高中数学数列知识点详细总结
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳摘要:一、数列的概念与分类1.数列的定义2.等差数列与等比数列3.几何数列与调和数列二、数列的性质与运算1.数列的项与公比2.数列的求和公式3.数列的性质及其应用三、数列的递推关系式1.递推关系式的定义2.常见的递推关系式3.递推关系式的应用四、数列的通项公式1.通项公式的定义2.常见的通项公式3.求解通项公式的方法五、数列的极限与无穷级数1.数列的极限2.无穷级数的概念与性质3.级数的收敛性与发散性正文:高中数学的数列知识点是数学学习中的一个重要部分,它涉及到数列的概念、分类、性质、运算、递推关系式、通项公式以及极限和无穷级数等内容。
首先,我们要了解数列的概念与分类。
数列是一组按照一定规律排列的数字,可以用来描述事物的发展和变化规律。
根据数列中相邻两项的关系,数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是相邻两项之差相等的数列,而等比数列是相邻两项之比相等的数列。
此外,还有几何数列和调和数列等特殊类型的数列。
其次,我们要掌握数列的性质与运算。
数列的项是指数列中的每一个数字,而公比是指等比数列中相邻两项的比。
数列的求和公式是计算数列和的重要工具,而数列的性质如单调性、有界性等则是解决数列相关问题的关键。
递推关系式是描述数列的一种方法,它是指用一个已知项和其后的项的关系式来表示数列。
掌握常见的递推关系式,如等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等,有助于我们更好地理解数列的规律。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
求解通项公式是数列学习中的难点,需要我们灵活运用数学方法。
最后,我们要了解数列的极限与无穷级数。
数列的极限是指当项数趋于无穷时,数列的值趋于一个确定的值。
无穷级数是指一个数列的所有项按照一定的方式排列组成的级数。
理解级数的收敛性与发散性,有助于我们更好地把握数列的性质。
总的来说,高中数学的数列知识点繁多且重要,需要我们认真学习并掌握。
高中数学数列知识点总结
高中数学数列知识总结一.数列的定义及表示方法1.数列的定义按________________着的一列数叫数列,数列中的______________都叫这个数列的项;在函数意义下,数列是________________________的函数,数列的一般形式为:______________________,简记为{a n },其中a n 是数列的第____项.2.通项公式:如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示,那么这个式子叫做数列的通项公式.但并非每个数列都有通项公式,也并非都是唯一的.3.数列常用表示法有:_________、________、________.4.数列的分类:数列按项数来分,分为____________、__________;按项的增减规律分为________、________、__________和__________.递增数列⇔a n +1______a n ;递减数列⇔a n +1______a n ;常数列⇔a n +1______a n .5.a n 与S n 的关系:已知S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧,n =1, ,n ≥2.1.一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1,a 2,a 3,…,a n ,… n2.第n 项 n 用一个公式3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < =5.S 1 S n -S n -1二.等差数列及其前n 项和1.等差数列的有关定义(1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n ∈N *,d 为常数).(2)数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是__________,其中A 叫做a ,b 的__________.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:a n =________,a n =a m +________ (m ,n ∈N *).(2)前n 项和公式:S n =__________=____________.3.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n =__________.4.等差数列的性质(1)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有__________,特别地,当m +n =2p 时,______________.(2)等差数列中,S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.(3)等差数列的单调性:若公差d >0,则数列为____________;若d <0,则数列为__________;若d =0,则数列为________.1.(1)2 差 a n +1-a n =d (2)A =a +b 2等差中项 2.(1)a 1+(n -1)d (n -m )d (2)na 1+n (n -1)2d (a 1+a n )n 23.An 2+Bn4.(1)a m +a n =a p +a q a m +a n =2a p (3)递增数列 递减数列 常数列三.等比数列及前n 项和1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q ≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =______________.3.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·________ (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则__________________________.(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n } (λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列. (4)单调性:⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0,q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列;⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0,0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列;q =1⇔{a n }是____数列;q <0⇔{a n }是________数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n ,当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1(q n -1)q -1=a 1q n q -1-a 1q -1. 6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为______.1.公比 q 2.a 1·q n -1 4.(1)q n -m (2)a k ·a l =a m ·a n(4)递增 递减 常 摆动 6.q n四:数列的通项及求和1.求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系:a n =⎩⎪⎨⎪⎧ S 1, n =1,S n -S n -1, n ≥2. (2)当已知数列{a n }中,满足a n +1-a n =f (n ),且f (1)+f (2)+…+f (n )可求,则可用________求数列的通项a n ,常利用恒等式a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1).(3)当已知数列{a n }中,满足a n +1a n=f (n ),且f (1)·f (2)·…·f (n )可求,则可用__________求数列的通项a n ,常利用恒等式a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1. (4)作新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.(5)归纳、猜想、证明法.2.求数列的前n 项的和(1)公式法①等差数列前n 项和S n =____________=________________,推导方法:____________;②等比数列前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧,q =1, = ,q ≠1. 推导方法:乘公比,错位相减法.③常见数列的前n 项和:a .1+2+3+…+n =__________;b .2+4+6+…+2n =__________;c .1+3+5+…+(2n -1)=______;d .12+22+32+…+n 2=__________;e .13+23+33+…+n 3=__________________. (2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. 常见的裂项公式有: ①1n (n +1)=1n -1n +1; ②1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1; ③1n +n +1=n +1-n . (4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加:例如,等差数列前n 项和公式的推导. 1.(2)累加法 (3)累积法 2.(1)①n (a 1+a n )2 na 1+n (n -1)2d 倒序相加法 ②na 1 a 1(1-q n )1-q a 1-a n q 1-q ③n (n +1)2 n 2+n n 2 n (n +1)(2n +1)6 ⎣⎡⎦⎤n (n +1)22五:数列的综合应用1.数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题,二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会.(1)数列是一种特殊的函数,解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法.(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法,复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题.(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项,由有限的特殊事例推测出一般性的结论,都是利用此法实现的.(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到,如等比数列中,经常要对公比进行讨论;由S n 求a n 时,要对______________进行分类讨论.2.数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答应用问题的核心是建立数学模型.(1)建立数学模型时,应明确是等差数列模型、等比数列模型,还是递推数列模型,是求a n 还是求S n .(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中,每月的利息均按复利计算;②在分期付款中规定每期所付款额相同;③在分期付款时,商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值;④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和.1.(4)n =1或n ≥2。
高中数学数列知识点总结(精华版)
一、数列1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2. 通项公式:如果数列 a n的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即a n f (n) .3. 递推公式:如果已知数列a n的第一项(或前几项),且任何一项a n与它的前一项a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 a n f (a n 1 ) 或 a n f (a n 1 , a n 2 ) ,那么这个式子叫做数列a n的递推公式 . 如数列a n中, a1 1, a n2a n 1 ,其中a n2a n 1 是数列 a n的递推公式 .4.数列的前 n项和与通项的公式① S n a1 a2a n;② a nS1 (n1)S n .S n 1 ( n 2)5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列 .①递增数列 : 对于任何n N , 均有 a n 1②递减数列 : 对于任何n N , 均有 a n 1③摆动数列 : 例如 :1,1,1,1,1, .④常数数列 : 例如 :6,6,6,6, ,,.⑤有界数列 : 存在正数M 使 a n M , n a n .a n . N.⑥无界数列 : 对于任何正数M , 总有项 a n使得 a n M .1、已知 a n n (n N *) ,则在数列 { a n } 的最大项为 __(答: 1 );n2156an 252、数列 { a n } 的通项为a n,其中 a,b 均为正数,则 a n与 a n 1的大小关系为 ___(答:bn 1a n a n 1);3、已知数列 { a n }中,a n n2n ,且 { a n } 是递增数列,求实数的取值范围(答:3 );4、一给定函数y f (x) 的图象在下列图中,并且对任意a1(0,1) ,由关系式 a n 1 f (a n )得到的数列{ a n }满足 a n 1 a n(n N *),则该函数的图象是()(答: A )二、等差数列1、等差数列的定义:如果数列an 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
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..一、数列1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2.通项公式:如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即af(n)n.3.递推公式:如果已知数列a n的第一项(或前几项),且任何一项a n与它的前一项a(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2),n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中,a11,a n2a n1,其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a;②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156,则在数列{}a的最大项为__(答:n125);2、数列{}a的通项为nana n,其中a,b均为正数,则a n与a n1的大小关系为___(答:bn1aa n1);n23、已知数列{a}中,a是递增数列,求实数的取值范围(答:3);ann,且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中,并且对任意a(0,1),由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN),则该函数的图象是()(答:A)neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义:如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
高中数学数列
高中数学数列知识点:1、等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质:(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;(3) m,n∈N*,则am=an+(m-n)d;(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有as+at=2ap;(5)若数列{an),(bn)均是等差数列,则数列(man+kbn}仍为等差数列,其中m,k均为常数。
(6)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项。
等差数列公式:等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为: Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则: am+an=2ap以上n均为正整数即:第n项的值=首项+(项数-1)*公差前n项的和=(首项+末项)*项数/2 公差=后项-前项2、等比数列:等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比数列a1≠ 0。
其中{an}中的每一项均不为0。
注:q=1 时,an为常数列。
等比数列求和公式(1)等比数列: a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通项公式:an=a1xq^(n-1);推广式: anamxq^(n-m);(3)求和公式: Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-g^n)/(1-q) =(a1-anch×q)/(1-q)(q≠1)(q为公比,n为项数)(4)性质:①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G≠0)"(6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
高中数学数列知识点精华总结
数 列 专 题考点一:求数列的通项公式1. 由a n 与S n 的关系求通项公式由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有:①利用S n -S n -1=a n (n≥2)转化为a n 的递推关系,再求其通项公式;数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n≥2.当n =1时,a 1若适合S n-S n -1,则n =1的情况可并入n≥2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示. ②转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 的关系,再求a n .}2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解.累加法:递推关系形如a n +1-a n =f(n),常用累加法求通项; 累乘法:递推关系形如a n +1a n=f(n),常用累乘法求通项;构造法:1)递推关系形如“a n +1=pa n +q(p 、q 是常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通项,此类通项问题,常用待定系数法.可设a n +1+λ=p(a n +λ),经过比较,求得λ,则数列{a n +λ}是一个等比数列;2)递推关系形如“a n +1=pa n +q n(q ,p 为常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以q n转化为类型(4),或同除以p n +1转为用迭加法求解.3)(倒数变形3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用:①作差;②作商;③结合函数图象等方法.;(3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n -1≤a n ,a n ≥a n +1,找到数列的最大项;利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n -1≥a n ,a n ≤a n +1,找到数列的最小项.[例3] 已知数列{a n }.(1)若a n =n 2-5n +4,①数列中有多少项是负数②n 为何值时,a n 有最小值并求出最小值.(2)若a n =n 2+kn +4且对于n ∈N *,都有a n +1>a n 成立.求实数k 的取值范围.考点二:等差数列和等比数列等差数列 等比数列 【定义 a n -a n -1=常数(n≥2) a na n -1=常数(n≥2) 通项公式a n =a 1+(n -1)da n =a 1qn -1(q≠0)…也是等差数列,(1)若m 、n 、p 、q∈N *,且m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q特别地,若m +n =2p ,则a m ·a n =a 2p . (2)a n =a m qn -m(3) 若等比数列前n 项和为S n 则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍成等比数列,即(S 2m -S m )2=S m (S 3m -S 2m )(m ∈N *,公比q≠-1). ,S n =na 1+a n 2=na 1+n n -12d(1)q≠1,S n =a 11-qn1-q =a 1-a n q 1-q(2)q =1,S n =na 11n n 个.解这类问题时,一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.3.用函数的观点理解等差数列、等比数列(1)对于等差数列a n =a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d),当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,对应的点(n ,a n )是位于直线上的若干个离散的点;当d >0时,函数是单调增函数,对应的数列是单调递增数列,S n 有最小值;:当d =0时,函数是常数函数,对应的数列是常数列,S n =na 1;当d <0时,函数是减函数,对应的数列是单调递减数列,S n 有最大值.若等差数列的前n 项和为S n ,则S n =pn 2+qn(p ,q∈R ).当p =0时,{a n }为常数列;当p≠0时,可用二次函数的方法解决等差数列问题.(2)对于等比数列a n =a 1qn -1,可用指数函数的性质来理解.当a 1>0,q >1或a 1<0,0<q <1时,等比数列{a n }是单调递增数列;当a 1>0,0<q <1或a 1<0,q >1时,等比数列{a n }是单调递减数列;当q =1时,是一个常数列;当q <0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列. 4.常用结论—(1)若{a n },{b n }均是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,则{ma n +kb n },{S nn }仍为等差数列,其中m ,k 为常数.(2)若{a n },{b n }均是等比数列,则{ca n }(c≠0),{|a n |},{a n ·b n },{ma n b n }(m 为常数),{a 2n },{1a n}等也是等比数列.(3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3,…成等比数列,且公比为a 3-a 2a 2-a 1=a 2-a 1qa 2-a 1=q .(4)等比数列(q≠-1)中连续k 项的和成等比数列,即S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列,其公比为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列,即S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列,公差为k 2d.5)>5.易错提醒(1)应用关系式a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n≥2时,一定要注意分n =1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.(2)三个数a ,b ,c 成等差数列的充要条件是b =a +c2,但三个数a ,b ,c 成等比数列的必要条件是b 2=ac. 6.等差数列的判定方法(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数; (2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n≥3,n ∈N *)成立; (3)通项公式法:验证a n =pn +q ; (4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn.%注意:在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断. 7.等比数列的判定方法(1)定义法:若a n +1a n =q(q 为非零常数,n ∈N *)或a n a n -1=q(q 为非零常数且n≥2,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(2)等比中项公式法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c·q n(c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法:若数列{a n }的前n 项和S n =k·q n -k(k 为常数且k≠0,q≠0,1),则{a n }是等比数列.注意:前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.考点三:数列求和中应用转化与化归思想的常见类型:]1.公式法——直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和(1)等差数列的前n 项和公式:S n =na 1+a n 2=na 1+n n -12d ; (2)等比数列的前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1-a n q 1-q =a 11-q n1-q ,q≠1.2.倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和即是用此法推导的. 3.错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,其中{a n },{b n }分别是等差数列和等比数列.求a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 的和就适用此法.做法是先将和的形式写出,再给式子两边同乘或同除以公比q ,然后将两式相减,相减后以“q n”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项,不要遗漏掉). 4.裂项相消法(注重积累!!!))利用通项变形,将通项分裂成两项或n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.这种方法,适用于求通项为1a n a n +1的数列的前n 项和,其中{a n }若为等差数列,则1a n a n +1=1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1a n +1.利用裂项相消法求和时应注意哪些问题(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或前面剩下两项,后面也剩下两项.常见的拆项公式(1)1n n +k =1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +k ; (2) 12n -12n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1;(3) 1nn +1=1n -1n +1; (4) 1n +n +1=n +1-n ;(5)n +n +k =1k(n +k -n).5.分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减. 6.并项求和法一个数列的前n 项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 7.放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的注意问题以及解题策略(1)明确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证明的结论,是小于某项,则放大,是大于某个项,则缩小。
高中数学数列知识点总结(精华版)知识分享
高中数学数列知识点总结(精华版)一、数列1. 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称 为该数列的项 .⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调 有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同 的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2. 通项公式:如果数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式,即 a n f(n).3. 递推公式:如果已知数列 a n 的第一项(或前几项),且任何一项 a n 与 它的前一项 a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 a n f(a n 1) 或a n f(a n1,a n 2) ,那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式. 如数列 a n 中, a 1 1,a n 2a n 1,其中 a n 2a n 1是数列 a n 的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S 1(n 1) ① S n a 1 a 2 a n ; ② a n 1.n 1 2 n nS n S n1(n 2)5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列, 常数数列;有界数列,无界数列 .① 递增数列 :对于任何 n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, . ④ 常数数列 : 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤ 有界数列 :存在正数 M 使 a n M,n N .⑥ 无界数列:对于任何正数 M ,总有项a n 使得 a n M.n11、已知a n 2 n (n N * ) ,则在数列 { a n }的最大项为__(答: 1);n 2 156 252、数列{a n }的通项为a n an,其中a,b 均为正数,则 a n 与a n1的大小关系bn 1为 ___(答: a n a n 1);a 1 (0,1) ,由关系式 a n 1 f (a n )得到的数列 {a n }满足 a n1 a n (n N*) ,则该函 数的图象是 ()(答: A )1、等差数列的定义 :如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
高中数学数列知识点总结5篇
高中数学数列知识点总结5篇篇1一、数列的基本概念数列是一种特殊的函数,其定义域为自然数集或其自然数子集。
数列分为等差数列和等比数列两种基本形式,此外还有更为复杂的数列形式。
数列的通项公式是描述数列的一般规律的重要工具,对于等差数列和等比数列,其通项公式分别为an=a1+(n-1)d和an=a1×q^(n-1)。
掌握数列的基本概念对于后续的学习至关重要。
二、等差数列等差数列是一种常见且重要的数列形式,其任意两项之差都相等。
在等差数列中,需要掌握的主要知识点包括等差数列的通项公式、求和公式、中项公式等。
等差数列的求和公式为Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+[n(n-1)/2]d,这些公式在处理与等差数列相关的问题时非常实用。
等比数列的特点是任意两项之比都相等。
在等比数列中,需要掌握的知识点包括等比数列的通项公式、求和公式以及公比的概念。
等比数列的求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q),掌握这个公式对于解决涉及等比数列的问题非常关键。
四、数列的极限数列的极限是描述数列变化趋势的重要概念。
当n趋近于无穷大时,数列的项会趋近于一个固定的值,这个值就是数列的极限。
掌握数列极限的概念和计算方法是分析数列性质的重要工具。
五、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用,如金融、物理、工程等领域。
例如,在金融领域,复利计算就涉及等比数列的应用;在物理领域,许多物理量的变化可以看作是等差或等比数列的形式。
掌握数列的应用对于解决实际问题具有重要意义。
除了等差数列和等比数列外,还有一些特殊数列需要了解,如斐波那契数列、三角数列等。
这些数列具有独特的性质和应用场景,了解这些数列有助于拓宽数学视野,提高数学素养。
七、数列的证明在数列的学习中,还需要掌握一些证明方法,如数学归纳法、反证法等。
这些证明方法在证明数列的性质和解决问题时非常有用。
掌握这些证明方法有助于提升数学思维和逻辑推理能力。
综上所述,高中数学中的数列知识点丰富且重要,需要掌握基本概念、等差数列和等比数列的性质、数列的极限、应用、特殊数列以及证明方法等方面的知识。
高中数列知识点总结(附例题)
高中数列知识点总结(附例题)知识点1:等差数列及其前n 项 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项如果 A =a +b2 ,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m )d ,(n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d .(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn ,(A 、B 为常数).7.等差数列的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最 大 值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最 小 值.[难点正本 疑点清源] 1.等差数列的判定(1)定义法:a n -a n -1=d (n ≥2); (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2.2.等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ,a m +k ,a m +2k ,a m +3k ,…仍是等差数列,公差为kd . (2)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列. (3)S 2n -1=(2n -1)a n .(4)若n 为偶数,则S 偶-S 奇=n2d . 若n 为奇数,则S 奇-S 偶=a 中(中间项).例1(等差数列的判定或证明):已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明 ∵a n =2-1a n -1 (n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1.∴n ≥2时,b n -b n -1=1a n -1-1a n -1-1=1⎝⎛⎭⎪⎫2-1a n -1-1-1a n -1-1=a n -1a n -1-1-1a n -1-1=1.∴数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知,b n =n -72,则a n =1+1b n=1+22n -7,设函数f (x )=1+22x -7,易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72,+∞内为减函数. ∴当n =3时,a n 取得最小值-1;当n =4时,a n 取得最大值3.例2(等差数列的基本量的计算)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围.解 (1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8.所以⎩⎨⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7. (2)方法一 ∵S 5S 6+15=0,∴(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 21+9da 1+10d 2+1=0.因为关于a 1的一元二次方程有解,所以 Δ=81d 2-8(10d 2+1)=d 2-8≥0,解得d ≤-22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6+15=0,∴(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0, 9da 1+10d 2+1=0.故(4a 1+9d )2=d 2-8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.例3(前n 项和及综合应用)(1)在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{a n }的通项公式是a n =4n -25,求数列{|a n |}的前n 项和.解 方法一 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.∴a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653.∴a 13=0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13=S 12=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.方法二 同方法一求得d =-53.∴S n =20n +n (n -1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n =-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. (2)∵a n =4n -25,a n +1=4(n +1)-25, ∴a n +1-a n =4=d ,又a 1=4×1-25=-21.所以数列{a n }是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列. 令⎩⎨⎧a n =4n -25<0, ①a n +1=4(n +1)-25≥0, ②由①得n <614;由②得n ≥514,所以n =6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而|a 7|=a 7=4×7-24=3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则T n =⎩⎪⎨⎪⎧21n +n (n -1)2×(-4) (n ≤6)66+3(n -6)+(n -6)(n -7)2×4 (n ≥7)=⎩⎨⎧-2n 2+23n (n ≤6),2n 2-23n +132 (n ≥7).例4,已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3例5等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ,且7453n nS n T n,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . (先求an/bn n=5,13,35)已知递推关系求通项:这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三常见思路:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ),由待定系数法求出,再化为等比数列; (3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列{}n a 中,113a =,当2≥n 时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-,则数列{}n a 的通项公式为例7在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n+=++,则n a = .知识点2:等比数列及其n 项和 1.等比数列的定义 2.等比数列的通项公式 3.等比中项若G 2=a ·b (ab ≠0),那么G 叫做a 与b 的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a n q n-m,(n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n . (3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),21221nn n n S S S S --=-1.21n S n ⇒=+1111122(2)n n n n n n S S S S n S S ---⇒-=⇒-=≥()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥13211221, 2.≥n n n n n a a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅2ln n+⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q(q ≠0),其前n 项和为S n , 当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q1-q.6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n .7. 等比数列的单调性【难点】1.等比数列的特征从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q 也是非常数. 2.等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法,揭示等比数列的特征及基本量之间的关系.在借用指数函数讨论单调性时,要特别注意首项和公比的大小. 3.等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)等比数列的通项公式a n =a 1q n -1及前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q(q ≠1)共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知三求二,体现了方程的思想的应用.(3)在使用等比数列的前n 项和公式时,如果不确定q 与1的关系,一般要用分类讨论的思想,分公比q =1和q ≠1两种情况.例1:(1)在等比数列{a n }中,已知a 6-a 4=24,a 3a 5=64,求{a n }的前8项和S 8; (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0),它的前n 项和为40,前2n 项和为3 280,且前n 项中数值最大的项为27,求数列的第2n 项. (1)设数列{a n }的公比为q ,由通项公式a n =a 1q n -1及已知条件得: ⎩⎨⎧a 6-a 4=a 1q 3(q 2-1)=24, ①a 3·a 5=(a 1q 3)2=64. ②由②得a 1q 3=±8.将a 1q 3=-8代入①式,得q 2=-2,无解将a 1q 3=8代入①式,得q 2=4,∴q =±2.,故舍去.当q =2时,a 1=1,∴S 8=a 1(1-q 8)1-q =255;当q =-2时,a 1=-1,∴S 8=a 1(1-q 8)1-q =85.(2)若q =1,则na 1=40,2na 1=3 280,矛盾.∴q ≠1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q n )1-q =40, ①a 1(1-q 2n )1-q =3 280, ②②①得:1+q n =82,∴q n=81, ③ 将③代入①得q =1+2a 1. ④又∵q >0,∴q >1,∴a 1>0,{a n }为递增数列. ∴a n =a 1q n -1=27, ⑤ 由③、④、⑤得q =3,a 1=1,n =4. ∴a 2n =a 8=1×37=2 187.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1 (n ≥2),且a n +S n =n.(1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式. 1)证明 ∵a n +S n =n , ① ∴a n +1+S n +1=n +1. ②②-①得a n +1-a n +a n +1=1,∴2a n +1=a n +1,∴2(a n +1-1)=a n -1, ∴a n +1-1a n -1=12,∴{a n -1}是等比数列. ∵首项c 1=a 1-1,又a 1+a 1=1,∴a 1=12,∴c 1=-12,公比q =12. 又c n =a n -1,∴{c n }是以-12为首项,12为公比的等比数列.(2)解 由(1)可知c n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n , ∴a n =c n +1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时,b n =a n -a n -1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1=a 1=12代入上式也符合,∴b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .例3 在等比数列{a n }中,(1)若已知a 2=4,a 5=-12,求a n ;(2)若已知a 3a 4a 5=8,求a 2a 3a 4a 5a 6的值.解 (1)设公比为q ,则a 5a 2=q 3,即q 3=-18,∴q =-12,∴a n =a 5·q n -5=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -4.(2)∵a 3a 4a 5=8,又a 3a 5=a 24,∴a 34=8,a 4=2.∴a 2a 3a 4a 5a 6=a 54=25=32.例4已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +a n +12,n ∈N *. (1)令b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式. 规范解答(1)证明 b 1=a 2-a 1=1, [1分]当n ≥2时,b n =a n +1-a n =a n -1+a n2-a n=-12(a n -a n -1)=-12b n -1, [5分]∴{b n }是首项为1,公比为-12的等比数列. [6分](2)解 由(1)知b n =a n +1-a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1, [8分]当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) [10分]=1+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -2=1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=1+23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1当n =1时,53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-121-1=1=a 1, ∴a n =53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1 (n ∈N *). [14分]例4 (07 重庆11)设11a a -+是和的等比中项,则a +3b 的最大值为 2 .(三角函数)例5 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为( )例 6 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;22,Z 3k k ππ±∈(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1+c 2b 2+…+c nb n=a n +1成立,求c 1+c 2+c 3+…+c 2 013.解 (1)由已知有a 2=1+d ,a 5=1+4d ,a 14=1+13d , ∴(1+4d )2=(1+d )(1+13d ).解得d =2 (∵d >0). ∴a n =1+(n -1)·2=2n -1.又b 2=a 2=3,b 3=a 5=9,∴数列{b n }的公比为3, ∴b n =3·3n -2=3n -1.2)由c 1b 1+c 2b 2+…+c nb n=a n +1得当n ≥2时,c 1b 1+c 2b 2+…+c n -1b n -1=a n .两式相减得:n ≥2时,c nb n=a n +1-a n =2.∴c n =2b n =2·3n -1 (n ≥2).又当n =1时,c 1b 1=a 2,∴c 1=3.∴c n =⎩⎨⎧3 (n =1)2·3n -1 (n ≥2).∴c 1+c 2+c 3+…+c 2 013=3+6-2×32 0131-3=3+(-3+32 013)=32 013.知识点3:数列的基本知识1,1-1)1(n n n n n S S n S a S a -==或的关系:与例1:设{}n a 数列的前n 项和2n S n =,则8a 的值为 15 .2,数列的递推公式及应用:利用数列的递推公式求数列的通项公式,一般有三种方法:累加法,累积法,构造法①对形如q pa a a a n n +==+11;的递推公式()1.≠p q p 为常数且,可令()λλ+=++n n a p a 1,整理得()λλλ+=+=+n n a p a p q1,1-,所以是{}λ+n a 等比数列②对形如q pa a a n n n +=+1的递推公式,两边取倒数后换元转化为nn a qp a +=+11,再求出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可例2:已知数列{}n a 满足n a a a n n 2-,3311==+,则na n的最小值为 10.5。
数列高考知识点大全总结
数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。
用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。
一般用字母或符号表示,如{an}、{bn}等。
2. 数列中的相关概念(1)通项公式:数列中的第n个数的一般表达式,通常用an表示。
(2)前n项和:数列前n项的和,通常用Sn表示。
3. 数列的分类(1)等差数列:若数列中相邻两项的差恒定,称其为等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d。
(2)等比数列:若数列中相邻两项的比恒定,称其为等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
(3)常数数列:数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性(1)有界数列:当数列中的数有上界和下界时,称其为有界数列。
(2)无界数列:当数列中的数没有上界和下界时,称其为无界数列。
2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时,称其为单调递增数列或者单调递减数列。
3. 数列的性质(1)数列的线性组合:若an和bn是两个数列,k和m是任意常数,那么k*an+m*bn 也是一个数列。
(2)数列的绝对值:若an是一个数列,那么|an|也是一个数列。
三、常见数列1. 等差数列(1)性质:等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。
(2)求通项公式:an=a1+(n−1)d。
(3)常用公式:Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列(1)性质:等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1),|q|>1。
(2)求通项公式:an=a1*q^(n-1)。
(3)常用公式:Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 斐波那契数列(1)定义:斐波那契数列是一个典型的递推数列,前两项都为1,从第三项开始,每一项都等于前两项之和。
(2)通项公式:an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
(3)性质:斐波那契数列是一个无界数列。
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳一、数列的概念与性质1.数列的定义:数列是一组按照一定规律排列的实数,通常用{a1, a2,a3,...}表示。
2.数列的分类:根据项的性质,数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等;根据项之间的关系,数列可分为等差数列、等比数列、几何数列等。
3.数列的性质:数列具有交换性、结合律、分配律等基本运算性质。
二、等差数列1.等差数列的定义与性质:等差数列是相邻两项之差为一个常数的数列。
2.等差数列的通项公式:an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
3.等差数列的前n项和公式:Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * [2a1 + (n-1)d]。
4.等差数列的求和公式应用:求解等差数列前n项和的最值、求解等差数列中的未知量等问题。
三、等比数列1.等比数列的定义与性质:等比数列是相邻两项之比为一个常数的数列。
2.等比数列的通项公式:an = a1 * q^(n-1),其中a1为首项,q为公比。
3.等比数列的前n项和公式:Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
4.等比数列的求和公式应用:求解等比数列前n项和的最值、求解等比数列中的未知量等问题。
四、其他数列1.几何数列:几何数列是相邻两项之比为一个常数的数列,通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
2.调和数列:调和数列是相邻两项之比为根号下n的数列,通项公式为an = a1 * (n^(1/2))^(n-1)。
3.Fibonacci数列:Fibonacci数列是满足递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)的数列,具有递归关系。
五、数列的递推关系与迭代1.递推关系的定义与性质:递推关系是利用数列的前几项求解后续项的关系。
2.迭代的方法与应用:迭代是求解递推关系的一种方法,可用于求解数列中的未知量、求解数列的极限等。
六、数列的极限与连续1.数列极限的定义与性质:数列极限是数列趋于某个值的过程,具有唯一性、无穷小性等性质。
高中数学数列知识点.总结(精华版)
. .一、数列1. 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2. 通项公式:如果数列a n 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即 a f (n)n .3. 递推公式:如果已知数列a n 的第一项(或前几项),且任何一项a n 与它的前一项a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ,n 1那么这个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中,a1 1, a n 2a n 1 ,其中na n 2a n 1是数列a n 的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式①S n a1 a2 a ;②nS (n 1)1a n .S S (n 2)n n 15. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .②递减数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, .④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N .⑥无界数列: 对于任何正数M , 总有项a 使得a n M .n1、已知n*a 2 (n N )nn 156,则在数列{ }a 的最大项为__(答:n125);2、数列{ }a 的通项为nana n ,其中a,b 均为正数,则a n 与a n 1 的大小关系为___(答:bn 1a a n 1);n23、已知数列{ a } 中, a 是递增数列,求实数的取值范围(答:3);a n n ,且{ } nn n4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中,并且对任意a( 0,1) ,由关系式a n 1 f (a n )1* 得到的数列{ }a 满足a n 1 a n (n N ) ,则该函数的图象是()(答:A)neord 完美格式. .二、等差数列1、等差数列的定义:如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
(完整版)数列知识点归纳
数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n );2.等差数列通项公式:*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ , 首项:1a ,公差:d 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而mn a a d mn --=; 3.等差中项(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2b a A +=或b a A +=2(2)等差中项:数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4.等差数列的前n 项和公式:1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+(其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n -时,n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5.等差数列的判定方法(1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列.(2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a . (3) 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=(其中b k ,是常数)。
(4)数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。
6.等差数列的证明方法定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法:-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈,.7.提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。
高中数学数列知识点总结精华版
/ 9 三、等比数列 1、等比数列的有关概念:如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann (或)(*1Naanqnn 2、等比数列的判断方法:定义法1(nnaqqa为常数),其中0,0nqa或11nnnnaaaa (2)n。 如1、一个等比数列{na}共有21n项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则1na为____(答:56); 2、数列{}na中,nS=41na+1 (2n)且1a=1,若nnnaab21 ,求证:数列{nb}是等比数列。 3、等比数列的通项:11nnaaq或nmnmaaq。 如 设等比数列{}na中,166naa,21128naa,前n项和nS=126,求n和公比q. (答:6n,12q或2) 4、等比数列的前n和:当1q时,1nSna;当1q时,1(1)1nnaqSq11naaqq。如 等比数列中,q=2,S99=77,求9963aaa(答:44) 提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分1q和1q两种情形讨论求解。 5、等比中项:如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=ab.提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为______(答:A>B)
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳摘要:一、数列的定义与性质1.等差数列的定义与性质2.等比数列的定义与性质二、数列的求和公式1.等差数列的前n 项和公式2.等比数列的前n 项和公式三、数列的应用1.高考数学中数列的知识点考察2.数列在实际问题中的应用正文:高中数学数列知识点归纳数列是高中数学中的一个重要知识点,它在历年的高考中都占有重要的地位。
本文将对数列的定义、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、数列的定义与性质1.等差数列的定义与性质等差数列是指一个数列,它的相邻两项之差是一个常数,这个常数称为公差。
等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中a1 是首项,d 是公差,n 是项数。
等差数列的前n 项和公式为:sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
2.等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列,它的相邻两项之比是一个常数,这个常数称为公比。
等比数列的通项公式为:an = a1 * q^(n-1),其中a1 是首项,q 是公比,n 是项数。
等比数列的前n 项和公式为:sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),当q = 1 时,等比数列变为等差数列。
二、数列的求和公式1.等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和公式为:sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
2.等比数列的前n 项和公式等比数列的前n 项和公式为:sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),当q = 1 时,等比数列变为等差数列。
三、数列的应用1.高考数学中数列的知识点考察高考数学中,数列是一个重要的考点,主要考察等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式,以及数列的求和、递推关系、极限等。
2.数列在实际问题中的应用数列在实际问题中有很多应用,如在金融领域,等比数列可以用来计算复利的未来值;在生物领域,等差数列可以用来描述种群数量的增长;在物理领域,等差数列可以用来描述匀速运动的速度等。
高中数学《数列》知识点归纳
高中数学《数列》知识点归纳
一、数列的概念
1. 数列的定义与表示
2. 数列的分类:等差数列、等比数列、等差几何数列、斐波那契数列、调和数列等
3. 数列的通项公式、前n项和公式及其应用
五、斐波那契数列
1. 斐波那契数列的定义和性质
2. 斐波那契数列的通项公式及其应用
3. 斐波那契数列的递推公式及其推导方法
4. 斐波那契数列的特殊应用:黄金分割
六、调和数列
1. 调和数列的定义和特征:调和平均数、算术平均数、宾汉姆不等式
2. 调和数列的通项公式及应用
3. 调和数列和几何平均数的关系
4. 调和数列的应用:调和平均数与平均速度等
七、数列极限
1. 数列的极限及其定义
2. 数列极限的性质:唯一性、有界性、保号性、代数运算性等
3. 数列极限的判定法:夹逼定理、单调有界原理等
4. 数列极限的应用:数学归纳法、发散数列的研究等
八、数列的应用领域
1. 数列在经济方面的应用:摆脱“复利”套路等
2. 数列在自然科学中的应用:波动方程、元素周期表等
3. 数列在计算机科学中的应用:搜索算法、排序算法等
4. 数列在生命科学和社会实践中的应用:基因序列分析、大学分配问题等。
高三数列知识点总结
高三数列知识点总结一、数列的概念与表示方法数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。
通常用小写字母a、s、b等表示数列,数列中的每一个数称为数列的项。
数列可以表示为a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...,其中a_{1}是首项,a_{n}是第n 项。
数列的一般形式可以表示为a_{n} = f(n),其中f(n)是项的函数表达式。
二、等差数列与等比数列1. 等差数列等差数列是指从第二项起,每一项与其前一项的差都相等的数列。
这个相等的差称为公差,通常用字母d表示。
等差数列的通项公式为a_{n} = a_{1} + (n - 1)d,其中a_{1}是首项,d是公差。
等差数列的前n项和公式为S_{n} = \frac{n}{2} [2a_{1} + (n - 1)d]。
2. 等比数列等比数列是指每一项与其前一项的比都相等的数列。
这个相等的比称为公比,通常用字母q表示。
等比数列的通项公式为a_{n} =a_{1}q^{n-1},其中a_{1}是首项,q是公比。
等比数列的前n项和公式为S_{n} = \frac{a_{1}(1 - q^n)}{1 - q},当q ≠ 1时成立。
三、数列的极限与函数极限数列的极限是指当项数n无限增大时,数列的项趋向于某个确定的值。
如果数列{a_{n}}的项满足a_{n} → L (n → ∞),那么我们称L是数列{a_{n}}的极限。
数列极限的性质包括唯一性、有界性、保号性等。
四、递推数列递推数列是指通过数列的前一项或前几项来定义下一项的数列。
递推数列的一般形式可以表示为a_{n} = g(a_{n-1}, a_{n-2}, ...,a_{n-k}),其中g是定义递推关系的函数。
常见的递推数列有斐波那契数列等。
五、无穷等比数列及其和无穷等比数列是指项数无限的等比数列。
无穷等比数列的和是指所有项的和,只有当公比的绝对值小于1时,无穷等比数列的和才收敛。
无穷等比数列的和公式为S = \frac{a_{1}}{1 - q},其中a_{1}是首项,q是公比。
高中数学数列知识点总结(精华版)
一、数列1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2.通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即)(n f a n =.3.递推公式:如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项),且任何一项n a 与它的前一项1-n a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ,那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中,12,11+==n n a a a ,其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++=Λ21; ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn . 5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1Λ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项为__(答:125); 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ,其中b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为___(答:n a <1+n a );3、已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,求实数λ的取值范围(答:3λ>-);4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是 ()(答:A )二、 等差数列1、 等差数列的定义:如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
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数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法:
(1)观察与归纳法:先观察哪些因素随项数n 的变化而变化,哪些因素不变:分析符号、数字、字母与
项数n 在变化过程中的联系,初步归纳公式。
(2)公式法:等差数列与等比数列。
(3)利用n S 与n a 的关系求n a :11,(1)
,(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
2. 等差数列的定义与性质
定义:1n n a a d +-=(d 为常数),通项:()11n a a n d =+-()m a n m d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()
1112
2
n n
a a n n n S na
d +-==+
性质:{}n a 是等差数列
(1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; (2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,
232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2;
(3)若三个成等差数列,可设为a d a a d -+,,
n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项,
即:当100a d ><,,解不等式组10
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.
当100a d <>,,由1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.
.
(3){}n ka 也成等差数列;(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m m a a a a a a a a a +++++++++++++L L L L 仍成等差数列. (8)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;
3. 等比数列的定义与性质
定义:
1
n n
a q a +=(q 为常数,0q ≠),11n n a a q -=.n m m a q -=
等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=
,或G = 前n 项和:
1111
11 (1) (1)
(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨-+≠=≠⎪⎪----⎩⎩
(要注意!)
性质:{}n a 是等比数列
(1)若m n p q +=+,则m
n p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等比数列,公比为n q . 注意:由n S 求n a 时应注意什么?
1n =时,11a S =; 2n ≥时,1n n n a S S -=-.
(3){||}n a 、{}n ka 成等比数列;{}{}n n a b 、
成等比数列{}n n a b ⇒成等比数列. (4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. (5)1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++L L L 成等比数列.
(6)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等比数列,
(7)p q m n p q m n b b b b +=+⇒⋅=⋅;22m p q m p q b b b =+⇒=⋅m n
m n m n n m S S q S S q S +=+=+.
(8)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
.(9)等差数列与等比数列的联系:各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4. 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:{}n a 是公差为d 的等差数列,求11
1
n
k k k a a =+∑
解:由
()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫
==-≠ ⎪+⎝⎭
·
∴11111
223111*********n
n
k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……
11111n d a a +⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
[练习]求和:111
112123123n
+
+++
+++++++ (121)
n n a S n ===-
+…………, (2)错位相减法
若{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,求数列{}n n a b (差比数列)前n 项和,可由n n S qS -,求n S ,其中q 为{}n b 的公比.
如:2311234n n S x x x nx -=+++++……
①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
②
①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……
1x ≠时,()()
2
111n
n
n
x nx S x x -=-
--,1x =时,()
11232
n n n S n +=++++=…… (3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫
⎬=++++⎭
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……。