八年级数学冀教版 第17章 特殊三角形(三)专训3 巧用勾股定理及直角三角形的判定解与垂直相关题型

专训3巧用勾股定理及直角三角形的判定解与垂直相关题型名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理．在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．
利用三边的数量关系说明直角
1．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.求CD的长．
(第1题)
利用转化法构造直角三角形
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，AD＝12.求S四边.
形ABCD
(第2题)
利用倍长中线法构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13.求证：AB⊥AD.
(第3题)
利用化分散为集中法构造直角三角形
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝6，PB ＝2，PC＝4，求∠BPC的度数．
(第4题)
利用“三线合一”法构造直角三角形
5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
求证：AB2＝2(CM＋CN)2.
(第5题)
答案1．解：因为AD2＋BD2＝100＝AB2，
所以△ABD为直角三角形，
且∠ADB＝90°.
在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，
所以CD2＝AC2－AD2＝172－82＝225，所以CD＝15. 2．解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，所以AC＝5.所以AC2＋AD2＝CD2.
所以△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°.
所以S四边形ABCD＝1
2×3×4＋
1
2×5×12＝36.
3．证明：如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE，BE.
因为D为BC的中点，所以CD＝BD.
又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
所以△ADC≌△EDB.
所以EB＝AC＝13.
在△ABE中，AE＝2AD＝12，
所以AE2＋AB2＝122＋52＝169.
又因为EB2＝132＝169，
所以AE2＋AB2＝EB2.
所以△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.
(第3题)
点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．
4．解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°至△CQA，连接PQ，则△CQA≌△CPB，且△PCQ是等腰直角三角形．
∵CQ＝CP＝4，∠QCP＝90°，
∴PQ＝42，
∴AQ2＋PQ2＝22＋(42)2＝36＝PA2.
∴∠AQP＝90°，
∴∠BPC＝∠AQC＝∠AQP＋∠CQP＝90°＋45°＝135°.
(第4题)
(第5题)
5．证明：如图，连接CD ，因为DM ⊥DN ，所以∠MDC ＋∠CDN ＝90°.
因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，所以∠B ＝45°，CD ＝12
AB ＝BD ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝45°.所以∠ACD ＝∠B ，∠CDN ＋∠NDB ＝90°.所以∠MDC ＝∠NDB.在△CMD 和△BND 中，
因为∠MDC ＝∠NDB ，∠MCD ＝∠NBD ，CD ＝BD ，所以△CMD ≌△BND.所以CM ＝BN.所以CM ＋CN ＝BN ＋CN ＝BC.
又因为AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，所以AB 2＝2(CM ＋CN)2.。