一题多解专题01：一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题总结
一元二次不等式恒成立问题总结
前言：
嘿，朋友们！今天咱要来好好聊聊一元二次不等式恒成立问题，这可是数学里很关键的一部分呢！就好像我们在生活中寻找一直都在的美好一样，一元二次不等式恒成立也有它独特的魅力和挑战。
正文：
咱先说说什么是一元二次不等式恒成立吧。
比如说，x²-2x+3＞0 这个
不等式，如果在任何情况下它都是成立的，那这就是恒成立。
这就好比你有个宝贝玩具，不管啥时候拿出来玩都觉得超好玩！比如说，对于不等式
x²+ax+1＞0 恒成立，那这其中的奥秘可就多了去啦。
我们得去研究它的判别式啦，看看能不能找到一直成立的关键所在。
就好像我们要找到打开宝藏的那把钥匙一样！
然后呢，有些情况还得考虑特殊条件呢。
比如二次项系数是不是等于0。
哎呀，这就跟出门要不要带伞一样，得考虑清楚各种情况呀！像不等式 -
x²+2x+1≥0，咱就得仔细琢磨琢磨啦，可不能马虎。
结尾：
怎么样，一元二次不等式恒成立问题是不是很有意思呀？就像是解开一道神秘的谜题一样！好好去探索吧，朋友们，你们肯定能掌握好它的！加油！。
一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧
ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个 二次 问题,实现三个 二次 问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂ 在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑 郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考数学一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型(解析版)
一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型命题趋势不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
满分技巧一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c>0或a>0△<02.不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c<0或a<0△<0【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若f x >0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f x >0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数f x 的值域为m,n，则f x ≥a恒成立⇒f x min≥a，即m ≥a；f x ≤a恒成立⇒f x min≤a，即n≤a.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1.对任意的x∈m,n，a>f x 恒成立⇒a>f x max；若存在x∈m,n，a>f x 有解⇒a>f x min；公众号：高中数学最新试题若对任意x∈m,n，a>f x 无解⇒a≤f x min.2.对任意的x∈m,n，a<f x 恒成立⇒a<f x min；若存在x∈m,n，a<f x 有解⇒a<f x max；若对任意x∈m,n，a<f x 无解⇒a≥f x max.热点题型解读【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】【例1】(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)使得不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立的一个充分不必要条件是()A.0<a<2B.0<a≤2C.a<2D.a>-2【答案】A【解析】由不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，得Δ<0，即-a2-4<0，解得-2<a<2， 从选项可知0<a<2是-2<a<2的充分不必要条件，故选：A.【变式1-1】(2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)已知命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+ 1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(-5,3)C.(5,+∞)D.(-3,5)【答案】D【解析】因为命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+1≤0”是假命题，所以，命题“∀x∈R，4x2+a-1x+1>0”是真命题，所以，Δ=(a-1)2-16<0，解得-3<a<5，故实数a的取值范围是(-3,5)．故选：D.【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是____________．【答案】m ≤-1或m >0【解析】若命题是真命题：当m =0时，2mx 2+4mx +m -1<0，可化为-1<0，成立；当m ≠0时，m <0Δ=16m 2-8m m -1 <0 ，解得-1<m <0综合得当-1<m ≤0时，关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立是真命题，若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题则m ≤-1或m >0【变式1-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知关于x 的不等式x +kx-k >0恒成立，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】[0,4)【解析】x +kx -k >0，即x -k x +k >0(x >0)，令t =x >0，则t 2-kt +k >0(t >0)恒成立．所以k 2≤002-k ×0+k ≥0或k 2>0Δ=-k 2-4k <0,解得0≤k <4，故实数k 的取值范围是[0,4)．【变式1-4】(2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末)关于x 的不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则实数a 的取值范围为_________．【答案】a ∣-125<a ≤4 【解析】当a =4时，不等式可化为-1≥0，无解，满足题意；当a =-4时，不等式化为8x -1≥0，解得x ≥18，不符合题意，舍去；当a ≠±4时，要使得不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则a 2-16<0,Δ=a -4 2+4a 2-16 <0, 解得-125<a <4．综上，实数a 的取值范围是a ∣-125<a ≤4 ．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】公众号：高中数学最新试题【例2】(2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试)已知不等式-2x 2+bx +c >0的解集x -1<x <3 ，若对任意-1≤x ≤0，不等式-2x 2+bx +c +t ≤4恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】t ≤-2【解析】由题设，b 2=2且-c 2=-3，可得b =4,c =6，所以-2x 2+4x +2+t ≤0在-1≤x ≤0上恒成立，而f (x )=-2x 2+4x +2+t 在(-∞,1)上递增，故只需f (0)=2+t ≤0即可，所以t ≤-2.【变式2-1】(2022秋·山东青岛·高三统考期中)已知关于x 的不等式ax 2+(1-3a )x +2≥0的解集为A ，设B ={-1,1}，B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.-32≤a ≤14B.-14≤a ≤32C.a ≤-14D.a ≥32【答案】B【解析】由题意，a (x 2-3x )+x +2≥0在B ={-1,1}上恒成立，所以4a +1≥03-2a ≥0，可得-14≤a ≤32.故选：B【变式2-2】(2022秋·河南·高三期末)已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式ax -2 x2+bx -5 ≥0恒成立，则b +4a的最小值为()A.2B.25C.43D.32【答案】B【解析】设y =ax -2(x >0)，y =x 2+bx -5(x >0)，因为a >0，所以当0<x <2a时，y =ax -2<0；当x =2a时，y =ax -2=0；当x >2a时，y =ax -2>0；由不等式(ax -2)x 2+bx -5 ≥0恒成立，得：ax -2≤0x 2+bx -5≤0 或ax -2≥0x 2+bx -5≥0 ，即当0<x ≤2a时，x 2+bx -5≤0恒成立，当x ≥2a时，x 2+bx -5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx -5=0，则4a2+2b a -5=0，即b =5a 2-2a ，则当a>0时，b+4a=5a2-2a+4a=5a2+2a≥25a2×2a=25，当且仅当5a2=2a，即a=255时等号成立，所以b+4a的最小值为2 5.故选：B.【变式2-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知函数f x =ax2+x+a，不等式f x <5的解集为-3 2，1．(1)求a的值；(2)若f x >mx在x∈0,5上恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)a=2；(2){m|m<5}．【解析】(1)f x =ax2+x+a<5的解集为-3 2，1，即ax2+x+a-5<0的解集为-3 2，1，∴a>0-32+1=-1a-32×1=a-5a，解得a=2；(2)由(Ⅰ)可得f x =2x2+x+2，∵f x >mx在x∈0，5上恒成立，即2x2+1-mx+2>0恒成立，令h x =2x2+1-mx+2，则h x >0在0，5上恒成立，有m-14≤0h0 =2>0或0<m-14≤5m-12-2×2×4<0或m-14>5h5 =52+51-m>0，解得m≤1或1<m<5或m∈∅，综上可得m的范围为{m|m<5}．【变式2-4】(2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习)已知二次函数f x 满足f2 =-1，f-1=-1，且f x 的最大值是8.(1)试确定该二次函数的解析式；(2)f x >2x+k在区间-3,1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(1)f x =-4x2+4x+7；(2)k的取值范围为-∞,-35.【解析】(1)由f(2)=f(-1)，得x=2-12=12为二次函数的对称轴，因函数f(x)的最大值为8，所以可设f x =a x-1 22+8 ，公众号：高中数学最新试题又因f (2)=94a +8=-1，所以a =-4，因此f x =-4x 2+4x +7.(2)由(1)不等式f x >2x +k ，可化为-4x 2+4x +7>2x +k ，所以k <-4x 2+2x +7，因为f x >2x +k 在区间-3,1 上恒成立，所以k <-4x 2+2x +7在区间-3,1 上恒成立，故k <-4x 2+2x +7 min ，其中x ∈-3,1 ，又函数y =-4x 2+2x +7=-4x -142+294，又当x =-3时，y =-35，当x =1时，y =5，所以函数y =-4x 2+2x +7在-3,1 上的最小值为-35，所以k <-35，所以k 的取值范围为-∞,-35 .【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(2021·吉林松原·校考三模)若不等式x 2-ax ≥16-3x -4a 对任意a ∈-2,4 成立，则x 的取值范围为()A.-∞,-8 ∪3,+∞B.-∞,0 ∪1,+∞C.-8,6D.0,3【答案】A【解析】由题得不等式(x -4)a -x 2-3x +16≤0对任意a ∈-2,4 成立，所以(x -4)(-2)-x 2-3x +16≤0(x -4)4-x 2-3x +16≤0 ，即-x 2-5x +24≤0-x 2+x ≤0，解之得x ≥3或x ≤-8.故选：A【变式3-1】(2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习)若命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为()A.-1,4B.0,53C.-1,0 ∪53,4D.-1,0 ∪53,4【答案】C【解析】命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a ≥0”为真命题．令g (a )=ax 2-2ax +x +3-a =(x 2-2x -1)a +x +3≥0，则g (-1)≥0g (3)≥0 ，即-x 2+3x +4≥03x 2-5x ≥0 ，解得-1≤x ≤4x ≥53或x ≤0 ，所以实数x 的取值范围为-1,0 ∪53,4.故选：C 【变式3-2】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知当-1≤a ≤1时，x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是()A.-∞,3B.-∞,1∪ 3,+∞C.-∞,1D.-∞,1 ∪3,+∞【答案】D【解析】x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，即x -2 a +x 2-4x +4>0，对任意得a ∈-1,1 恒成立，令f a =x -2 a +x 2-4x +4，a ∈-1,1 ，当x =2时，f a =0，不符题意，故x ≠2，当x >2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递增，则f a min =f -1 =-x +2+x 2-4x +4>0，解得x >3或x <2(舍去)，当x <2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递减，则f a min =f 1 =x -2+x 2-4x +4>0，解得x <1或x >2(舍去)，综上所述，实数x 的取值范围是-∞,1 ∪3,+∞ .故选：D .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)当a ∈2,3 时，不等式ax 2-x +1-a ≤0恒成立，求x 的取值范围．【答案】-12,1 ．【解析】由题意不等式ax 2-x +1-a ≤0对a ∈2,3 恒成立，可设f (a )=(x 2-1)a +(-x +1)，a ∈2,3 ，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需f (2)≤0f (3)≤0，即2x 2-x -1≤03x 2-x -2≤0 ，解2x 2-x -1≤0，即2x +1 x -1 ≤0得-12≤x ≤1，解3x 2-x -2≤0，即3x +2 x -1 ≤0得-23≤x ≤1，所以原不等式的解集为-12,1 ，所以x 的取值范围是-12,1．【变式3-4】(2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)设函数f x =mx 2-mx -1．(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求x 的取值范围．【答案】(1)-∞,67；(2)-1,2 【解析】(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx +m -6<0对于x ∈-2,2 恒成立，即m <6x 2-x +1对于x ∈-2,2 恒成立．公众号：高中数学最新试题令h x =6x 2-x +1=6x -12 2+34，x ∈-2,2 ，则h x min =h (-2)=6254+34=67，故m <67，所以m 的取值范围为-∞,67．(2)对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx -1<-m +5恒成立，故m x 2-x +1 -6<0恒成立，令g m =m x 2-x +1 -6，则g -2 =-2x 2-x +1 -6<0g 2 =2x 2-x +1 -6<0 ，解得-1<x <2，所以x 的取值范围为-1,2 ．【题型4一元二次不等式在实数集上的有解问题】【例4】(2023·全国·高三专题练习)若存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立，则实数m 的取值范围为()A.-∞,2B.-∞,0 ∪13,32C.-∞,23D.-∞,1 【答案】C【解析】①当m =0时，不等式化为2x <0，解得：x <0，符合题意；②当m >0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向上的二次函数，只需Δ=m -2 2-4m 2=-3m 2-4m +4>0，即0<m <23；③当m <0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立；综上所述：实数m 的取值范围为-∞,23.故选：C .【变式4-1】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)若关于x 的不等式a 2-4 x 2+a +2 x -1≥0的解集不为空集，则实数a 的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.(-∞,-2)∪65,+∞ D.(-∞,-2]∪65,+∞【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当a 2-4=0时，即a =±2，若a=2时，原不等式为4x-1≥0，解可得：x≥1 4，则不等式的解集为x x≥1 4，不是空集；若a=-2时，原不等式为-1≥0，无解，不符合题意；②当a2-4≠0时，即a≠±2，若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则有a2-4<0Δ=(a+2)2+4(a2-4)<0，解得-2<a<65，则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时，有a<-2或a≥65且a≠2，综合可得：实数a的取值范围为(-∞,-2)∪65,+∞；故选：C．【变式4-2】(2023·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则实数a的取值范围是____．【答案】(-∞,1)∪(4,+∞)【解答】当a=0时，不等式为-2x+94<0有解，故a=0，满足题意；当a>0时，若不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则满足Δ=(a+2)2-4a⋅94>0，解得a<1或a>4；当a<0时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式ax2-(a+2)x+94<0总是有解，所以a<0，综上可得，实数a的取值范围是(-∞,1)∪(4,+∞).【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】-∞,1【解析】当a=0时，不等式为2x+1<0有实数解，所以a=0符合题意；当a<0时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式ax2+2x+1<0有实数解，符合题意；当a>0时，要使不等式ax2+2x+1<0有实数解，则需满足Δ=4-4a>0，可得a<1，所以0<a<1，综上所述：a的取值范围是-∞,1，公众号：高中数学最新试题【题型5一元二次不等式在某区间上的有解问题】【例5】(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)若关于x 的不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，则实数a 的取值范围是()．A.2,+∞B.-∞,5C.-∞,-3D.-∞,2【答案】D【解析】不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，仅需(x 2-6x +2)max >a 即可，令f (x )=x 2-6x +2，因为f (x )的对称轴为x =--62×1=3，f (0)=2，f (5)=-3，所以由一元二次函数的图像和性质的得(x 2-6x +2)max =2，所以a <2，故选：D【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式mx 2-6x +3m <0在0，2 上有解，则实数m 的取值范围是()A.-∞，3B.-∞，127C.3，+∞D.127，+∞ 【答案】A【解析】由题意得，mx 2-6x +3m <0，x ∈0，2 ，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在0，2 上有解，设g (x )=6x x 2+3，则g (x )=6x x 2+3=6x +3x ，x ∈0，2 ，对于x +3x≥23，当且仅当x =3∈(0,2]时取等号，则g (x )max =623=3，故m <3，故选：A【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，x 2-ax +36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为()A.a ≥37 B.a ≥13C.a ≥12D.a ≤13【答案】C【解析】∵命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0为真命题，即∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0成立，即a ≥x +36x能成立设f (x )=x +36x ，则f (x )=x +36x≥2x ⋅36x =12，当且仅当x =36x，即x =6时，取等号，即f (x )min =12，∴a ≥12，故a的取值范围是a≥12．故选：C．【变式5-3】(2022秋·北京·高三统考阶段练习)若存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】-∞,3【解析】将原不等式参数分离可得a<x2+x+3x+1，设f x =x2+x+3x+1，已知存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则a<f x max，令t=x+1，则f x =t-12+t-1+3t=t2-t+3t=t+3t-1，t∈1,2，由对勾函数知f x 在1,3上单调递减，在3,2上单调递增，f1 =1+31-1=3，f2 =2+32-1=52，所以f x max=f1 =3，即a<3.【变式5-4】(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】-2,+∞【解析】因为命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题则∃x∈[-1,1]，a>x2-3x有解，设f(x)=x2-3x，则f(x)=x2-3x=x-3 22-94，当x∈[-1,1]时，f(x)单调递减，所以-2≤f(x)≤4，所以a>-2.【变式5-5】(2022·全国·高三专题练习)设f x 为奇函数，g x 为偶函数，对于任意x∈R均有f x + 2g x =mx-4.若f x -x2+2g x ≥0在x∈0,+∞上有解，则实数m的取值范围是_____ _.【答案】m≥4【解析】由题设，f x -x2+2g x =mx-4-x2≥0，即x2-mx+4≤0在x∈0,+∞上有解，对于y=x2-mx+4，开口向上且对称轴为x=m2，Δ=m2-16，y|x=0=4，∴Δ≥0m2>0，可得m≥4.公众号：高中数学最新试题限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知命题P:∀x∈R，x2-2x+m>0，则满足命题P为真命题的一个充分条件是()A.m>2B.m<0C.m<1D.m≥1【答案】A【解析】∵命题P为真命题，∴不等式x2-2x+m>0在R上恒成立，∴△=4-4m<0，解得m>1，对于A，m>2⇒m>1，∴m>2 是m>1的充分条件，∴m>2 是命题P为真命题的充分条件，选项A正确；对于B，m<0推不出m>1，∴m<0不是m>1的充分条件，∴m<0不是命题P为真命题的充分条件，选项B不正确；对于C，m<1推不出m>1，∴m<1不是m>1的充分条件，∴m<1不是命题P为真命题的充分条件，选项C不正确对于D，m≥1推不出m>1，∴m≥1不是m>1的充分条件，∴m≥1不是命题P为真命题的充分条件，选项D不正确.故选：A.2.(2022秋·北京大兴·高三统考期中)若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是()A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1【答案】B【解析】由题可知，不等式x2+2x+m≤0在实数范围内有解，等价于方程x2+2x+m=0有实数解，即△=4-4m≥0，解得m≤1.故选：B.3.(2022秋·全国·高三校联考阶段练习)设m∈R，则“m>-34”是“不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立，得△=-1 2-4m +1 ≤0，解得m ≥-34．所以“m >-34”是“不等式x 2-x +m +1≥0在R 上恒成立”的充分不必要条件．故选：A 4.(2022秋·宁夏银川·高三校考期中)已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,14B.14,12C.14,+∞D.12,+∞【答案】C【解析】已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则不等式x 2-x +a >0在R 上恒成立，∴△=1-4m <0，解得a >14.因此，实数a 的取值范围是14,+∞.故选：C .5.(2022秋·河南·高三校联考阶段练习)设函数f x =2ax 2-ax ，命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，则实数a 的取值范围为()A.-∞,3B.3,+∞C.247,+∞D.32,+∞【答案】C【解析】因为命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，所以∃x ∈0,1 ，f x >-a +3是真命题，又f x >-a +3可化为2ax 2-ax >-a +3，即a 2x 2-x +1 >3，当x ∈0,1 时，2x 2-x +1∈78,2，所以m >32x 2-x +1在x ∈0,1 上恒成立，所以m >32x 2-x +1 max其中,x ∈0,1 ，当x =14时2x 2-x +1有最小值为78，此时32x 2-x +1有最大值为247，所以m >247，故实数m 的取值范围是247,+∞ ，故选：C 6.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，则m 的取值范围是()A.4,+∞B.2,+∞C.-∞,4D.-∞,2【答案】A【解析】因为对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，所以对任意的x ∈-1,0 ,m ≥2x 2-4x -2恒成立，公众号：高中数学最新试题因为当x ∈-1,0 ，y =2x -1 2-4∈-2,4 ，所以m ≥2x 2-4x -2 max =4，x ∈-1,0 ，即m 的取值范围是4,+∞ ，故选：A7.(2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)设函数f x =mx 2-mx -1，若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立，则实数m 的取值范围为()A.m <57B.0≤m <57C.m <0或0<m <57D.m ≤0【答案】A【解析】若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立,即可知：mx 2-mx +m -5<0在x ∈x |1≤x ≤3 上恒成立,令g x =mx 2-mx +m -5，对称轴为x =12.当m =0时，-5<0恒成立，当m <0时，有g x 开口向下且在1,3 上单调递减，在1,3 上g x max =g 1 =m -5<0，得m <5，故有m <0.当m >0时，有g x 开口向上且在1,3 上单调递增在1,3 上g x max =g 3 =7m -5<0，∴0<m <57综上，实数m 的取值范围为m <57，故选：A .8.(2022秋·湖南邵阳·高三统考期中)设函数f x =x 2+2ax +a 2-2a +3，若对于任意的x ∈R ，不等式f f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.a ≥32B.a ≤2C.32<a ≤2 D.a ≤32【答案】B【解析】∵f x =x 2+2ax +a 2-2a +3=x +a 2-2a +3，即开口向上且f x ∈-2a +3,+∞ ，由f f x ≥0恒成立，即f x ≥0在-2a +3,+∞ 上恒成立，∴当-2a +3≥0时，即a ≤32，由二次函数的性质，f x ≥0显然成立；当a >32时，y =f x 有两个零点，则只需满足-a ≤-2a +3f -2a +3 ≥0，解得a ≤2，故32<a ≤2；综上，a 的取值范围是a ≤2.故选：B9.(2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中)设a ∈R ，，若关于x 的不等式x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，则()A.a ≤2B.a ≥2C.a ≤52D.a ≥52【答案】C【解析】由x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，得x 2+1x≥a 在1≤x ≤2上有解，则a ≤x 2+1x max ，由于x 2+1x =x +1x ，而x +1x 在1≤x ≤2单调递增，故当x =2时，x +1x 取最大值为52，故a ≤52，故选：C 10.(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤0”是真命题，则实数a 的取值范围()A.-∞,0B.0,4C.4,+∞D.-∞,0 ⋃4,+∞【答案】D【解析】由题意，命题∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤”是真命题故△=a -2 2-4×4×14=a 2-4a ≥0，解得a ≥4或a ≤0.则实数a 的取值范围是-∞,0 ⋃4,+∞ 故选：D .11.(2022·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是()A.a |-1≤a ≤4B.a |-1<a <4C.a |a ≥4或a ≤-1D.a |-4≤a ≤1【答案】A【解析】因为关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，即x 2-4x +a 2-3a ≤0在R 上有解，只需y =x 2-4x +a 2-3a 的图象与x 轴有公共点，所以△=-4 2-4×a 2-3a ≥0，即a 2-3a -4≤0，所以a -4 a +1 ≤0，解得：-1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是a |-1≤a ≤4 ，故选：A .12.(2022·全国·高三专题练习)若关于x 的不等式x 2+ax -2>0在区间1,5 上有解，则实数a 的取值范围为()A.-235,+∞ B.-235,1C.1,+∞D.-∞,-235公众号：高中数学最新试题【答案】A【解析】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解，ax>2-x2在x∈1,5上有解，即a>2x-x在x∈1,5上成立；设函数f x =2x-x，x∈1,5，∴f x 在x∈1,5上是单调减函数，又f1 =2-1=1，f5 =25-5=-235所以f x 的值域为-23 5,1，要a>2x-x在x∈1,5上有解，则a>-235，即实数a的取值范围为-235,+∞．故选：A．13.(2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习)若存在实数x，使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立，则实数a的取值范围是______.【答案】a<4【解析】a<3时，若x=0，则不等式为a-3<0，不等式成立，满足题意，a≥3时，在在x使得不等式ax2-4x+a-3<0成立，则△=16-4a a-3>0，∴3≤a<4．综上，a<4．14.(2021·全国·高三专题练习)已知函数x2-x,x≤02x,x>0.若存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，则实数a的取值范围是________.【答案】-∞,-3⋃-1,+∞【解析】由题意，当x=0时，不等式f x ≤ax-1可化为0≤-1显然不成立；当x<0时，不等式f x ≤ax-1可化为x2-x+1≤ax，所以a≤x+1x-1，又当x<0时，x+1x=--x+-1x≤-2，当且仅当-x=-1x，即x=-1时，等号成立；当x>0时，不等式f x ≤ax-1可化为2x+1≤ax，即a≥1x+2x=1x+12-1≥-1；因为存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，所以，只需a≤-2-1=-3或a≥-1.15.(2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若命题：“存在整数x使不等式kx-k2-4x-4<0成立”是假命题，则实数k 的取值范围是____________.【答案】1,4【解析】设不等式kx -k 2-4 x -4 <0的解集为A，当k =0时，不等式kx -k 2-4 x -4 <0化为x >4，存在整数x 使不等式成立，所以此时不满足题意，所以k ≠0；当k >0时，原不等式化为x -k +4kx -4 <0，因为k +4k ≥2k ⋅4k =4,当且仅当k =4k即k =2时取等号，所以A =x |4<x <k +4k ，要使命题：“存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立”是假命题，则需4≤k +4k≤5，解得1≤k ≤4；当k <0时，原不等式化为x -k +4kx -4 >0，而k +4k =--k +4-k ≤-2-k ⋅4-k =-4，当且仅当-k =4-k即k =-2时取等号，所以A =-∞,k +4k∪4,+∞ ,所以存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立，所以k <0不合题意.综上可知，实数k 的取值范围是1,4 .16.(2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试)ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_________ .【答案】1,+∞【解析】由ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，可得，a ≥2x -1x2对∀x >0恒成立，令y =2x -1x2，则y =1-1x -1 2,1x >0 当1x=1时，y max =1，所以a ≥y max =1.17.(2021·全国·高三专题练习)若不等式x 2-2>mx 对满足m ≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】x <-2或x >2【解析】因为x 2-2>mx ，所以mx -x 2+2<0令f m =mx -x 2+2，即f m <0在m ≤1恒成立，即-1≤m ≤1时f m <0恒成立，公众号：高中数学最新试题所以f1 <0f-1<0，即x-x2+2<0-x-x2+2<0，解x-x2+2<0得x>2或x<-1；解-x-x2+2<0得x>1或x<-2，所以原不等式组的解集为x∈-∞,-2∪2,+∞18.(2023·全国·高三专题练习)若不等式-x2+t2-2at+1≥0对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】-∞,-2∪0 ∪2,+∞【解析】由题意得t2-2at+1≥x2对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，所以t2-2at+1≥1对任意a∈-1,1恒成立，即t2-2at≥0对a∈-1,1恒成立，令g a =t2-2at=-2at+t2，则g a 是关于a的一次函数，所以只需g1 ≥0g-1≥0，即t2-2t≥0t2+2t≥0，解得t≥2或t≤-2或t=0，所以实数t的取值范围是-∞,-2∪0 ∪2,+∞。
一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题
一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.例1. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足1<x<4的一切x 值，都有f(x)>0，求实数a 的 取值范围.【解析】法一：当a>0时，aa x a x f 12)1()(2-+-=，由x ∈(1,4)，f(x)>0得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≤022)1(11a f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<012)1(411a af a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥02816)4(41a f a 所以⎩⎨⎧≥≥01a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<21141a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤8341a a ，所以1≥a 或121<<a ，即21>a 。
当a<0时，⎩⎨⎧≥+-=≥+-=02816)4(022)1(a f a f ，解得a ∈∅;当a=0时，22)(+-=x x f , f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.综上可得，实数a 的取值范围是21>a 。
. 法二：由f(x)>0, 即0222>+-x ax ,x ∈(1,4)， 则有xx a 222+->在(1，4)上恒成立. 令21)211(222)(22+--=+-=x x x x g ，)1,41(1∈x 21)2()(max ==∴g x g ， 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要21>a 即可. 故a 的取值范围为21>a . 针对性练习：1.已知不等式2mx －2x －m ＋1<0.(1)若对所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解析 (1)不等式2mx －2x －m ＋1<0恒成立，即函数f(x)＝2mx －2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方.（i) 当m ＝0时，1－2x<0不恒成立；（ii) 当m ≠0时，函数f(x)＝mx2－2x －m ＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，则m 无解. 综上，不存在这样的m ，使不等式恒成立.(2) 设f(m)＝(2x －1)m ＋(1－2x)，当2x －1＝0时，即x ＝±1时，检验得x ＝1时符合题意，当2x ≠1时，则f(m)是以m 为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该 直线当－2≤m ≤2时的线段在x 轴下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ② 解①，得x <－1－72或x >－1＋72， 解②，得1－32<x <1＋32. 由①②，得－1＋72<x <1＋32，且x ≠1. 综上，x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32 2.已知函数1)(23+++=cx bx x x f 在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调 递减，且b ≥0.(1)求f(x)的表达式；(2)设0<m ≤2，若对任意的x1、x2∈[m －2，m]不等式|f(x1)－f(x2)|≤16m 恒成立，求实 数m 的最小值．解析 (1)由题意知x ＝－2是该函数的一个极值点.∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(－2)＝0，即12－4b ＋c ＝0.又f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－2,2]上恒有f ′(x )≤0. ∴f ′(2)≤0，即12＋4b ＋c ≤0. ∴12＋4b ＋4b －12≤0.∴b ≤0，又b ≥0，∴b ＝0，c ＝－12，f (x )＝x 3－12x ＋1.(2)∵f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．0<m ≤2，而当m －2≤x ≤m 时，0<m ≤x ＋2<m ＋2，m －4≤x －2≤m －2≤0，∴f ′(x )≤0，x ∈[m －2，m ]. 因此f (x )为[m －2，m ]上的减函数，∴对任意x 1，x 2∈[m －2，m ]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝f (m －2)－f (m )＝－6m 2＋12m ＋16≤16m ， ∴m ≥43，即m min ＝43.。
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。
在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。
1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。
一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。
在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。
2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。
在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。
3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。
例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。
解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。
我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。
当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。
把握解题技巧,突破一元二次不等式恒成立问题
把握解题技巧,突破一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废。
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查我们的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
一元二次不等式恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:一次函数型;二次函数型;变量分离型;直接根据函数的图像。
下面我们通过实例对解题中常用的技巧作一剖析。
一、反客为主，更换主元技巧有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境。
如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突出出来，常常能收到出人意料的效果。
能过更换主元措施可以将二次型不等式转化为一次不等式，达到简化解题的目的。
当一个题中有多少个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，此法称为“更换主元法”，可达到逐步减少参数使问题获得解决。
“更换主元法”是将二次函数恒成立问题转化为一次函数恒成立问题的一种重要措施，在解题时要注意灵活运用。
例1 对任意的m?[-1，1]，函数f(x)=x2+(m-4)x-2m+4恒正，求x的取值范围。
分析:本题如果以x为主元，给解题带来了很大的难度，而如果以m为主元，就为解题找到了一个新的突破口。
对任意的m?[-1，1]，有x2+(m-4)x-1-2m+4,0恒成立，[-1，1]时，(x-2)m+x2-4x+4,0恒成立，从而将二次函数恒成立问题转化为一等价于m?次函数恒成立问题。
解: 设g(m)=(x-2)m+x2-4x+4，则有。
解得x,1或x,3。
评注:对于一次函数f(x)=kx+b，若f(m),0，f(n),0，则当m?[m，n]时恒有f(x),0;对于一次函数f(x)=kx+b，若f(m)?0，f(n)?0，则当m?[m，n]时恒有f(x)?0。
一元二次不等式恒成立问题(高一最新)
微专题不等式一元二次不等式恒成立问题一、备考基础——查清1、解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是数性结合法，借助二次函数图像，解决问题；二是分离变量法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.二、热点命题——悟通角度一形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围例1 若关于x的不等式x2＋ax＋4≥0恒成立，则实数a取值范围是___________练习：1.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是_____________．2.若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是____________3.函数f(x)＝ln(3x2＋ax＋1)的定义域为R，则实数a的取值范围是________[总结反思] 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．角度二形如f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围例2 1. 设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，求实数a的取值范围2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．[总结反思]解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是数性结合法，借助二次函数图像，解决问题；(抓住图像的独特性[隐性结论])二是分离变量法，把不等式等价转化，求谁的范围就把谁分离到不等式左侧,使之转化为函数的最值问题.(比最大值还大,比最小值还小)角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围例3 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围．[总结反思] 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．课后巩固练习:1.已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．2．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．3．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．(*)4．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________5. 求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围______6．关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[2,2]a ∈-均成立，则x 的范围是______7.若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_______ _8.对任意的实数x ，求实数a 的取值范围_______ _。
一元二次不等式解法-恒成立问题
(2) x 2 x 3 0.
2
3 （3） x 7 x 10
2
（4）
2x 4x 7 0
2
新课讲解 类型一：已知不等式的解集求参数的值
例1、已知不等式 ax 2 bx 2 0 的解为
1 2 x 1
，求a,b的值 3
新课讲解 类型2：已知不等式的解集求参数的取值范围
1、若不等式 x ax a 0的解集不是空 集，求 a 的取值范围。
2
2、若函数 y
ax 2 x 3
2
的定义域 的定
为 R ，求 a 的取值范围
2 3、函数y=㏒( kx 6 kx k 8) 2
R 义域为 ，求k 的取值范围
例2：若关于x的一元二次不等式 2x
2
8x 6 m 0
的解集为R，则m的取值范围__________。
二次函数的 y 2 x 8 x 6 m 草图
2
△>0
△=0
△<0
变式1：若函数
f ( x)
2x 8x 6 m
2
的定义域为R，则m的取值范围是__________。
变式2.若不等式2 x 8 x 6 m 0的解集为空集, 则实数
2
m的取值范围是 ____ .
变式 3： 若关于 x 的不等式： ax 2 ax - 2 0的解集为 R ,
2
求实数a的取值范围。
小结与归纳
• 不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数（或在R上 恒成立的条件是：（1）当a=0时b=0,c>0 (2)当 a 0 时
a 0 0
一元二次不等式恒成立问题的解法
一元二次不等式恒成立问题的解法哎呀，这一元二次不等式恒成立问题可真是个让人头疼的家伙！但别怕，我这个小学生今天就来和你好好说道说道。
你想想，一元二次不等式就像是一个调皮的小怪兽，总是变着法儿地给我们出难题。
比如说，它会变成ax² + bx + c > 0 这样的模样，然后问我们啥时候它能一直成立。
我们先来看，如果这个不等式是大于0 恒成立的情况。
这就好比我们要找一个超级强壮的大力士，不管什么时候都能打败对手。
那这个大力士得有什么条件呢？首先，a 得大于0 呀，这就像是大力士要有坚定的决心，要是a 小于0 ，那不就像没了斗志，还怎么赢？然后，判别式b² - 4ac 得小于0 ，这就好像是大力士不能有弱点，一旦有了弱点，就可能被对手抓住打败啦。
再说说小于0 恒成立的情况，这就好像是要找一个永远都输不了的弱小选手，那a 就得小于0 ，判别式b² - 4ac 还是小于0 。
举个例子吧，假如有个不等式x² + 2x + 3 > 0 ，这里a = 1 大于0 ，b = 2 ，c = 3 ，判别式b² - 4ac = 2² - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ，小于0 ，所以这个不等式就恒大于0 。
你说，这一元二次不等式恒成立问题是不是很像一场和小怪兽的战斗？我们得找到它的弱点，才能战胜它！
总之，解决一元二次不等式恒成立问题，关键就是看a 的正负和判别式的大小。
只要我们掌握了这个秘诀，再调皮的小怪兽也难不倒我们！。
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
一元二次不等式恒成立问题
教学设计一元二次不等式恒成立问题似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）大而化之，步步紧逼（化，分解讨论的意思）【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：似曾相识燕归来无可奈何花落去【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相对应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也能够翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相对应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）那么对于这个类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.（师板书）一、典例例：关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱）【生】是！（绝绝大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气缺乏）【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？【生】（绝绝大部分反应过来）不一定！【师】为什么不一定啊？【生】因为)2(-m 的值不定！【师】（即时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数()2-m ，看看它的庐山真面目到底是什么.（一）（准备工作）：讨论系数（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）︒1当()02=-m 即2=m 时，那么原不等式变成了常数不等式︒2当()02≠-m 时，原不等式是一元二次不等式.【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这个步你写出来了，高考时两分就拿到手了.（二）（具体步骤）：分类讨论1当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：04002<-⋅+⋅x x【师】那么这个不等式是不是最终成了04<-，它是不是无论x 取何值时不等式都恒成立成立啊？【生】是！∴ 2=m 时，不等式恒成立【师】那么我们来讨论第二步.2当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式.【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知道()2-m 的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？【生】分类讨论和数形结合的思想！【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，我们就先画出()()42222--+-=x m x m y 的图像.然后再在图像上找出0<y 时x 的取值是什么就能够了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.()02>-m 或()02<-m .那么我们就先画出()02>-m ，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.那么这个图像又是经过），（40-的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与x 轴交点 是两个一个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如以下图：【师】那么当02>-m 时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判别式依次是：0>∆、0=∆或0<∆.()1 0)2>-m （的图像）（102>-m 0>∆ )2( 02>-m 0=∆ )3( 02=-m 0<∆【师】好，那么我们把0)2(<-m 的情况也画出来，也是三个图像.)2( 0)2(<-m 的图像）（402<-m 0>∆ )5( 02<-m 0=∆ )6( 02<-m 0<∆【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一以下图像，再看一下题目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围）.（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再逐个的分析，然后得出结论）（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比方说我们看NBA 比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃）【生】第6个图像满足！【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m应满足什么条件啊？【生】（能迅速回答出来）02<-m 且0<∆！【师】对！所以立马我们就能得出两个联立的不等式[]⎩⎨⎧<----=∆<-0)4)(24)2(2022m m m （解之得：22<<-m综上所述，当22≤<-m 时，关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.（师强调：我们第一步做的等于2的那个值一定不要忘记）【师】好了这道题我们基本上做完了.那么我把原不等式变为()()042222≤--+-x m x m （≤<变为）那么哪一个图像满足条件啊？对应方程()()042222=--+-x m x m 要满足什么条件啊？【生】（基本上所有的同学都能回出来）第5个！对应方程要满足02<-m 且0=∆.【师】对！那么我这样变，变为()()042222>--+-x m x m ，哪一个图像满足条件？对应方程()()042222=--+-x m x m 应满足什么条件啊？ 【生】（争先恐后的回答）第三个！对应方程要满足02=-m 且0<∆【师】那么变为()()042222≥--+-x m x m 呢？ 【生】第2个！对应方程要满足02>-m 且0=∆.【师】非常好！那么大家在学习的时候要学会总结，学会举一反三.今天的课就讲到这里。
一元二次不等式恒成立
一元二次不等式恒成立一元二次不等式是数学中一个重要的概念，它与一元二次方程有很多相似之处，但也有许多不同点。
在求解一元二次不等式时，我们常常需要先确定其解集，即满足不等式的所有可能的实数解，这样可以更好地描述出不等式所代表的区间。
但有时，我们也会遇到一些特殊的情况，即一元二次不等式恒成立。
那么，在本文中，我们将详细讨论什么是“一元二次不等式恒成立”，其表现形式以及应用场景。
一、一元二次不等式恒成立的定义所谓“一元二次不等式恒成立”，是指该不等式对于任何实数值均成立，也就是说，在该不等式中，不存在任何一组实数代入使得不等式不成立。
这时，我们称该不等式为“恒成立的一元二次不等式”。
二、一元二次不等式恒成立的表现形式一元二次不等式恒成立的条件是：当一元二次不等式中的二次项系数a大于0时，该不等式恒成立；当二次项系数a小于0时，该不等式恒不成立。
具体来说，当二次项系数a>0时，该一元二次不等式的重要特征是开口向上，其图像形状类似于一个“U”型，因此，当代入任何实数值时，都会有y>=c的情况，其中“c”为不等式的常数项。
因此，这样的一元二次不等式恒成立。
反之，当二次项系数a<0时，该一元二次不等式的图像形状类似于一个倒置的“U”型，也就是开口向下。
此时，即使我们代入无限接近于正无穷或负无穷的实数值，其结果仍然无法满足不等式。
这时，该不等式恒不成立。
三、一元二次不等式恒成立的应用在实际的数学问题中，一元二次不等式恒成立的应用场景比较千变万化。
下面，我们将列举一些常见的应用场景：1、优化问题：当一元二次不等式恒成立时，我们可以通过求该不等式中的“a”系数来确定解的最值，以便优化算法的效率和准确率。
2、数学模型问题：在一些数学模型问题中，由于需要满足某些物理定律或约束条件，我们需要列出一系列一元二次不等式，以确定解的取值范围。
如果其中任一不等式恒成立，则意味着该模型在所有实数条件下都能够满足预期的物理特性。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题个性化教案授课时间：备课时间：年级：课时：课题：学员姓名：授课老师：教学目标教学难点(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.教学 内容复习引入：题型一.解一元二次不等式(1)x 2+7x −30≤0 (2)25x 2+5x +1>0 (3)−x 2+6x −9≥0题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）(1) (x+1)2(x-2)3＜0 (2) (x+2)3(x-2)2(x+2)＞0 (3) (x+1)4(x-1)3(x 2-1)＜0题型三.解分式不等式(方法：等价变换)(1) x−2x 2+6x+9＜0 (2) x+1x 2−9≥0 (3)x 2+9x−22x−5≤0Ⅰ.02>-m ，0>∆ Ⅱ.02>-m ，0=∆ Ⅲ. 02>-m ，0<∆)2( 0)2(<-m 的图像Ⅳ.02<-m ，0>∆ Ⅴ. 02<-m ，0=∆ Ⅵ. 02<-m ，0<∆经观察，只有Ⅵ情况满足题目条件，所以得[]⎩⎨⎧<----=∆<-0)4)(24)2(2022m m m （ 解之得：22<<-m综上所述，当22≤<-m 时，对于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.变式题：关于x 的不等式()()042222≤--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.思考题：当m 为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m 与x 轴无交点？例2. 设函数22)(2+-=x axx f ，对于满足1<x<4的一切x 值，都有f(x)>0，求实数a 的取值范围.【解析】法一：当a>0时，aax a x f 12)1()(2-+-=，由x ∈(1,4)，f(x)>0得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≤022)1(11a f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<012)1(411a af a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥02816)4(41a f a所以⎩⎨⎧≥≥01a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<21141a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤8341a a ，所以1≥a 或121<<a ，即21>a 。
一元二次不等式恒成立问题
数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学思想方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、明显的综合性、明显的探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容。
应用分类讨论，往往能够使复杂的问题简单化。
分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性能力，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力，这是素质教育的本质所在。
题型五.不等式恒成立问题例1.关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】 ①当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：04002<-⋅+⋅x x∴ 2=m 时，不等式恒成立②当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式. 再根据m-2的正负具体分类，那么不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无三种情况，那么它的判别式依次是：0>∆、0=∆或0<∆. ()1 0)2>-m （的图像Ⅰ.02>-m ，0>∆ Ⅱ.02>-m ，0=∆ Ⅲ. 02>-m ，0<∆)2( 0)2(<-m 的图像Ⅳ.02<-m ，0>∆ Ⅴ. 02<-m ，0=∆ Ⅵ. 02<-m ，0<∆经观察，只有Ⅵ情况满足题目条件，所以得[]⎩⎨⎧<----=∆<-0)4)(24)2(2022m m m （解之得：22<<-m综上所述，当22≤<-m 时，对于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是实数，且a不等于零。
在解一元二次不等式时，我们经常使用判别式和一元二次函数的图像来帮助我们找到解集。
要判断一元二次不等式的解集，我们首先需要找到一元二次不等式的根。
一元二次不等式的根可以通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。
一元二次方程的解可以使用求根公式：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)来计算。
如果一元二次方程的判别式b^2 -4ac大于零，那么方程就有两个不同的实根。
如果判别式等于零，那么方程有一个实根。
如果判别式小于零，那么方程没有实根。
接下来，我们可以使用一元二次函数的图像来帮助我们找到一元二次不等式的解集。
一元二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向取决于a的正负。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
根据抛物线与x轴的交点的情况，我们可以判断出一元二次不等式的解集。
如果一元二次不等式的a大于零，表示抛物线开口向上。
如果判别式大于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。
如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。
如果判别式小于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。
如果一元二次不等式的a小于零，表示抛物线开口向下。
如果判别式大于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。
如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。
如果判别式小于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。
通过以上的分析，我们可以总结出一元二次不等式恒成立的条件。
一元二次不等式恒成立，有以下两个条件：1. a不等于零；2.一元二次不等式对所有实数x都成立。
如果a等于零，那么不等式就变成了一次不等式，而不是二次不等式。
一元二次不等式恒成立问题
高中数学：一元二次不等式恒成立问题角度1 在R 上的恒成立问题若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R恒成立，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，对一切x ∈R恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a 2＜4，解得－2＜a ＜2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． 角度2 在给定区间上的恒成立问题设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 .解析：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.角度3 给定参数范围的恒成立问题对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．解析：由题意知，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0， 即(x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0对任意a ∈[－1，1]恒成立． 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4＞0，解得x ＜1或x ＞3，故x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略(1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0. (2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤A ．3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．(1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( D )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)解析：因为2kx 2＋kx －38＜0为一元二次不等式，所以k ≠0，又2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎨⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 .解析：作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 解得－22＜m ＜0.。
7一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题 试题回顾：函数)1(1
4)(>-+=x x x x f ，若a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。
1.函数1)(2++=kx kx x f ，若0)(>x f 对任意x 恒成立，求k 的取值范围。
2.若不等式022>+-a ax x 对R x ∈恒成立，求关于t 的不等式1322<-+t t a 的解集。
3.若关于x 的不等式0241≥--+a x x 在[]2,1∈x 上恒成立，求a 的取值范围。
4.设函数1)(2--=mx mx x f
（1）若R x ∈，5)(+-<m x f 恒成立，求m 的范围。
（2）若[]3,1∈x ，5)(+-<m x f 恒成立，求m 的范围。
5.当)2,1(∈x 时，不等式042
<++mx x 恒成立，求m 的范围。
6.已知[)+∞-∈+-=,1,22)(2x ax x x f 当时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。
7.已知不等式01222<++-m x mx
（1）若对于R x ∈不等式恒成立，求m 的范围。
（2）若对于任意的[]0,1-∈m 不等式恒成立，求x 取值范围。
8.若[]1,1-∈a 不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 取值范围。
一元二次不等式恒成立问题总结介绍
一元二次不等式恒成立问题总结介绍1不等式02>+-a x ax 的解集是R ，则实数a 的取值范围是__________________. 2若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为 .3若不等式012>++bx ax 的解集是)31,1(-，则不等式02>++a bx x 的解集是________. 4解不等式组⎩⎨⎧≥-<--1|32|0822x x x5解关于x 的不等式).(02R a ax a x ∈<-- 6．若不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的范围. 7.)8(6kx y 2++-=k kx 的定义域为R ，求k 的取值范围。
恒成立问题及根的分布问题：1 设函数m mx +--=6mx f(x )2，若对于]2,2[-∈m ，f(x)＜0恒成立，求实数x 的取值范围。
2.22x f(x )2+-=ax ，当)[-1,x +∞∈时，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围。
3 设函数m mx mx x f +--=6)(2，若对于[]0)(3,1<∈x f x ，恒成立，求实数m 的取值范围4 若不等式01x 2≥++ax 对于一切1(0,]2x ∈恒成立，则a 的最小值为（ ） A.0 B.－2 C.－25 D.－35．若一元二次方程(m-1)x 2+2(m+1)x-m=0有两个正根，求m 的取值范围6 .x 的方程x 2-ax+a 2-4=0有两个正根，求a 的取值范围7关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有两个负根，求k的取值范围8．关于x的方程kx2+２(k-1)x+２k＋６=0至少有一个正根，求k的取值范围9.m取什么值时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1？１0.若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中，一根大于2，另一根小于2.求m 的取值范围.11（１）已知：方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两个实数根x1,x2满足：0<x1<1<x2<2.求：k的取值范围.（２）关于x的方程x2-２tx+t2-1=0的两个实数根介在－２和４之间，求t的取值范围．。
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一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的两种解法
(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.
(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.
例1. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足1<x<4的一切x 值，都有f(x)>0，求实数a 的 取值范围.
【解析】法一：当a>0时，a
a x a x f 12)1
()(2-+-=，由x ∈(1,4)，f(x)>0得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≤022)1(11a f a 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-=<<012)1(411a a f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥02816)4(41a f a 所以⎩⎨⎧≥≥01a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<21141a a 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤8341a a ，所以1≥a 或121<<a ，即21>a 。
当a<0时，⎩⎨⎧≥+-=≥+-=0
2816)4(022)1(a f a f ，解得a ∈∅;
当a=0时，22)(+-=x x f , f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得，实数a 的取值范围是2
1>
a 。
. 法二：由f(x)>0, 即0222>+-x ax ,x ∈(1,4)， 则有x
x a 222+-
>在(1，4)上恒成立. 令21)211(222)(22+--=+-=x x x x g ，)1,4
1(1∈x 21)2()(max ==∴g x g ， 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要21>a 即可. 故a 的取值范围为21>a . 针对性练习：
1.已知不等式2
mx －2x －m ＋1<0.
(1)若对所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．
解析 (1)不等式2mx －2x －m ＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝2mx －2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方.
（i) 当m ＝0时，1－2x<0不恒成立；
（ii) 当m ≠0时，函数f(x)＝mx2－2x －m ＋1为二次函数，需满足图象开口向下且
方程mx2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，则m 无解. 综上，不存在这样的m ，使不等式恒成立.
(2) 设f(m)＝(2x －1)m ＋(1－2x)，
当2x －1＝0时，即x ＝±1时，检验得x ＝1时符合题意，
当2x ≠1时，则f(m)是以m 为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该 直线当－2≤m ≤2时的线段在x 轴下方，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ② 解①，得x <－1－72或x >－1＋72， 解②，得1－32<x <1＋32
. 由①②，得－1＋72<x <1＋32
，且x ≠1. 综上，x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－1＋72<x <1＋32 2.已知函数1)(23+++=cx bx x x f 在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调 递减，且b ≥0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)设0<m ≤2，若对任意的x1、x2∈[m －2，m]不等式|f(x1)－f(x2)|≤16m 恒成立，求实 数m 的最小值．
解析 (1)由题意知x ＝－2是该函数的一个极值点.
∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(－2)＝0，即12－4b ＋c ＝0.
又f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－2,2]上恒有f ′(x )≤0. ∴f ′(2)≤0，即12＋4b ＋c ≤0. ∴12＋4b ＋4b －12≤0.
∴b ≤0，又b ≥0，∴b ＝0，c ＝－12，f (x )＝x 3－12x ＋1.
(2)∵f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．
0<m ≤2，而当m －2≤x ≤m 时，0<m ≤x ＋2<m ＋2，m －4≤x －2≤m －2≤0，
∴f ′(x )≤0，x ∈[m －2，m ]. 因此f (x )为[m －2，m ]上的减函数，
∴对任意x 1，x 2∈[m －2，m ]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝f (m －2)－f (m )
4
3，即m min＝4 3.
＝－6m2＋12m＋16≤16m，∴m≥。