)；@gin(r43)；@gin(r44);
End
当花费 P 最少时，得到结果为 :总共需要 19 根原料钢管。

分别为 :
模式一：一根原料可以切割成 315mm钢管 2根，350mm钢管 2根，455mm钢管 1根，总共 8根。

模式二：一根原料可以切割成290mm钢管 1根， 315mm钢管 2根，455mm钢管 2根总共 6根。

模式三：一根原料可以切割成290mm钢管 2根， 350mm钢管 1根，455mm钢管 2根，总共 5根。

当总根数最少时，得到结果为:总共需要 19根原料钢管。

分别为：模式一：一根原料可以切割成 290mm钢管 1根，315mm钢管 2根，455mm钢管 2根，总共 7根。

模式二：一根原料可以切割成315mm钢管 1根， 350mm钢管 3根，455mm钢管 1根总共5根。

模式三：一根原料可以切割成 290mm钢管 2根，315mm钢管 1根，
455mm钢管 2根，总共 4根。

模式四：一根原料可以切割成 315mm钢管 2根，350mm钢管 2根，455mm钢管 1根，总共 3根。

综合两种情况，当两个目标函数取最小值时，所需的总根数都为19。

如果选择总根数最小为目标函数，则切割模式增加一种，那么切
割费用有所增加。

为此选择切割费用最小为目标函数，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。