二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：2

()(0)f x ax bx c a =++≠；

（2）顶点式：2

()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像

二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b

x a

=-

，顶点坐标为24(,)24b ac b a a

--. (1) 单调性与最值

①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-

上递减，在[,)2b

a

-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]

2b

a -∞-上递增，在[,)

b -+∞上递减，当

b

x =-

时，；24()4ac b f x a -=.

(2) 当2

40b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和

22(,0)M x ，1212||||||

M M x x a =-==

. 二、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，

图2-9

令02p q

x +=

： （1） 若2b

p a

-≤，则(),()m f p M f q ==；

（2） 若02b p x a <-<，则(),()2b

m f M f q a =-=；

（3） 若02b x q a ≤-<，则(),()2b

m f M f p a =-=；

（4） 若2b

q a

-≥，则(),()m f q M f p ==.

三、一元二次方程与二次函数的转化

1．实系数一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔

21212400

0b ac b x x a c x x a ⎧

⎪∆=->⎪⎪

+=->⎨⎪

⎪=>⎪⎩

（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212

124000b ac b x x a c x x a ⎧

⎪∆=->⎪

⎪+=-<⎨⎪

⎪=>⎪⎩

（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a

=< 2.一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b

x a

=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次2

0(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其

限定条件如表2-5所示.

四、二次不等式转化策略

1. 二次不等式的解集与系数的关系

若二次不等式2

()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧

⎪<⎪

⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪

⎪

⋅=⎪⎩

二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.

2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略

已知二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩

.

注 若表述为“已知函数2

()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有

()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或0

0a b c ==⎧⎨<⎩

. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧

有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2） 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型归纳及思路提示

题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.

例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（ ）

Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

解析 由于0a <，则方程2

210ax x ++=的判别式440a ∆=->，

设12,x x 为方程的两根，则12122010x x a

x x a ⎧

+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩

，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方

程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12

x =-，那么方程2

210ax x ++=有负

数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2

210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.

变式1 已知函数2

()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<