2018《试吧》高中全程训练计划·数学(文)周周测 概率

概率统计、复数、算法初步、推理与证明综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数2．(2017·湖北华师一附中等八校联考，8)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在复平面内，复数z ＝a i ＋11－i对应的点在第一象限，则实数a 的取值可以为( )A ．0B ．1C ．－1D ．24．(2017·惠州调研)复数z ＝2i i －1＋i 3(i 为虚数单位)的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．i －1C ．1－iD ．1－2i5．某种商品的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y^＝( )A .45B ．50 6．某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此统计，该模块测试成绩不低于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．1207．(2016·课标全国Ⅲ，7)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．68．(2017·广州五校联考(一))已知x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，且x ＋y ＝7，则y ≥x 2的概率为( )A .13B .23C .12D .569则其方差D(X)＝( A ．1 B ．0.6 C ．2.44 D ．2.4 10．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A .14B .13C .12D .2311．(2017·宿州一模)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不相等的实根的概率是( )A .15B .25C .35D .4512．(2015·广东珠海模拟)在直角坐标系xOy 中，一个质点从A(a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B(a 3，a 4)，C(a 5，a 6)，D(a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2013＋a 2014＋a 2015＝( )A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．(2016·北京，9)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.14．(2017·山东日照一模，14)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．15．(2017·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．16．(2017·陕西省质量监测)如图，是一个算法程序，则输出的n 的值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知复数z ＝(1＋i 1－i)2016＋(1－i)2(其中i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数为z －，且z －·z 1＝4＋3i. (1)求复数z 1；(2)若z 1是关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值，并求出方程x 2－px ＋q ＝0的另一个复数根．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 三边的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°.19．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情(1)概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．20．(本小题满分12分)(2017·合肥质量检测)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B 进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a，其中n＝a＋b＋c＋d21．(本小题满分12分)(2016·山东，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .22．(本小题满分12分)若数列{2n －1}的前n 项组成集合A n ＝{1,3,7，…，2n －1}(n ∈N *)，从集合A n 中任取k (k ＝1,2,3，…，n )个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k (若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记S n ＝T 1＋T 2＋…＋T n .例如：当n ＝1时，A 1＝{1}，T 1＝1，S 1＝1；当n ＝2时，A 2＝{1,3}，T 1＝1＋3，T 2＝1×3，S 2＝1＋3＋1×3＝7.(1)求出S 3，S 4；(2)由S 1，S 2，S 3，S 4的值归纳出S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．1.B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大前提错误．故选B.2．D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.3．A z ＝a i ＋11－i ＝(a i ＋1)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－a ＋(1＋a )i 2，∵复数在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，1＋a >0，解得－1<a <1，故选A. 4．A z ＝2i i －1＋i 3＝2i (i ＋1)(i －1)(i ＋1)－i ＝－i ＋1－i ＝1－2i ，由共轭复数的定义知，其共轭复数为1＋2i ，故选A.易错警示 容易忽视“共轭复数”而出错．5．D 因为线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5恒过样本中心点，而x －＝5，∴y －＝50，则m ＝60，故选D.6．B 根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.015)＝0.8.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60分的人数为600×0.8＝480.故选B.7．B 第一次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1；第二次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2；第三次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4.结束循环，输出n 的值为4，故选B.8．B 由题意得基本事件空间中的元素有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，满足y ≥x 2的有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，共4个，故所求概率为46＝23，故选B.9．C 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.10．C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3， 因此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12. 11．C 解法一：根据题意，数对(a ，b )共有15种不同的取法，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，若方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不相等的实根，则Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a >b ，此时满足条件的数对(a ，b )分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共9种，则方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不相等的实根的概率P ＝915＝35，故选C.解法二：根据题意，数对(a ，b )共有15种不同的取法，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，若方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不相等的实根，则Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a >b ，易知满足a ≤b 的数对(a ，b )分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6种，则方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不相等的实根的概率P ＝1－615＝915＝35，故选C.12．B 由直角坐标系可知A (1,1)，B (－1,2)，C (2,3)，D (－2,4)，E (3,5)，F (－3,6)，即a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a 2014＝1007，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始逐渐递减的，则2014÷4＝503余2，则a 2013＝504，a 2015＝－504，a 2013＋a 2014＋a 2015＝504＋1007－504＝1007.13．－1解析：(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．465解析：类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465. 15.2－32解析：易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.16．4解析：第一次循环后m ＝1，n ＝1；第二次循环后m ＝3，n ＝2；第三次循环后m ＝14，n ＝3；第四次循环后m ＝115，n ＝4，循环结束，输出的n 为4.17．解析：(1)因为z ＝(1＋i 1－i)2016＋(1－i)2＝i 2016－2i ＝1－2i ， 所以z －＝1＋2i ，所以z 1＝4＋3i 1＋2i＝2－i.5分 (2)由题意知(2－i)2－p (2－i)＋q ＝0，化简得(3－2p ＋q )＋(p －4)i ＝0，所以3－2p ＋q ＝0且p －4＝0，解得p ＝4，q ＝5，所以方程为x 2－4x ＋5＝0，即(x －2)2＝－1＝i 2，解得另一个复数根为x ＝2＋i.10分18．证明：假设∠B ＜90°不成立，即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角，∴b 是△ABC 的最大边，即b >a ，b ＞c .∴1a ＞1b ，1c ＞1b ，相加得1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故∠B ≥90°不成立．因此∠B ＜90°.19．解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.20．解：(1)使用方案A 组有效的频率为96120＝0.8；使用方案B 组有效的频率为7280＝0.9.(2)K 2＝200×(96×8－24×72)2120×80×168×32≈3.571＜3.841， 所以，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关． 21．解析：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.6分(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.12分22．解析：(1)当n ＝3时，A 3＝{1,3,7}，T 1＝1＋3＋7＝11，T 2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T 3＝1×3×7＝21，所以S 3＝11＋31＋21＝63；当n ＝4时，A 4＝{1,3,7,15}，T 1＝1＋3＋7＋15＝26，T 2＝1×3＋1×7＋1×15＋3×7＋3×15＋7×15＝196，T 3＝1×3×7＋1×3×15＋1×7×15＋3×7×15＝486，T 4＝1×3×7×15＝315，所以S 4＝26＋196＋486＋315＝1023.4分(2)由S 1＝1＝21－1，S 2＝7＝23－1＝21＋2－1，S 3＝63＝26－1＝21＋2＋3－1，S 4＝1023＝210－1＝21＋2＋3＋4－1，由此猜想S n ＝21＋2＋3＋…＋n －1＝2n (n ＋1)2－1(n ∈N *).6分 用数学归纳法证明如下：①易知当n ＝1时成立．②假设当n ＝k 时，S k ＝2k (k ＋1)2－1＝T ′1＋T ′2＋T ′3＋…＋T ′k (其中T ′i (i ＝1,2，…，k )为n ＝k 时可能的k 个数的乘积的和)，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝T 1＋T 2＋…＋T k ＋1＝[T ′1＋(2k ＋1－1)]＋[T ′2＋(2k ＋1－1)T ′1]＋[T ′3＋(2k ＋1－1)T ′2]＋…＋(2k ＋1－1)T ′k＝(T ′1＋T ′2＋T ′3＋…＋T ′k )＋(2k ＋1－1)＋(2k ＋1－1)(T ′1＋T ′2＋T ′3＋…＋T ′k )＝S k ＋(2k ＋1－1)＋(2k ＋1－1)S k ＝2k ＋1(2k (k ＋1)2－1)＋(2k ＋1－1)＝2k ＋1·2k (k ＋1)2－1＝2(k ＋1)(k ＋2)2－1， 即当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋2)2－1也成立． 综合①②可知，对n ∈N *，S n ＝2n (n ＋1)2－1成立，所以S n ＝2n (n ＋1)2－1(n ∈N *).12分。