中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论：当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．4．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n ＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值．【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A （1，0），代入y=x 2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x 2-4x+3；②在y=x 2-4x+3中，当y=0时，有x 2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A （1，0）、B （3，0），∴AB=2再根据解析式求出C 点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC 的面积=×2×3=3；（2）∵y=x 2-2mx+3=（x-m ）2-m 2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．6．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S △OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.8．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
初三数学二次函数分类题型及解析[整理版]-12页文档资料
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初三数学二次函数分类题型及解析一．解答题（共10小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．4．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．5．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．6．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？7．某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？8．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？9．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．10．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．2016年12月09日天津优胜教育二次函数组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， 解得：， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．2．（2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x 2﹣x+2．（2）∵y=x 2﹣x+2=（x ﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC 为y=﹣x+4，∴对称轴与BC 的交点H （1，3），∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．3．（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．4．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d 最大===，∴D 点的坐标为（，）． 5．（2016•黔南州）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C （0，﹣6），与x 轴的一个交点坐标是A （﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当 y ＜0时，求x 的取值范围．【解答】解：（1）∵把C （0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A （﹣2，0）代入y=x 2+bx ﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣x ﹣6．∴y=（x ﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D （，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣． 令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x 1=，x 2=﹣．∵a ＞0，∴当y ＜0时，x 的取值范围是﹣＜x ＜． 6．（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x=52时，销售300+30×8=540，当x=58时，销售300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．7．（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．8．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x+300（12≤x ≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x 2+400x ﹣3000，令W=840，则﹣10x 2+400x ﹣3000=840，解得：x 1=16，x 2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．9．（2016•云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．10．（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．【解答】解：（1）当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400；（2）当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，∴当x＞55时，W随x的增大而减小，∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，∵800＞600，∴当x=50时，W取得最大值800，答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，解得：45≤x≤55，当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)
中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结(含答案)
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3）（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根据3﹣5x＞0，所以x的取值范围是：0＜x＜3 5；（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=−172x2+6x=−172（x−617）2+1817，当x=617时，S最大=1817．【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI 形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL•LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴当x＝7时，y的最大值＝4；故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．【解答过程】解：（1）依题意得S＝x（28﹣x），当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）依题意得：{28−x≥ax≥6，解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【变式1-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长． （1）若a ＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD 的长是多少米？ ②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【解题思路】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程； ②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答过程】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD ＝20﹣3x ， 根据题意得，x （20﹣3x ）＝25， 解得：x 1＝5，x 2=53， 当x =53时，AD ＝15＞6， ∴x ＝5， ∴AD ＝5，答：AD 的长是5米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB =13[20﹣x ﹣（x ﹣6）]=263−23x ， 根据题意得，y ＝x （263−23x ）=−23x 2+263x =−23(x −132)2+1696（x ＞6）， ∴当x =132时，y 有最大值为1696．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；（2）设BC ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，按图甲的方案，S ＝x ×20−x 3=−13x 2+203x =−13(x −10)2+1003， ∴在x ＝a ＜10时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x ＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S =−13(n −10)2+1003；按图乙方案，S =13[20﹣x ﹣（x ﹣a ）]x =−23(x −a+204)2+(a+20)224，∴当x =a+204时，S 的值最大为S =(a+20)224，此时a 取最大值n 时，S 的值最大为S =(n+20)224； ∵(n+20)224−[−13（n ﹣10）2+1003]=9n 2−120n+40024＞0， ∴(n+20)224＞−13(n −10)2+1003，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【题型2 利用二次函数解决销售利润问题】【例2】2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y （千克）与销售单价x （元）的关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？【解题思路】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案． 【解答过程】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b （k ≠0），根据图象可得方程组{30k +b =14050k +b =100，解得：{k =−2b =200，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +200，x 的取值范围是：30≤x ≤60； （2）设日利润为w ，则可以列出函数关系式为： w ＝（﹣2x +200）（x ﹣30）﹣450 ＝﹣2x 2+260x ﹣6450， 当x =−b2a=65， 又∵30≤x ≤60，∴当x ＝60时，w 取得最大值，w ＝1950，答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．【变式2-1】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x （元） 85 95 105 115 日销售量y （个） 175 125 75 m 日销售利润w （元）87518751875875（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值； （2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 元，当销售单价x ＝ 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答过程】解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ， {85k +b =17595k +b =125，得{k =−5b =600，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【变式2-2】（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【解题思路】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．【解答过程】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1 10，故y与x之间的关系式为y=110x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx+b，则{100k+b=20 b=30，解得：{k=−110 b=30，故z与x之间的关系式为z=−110x+30；（2）W＝zx﹣y=−110x2+30x−110x2=−15x2+30x=−15（x2﹣150x）=−15（x﹣75）2+1125，∵−15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得110x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=−15（x﹣75）2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【变式2-3】（2020•邢台二模）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a 元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．【解题思路】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．【解答过程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴x=80+n 2．∵a＝﹣10＜0，∵当n ≤x ≤48时，该商品利润G 随x 的增大而增大， ∴80+n 2≥48，解得n ≥16． ∵进价是降低的，∴n 的取值范围是16≤n ＜20．【题型3 利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】【例3】（2020秋•渑池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距8√3米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点，并说明理由．【解题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）OA 与水平方向OC 的夹角为30°，OA ＝8√3米，解直角三角形可求点A 的坐标，把点A 的横坐标x ＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A 的纵坐标是否相符． 【解答过程】解：（1）∵顶点B 的坐标是（9，12）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣9）2+12， ∵点O 的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0＝a （0﹣9）2+12， 解得a =−427，∴抛物线的解析式为y =−427（x ﹣9）2+12 即y =−427x 2+83x ；（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8√3，∴AC＝OA•sin30°＝8√3×12=4√3，OC＝OA•cos30°＝8√3×√32=12．∴点A的坐标为（12，4√3），∵当x＝12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？【解题思路】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）当y＝3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．（3）由题意可得出：y＝3.3，则3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．【变式3-2】（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=−1 9，则抛物线是y=−19（x﹣6）2+4.4；（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，则有2.44=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝10.2，x2＝1.8，从题干图2中，发现球门在CD右边，∴x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，∴往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当y＝0时，有0=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝6+35√110，x2＝6−35√110，取正值，x＝6+35√110，∴后退的距离需小于6+35√110−10.2＝（35√110−4.2）米故0＜m＜35√110−4.2．【变式3-3】（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2=8.4，即可求解．【解答过程】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=−1 50，故抛物线的表达式为：y=−150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6√2=8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．。
专题11 二次函数的实际应用-九年级数学上册(解析版)
专题11二次函数的实际应用考点1：拱桥问题；考点2：抛球、喷泉问题；考点3：面积问题；考点4：利润问题。
1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y=−125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．答案：C．2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC ⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16940米B．174米C．16740米D．154米题型01拱桥问题解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y=−1400（x﹣80）2+16=−1400（﹣10﹣80）2+16=−174，∴C（﹣10，−174），∴桥面离水面的高度AC为174m．答案：B．3．（易错题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+32，∴a=−350，∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，−3625），∴−3625b）2，∴x1=b，x2=−b，∴MN＝4，+b﹣（b）|＝4∴m=−925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y=−92，∴−92925（x﹣b）2，∴x1=b，x2∴单个小孔的水面宽度＝|+b）﹣（+b）|＝52（米），答案：B．4．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．解：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，则由对称性可知OA＝BC，故从B到C也花10秒，故从O到C一共花26+10＝36（秒），答案：36．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，答案：26米．6．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，2=1222，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−19，∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．7．（易错题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=−124，∴y1=−124x2，当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=182−+4=18(−4)2+2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：4+=836+=0，解得=−14=9，∴抛物线解析式为y=−14（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，答案：A．9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）题型02抛球、喷泉问题A．2米B．3米C．4米D．5米解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+403，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103（x﹣1）2+403．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．答案：B．10．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，答案：C．11．（易错题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a=−23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+h，将（4，0）代入可得−23×42+23×4+h＝0，解得h＝8．答案：8．12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答案：2．13．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=−112x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，53），点B（8，53），代入y=−112x2+bx+c，得：==−112×82+8+，解得=23=53．∴y=−112x2+23x+53，当y＝0时，0=−112x2+23x+53，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．答案：10．14．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−112，∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．15．（易错题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞910；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，答案：66；（2）①∵a=−150，b=910，∴y=−150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−150，∴y=−150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752+75b+66＞21，解得b＞910，答案：b＞910；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2125，∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．16．（易错题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则+=35=30，解得：=5=30，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴+=3536+6=60，解得：=−5=40，∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x−72）2+1254∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为1254；②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x−72）2−1254，∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=72，∴当x＞72时，y随x的增大而增大，∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜70，∴高度差的最大值为70米．题型03面积问题17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方）案是（A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，=12•AC•BH，∵S△ABC；∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为12×4×4＝8方案3：半圆的半径=8米，∴此时菜园最大面积=H(8)22=32米2＞8米2；答案：C．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193B．194C．195D．196解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，≥628−≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S＝195，最大值即花园面积的最大值为195m2．答案：C．19．（易错题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝（6−12x）m，∴AD＝CE=3BE＝（63−32x）m，AB＝AE+BE＝x+6−12x＝（12x+6）m，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63−32x）338x2+33x+183=−338（x﹣4）2+243，＝243．∴当x＝4时，S最大即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；答案：C．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，答案：75．21．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．解：设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=−32（x2﹣300x）=−32（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，答案：150．22．（易错题）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（−34x+30）x=−34x2+30x，∵a=−14x+10＞0，∴x＜40，则S=−34x2+30x（0＜x＜40）；∵S=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．答案：300．23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，∵﹣3＜0，∴当x =72时，总种植面积有最大值为1474m 2，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为1474m 2．24．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A ．5元B ．10元C ．0元D ．36元解：设每件需降价的钱数为x 元，每天获利y 元，则y ＝（135﹣x ﹣100）（100+4x ）即：y ＝﹣4（x ﹣5）2+3600∵﹣4＜0∴当x ＝5元时，每天获得的利润最大．答案：A ．25．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间解：设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000=−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，题型04利润问题又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．答案：B．26．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，9+3+=0.816+4+=0.925+5+=0.6，解得=−0.2=1.5=−1.9，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−2=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．答案：C．27．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．答案：1264．28．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10+=2020+=10，解得=−1=30，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，答案：121．29．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a＜6．解：设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．30．（易错题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)，答案：w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．31．（易错题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m 为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y ＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A 产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．。
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专题10二次函数的应用一．解读考点知识点二次函（1）利润问题数应用（2）几何问题类型（3）抛物线型问题名师点晴利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题.一般方法是：（1）建模（最重要的就是可以读懂题意），然二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建应用（2）求x=﹣b2a的值；立二次函数的数学模型，的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识2a题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围①在，即相当于求顶点处函数的最大值或最小值②不在，可画草图根据二范围．次函数的增减性来解答．二．考点归纳归纳1：利润问题基础知识归纳：①每件商品的利润=售价—进价②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量③商品的总利润=总收入－总支出④商品的利润率==例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）；（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.【解析】试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36−x≥24得x ≤12，∴1≤x≤12，且x为整数；(2)设所获利润为W，则W=(36−x−24)(10x+60)=−10x2+60x+720=−10(x−3)2+810，∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:求一次函数的解析式例2.（2017安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）销售量y（千克）506070 1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)y=﹣2x+200;(2)w=﹣2x2+280x—8000;(3)当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．【解析】50+b=100k=﹣2试题分析：(1)设y=kx+b，由题意，得60k+b=80，解得b=200,∴所求函数表达式为y=﹣2x+200.(2)W=（x—40）（-2x+200）=﹣2x2+280x—8000即W与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+280x—8000(3)W=﹣2x2+280x—8000=—2（x—70）2+1800，其中40≤x ≤80，∵﹣2＜0，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，w 随x的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:求一次函数的解析式例3.（2017山东潍坊）工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm 2；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元.【解析】试题分析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10−2x)(6−2x)=12，即x2−8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2；(2)∵长不大于宽的五倍，∴10−2x≤5(6−2x)，解得0<x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x(16−4x)+2(10−2x)(6−2x)=4x2−48x+120=4(x −6)2−24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0<x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元.考点：A：利用二次函数求最低花费问题，B:一元二次方程的应用．例4.（2017四川达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成。
已知每件产品的出厂价为60元。
工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系：7.5x，0≤x≤4y=5x+10，4<x≤14(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图。
工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少?【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件.150x，0≤x≤4（2）W=−5(x−11)2+845，4<x≤14,故第11天时，利润最大，最大利润是845元．【解析】试题分析：(1)根据题意，得：∵若7.5x=70,得：x=28/3>4，不符合题意；∴5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4<x≤14时，设P=kx+b，4k+b=40k=1将(4,40)、(14,50)代入,可得：14k+b=50，解得：b=36，∴P=x+36；①当0≤x≤4时,W=(60−40)·7.5x=150x，∵W随x的增大而增大，=600元；∴当x=4时,W最大②当4<x≤14时,W=(60−x−36)(5x+10)=−5x2+110x+240=−5(x−11)2+845，=845，∴当x=11时,W最大∵845>600，∴当x=11时，W取得最大值，845元，答：第11天时，利润最大，最大利润是845元。
考点：分段求二次函数的最大利润问题．例5．（2017湖北鄂州）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个.若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个.（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元?（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本?【答案】（1）y=﹣10x+160（0＜x＜80，x为偶数）；（2）当销售单价定为72或74元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备10000元进货成本.【解析】试题分析：（1）依题意有：y=﹣10x+160（0＜x＜80，x为偶数）；(2)依题意有：W=(80−50−x)(10x+160)=−10(x−7)2+5290，由函数图像的性质可知，抛物线开口向下，对称轴x=7，又x为偶数，所以w在x=6或x=8时取得最大值，即w=5280，故当销售单价定为72或74元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元;(3)依题意有：W=−10(x−7)2+5290≥5200，解得4≤x≤10，设进货成本为P元，则P=50（10x+160）=500x+8000，P随x 的增大而增大，所以当x=4时，P取最小值，P=500×4+8000=10000.故他至少要准备10000元进货成本.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:一次函数的应用归纳2：几何问题基础知识归纳：在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长；观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，②若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。
例6.（2017浙江绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m.设饲养室为长为x(m)，占地面积为y(m2).（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大.小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.【答案】2（x﹣8）（x+2）【解析】50x试题分析：(1)∵y=x·=−1/2(x−25)2+625/2，∴当x=25时，占地面积最大，即饲养室长x为25m时，占地面积y最大；（2）∵y=x·=−12(x−26)2+338，∴当x=26时，占地面积最大，即饲养室长x为26m时，占地面积y最大；∵26−25=1≠2，∴小敏的说法不正确。
考点：二次函数几何问题．归纳3：抛物线型问题基础知识归纳：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.例7.（2017山东德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？【答案】（1）y=−2/3x2+4/3x+2(0≤x≤3);（2）水柱的最大高度为8/3m．【解析】试题分析：如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，4a+h=0a=−2/3设抛物线的解析式为:y=a(x−1)2+h，代入(0,2)和(3,0)得：a+h=2，解得：h=8/3，∴抛物线的解析式为：y=−2/3(x−1)2+8/3；即y=−2/3x2+4/3x+2(0≤x≤3)；(2)y=−2/3x2+4/3x+2(0≤x≤3)，当x=1时,y=8/3，即水柱的最大高度为8/3m.考点：二次函数的抛物线模型问题．例8.（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t h 018214318420520618714……下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=9；③足球被踢出9s时落地；④足球2被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B.【解析】试题解析：由题意,抛物线的解析式为y=ax(x−9),把(1,8)代入可得a=−1，∴y=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误。