高考数学《向量》专题复习专题训练.docx
高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ± )；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如例1：（1）若a b = ，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c == ，则a c = 。
（6）若//,//a b b c ，则//a c。
其中正确的是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
高考数学专题复习题：平面向量
高考数学专题复习题：平面向量一、单项选择题（共8小题）1.已知向量(1,)x =a ，(1,3)=−b .若向量2+a b 与向量b 垂直，则x 的值为（ ） 33||||4AC CB =.若AB BC λ=，则λ34 C.74 3.已知向量a ，b 不共线，设k =+u a b ，2=−v a b ，若//u v ，则实数k 的值为（ ）A.4.如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A.1151818AB AC −+B.1111189AB AC −+C.114189AB AC −+D.1526AB AC −+第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在等边三角形ABC 中，如果3BD DC =，那么向量AB 在向量AD 上的投影向量为（ ）AD AD AD AD 6.如图，在ABC △中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，如果AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，那么μ值是（ ）7−7.单位向量a ，b ，c 满足22−+=0a b c ，则cos ,2〈−〉=a b c （ ）8.若AB AC ⊥，||AB t =，1||AC =，ABC 平面内一点，2||||AB AC AP AB AC =+，则的最大值为（ ）A.13B.二、多项选择题（共2小题）9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是（ ）A.若，则B.若a 与b 的夹角为锐角，则C.若1x =，则a 在b 上的投影向量为bD.若，则10.在ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A.16AE AB AC = AE 与EB 的夹角的余弦值为 C.AE CD ⋅=三、填空题（共5小题）11.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，如果A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，那么AB CD ⋅=________.12.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=________.13.平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹PB PC ⋅5−−+(1,3)=a (2,2)x x =−b x ∈R ⊥a b 6x =6x <||||||+=+a b a b 27x =角，则m =________.14.在ABC △中，2AB =，3AC =，A =3255AD AB AC =+，则AB 与AD 夹角的大小为________.15.如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，2AB AD =，cos DAB ∠=AB =a ，，以，为基底表示EC ，则EC =________.AD =b a b。
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高考数学向量专题复习专题训练定稿版
高考数学向量专题复习专题训练HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ④平行向量无传递性！（因为有0)；⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； （6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则； 2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→；（2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --；（4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔；（5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→，所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ；（6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
高三向量专题复习(含知识点)有答案
状元堂测试试卷，则把向量AB 按向量a ＝（－1,3的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）、b 叫做平行向量，记作：a ∥b 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两条直线平行不包含两条直线重合；（因为有0)；AB AC 、共线； ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是日期： 2012- 时间：．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量(),a xi y j x y =+=，称的坐标表示。
如果向量的起点在原点是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1、2λ，使a =1λe 1＋2λ(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-c =______1322a b -）；）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,24e e =-=-（答：B ）；四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与的方向相反，当λ＝0a λ=，注意：五．平面向量的数量积：两个向量的夹角：对于非零向量，b ，作,OA a OB b ==，AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，当0时，a ，b 同向，当θ＝π2．平面向量的数量积，b ，它们的夹角为，我们把数量||||cos a b θ叫做，记作：a •b ，即a cos a b θ。
(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案
一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。
求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。
高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如例1：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//ab bc ，则//a c 。
其中正确的是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
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平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。
如：2．零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是 AB ) ；uuur| AB |4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； r③平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；uuur uuur④三点 A 、 B 、 C 共线 AB 、AC 共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－ a 。
如rr r r（ 3）若例 1：（ 1）若 ab ，则 a b 。
（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
uuur uuuruuur uuur r r r r AB r DC ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。
（ 5）若 a b,b c ，则r r r r r r ra c 。
（ 6）若 a // b,b //c ，则 a // c 。
其中正确的是 _______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，r r rx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j坐标表示。
(完整版)高中数学平面向量专题复习(含例题练习)(最新整理)
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
，
j
为基底，
则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j x, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a
点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
2．坐标运算：设 a (x1, y1), b (x2 , y2 ) ，则：
①向量的加减法运算： a
b
( x1
x2
，
y1
y2
)
。
②实数与向量的积： a x1, y1 x1, y1 。
2
③若 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 AB x2 x1, y2 y1 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线
_____
（4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 DB ， CD r AB s AC ，则 r s 的值是___
四 ． 实 数 与 向 量 的 积 ： 实 数 与 向 量 a 的 积 是 一 个 向 量 ， 记 作 a ， 它 的 长 度 和 方 向 规 定 如 下 ：
3
九． 向 量垂 直 的 充 要条 件 ： a b a b 0 | a b || a b |
( AB AC ) ( AB AC ) 。
AB AC AB AC
例 11(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
x1x2 y1 y2 0 .特 别 地
3．分配律： a a a, a b a b ， a b c a c b c 。
高考数学《向量》专题复习(专题训练)
高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：a ∥b .①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有0)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则； 2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
高考数学空间向量与立体几何解答题专题复习题
高考数学空间向量与立体几何解答题专题复习题1．已知空间三点(023)(216)(115)A B C −−，，，，，，，，．（1）求以AB AC ，为边的平行四边形的面积．（2）若=a a 分别与AB AC ，垂直，求向量a 的坐标．2．三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，∠A 1AB =∠A 1AC =60∘，点M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接A 1M ．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ．（1）用a ,b ⃗ ,c 表示A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）证明：A 1M ⊥AB ．第2题图 第3题图3．在正方体1111D C B A ABCD −中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．（1）求证：⊥F D 1平面ADE ；（2）1,EF CB 的夹角． 4．在几何体ABCD P −中，底面ABCD 为矩形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，3=AB ，1=BC ，2=PA ，E 为PD 的中点．（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值．（2）在侧面PAB 内找一点N ，使⊥NE 平面PAC ,并求出N 点到AB 和AP 的距离．第4题图 第5题图5．在底面为矩形的四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ．A B C DP（1）证明：AB PD ⊥．（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．6．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（1）求证：11C M B D ⊥．（2）求二面角1B B E D −−的正弦值．（3）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．第6题图 第7题图 第8题图7．在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，M 是线段PC 的中点.已知2PD CD ==，1AD =．（1）求证：//PA 平面BDM（2）求二面角M BD C −−的余弦值．（3）直线BD 上是否存在点N ，使得MN 与PA 垂直？若存在，求MN 的长；若不存在，请说明理由．8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，点M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝P A ＝4．（1）若PM ：MD ＝1:2，求证：PB ∥平面ACM ．（2）求二面角A ﹣CD ﹣P 的正弦值．（3）若直线AM 与平面PCD ，求MD 的长．。
高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)百度文库
一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)3．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒4．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解6．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒7．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 8．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 9．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+D ．AD CD CD CB +=-11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-14．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( )A ．2B ．3C ．12D ．1315．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-二、平面向量及其应用选择题16．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7217．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3218．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ）A ．12πB ．6π C ．4πD ．3π 21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin a b cA B B===ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．4CD ．22．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D ．4123．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF = C ．12DG AG =D ．0GA GB GC ++=24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．30026．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 28．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n+的最大值为 ABC ．4D ．530．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-431．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8332．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．54B ．2C ．174D ．433．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形35．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误；对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C .()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.3．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=.故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.5．ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 432c B b=⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC.本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.6．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误；()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.7．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.8．AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.9．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.10．BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，解析：BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.11．ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查解析：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.12．BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.故选：BC 【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.13．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-； 对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.14．AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=， 即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.15．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||222PC CA PC =-=-≥- ⎪⎝⎭52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．D【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.18．C【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.19．D【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=， 所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形. 故选：D.【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．D【分析】 根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得3k =，∴tan 3B k ==B ＝3π． 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键21．A【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c r A B C ===已知sin cos sin a b c A B B===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC，即等腰直角三角形的斜边长为所以122ABC S =⨯=. 故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 22．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C=，所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．【详解】 ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G为重心，则23BG BE =，2CG GF =，12DG GA =且0GA GB GC ++= 故选：C【点睛】 本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．24．C【解析】【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦ ()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．25．B【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．【详解】解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13A =，所以1||||sin 302AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 26．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.27．D【详解】()22cos 32cos 23212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.28．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．29．B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =，令()'0f x =，得x =∴当0x << ()'0f x >x << ()'0f x <， ∴当2x =时， ()f x 取得最大值2f ⎛= ⎝⎭，故选B. 【点睛】 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.30．D 【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC+=，可得到3mOC OD=且,,A B D共线；由AOBABCOSSDCD∆∆=和,OC OD反向共线，可构造关于m的方程，求解得到结果.【详解】由2OA OB mOC+=得：12333mOA OB OC+=设3mOC OD=，则1233OA OB OD+=,,A B D∴三点共线如下图所示：OC与OD反向共线3OD mmCD∴=-734AOBABCOD mmCSS D∆∆∴==-=4m⇒=-本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.31．C【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB⋅=，同理得出212AM AC AC⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM=+且EM AB⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=， 由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩， 解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 32．C【分析】不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可.【详解】根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =， 则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，由()()20c a c b ⋅--=可得2220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，因为关于y 的方程有解，所以22sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥， 令cos (11)t t α=-≤≤，则2244(2)810x x t t t -+++-≤， 254254t t t t x +--++-≤≤ 54(13)t m m -=≤≤2254(2)178t t m ++---+=， 当2m =2254(2)171788t t m ++---+==，所以178x ≤，所以174b c ⋅≤， 所以b c ⋅的最大值为174， 故选：C.【点睛】 思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：（1）先根据题意，设出向量的坐标；（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.33．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.34．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．35．D【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念．。
高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练) 百度文库
一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 方向上的投影为5 C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为24．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD5．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =c =（ ） A 21B 61C 41D ．256．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5-B ．23C ．23-D ．5 8．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-10．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-11．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==12．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥13．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形 14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-15．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、平面向量及其应用选择题16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(2a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．3)2B ．C ．3(2D ．3(217．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心18．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对19．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）A ．sin sin AB >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <20．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定21．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+ D ．1(62)2+ 23．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +24．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭25．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）A 3B ．1C ．12D 3．题目文件丢失！27．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A 2B ．3C ．2D ．328．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 30．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形31．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A 5B 10C ．4D ．532．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤33．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．不确定34．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A 13+ B ．13C 23+ D ．2335．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．3．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，当时，由余弦定理得：， 解得，当时，由余弦定理得：， 解得 所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理 , 即. , 或. 即或解析：ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°7．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.8．C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.9．AB根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.10．AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，解析：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.11．BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 12．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.13．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.14．AB 【分析】若，则反向，从而； 若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．AD 【解析】 【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故解析：AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.二、平面向量及其应用选择题16．A 【分析】先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C +)3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+，即222a cb +-=，所以222cos 22a cb B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sin cos cos sin cos sin )66223A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以3)262A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3()22．故选A ．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.17．B【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．B 【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 19．C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 20．C 【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案． 【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 21．B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 22．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =）， 故选:A ． 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 23．D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 24．C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属25．B【分析】先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a.【详解】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，因为2220a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccosπ==选B.【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.26．无27．D【详解】 由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！28．D【分析】 先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．29．D过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AM mAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n =，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.30．D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A AB B B B B B AB ===， ∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A B B A=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．31．B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =，令()'0f x =，得2x =∴当02x <<时， ()'0f x >，当2x << ()'0f x <， ∴当x =时， ()f x 取得最大值f =⎝⎭，故选B. 【点睛】 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 32．A【分析】由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+化简得出1sin sin sin 8A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+， 即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +-+++-=， 即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()12sin cos 2sin cos 2A A ABC +-=，即()()12sin cos 2sin cos 2A B C A B C -++-=， 即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8A B C ∴=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b c R A B C===， []2111sin 2sin 2sin sin 1,2224S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立.故选：A.【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 33．B【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.【详解】因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.34．B【分析】由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.【详解】解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，平方得22242a c b ac +=-，①又ABC 的面积为32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342ac ==，解得6ac =， 代入①式可得222412a c b +=-， 由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，2224123122612b b b ---===⨯，解得24b =+，∴1b =+故选：B .【点睛】本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 35．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
专题 平面向量一、复习要求一．向量有关概念:1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段,为什么？（向量可以平移）.2．零向量:长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）； 4．相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作:a ∥b ，规定零向量和任何向量平行. 提醒:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性!（因为有0）； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如 二、向量的表示1．几何表示法:用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ,b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a=1λe 1＋2λe 2。
四．实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同,当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=,注意:λa ≠0. 五．平面向量的数量积:1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向,当θ＝π时,a ,b 反向，当θ＝2π时,a ，b 垂直。
高考数学《向量》专题复习(专题训练)(20200625015154)
① 若 a 与 b 共线 ， 则存在唯一的实数 λ， 使 b=λa；
② 若向量 a、 b 所在的直线为异面直线 ， 则向量 a、b 一定不共面 ；
③ 向量 a、 b 、 c 共面 ， 则它们所在直线也共面 ；
④ 若 A、 B、C 三点不共线 ， O 是平面 ABC 外一点 ， 若 OM=13OA+13OB+13OC
b cos
（ 3） b 在 a 上的投影为
， 投影是一个实数 ， 不一定大于 0.
cos
（ 5） 向量数量积的应用 ： 设两个非零向量 a 、 b ， 其夹角为 ， 则
ab
ab
，
当 a b a b 0 时 ， 为直角 ；
.
.
..
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.
..
当 a b 0 时 ， 为锐角或 a, b 同向 ；注意 ： a b 0 是 为锐角的 ____________条_件 ；
（ t∈R）的最小值是 ______________
.
.
..
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.
..
例 3.如图 ， 在等腰三角形 ABC 中， 已知 |AB|=| AC|=1 ， ∠A=120 °，E、F 分别是 AB、 AC 上的点 ， 且 AE=λAB ， AF=μAC， 且 λ， μ∈（0， 1）， 且 λ +4 μ =1 ，若线段 EF、BC
，使
P1P PP2 ， 则 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比 ， P 点叫做有向线段 P1P2 的以定比
为 的定比分点 ； 当 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 ， 则点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为
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(word完整版)高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
平面向量专题复习一.向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。
如：2•零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuuS3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB 共线的单位向量是AB )； |AB|4 •相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： a // b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 ,但两条直线平行不包含两条直线重合；③ 平行向量无传递性！(因为有0)；uuu uujr④ 三点A B C 共线 AB 、AC 共线；6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是一a 。
女口例1： (1)若a b ，则a b 。
( 2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
(3)若iuu uuLruuu uuir r r r rAB DC ，则ABCD 是平行四边形。
(4)若ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。
( 5)若a b,b c ,则r r r r r r r ra c 。
(6)若a//b,b//c ，贝U a//c 。
其中正确的是 _____________、向量的表示 1 .几何表示法： 用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2 .付号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c 等； 3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 - r r r x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底, —1- —* —F 则平面内的任一向量 a 可表示为a xi y j x,y ，称x,y 为向量a 的坐标，a = x, y 叫做向量a 的坐标表示。
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高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是±.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.当1λ=时，就得到线段12P P 的中点公式121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. ②λ的符号与分点P 的位置之间的关系： 当P 点在线段21P P 上时⇔0λ>；当P 点在线段21P P 的延长线上时⇔ 1λ<-； 当P 点在线段21P P 的反向延长线上时10λ⇔-<<；3.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量→a 、→b ，作a OA =，b OB =，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量→a 、→b 的夹角。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量→a 、→b ，它们的夹角为θ，我们把数量θcos →→⋅b a 叫做→a 与→b 的数量积（或内积或点积），记作：→→⋅b a ，即θcos →→→→⋅=⋅b a b a .零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。
（3）在→a 上的投影为θcos →b ，投影是一个实数，不一定大于0. （4）→→⋅b a 的几何意义：数量积→→⋅b a 等于→a 与→b 在→a 上的投影的乘积。
（5）向量数量积的应用：设两个非零向量→a 、→b ，其夹角为θ，则→→→→⋅⋅=ba ba θcos ，当0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 时，θ为直角；当0>⋅→→b a 时，θ为锐角或→→b a ,同向；注意：0>⋅→→b a 是θ为锐角的_____________条件； 当0<⋅→→b a 时，θ为钝角或→→b a ,反向；注意：0<⋅→→b a 是θ为钝角的_____________条件； （6）向量三角不等式：→→→→→→+≤±≤-b a b a b a 当→→b a ,同向⇔→→→→+=±b a b a ，→→→→-=-b a b a ； 当→→b a ,反向⇔→→→→+=-b a b a ，→→→→+=-b a b a ； 当→→b a ,不共线⇔→→→→→→+<±<-b a b a b a ；4.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λλ+=→成立，我们把不共线的向量1e 、2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底。
（2）O 为平面任意一点，A 、B 、C 为平面另外三点，则A 、B 、C 三点共线→→→+=⇔OC OB OA 21λλ且121=+λλ.5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x ，y ，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。
如，若MP →、MA →、MB →三个向量共面，则−→−−→−−→−+=MB y MA x MP .同时，对于空间任意一点O ，存在−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−++=++=OB OA n OM m MB y MA x OM OP γ，其中γ++n m ＝_____________例1.下列命题：①若a⃗ 与b ⃗ 共线，则存在唯一的实数λ，使b ⃗ =λa ⃗ ； ②若向量a ⃗ 、b ⃗ 所在的直线为异面直线，则向量a ⃗ 、b ⃗ 一定不共面；③向量a ⃗ 、b ⃗ 、c⃗ 共面，则它们所在直线也共面； ④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 一定在平面ABC 上，且在ABC ∆内部； ⑤若→→ba //，且→→cb //，则→→ca // ；⑥若0>⋅→→b a ，则它们的夹角为锐角；其中正确的命题有__________________（填序号）例2.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为π3，|b ⃗ |=2，对任意x ∈R ，有|b ⃗ +x a ⃗ |≥|a ⃗ -b ⃗ |，则|t b ⃗ -a ⃗ |+|t b ⃗ -a⃗ 2|（t ∈R ）的最小值是______________例3.如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A =120°，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ，μ∈（0，1），且λ+4μ=1，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____________例4.已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=1，a ⃗ •b ⃗ =-1，且a ⃗ -c ⃗ 与b ⃗ -c ⃗ 的夹角为π4，则|c ⃗ |的最大值为______________变式训练：1.已知向量a ⃗ =（-1，-2），b ⃗ =（1，λ），若a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________2.在△ABC 中，|AB |=5，|AC |=6，若B =2C ，则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影是_________3.如图，在ABC 中，已知∠BAC =π3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，点D 为边BC 上一点，满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是AD 上一点，满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______________4.在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB =1，EF =√2，CD =√3．若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_____________5.向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，|c ⃗ |=4，则|a ⃗ +b ⃗ -c⃗ |的最大值为__________6.已知O 是面α上一定点，A ，B ，C 是平面α上ABC ∆的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角。
以下命题正确的是________________（填序号）①动点P 满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中； ②动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB|+AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC|）（λ＞0），则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中； ③动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB|sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|sinC）（λ＞0），则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|cosB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|cosC）（λ＞0），则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB|cosB+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|cosC）（λ＞0），则ABC ∆的外心一定在满足条件的P点集合中；7.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =6π，若cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosCsinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则m =_____________8.（2017全国）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是_______9.在OMN ∆中，点A 在OM 上，点B 在ON 上，且AB //MN ，2OA =OM ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则终点P 落在四边形ABNM 内（含边界）时，y+x+2x+1的取值范围为____________10.如图，在直角坐标系中，△ABC 是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，△ABC 可绕圆心旋转， M 、N 分别是边AC 、AB 的中点，ON OM ⋅的取值范围是_____________11.如图，已知点P （2，0），且正方形ABCD 内接于⊙O ：x 2+y 2=1，M 、N 分别为边AB 、BC的中点．当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为_________12.如图，矩形ORTM 内放置5个边长均为√3的小正方形，其中A ，B ，C ，D 在矩形的边上，且E 为AD 的中点，则（AE⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=⋅，I 2=⋅，I 3=⋅，则（ ）A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 314.在坐标系xoy 中，O 点坐标为（0，0），点A （3，4），点B （-4，3），点P 在∠AOB 的角平分线上，且OP 长度为25，则点P 坐标为_____________15.（2017浙江）已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记i m =)10,,3,2,1(2⋅⋅⋅=⋅i AB i ，则m 1+m 2+…+m 10的值为_____________。